Christoph Woernle. Mehrkörpersysteme. Eine Einführung in die Kinematik und Dynamik von Systemen starrer Körper 1 C

Transkript

1 Mehrkörpersysteme

2 Christoph Woernle Mehrkörpersysteme Eine Einführung in die Kinematik und Dynamik von Systemen starrer Körper 1 C

3 Prof. Dr.-Ing. Christoph Woernle Lehrstuhl für Technische Dynamik Fakultät für Maschinenbau und Schiffstechnik Universität Rostock Rostock ISBN e-isbn DOI / Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (

4 Vorwort Mehrkörpersysteme sind spezielle mechanische Systeme von Körpern, die untereinander durch Gelenke gekoppelt sind und sich unter dem Einfluss von Kräften im Raum bewegen. Sie werden als mechanische Ersatzmodelle zur Beschreibung der Bewegungen und Beanspruchungen in komplexen mechanischen Systemen eingesetzt. Anwendungen sind zum Beispiel Straßen- und Schienenfahrzeuge, Roboter, Werkzeugmaschinen, Verarbeitungsmaschinen oder biomechanische Bewegungsabläufe. Für die Erstellung der mathematischen Simulationsmodelle stehen rechnergestützte Formalismen zur Verfügung, die Eingang in kommerzielle Simulationsprogramme gefunden haben. Das vorliegende Buch entstand aus einem Manuskript zu meiner Vorlesung Dynamik von Mehrkörpersystemen, die ich seit vielen Jahren an der Universität Rostock halte. Es führt den Leser von den Grundlagen der Technischen Mechanik zu den für die rechnergestützte Aufstellung geeigneten Formulierungen der Bewegungsgleichungen von klassischen Mehrkörpersystemen mit starren Körpern. Das Buch richtet sich damit an Studierende des Maschinenbaus und verwandter Studienrichtungen insbesondere in der letzten Phase des Bachelor-Studiums oder in der ersten Phase des Master-Studiums. Darüber hinaus vermittelt es Ingenieuren und Naturwissenschaftlern, die in der beruflichen Praxis mit Mehrkörper-Simulationsmodellen arbeiten, die dazu gehörenden mathematischen und physikalischen Grundlagen. Im Mittelpunkt der Darstellung der Mehrkörperdynamik stehen die Bindungen, welche die Bewegung der Teilkörper geometrisch beschränken. Die Bindungen legen die freien Bewegungsmöglichkeiten des Systems fest, und sie definieren entsprechend dem Prinzip von D'ALEMBERT-LAGRANGE die Richtungen der Reaktionskräfte und -momente. Aus den impliziten und expliziten mathematischen Darstellungen der Bindungen ergeben sich in Verbindung mit den Impuls- und Drallsätzen der Körper unmittelbar die verschiedenen bekannten Formulierungen der Bewegungsgleichungen von Mehrkörpersystemen als Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen in voneinander unabhängigen Minimalkoordinaten oder als differential-algebraische Gleichungssysteme in voneinander abhängigen, redundanten Koordinaten. Die bevorzugte v

