Quantenmechanik (QM I)

Transkript

1 Springer-Lehrbuch

2 Franz Schwabl Quantenmechanik (QM I) Eine Einführung 7. Auflage mit 123 Abbildungen, 16 Tabellen und 127 Übungsaufgaben 123

3 Professor Dr. Franz Schwabl Physik-Department Technische Universität München James-Franck-Straße Garching, Deutschland schwabl@ph.tum.de Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN Auflage Springer Berlin Heidelberg New York ISBN Auflage Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungendes Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de Springer-Verlag Berlin Heidelberg1988, 1990, 1992, 1993, 1998, 2002, 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen,Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz- Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz und Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Einbandgestaltung: WMX Design GmbH, Heidelberg SPIN: /3180/YL Gedruckt auf säurefreiem Papier

4 Vorwort zur siebenten Auflage Auch die neueste Auflage wurde gründlich überarbeitet. Insbesondere in den fortgeschritteneren Kapiteln wurden Ergänzungen und zusätzliche Erläuterungen eingefügt. Ein Großteil der Abbildungen wurde überarbeitet und grafisch neu gestaltet. Bei allen Änderungen habe ich darauf geachtet, den kompakten Charakter des Buches beizubehalten. Ich bin bei dieser umfangreichen Bearbeitung einer Reihe von Kollegen und Mitarbeitern zu Dank verpflichtet. Herrn Uwe Täuber und Herrn Roger Hilton danke ich für wiederholte Ratschläge. Einige der bisher qualitativen Diagramme wurden von Herrn Robert Seyrkammer mit dem Computer generiert. Ich danke besonders Herrn Andrej Vilfan für die Kontrolle und Neuberechnung einer Reihe von anspruchsvolleren Diagrammen und ebenso Frau Ulrike Ollinger, die das grafische Design der Abbildungen übernommen hat. Dem Springer Verlag, namentlich Herrn Dr. Thorsten Schneider und Frau Jacqueline Lenz danke ich für die exzellente Zusammenarbeit, sowie dem Satz-Team der Firma LE-TEX für die sorgfältige Ausführung der Korrekturen. Schließlich danke ich allen Kollegen und Studenten, die über die Jahre Verbesserungsvorschläge gemacht haben. München, im August 2007 F. Schwabl

5 Vorwort zur ersten Auflage Das vorliegende Lehrbuch behandelt die Quantenmechanik. In einem einleitenden Kapitel werden, ausgehend von der historischen Entwicklung, an Hand eines Interferenzexperiments die Grundpostulate erschlossen, von da ab ist der Aufbau rein deduktiv. Neben den Grundlagen und vielen Anwendungen werden auch neue Aspekte der Quantentheorie und deren experimentelle Überprüfungen dargestellt. Im Text wird Wert auf eine gestraffte Darstellung gelegt, die dennoch keine weiteren Hilfsmittel erfordert. Die Verständlichkeit wird gewährleistet durch Angabe aller mathematischen Schritte und ausführliche und vollständige Durchführung der Zwischenrechnungen. Das Buch behandelt die nichtrelativistische Quantenmechanik ohne zweite Quantisierung, abgesehen von einem Abschnitt Optische Übergänge, der eine elementare Darstellung der Quantisierung des Strahlungsfeldes enthält. Neben dem unabdingbaren Stoff der Quantenmechanik, innerhalb dessen die Streutheorie, zeitabhängige Phänomene und die Dichtematrix ausführlich diskutiert werden, enthält das Buch eine Darstellung der Theorie des Meßprozesses und der Bellschen Ungleichung. Ein Kapitel, das bisher noch nicht Eingang in die Lehrbuchliteratur gefunden hat, ist die supersymmetrische Quantenmechanik. Aus didaktischen Gründen wird zunächst die Wellenmechanik entwickelt und ab Kapitel 8 zur Dirac-Notation übergegangen. Nebenrechnungen und Bemerkungen, die für das Verständnis nicht entscheidend sind, werden in Kleindruck dargestellt. Nur in den etwas fortgeschritteneren Abschnitten sind Zitate angegeben,die auch dort keineswegsvollständig sind, aber zur weiteren Lektüre anregen sollen. Das Buch wird Studenten der Physik und verwandter Fachgebiete ab dem 3. oder 4. Semester empfohlen, und Teile daraus können möglicherweise auch von Lehrenden nutzbringend verwendet werden. Dieses Buch ist aus Vorlesungen über Quantenmechanik, die der Autor seit 1973 an der Universität Linz und der Technischen Universität München gehalten hat, entstanden. Bei Teilen der Rohfassung des Skriptums und von Zeichnungen und Tabellen haben die Herren R. Alkofer, E. Frey und H.-T. Janka mitgewirkt. Die Korrekturen der Druckfahnen wurden von den Herren Th. Fischer, W. Prusseit, H. Schinz, A. Schorgg, S. Thoma und U. Täuber gelesen. Herr W. Gasser hat das gesamte Manuskript gelesen und zu vielen Kapiteln des Buches nützliche Anregungen gegeben. Ihnen und allen anderen

