MND Projekt 2. Zur Veranschaulichung werden die einzelnen Phis graphisch dargestellt.

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Axel Hermann
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AUFGABENSTELLUNG MND Projekt 2 Das Ziel dieses Projekts war es ein Anfangswertproblem mit Hilfe des klassischen Runge-Kutta Verfahrens und dem Levenberg-Marquardt-Verfahren zu lösen.

1 AUFGABENSTELLUNG MND Projekt 2 Das Ziel dieses Projekts war es ein Anfangswertproblem mit Hilfe des klassischen Runge-Kutta Verfahrens und dem Levenberg-Marquardt-Verfahren zu lösen. AUFGABE 1 In der Ersten Aufgabe muss ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung hergeleitet werden und Phi mit dem klassischen Runge-Kutta verfahren berechnet werden. Als Endwert der Zeit wird 4s angenommen mit 41 Teilschritten. % f phi, x), Modell, x(1)=d, x(2)=k % phi = [phi; d/dt-phi; phid; d/dt-phid; phik; d/dt-phik] f [phi(2); -x(1)*phi(2)-x(2)*sin(phi(1));... phi(4); -phi(2)-x(1)*phi(4)-x(2)*cos(phi(1))*phi(3);... phi(6); -x(1)*phi(6)-sin(phi(1))-x(2)*cos(phi(1))*phi(5)]; phi0 = [alpha, dphi, phid, dphid, phik, dphik]'; T = 4; dt = T/n; r1 = f(t, phi(:,)); r2 = f(t+0.5*dt, phi(:,)+0.5*dt*r1); r3 = f(t+0.5*dt, phi(:,)+0.5*dt*r2); r4 = f(t+dt, phi(:,)+dt*r3); phi = [phi, phi(:,) + dt/6*(r1+2*r2+2*r3+r4)]; Zur Veranschaulichung werden die einzelnen Phis graphisch dargestellt. AUFGABE 2 In der zweiten Aufgabe werden die gegebenen Messdaten geladen und damit der Fehler berechnet. Gleichzeitig wird der Gradient von F bezüglich d und k berechnet. % Files laden load('measurementwithoutnoise.mat') load('measurementwithnoise.mat') % Variabeln zuweisen tm = measurementwithnoise(:,1); ST

2 WN = measurementwithnoise(:,2); WoN = measurementwithoutnoise(:,2); % Summierte Fehlerquadrate F(phi) und Gradient F(phi) F_WoN(k,:) = phi(1,k) - WoN(k); % Summierte Fehlerquadrate F_WN(k,:) = phi(1,k) - WN(k); df(k,:) = [phi(3,k), phi(5,k)]; % Gradient theta = 0.5*F_WoN'*F_WoN; % Summe der Fehlerquadrate dtheta = df'*f_won; % Gradient von theta Es wird der Fehler von den Messdaten mit und ohne Rauschen dargestellt. Der Fehler ist bei dieser Methode sehr gross. Deshalb muss man das mit dem Levenberg-Marquardt- Verfahren verfeinern. AUFGABE 3 In dieser Aufgabe benutzt man das Levenberg-Marquardt-Verfahren für das nichtlineare Ausgleichsproblem. Dafür wird in jeder Iteration die DGL für F(phi, x) mit Runge-Kutta und der Fehler berechnet. Zusätzlich muss auch die DGL und der Fehler für ein F(phi, x_neu) berechnet werden, da in dieser Aufgabe nicht in die Funktion F eingesetzt werden kann. % Berechung DGL mit xn f [phi(2); -xn(1)*phi(2)-xn(2)*sin(phi(1));... phi(4); -phi(2)-xn(1)*phi(4)-xn(2)*cos(phi(1))*phi(3);... phi(6); -xn(1)*phi(6)-sin(phi(1))-xn(2)*cos(phi(1))*phi(5)]; r1 = f(t, phi(:,)); r2 = f(t+0.5*dt, phi(:,)+0.5*dt*r1); r3 = f(t+0.5*dt, phi(:,)+0.5*dt*r2); r4 = f(t+dt, phi(:,)+dt*r3); phi = [phi, phi(:,) + dt/6*(r1+2*r2+2*r3+r4)]; % Abweichung xn Fn(k,:) = phi(1,k_korr) - WoN(k); % Summierte Fehlerquadrate ST

Beim Levenberg-Marquardt-Verfahren wird bei jeder Iteration entschieden ob das Rho grösser oder kleiner, als ein Vorgegebener Wert Beta ist und dementsprech das Mü angepasst.

rho = (norm(f)^2-norm(fn)^2)/(norm(f)^2-norm(f+df*s)^2); if(rho < beta0) if(mu < mumax) mu = mu*2; % mu wird vergrössert, Lösung wird nicht verwet else if rho > beta1 if (mu > mumin) mu = mu/2; %