5 vi Vorwort Verwendung dieser Formulierungen richtet sich dann nach dem topologischen Aufbau der Mehrkörpermodelle. Bei offenen Mehrkörpersystemen, die eine Baumstruktur aufweisen, werden die Bewegungsgleichungen günstig in den relativen Gelenkkoordinaten, die hier Minimalkoordinaten sind, als Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen formuliert. Das System der Bestimmungsgleichungen für die unbekannten Beschleunigungen und Reaktionskräfte kann dabei mit Hilfe rekursiver Mehrkörperformalismen, welche sich an dem topologischen Aufbau des Systems orientieren, effizient gelöst werden. Bei geschlossenen Mehrkörpersystemen, die kinematische Schleifen aufweisen, sind die Gelenkkoordinaten dagegen nicht mehr voneinander unabhängig, sondern unterliegen den Schleifenschließbedingungen. Die Bewegungen der Teilkörper unterliegen dadurch wesentlich komplexeren Bindungen. Die Schließbedingungen sind implizite Bindungen, die i.allg. aber nur numerisch in die explizite Form gebracht werden können. Aus diesem Grund werden die Bewegungsgleichungen hier meistens in den voneinander abhängenden Gelenkkoordinaten des aufspannenden Baumes, der durch gedankliches Auftrennen der Schleifen entsteht, aufgestellt. Die alternative Formulierung der Bewegungsgleichungen in Minimalkoordinaten hat vor allem dann Vorteile, wenn die Schließbedingungen analytisch in die explizite Form überführt werden können, was in vielen Fällen möglich ist. Die beschriebenen Methoden stellen für den Leser Grundlagen für eigene Programmentwicklungen bereit. Für das Arbeiten mit kommerziellen Mehrkörperprogrammen werden die Grundkenntnisse der verwendeten physikalischen Beschreibungen und Algorithmen vermittelt, die für die physikalisch korrekte Modellerstellung, die Beurteilung von Simulationsergebnissen und die Behandlung evt. auftretender numerischer Probleme benötigt werden. Meinen Mitarbeitern Dipl.-Ing. Rene Bartkowiak und Dipl.-Ing. Roman Rachholz danke ich für die Durchsicht des Manuskripts. Herrn Dipl.-Ing. Janos Zierath und Herrn Andre Harmel danke ich für die Unterstützung bei der Erstellung von Abbildungen. Schließlich danke ich Frau Hestermann Beyerle vom Springer-Verlag für das mir entgegengebrachte Vertrauen und die gute Zusammenarbeit. Rostock, März 2011 Christoph Woernle

6 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Mehrkörpersysteme Physikalische Grundlagen der Mehrkörperdynamik Entwicklung der Mehrkörperdynamik Mehrkörperformalismen Anwendungen von Mehrkörpersystemen Inhaltsübersicht Grundlagen der Vektorrechnung Skalare und Vektoren Koordinaten von Vektoren Rechenregeln für Vektoren Transformation von Vektorkoordinaten Tensoren zweiter Stufe 30 3 Grundlagen der Kinematik Allgemeine Bewegung des starren Körpers Aufgabenstellung Lage Geschwindigkeit, Bewegungswinder Beschleunigung Beispiel zur Bewegung eines starren Körpers Sonderfälle der allgemeinen Bewegung Relativbewegungen starrer Körper Relative zeitliche Ableitung von Vektoren Zusammensetzung zweier Bewegungen Beispiel zur Zusammensetzung zweier Bewegungen Umgekehrte Relativbewegung Drehzeiger und Drehtensor Drehzeiger Drehtensor vii

7 viii Inhaltsverzeichnis Passive und aktive Betrachtung der Drehung Beispiele für Drehungen Mehrfache Drehungen Nichtkommutativität von Drehungen Drehungen um die Ausgangsachsen Drehungen um die mitgedrehten Achsen Gegenüberstellung der Drehreihenfolgen Drehzeiger und Winkelgeschwindigkeit Infinitesimale Drehung und Winkelgeschwindigkeit Drehtensor und Winkelgeschwindigkeit KARDAN-Winkel und EULER-Winkel xyz-kardan-winkel und Drehmatrix xyz-kardan-winkel aus gegebener Drehmatrix xyz-kardan-winkel und Winkelgeschwindigkeit Gegenüberstellung verschiedener Drehreihenfolgen EULER-Parameter (Quaternionen) EULER-Parameter und Drehtensor EULER-Parameter aus gegebener Drehmatrix EULER-Parameter als Quaternionen EULER-Parameter und mehrfache Drehungen EULER-Parameter und Winkelgeschwindigkeit RODRIGUES-Parameter RODRIGUES-Parameter und Drehtensor RODRIGUES-Parameter und Winkelgeschwindigkeit Beispiele zu Koordinaten von Drehungen Koordinaten zu einer gegebenen Drehung Kinematische Bewegungsgleichungen Grundlagen der Dynamik Impuls und Drall Impuls Drall (Drehimpuls, Impulsmoment) Schwerpunktsatz und Drallsatz Impulssatz und Schwerpunktsatz Drallsatz (Momentensatz) Impuls und Drall des starren Körpers Masse und Massenmittelpunkt Impuls des starren Körpers Drall des starren Körpers Trägheitstensor Eigenschaften des Trägheitstensors Parallelverschiebung des Bezugssystems Drehung des Bezugssystems Hauptachsensystem Trägheitstensor eines homogenen Kreiszylinders 110