6 VIII Vorwort zur ersten Auflage Mitarbeitern, deren Hilfe für die Entstehung wichtig war, sowie dem Verlag sei an dieser Stelle herzlichst gedankt. München, September 1988 F. Schwabl

7 Inhaltsverzeichnis 1. Historische und experimentelle Grundlagen Einleitung und Überblick Historisch grundlegende Experimente und Erkenntnisse Teilcheneigenschaften elektromagnetischer Wellen Welleneigenschaften von Teilchen, BeugungvonMateriestrahlen Diskrete Zustände Wellenfunktion und Schrödinger-Gleichung Die Wellenfunktion undihrewahrscheinlichkeitsinterpretation Schrödinger-Gleichung für freieteilchen SuperpositionvonebenenWellen Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Impulsmessung Veranschaulichung der Unschärferelation ImpulsimOrtsraum OperatorenundSkalarprodukt Korrespondenzprinzip und Schrödinger-Gleichung Korrespondenzprinzip PostulatederQuantentheorie Mehrteilchensysteme DasEhrenfestscheTheorem Die Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte Stationäre Lösungen der Schrödinger-Gleichung, Eigenwertgleichungen Stationäre Zustände Eigenwertgleichungen Entwicklung nach stationären Zuständen Physikalische Bedeutung der Eigenwerte eines Operators Einige wahrscheinlichkeitstheoretische Begriffe Anwendung auf Operatoren mitdiskreteneigenwerten Anwendung auf Operatoren mitkontinuierlichemspektrum AxiomederQuantentheorie... 41

8 X Inhaltsverzeichnis 2.10 Ergänzungen DasallgemeineWellenpaket Bemerkung zur Normierbarkeit der Kontinuumszustände Aufgaben Eindimensionale Probleme Der harmonische Oszillator AlgebraischeMethode DieHermite-Polynome Die Nullpunktsenergie Kohärente Zustände Potentialstufen Stetigkeit von ψ(x) und ψ (x) für stückweisestetigespotential DiePotentialstufe Tunneleffekt, Potentialschwelle DiePotentialschwelle KontinuierlichePotentialberge Anwendungsbeispiel: Der α-zerfall Potentialtopf GeradeSymmetrie UngeradeSymmetrie Symmetrieeigenschaften Parität Konjugation Allgemeine Diskussion der eindimensionalen Schrödinger-Gleichung Potentialtopf,Resonanzen Analytische Eigenschaften destransmissionskoeffizienten Bewegung eines Wellenpaketes in der NäheeinerResonanz Aufgaben Unschärferelation Heisenbergsche Unschärferelation SchwarzscheUngleichung Allgemeine Unschärferelationen Energie-Zeit-Unschärfe Durchgangsdauer und Energieunschärfe Dauer einer Energiemessung und Energieunschärfe Lebensdauer und Energieunschärfe Gemeinsame Eigenfunktionen vonkommutierendenoperatoren Aufgaben

9 Inhaltsverzeichnis XI 5. Der Drehimpuls Vertauschungsrelationen,Drehungen EigenwertevonDrehimpulsoperatoren Bahndrehimpuls in Polarkoordinaten Aufgaben Zentralpotential I Kugelkoordinaten BindungszuständeindreiDimensionen Coulomb-Potential Das Zweikörperproblem Aufgaben Bewegung im elektromagnetischen Feld Der Hamilton-Operator Konstantes Magnetfeld B NormalerZeeman-Effekt Kanonischer und kinetischer Impuls, Eichtransformation KanonischerundkinetischerImpuls Änderung der Wellenfunktion beieinereichtransformation Aharonov-Bohm-Effekt Wellenfunktion im magnetfeldfreien Gebiet Aharonov-Bohm-Interferenzexperiment Flußquantisierung in Supraleitern FreieElektronenimMagnetfeld Aufgaben Operatoren, Matrizen, Zustandsvektoren Matrizen, Vektoren und unitäre Transformationen ZustandsvektorenundDirac-Notation AxiomederQuantenmechanik Ortsdarstellung Impulsdarstellung Darstellung bezüglich eines diskreten Basissystems Mehrdimensionale Systeme und Vielteilchensysteme Schrödinger-, Heisenberg- und Wechselwirkungs-Darstellung Schrödinger-Darstellung Heisenberg-Darstellung Wechselwirkungsdarstellung (Dirac-Darstellung) BewegungeinesfreienElektronsimMagnetfeld Aufgaben