3 Beim Levenberg-Marquardt-Verfahren wird bei jeder Iteration entschieden ob das Rho grösser oder kleiner, als ein Vorgegebener Wert Beta ist und dementsprech das Mü angepasst. Dieses hat dann wieder Einfluss auf das lineare Ausgleichsproblem in der nächsten Iteration. rho = (norm(f)^2-norm(fn)^2)/(norm(f)^2-norm(f+df*s)^2); if(rho < beta0) if(mu < mumax) mu = mu*2; % mu wird vergrössert, Lösung wird nicht verwet else if rho > beta1 if (mu > mumin) mu = mu/2; % verkleinere mu x = xn; % akzeptiere die Lösung Um das ganze besser zu veranschaulichen werden einige Diagramme und Daten ausgegeben: Toleranz: Iterationen: 27 d: l: Somit wären für d und für l die optimalen Startwerte. Auf dem linken Diagramm erkennt man den Vergleich der Messung zu den Phis und der Absolute Fehler. Auf dem rechten wird die Toleranz, der Fehler, das Mü sowie das d, k, und l in Relation zu der Anzahl Iterationen angezeigt. ST

4 ANHANG: MATLAB CODE %% MND Projekt 2 % Nichtlineare Ausgleichsrechnung % Darius Eckhardt clc, clear, clf, close disp 'MND Projekt 2' %% Initialisierung disp 'Initialisierung' n = 41; % Anzahl Schritte g = 9.81; % Gravitationskonstante l = 1; % Länge % Anfangswertproblem %% Aufgabe 1 % DGL berechnen disp 'Aufgabe 1' % Parameter d = 1; k = g/l; alpha = 3.14; dphi = 0; phid = 0; dphid = 0; phik = 0; dphik = 0; x0 = [d; k]; x = x0; % f phi, x), Modell, x(1)=d, x(2)=k % phi = [phi; d/dt-phi; phid; d/dt-phid; phik; d/dt-phik] f [phi(2); -x(1)*phi(2)-x(2)*sin(phi(1));... phi(4); -phi(2)-x(1)*phi(4)-x(2)*cos(phi(1))*phi(3);... phi(6); -x(1)*phi(6)-sin(phi(1))-x(2)*cos(phi(1))*phi(5)]; phi0 = [alpha, dphi, phid, dphid, phik, dphik]'; T = 4; dt = T/n; r1 = f(t, phi(:,)); r2 = f(t+0.5*dt, phi(:,)+0.5*dt*r1); r3 = f(t+0.5*dt, phi(:,)+0.5*dt*r2); r4 = f(t+dt, phi(:,)+dt*r3); phi = [phi, phi(:,) + dt/6*(r1+2*r2+2*r3+r4)]; % Plot figure('name','phasiagramm','units','normalized','position',[ ]) subplot(311) plot(phi(1,:), phi(2,:),'b') title({'phasiagramm';'';'phi'}) subplot(312) plot(phi(3,:), phi(4,:),'r') title('phi_d') subplot(313) plot(phi(5,:), phi(6,:),'g') title('phi_k') %% Aufgabe 2 disp 'Aufgabe 2' ST

5 % Files laden load('measurementwithoutnoise.mat') load('measurementwithnoise.mat') % Variabeln zuweisen tm = measurementwithnoise(:,1); WN = measurementwithnoise(:,2); WoN = measurementwithoutnoise(:,2); % Summierte Fehlerquadrate F(phi) und Gradient F(phi) F_WoN(k,:) = phi(1,k) - WoN(k); % Summierte Fehlerquadrate F_WN(k,:) = phi(1,k) - WN(k); df(k,:) = [phi(3,k), phi(5,k)]; % Gradient theta = 0.5*F_WoN'*F_WoN; % Summe der Fehlerquadrate dtheta = df'*f_won; % Gradient von theta % Plot figure('name','abweichung','units','normalized','position',[ ]) plot(tm,f_won,'r--',tm,f_wn,'b-') leg({'ohne Rauschen','Mit Rauschen'},'location','SE') title('abweichung') %% Aufgabe 3 disp 'Aufgabe 3' % Initialisierung für Levenberg-Marquardt x=x0; tol=1e-12; tols=1e-18; iter=0; maxiter=100; ok=true; mu=1; mumax=1e3; mumin=0; beta0=0.2; beta1=0.8; resl=[]; Si=[]; mus = [mu]; rhos = []; thetas = []; param = [x0]; n = 2; % neues dt berechnen dt = (tm(2)-tm(1))/10; while ok && (iter < maxiter) % Berechnung DGL f [phi(2); -x(1)*phi(2)-x(2)*sin(phi(1));... phi(4); -phi(2)-x(1)*phi(4)-x(2)*cos(phi(1))*phi(3);... phi(6); -x(1)*phi(6)-sin(phi(1))-x(2)*cos(phi(1))*phi(5)]; r1 = f(t, phi(:,)); r2 = f(t+0.5*dt, phi(:,)+0.5*dt*r1); r3 = f(t+0.5*dt, phi(:,)+0.5*dt*r2); r4 = f(t+dt, phi(:,)+dt*r3); phi = [phi, phi(:,) + dt/6*(r1+2*r2+2*r3+r4)]; % Berechung der Summierten Fehlerquadrate F(k,:) = phi(1,k_korr) - WoN(k); % Summierte Fehlerquadrate ST

