Euler hat bekanntlieh mittels einer descente infinie den folgenden Satz bewiesen (1): Die kubisehe Kurve

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1 . uber die rationalen Punkte Out einigen kubischen Kurven, von TBYGVF NAGEL in Kristiania, Norwegen. Euler hat bekanntlieh mittels einer descente infinie den folgenden Satz bewiesen (1): Die kubisehe Kurve enthalt ausser den rationalen Punkten x=2, y = }3 ; x = -1, y=0 (1) =1, y= }1 keine weiteren. x Dieses Resultat lasst sick nun leicht folgeudermassen verallgemeiuen : Es sei D eine ganze rationale, positive oder. negative Zahl, deren Primfaktoren (wenn solche vorhanden sind) nur die Primzahl 3 oder Primzahlen von der Form 12t+5 sind(2). Dann geht die kubische Kurve (2) durcla den einzigen rationalen Punkt x= -1, y =0, wenn D 1 ist. Ist D=1, so geht sic nur durch die rationalen Punkte x=2, y= }3; x=-1, y=0; x=0, y= }1. Denn, ist, in (2), x rational, so konnen wir setzen wo a and b gauze rationale, teilerfremde Zahlensind ; a kann positiv angenommen werden. Die Gleichung(2) wird dann (1) L. Eu1er, Opera Omnia, Commentationes Arithmetioae I, Theorems 10,.S 56. Der Boweisversuoh von T. Baohmann in seinem Buohe : Das Fermatproblem (Berl. u. Lpz,. 1919), S. 9-11, ohne Hilfe einer descete infinnie ist; wie leicht zu ersehen ist, vollig verfehlt. (2) Fur jede Primzahl g von der Form 12 t+5 gilt belcanntlioh.

2 UBER DIE RATIONALEN PUNKTE AUF ETNIGEN KUBISOHEN KURVEN. 49, D kann quadratfrei angenommen werden. Wenn y rational ist, so muss also hier b2y ganz sein. In der Gleichung konnen wir annehmen, dass a durch 3 nicht teilbar ist. Denn aus a=3a1 wurde folgen (3) wo z ganz ist, d.h. eine Gleichung von genau derselben Form wie (3), wo aber die a entsprechende Zahl b duroh 3nicht teilbar ist. Ist nun in (3) a duroh 3 nicht teilbarr, so sind die Zahlen a,b and a2-3ab +3bz paarweise teilerfremd; die letzte Zahl istauch teilerfremd zu D. Aus der Gleichung (3) folgt mithin notwendig : wo u, v, w ganze rationale paarweise teilerfremde Zahlen sind, and wo P and Q gauze rationale, teilerfremdo Zahlen rind, sodass PQ = D ist, Q ist positiv and durch 3 nicht teilbar ; denn dasselbe gilt von a. Ware Q durch eine Primzahl q teilbar, so ware auch a durch q teilbar and folglich bekamen wir was unmoglich ist, da q als Teiler von D von der Form 12t+5 ist and in b nicht aufgehon kann. Folglich muss. Q=1 and also P=D sein. Duroh Elimination von a and b ergibt sich mithin die Gleichung Hier kann v nicht gorade sein ; denn sonst wurde sich ergeben (4) was uninoglich ist, da u and w ungerade sein mussen, wenn v gerado ist. w ist immer ungerrde. Wir wollen erstens u gerade annehmen. Aus der Gleichung (4) oder folgt dann

3 50 TRYGVE NAGEL. wo c and d gauze, teilerfremde Zahlen sind, d durch 3 nicht teilbar, u=2cd, uud wo P1 and Q1 ganze teilerf remde Zahlen sind, so dass P1Q1=D ist. Qi ist durch 3 nicht teilbar and kaun positiv angenommen werden. Durch Subtraktion ergibt rich wegenu=2cd Hier muss das untere Zeichen genommen werden ; denn modulo 3 wird wo weder Q1 noch d durch 3 teilbar sind. Ware Q1 durch die Primzahl q teilbar, so wurde sich ergeben was unmtoglieh ist, da nach der Voraussetzung q ß5 (mod. 12) ist. Folglich muss Q1=1 and also P1=D sein ; and diegleichung wird oder Hieraus folgt wo f and g gauze teilerfremde Zahlen sind, g durch 3 nicht teilbar, and wo P2 and Q2 gauze teilerfremde Zahlen sind, so dass P2Q2= D ist. Q2 ist durch 3 nicht teilbar and kann positiv anzenommen werden. Duroh Addition ergibt rich wegen c ßfg : Man sieht hieraus modulo 3, dass das obere Zeichen genommen werden muss. Ware Q2 durch elne Primzahl q teilbar, so wurde sich ergeben