10 XII Inhaltsverzeichnis 9. Spin Experimentelle Entdeckung desinnerendrehimpulses Normaler Zeeman-Effekt Stern-Gerlach-Experiment Mathematische Formulierung fürspin1/ EigenschaftenderPauli-Matrizen Zustände,Spinoren MagnetischesMoment Räumliche Freiheitsgrade und Spin Aufgaben Addition von Drehimpulsen Problemstellung Addition von Spin 1/2-Operatoren Bahndrehimpuls und Spin 1/ AllgemeinerFall Aufgaben Näherungsmethoden für stationäre Zustände Zeitunabhängige Störungstheorie (Rayleigh-Schrödinger) Nicht entartete Störungstheorie Störungstheorie für entartete Zustände Variationsprinzip WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin)-Methode Brillouin-Wigner-Störungstheorie Aufgaben Relativistische Korrekturen RelativistischekinetischeEnergie Spin-Bahn-Kopplung Darwin-Term WeitereKorrekturen Lamb-Verschiebung Hyperfeinstruktur Aufgaben Atome mit mehreren Elektronen IdentischeTeilchen Bosonen und Fermionen NichtwechselwirkendeTeilchen Helium Vernachlässigung derelektron-elektron-wechselwirkung

11 Inhaltsverzeichnis XIII Energieverschiebung durch die abstoßende Elektron-Elektron-Wechselwirkung Variationsmethode Hartree- und Hartree-Fock-Näherung (SelbstkonsistenteFelder) Hartree-Näherung Hartree-Fock-Näherung Thomas-Fermi-Methode Atomaufbau und Hundsche Regeln Aufgaben Zeeman-Effekt und Stark-Effekt WasserstoffatomimMagnetfeld SchwachesFeld StarkesFeld,Paschen-Back-Effekt Zeeman-Effekt fürbeliebigesmagnetfeld Mehrelektronenatome SchwachesMagnetfeld Starkes Magnetfeld, Paschen-Back-Effekt Stark-Effekt Energieverschiebung des Grundzustandes Angeregte Zustände Aufgaben Moleküle Qualitative Überlegungen Born-Oppenheimer-Näherung Das H + 2 -Molekül Das Wasserstoffmolekül H Energieniveaus eines zweiatomigen Moleküls: Schwingungs-undRotationsniveaus Van-der-Waals-Kraft Aufgaben Zeitabhängige Phänomene Heisenberg-Darstellung für einen zeitabhängigen Hamilton-Operator Sudden Approximation (Plötzliche Parameteränderung) Zeitabhängige Störungstheorie Störungsentwicklung Übergänge1.Ordnung Übergänge in ein kontinuierliches Spektrum, GoldeneRegel Periodische Störung

12 XIV Inhaltsverzeichnis 16.4 Wechselwirkung mit dem Strahlungsfeld Hamilton-Operator QuantisierungdesStrahlungsfeldes SpontaneEmission Elektrische Dipolübergänge(E1) Auswahlregeln für Elektrische Dipol-(E1)-Übergänge Die Lebensdauer für Elektrische Dipolübergänge Elektrische Quadrupolund Magnetische Dipolübergänge Absorption und stimulierte Emission Aufgaben Zentralpotential II Schrödinger-Gleichung für sphärisch symmetrisches Kastenpotential SphärischeBessel-Funktionen Bindungszustände des sphärischen Potentialtopfes GrenzfalleinestiefenPotentialtopfes Kontinuumslösungen fürdenpotentialtopf Entwicklung von ebenen Wellen nach Kugelfunktionen Aufgaben Streutheorie Streuung eines Wellenpaketes und stationäre Zustände Wellenpaket Formale Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung Asymptotisches Verhalten des Wellenpakets Streuquerschnitt(Wirkungsquerschnitt) Partialwellen OptischesTheorem Bornsche Näherung Inelastische Streuung Streuphasen Resonanz-Streuung am Potentialtopf Niederenergie-s-Wellen-Streuung, Streulänge Streuung fürhoheenergien ErgänzendeBemerkungen Transformation in das Laborsystem Coulomb-Potential Aufgaben

13 Inhaltsverzeichnis XV 19. Supersymmetrische Quantentheorie VerallgemeinerteLeiteroperatoren Beispiele ReflexionsfreiePotentiale δ-funktion Harmonischer Oszillator Coulomb-Potential Ergänzungen Aufgaben Zustand und Meßprozeß in der Quantenmechanik Der quantenmechanische Zustand, Kausalität unddeterminismus DieDichtematrix Dichtematrix für reine und gemischte Gesamtheiten Von-Neumann-Gleichung Spin 1/2-Systeme DerMeßvorgang DerStern-Gerlach-Versuch Quasiklassische Lösung Stern-Gerlach-Versuch als idealisierter Meßvorgang Allgemeines Experiment und Kopplung an die Umgebung Der Einfluß einer Beobachtung aufdiezeitentwicklung Phasenrelationen beim Stern-Gerlach-Experiment EPR-Argument, Versteckte Parameter, BellscheUngleichung EPR-(Einstein, Podolsky, Rosen)-Argument BellscheUngleichung Aufgaben Anhang A. Mathematische Hilfsmittel zur LösunglinearerDifferentialgleichungen A.1 Fourier-Transformation A.2 Delta-FunktionundDistributionen A.3 GreenscheFunktionen B. KanonischerundkinetischerImpuls C. Algebraische Bestimmung der Bahndrehimpulseigenfunktionen D. TabellenundPeriodensystem Index