Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II)

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1 Franz Schwabl Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II) Mit 79 Abbildungen, 4 Tabellen und 101 Aufgaben

2 Professor Dr. Franz Schwabl Institut für Theoretische Physik Technische Universität München James-Franck-Strasse Garching Die Deutsche Bibliothek CIP-Einheitsaufnahme Schwabl, Franz: Quantenmechanik für Fortgeschrittene: QM II / Franz Schwabl. Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Budapest; Hongkong; London; Mailand; Paris; Santa Clara; Singapur; Tokio: Springer, 1997 (Springer-Lehrbuch) ISBN ISBN Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Di es es Werk ist urh eberrechtli ch ges chüt z t. Die dadurch begrü nde ten Rechte,i ns besondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speiche rung in Datenvera rbeitungs a nl a gen, bleiben, auch bei nur au s z ugsw eis er Verw ertung, vorbeh a lten. Ei ne Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen diese s Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der ges e t z li ch en Bestimmungen des Urh eberrecht sges e t zes der Bundesrepublik Deut s chl a nd vom 9. September 1965 in d er jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1997 Printed in Germany Die Wi eder gabe von Gebrauchs na men, Ha nde ls na men, Wa renbezei ch nungen usw. in dies em Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme,daß solche Namen im Sinne der Wa ren zei ch en- und Ma rkens chut z - Ges e t z gebung als frei zu be trachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Reproduktionsfertige Vorlage vom Autor Einbandgestaltung: design & productiongmbh, Heidelberg SPIN: / Gedruckt auf säurefreiem Papier

3 Inhaltsverzeichnis Teil I. Nichtrelativistische Vielteilchen-Systeme 1. Zweite Quantisierung Identische Teilchen, Mehrteilchenzustände und Permutationssymmetrie Zustände und Observable von identischen Teilchen Beispiele Vollkommen symmetrische und antisymmetrische Zustände Bosonen Zustände, Fock-Raum, Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren Teilchenzahloperator Allgemeine Einteilchen- und Mehrteilchenoperatoren Fermionen Zustände, Fock-Raum und Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren Ein- und Mehrteilchenoperatoren Feldoperatoren Transformationen zwischen verschiedenen Basissystemen Feldoperatoren Feldgleichungen Impulsdarstellung Impulseigenfunktionen, Hamilton-Operator Fouriertransformation der Dichte Berücksichtigung des Spins Aufgaben Spin-1/2 Fermionen Nichtwechselwirkende Fermionen Fermi-Kugel, Anregungen Einteilchenkorrelationsfunktion Paarverteilungsfunktion Paarverteilungsfunktion, Dichtekorrelationsfunktionen und Strukturfaktor... 39

4 X Inhaltsverzeichnis 2.2 Grundzustandsenergie und elementare Theorie des Elektronengases Hamilton-Operator Grundzustandsenergie in Hartree-Fock-Näherung Änderung der elektronischen Energieniveaus durch die Coulomb-Wechselwirkung Hartree-Fock Gleichungen für Atome Aufgaben Bosonen Freie Bosonen Paarverteilungsfunktion für freie Bosonen Zweiteilchenzustände von Bosonen Schwach wechselwirkendes, verdünntes Bose-Gas Quantenflüssigkeiten und Bose-Einstein-Kondensation Bogoliubov-Theorie des schwach wechselwirkenden Bose-Gases Suprafluidität Aufgaben Korrelationsfunktionen, Streuung und Response Streuung und Response Dichtematrix, Korrelationsfunktionen Dynamische Suszeptibilität Dispersionsrelationen Spektraldarstellung Fluktuations Dissipations Theorem Anwendungsbeispiele Symmetrieeigenschaften Allgemeine Symmetrierelationen Symmetrieeigenschaften der Responsefunktion für hermitesche Operatoren Summenregeln Allgemeine Struktur von Summenregeln Anwendung auf die Anregungen in He II Aufgaben Literatur zu Teil I

5 Inhaltsverzeichnis XI Teil II. Relativistische Wellengleichungen 5. Aufstellung von relativistischen Wellengleichungen Einleitung Klein-Gordon-Gleichung Aufstellung mittels des Korrespondenzprinzips Kontinuitätsgleichung Freie Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung Dirac-Gleichung Aufstellung der Dirac-Gleichung Kontinuitätsgleichung Eigenschaften der Dirac-Matrizen Die Dirac-Gleichung in kovarianter Form Nichtrelativistischer Grenzfall und Kopplung an das elektromagnetische Feld Aufgaben Lorentz-Transformationen und Kovarianz der Dirac-Gleichung Lorentz-Transformationen Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung Die Lorentz-Kovarianz und Transformation von Spinoren Bestimmung der Darstellung S(Λ) Weitere Eigenschaften der S Transformation von Bilinearformen Eigenschaften der γ-matrizen Lösungen der Dirac-Gleichung für freie Teilchen Spinoren mit endlichem Impuls Orthogonalitätsrelationen und Dichte Projektionsoperatoren Aufgaben Drehimpuls Bahndrehimpuls und Spin Passive und aktive Transformationen Drehungen und Drehimpuls Aufgaben Bewegung im Coulomb-Potential Klein-Gordon-Gleichung mit elektromagnetischem Feld Ankopplung an das elektromagnetische Feld Klein-Gordon-Gleichung im Coulomb-Feld Dirac-Gleichung für das Coulomb-Potential Aufgaben