4 U BER DIE RATIONALEN PUNKTE AUF EINIGEN KUBISCHEN KURVEN. 51 was unmoglich ist wegen q ß5 (mod. 12). Folglich ist Q2=1 and P2 = D. Es ergibt slob somit die Gleichung d.h. eine Gleichung von genau derselben Form wie (4). Es ist abet Ist u genau duroh 2a teilbar, so ist also f genau durch 2a-1 teilbar(1). Die fortgesetzte Anweudung unserer Methode mussuns folglich zuletzt auf eine Gleichung von der Form fuhren, wo U durch 2 aber nivht durch 4 teilbarist. Dies ist aber unmoglich. Denn, ist U gerade, so ist and mithin U ßO (mod. 4), weil D ungerade ist. Die Gleichung (4) ist folglioh unntoglioh, wenn u gerade ist. E8 sei daravf in (4) u ungerade(2). Dann folgt aus wo c1 and dt game teilerfremde Zahlen Sind, u= c1d1, d1 durch 3 nicht teilbar, und 'wo P3 and Q3 ganze teilerfremde Zahlen sind, so dass P3Q3= D ist. Q3 ist durch 3 nicht teilbar and kann positiv angenommen werden. Duroh Subtraktion ergibt sioh wegen u=cld1 Weil nicht durch 3 teilbar ist, muss hier das untere Zeichen (1) Wir haben sohon gesehen, dass in (4) v and w ungemde sein musson. Also mussen auoh g und d ungerade sein. (2) Dieser Fall kann nur fur D ß1 (mod. 8) eintreffen. Denn, aus (4) folgt, well D1 v and w ungerude sind d. h. D ß1 (mod. 8). Unger Satz ist also sohon bewiesen fur den Fall, in welchem D nicht ß1 (mod, 8) ist.

5 52 T RYGVE NAGEL: genommen werden. Ware Q3 durch eine Primzahl q teilbar, so wurde sich ergeben was unmoglieh ist wegen q ß5(mod.12). Folglich ist Q3=1 and P3=D. Die Gleichung wird somit oder Hieraus folgt wo f1 and g1 gauze teilerfremde Zahlen sind, f1g1=c1,g1 durch 3 nicht teilbar, und wo P4 und Q4 ganze teilerfremde Zahlen sind, so dass P4Q4 = D ist. Q4 ist durch 3 nicht teilbar und kann positiv angenommeu werden. Durch Addition ergibt sich wegen c1=f1g1 Weil di2+ Q24g14 nicht durch 3 teilbar ist, muss hier das obere Zeichen gewatllt werden. Ware Q4 durch eine Primzahl q teilbar, so wurde sich ergeben was unmoglich ist wegen q ß5 (mod. 12). Folglich ist Q4=1 und P4=D. ergibt sich somit die Gleichung Es (41) Diese Gleichung ist von genau derselben Form vie (4); es ist aber (5) Ist die unbestimmte Gleichung uberhaupt. moglich in ganzen, von Null, versehidonen Zahlen U, V, W mit ungeradem U, so muss es eine kleinste (positive) Losung U geben. (6)

6 UBER DIE RATIONALEN PUNKTE AUF EINIGEN KUBISCHEN KURVEN. 53 Es sei nun U=u diese kleinste (ungerade) Losung. Dann folgt aus (4) und (5) notwendig f1 =u und g1 = d1 =1 and folglioh oder 1=Df12, d.h. D=1, f1 =1 und u=1. Folglich ist bewiesen, dass di e Gleichung (6) nur fur D=1, U2=V2=W2=1 moglich ist in gan - zen teilerfremden Zahlen U, V, W. Die Losung. D=u2=v2=w2=1 von (4) gibt als Losungen der Gleichung (2) entweder a=b=1 also x=0, y }1 x=2, y= }3. Die immer auftretende Losung x=-1 der Moglichkeit a=z=0 in der Gleichuug (3) her, odor a=3, b=1 also, y=0 ruhrt von. Unsor Satz uber die Gleichung (2) ist foiglich bewiesen, und zwar mit der Fermatschen Methode der descente infinie.