6 df(k,:) = [phi(3,k_korr), phi(5,k_korr)]; % Gradient theta = 0.5*F'*F; dtheta = df'*f; % Summe der Fehlerquadrate % Gradient theta % Berechung des linearen Ausgleichsproblems Fi = [F; zeros(n,1)]; dfi = [df; mu*eye(n)]; [q,r] = qr(dfi); s = backward(r(1:n,:),-q(:,1:n)'*fi); % Korrektur fuer die naechste Iteration xn = x+s; % Berechung DGL mit xn f [phi(2); -xn(1)*phi(2)-xn(2)*sin(phi(1));... phi(4); -phi(2)-xn(1)*phi(4)-xn(2)*cos(phi(1))*phi(3);... phi(6); -xn(1)*phi(6)-sin(phi(1))-xn(2)*cos(phi(1))*phi(5)]; r1 = f(t, phi(:,)); r2 = f(t+0.5*dt, phi(:,)+0.5*dt*r1); r3 = f(t+0.5*dt, phi(:,)+0.5*dt*r2); r4 = f(t+dt, phi(:,)+dt*r3); phi = [phi, phi(:,) + dt/6*(r1+2*r2+2*r3+r4)]; % Abweichung xn Fn(k,:) = phi(1,k_korr) - WoN(k); % Summierte Fehlerquadrate % Levenberg-Marquardt-Verfahren rho = (norm(f)^2 - norm(fn)^2)/(norm(f)^2 - norm(f+df*s)^2); if (rho < beta0) && (mu < mumax) mu = mu*2; % vergroessere mu und akzeptiere den Schritt nicht. else if (rho > beta1) && (mu > mumin) mu = mu / 2; % verkleinere mu x = xn; % akzeptiere die Loesung % Residuum ist durch die Norm des Gradienten von phi gegeben % dphi = 0 notwige Bedingung fuer Minimum resl = [resl, norm(dtheta,'inf')]; Si = [Si, norm(s,'inf')]; if resl() < tol Si() < tols ok=false; mus = [mus, mu]; rhos = [rhos, rho]; thetas = [thetas, theta]; param = [param, x]; iter = iter+1; if iter == maxiter disp('maximale Anzahl Iterationen erreicht') xl=x; %% Aufgabe 4 disp 'Aufgabe 4' disp '' ST

7 fprintf('toleranz:\t\t%f\n',resl()) fprintf('iterationen:\t%f\n',iter) fprintf('d:\t\t\t\t%f\n',x(1)) fprintf('l:\t\t\t\t%f\n',g/x(2)) % Plots % Zeitverhalten figure('name','zeitverhalten','units','normalized','position',[ ]) tp = dt*(0:length(phi)-1); subplot(3, 2, 1:4) plot(tm,won,'bo',tp,phi(1,:),'r',tp,phi(3,:),'-.k',tp,phi(5,:),'-.c'), grid ylim([-2,3.5]), xlim([0,4]) title({'zeitverhalten',''}), xlabel('zeit [s]'), ylabel('winkel [rad]') leg('messung','phi','phi_d','phi_k') subplot(3, 2, 5:6) plot(tm,abs(f),'r--') ylim([0,inf]), xlim([0,4]), ylabel('fehler'), grid on % Parameterverhalten im Levenberg-Marquardt Verfahren count = 0:iter; figure('name','parameterverhalten','units','normalized','position',[ ]) subplot(2,3,1) % Tol semilogy(count(1:-1),resl), grid title('tol'),ylabel('norm(gradient)'),xlim([0, iter]) subplot(2,3,2) % Fehler semilogy(count(1:-1),thetas), grid title('fehler'),ylabel('potential'),xlim([0, iter]) subplot(2,3,3) % mu semilogy(count,mus), grid title('mu'), xlim([0, iter]) subplot(2,3,4) % d plot(count, param(1,:),'b'), grid minor, grid title('d'), xlabel('iterationen'), xlim([0, iter]) subplot(2,3,5) % k plot(count, param(2,:),'c'), grid minor, grid title('k'), xlabel('iterationen'), xlim([0, iter]) subplot(2,3,6) % l plot(count, g./param(2,:),'g'), grid minor, grid title('l = g/k'), xlabel('iterationen'), xlim([0, iter]) ST

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