6 XII Inhaltsverzeichnis 9. Elektronen im elektromagnetischen Feld: Näherungsmethoden Die Foldy-Wouthuysen-Transformation Problemstellung Transformation für freie Teilchen Wechselwirkung mit elektromagnetischem Feld Relativistische Korrekturen und Lamb Verschiebung Relativistische Korrekturen Abschätzung der Lamb Verschiebung Aufgaben Physikalische Interpretation der Lösungen der Dirac-Gleichung Wellenpakete und Zitterbewegung Superposition von Zuständen positiver Energie Allgemeines Wellenpaket Allgemeine Lösung der freien Dirac-Gleichung im Heisenberg-Bild Klein-Paradoxon, Potentialschwelle Löcher Theorie Aufgaben Symmetrien und weitere Eigenschaften der Dirac-Gleichung Aktive und passive Transformationen, Transformation von Vektoren Invarianz und Erhaltungssätze Allgemeine Transformation Drehungen Translationen Raumspiegelung (Paritätstransformation) Ladungskonjugation Zeitumkehr (Bewegungsumkehr) Bewegungsumkehr in der klassischen Physik Zeitumkehr in der Quantenmechanik Zeitumkehrinvarianz der Dirac-Gleichung Racah-Zeitspiegelung Helizität Fermionen mit Masse Null (Neutrinos) Aufgaben Literatur zu Teil II

7 Inhaltsverzeichnis XIII Teil III. Relativistische Felder 12. Quantisierung von relativistischen Feldern Gekoppelte Oszillatoren, lineare Kette, Gitterschwingungen Lineare Kette von gekoppelten Oszillatoren Kontinuumsgrenzfall, schwingende Saite Verallgemeinerung auf drei Dimensionen, Zusammenhang mit dem Klein Gordon Feld Klassische Feldtheorie Lagrange Funktion und Euler Lagrange Bewegungsgleichungen Kanonische Quantisierung Symmetrien und Erhaltungssätze, Noether Theorem Energie Impuls Tensor, Kontinuitätsgleichungen und Erhaltungssätze Herleitung der Erhaltungssätze für Viererimpuls, Drehimpuls und Ladung aus dem Noetherschen Theorem Aufgaben Freie Felder Das reelle Klein Gordon Feld Lagrange Dichte, Vertauschungsrelationen, Hamilton Operator Propagatoren Das komplexe Klein-Gordon-Feld Quantisierung des Dirac-Feldes Feldgleichungen Erhaltungsgrößen Quantisierung Ladung Grenzfall unendlichen Volumens Spin Statistik Theorem Propagatoren und Spin Statistik Theorem Ergänzungen zum Antikommutator und Propagator des Dirac Feldes Aufgaben Quantisierung des Strahlungsfeldes Klassische Elektrodynamik Maxwell Gleichungen Eichtransformationen Coulomb Eichung Lagrange Dichte für das elektromagnetische Feld Freies elektromagnetisches Feld und dessen Quantisierung

8 XIV Inhaltsverzeichnis 14.5 Berechnung des Photon Propagators Aufgaben Wechselwirkende Felder, Quantenelektrodynamik Lagrange-Funktionen, wechselwirkende Felder Nichtlineare Lagrange-Funktionen Fermionen in einem äußeren Feld Wechselwirkung von Elektronen mit dem Strahlungsfeld: Quantenelektrodynamik (QED) Wechselwirkungsdarstellung, Störungstheorie Wechselwirkungsdarstellung (auch Dirac Darstellung) Störungstheorie S Matrix Allgemeine Formulierung Einfache Übergänge Wicksches Theorem Einfache Streuprozesse, Feynman Diagramme Der Term erster Ordnung Mott Streuung Prozesse zweiter Ordnung Feynman-Regeln der Quantenelektrodynamik Strahlungskorrekturen Selbstenergie des Elektrons Selbstenergie des Photons, Vakuumpolarisation Vertexkorrekturen Ward-Identität und Ladungsrenormierung Anomales magnetisches Moment des Elektrons Aufgaben Literatur zu Teil III Anhang A Alternative Herleitung der Dirac-Gleichung B Formeln B.1 Standarddarstellung B.2 Chirale Darstellung B.3 Majorana-Darstellungen C Projektionsoperatoren für den Spin C.1 Definition C.2 Ruhsystem C.3 Bedeutung des Projektionsoperators P (n) im allgemeinen D Wegintegraldarstellung der Quantenmechanik E Kovariante Quantisierung des elektromagnetischen Feldes, Gupta Bleuler Methode

9 Inhaltsverzeichnis XV F E.1 Quantisierung und Feynman-Propagator E.2 Die physikalische Bedeutung von longitudinalen und skalaren Photonen E.3 Der Feynman-Photonen-Propagator E.4 Erhaltungsgrößen Die Ankopplung von geladenen skalaren Mesonen an das elektromagnetische Feld Sachverzeichnis

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