8 Inhaltsverzeichnis ix 4.5 Impulssatz und Drallsatz für den starren Körper Impulssatz Drallsatz D' ALEMBERTsche Trägheitskräfte Kinetische Energie des starren Körpers Kraftwirkungen von Rotoren Dynamik von Kreiseln Bewegungen eines momentenfreien Kreisels Bewegung eines schweren symmetrischen Kreisels Mechanische Systeme mit Bindungen Freie und gebundene mechanische Systeme Kinematik holonomer Systeme Skleronome und rheonome holonome Bindungen Beispiel: Bindungen eines Verladekrans Zweiseitige und einseitige holonome Bindungen Freiheitsgrad holonomer Systeme Minimalkoordinaten holonomer Systeme Implizite holonome Bindungen Explizite holonome Bindungen Geometrische und kinematische Bindungen Bindungen des Verladekrans Dynamik holonomer Systeme Eingeprägte Kräfte und Reaktionskräfte Explizite Reaktionsbedingungen Implizite Reaktionsbedingungen Reaktionsbedingungen für den Verladekran Bewegungsgleichungen in abhängigen Koordinaten Bewegungsgleichungen in Minimalkoordinaten Bewegungsgleichungen des Verladekrans Bewegungsgleichungen eines Doppelpendels Kinematik nichtholonomer Systeme Implizite nichtholonome Bindungen Freiheitsgrad nichtholonomer Systeme Explizite nichtholonome Bindungen Dynamik nichtholonomer Systeme Bewegungsgleichungen in abhängigen Koordinaten Bewegungsgleichungen in Minimalkoordinaten Prinzipien und Methoden der Dynamik Prinzip von D' ALEMBERT-LAGRANGE Prinzip von JOURDAIN Prinzip von G AUSS LAGRANGE-Gleichungen zweiter Art Gleichungen von HAMILTON und GIBBS-ApPELL Zur numerischen Lösung von Bewegungsgleichungen 182

9 x Inhaltsverzeichnis Gewöhnliche Differentialgleichungen Differential-algebraische Gleichungen Nichtlineare Gleichungssysteme Bindungen in Mehrkörpersystemen Gelenke in Mehrkörpersystemen Gelenke mit holonomen skleronomen Bindungen Gelenke mit holonomen rheonomen Bindungen Gelenke mit nichtholonomen Bindungen Zur Modellierung von Gelenken Klassifizierungen von Mehrkörpersystemen Topologische Klassifizierung Kinematische Klassifizierung Statische und kinematische Bestimmtheit Definitionen und Begriffe Freiheitsgrad statisch bestimmter Systeme Freiheitsgrad statisch unbestimmter Systeme Freiheitsgrad ebener und sphärischer Systeme Implizite holonome Bindungen von Gelenken Bewegungsgrößen eines starren Körpers Implizite Bindungen eines holonomen Gelenks Elementare implizite Bindungen von Gelenken Implizite Bindungen des Drehgelenks Explizite holonome Bindungen von Gelenken Explizite Bindungen eines holonomen Gelenks Explizite Bindungen des Drehgelenks Explizite Bindungen des Schubgelenks Explizite Bindungen des Kugelgelenks Reaktionsbedingungen für holonome Gelenke Explizite Reaktionsbedingungen Implizite Reaktionsbedingungen Reaktionsbedingungen für das Drehgelenk Nichtholonome Bindungen von Gelenken Implizite Bindungen eines nichtholonomen Gelenks Explizite Bindungen eines nichtholonomen Gelenks Reaktionsbedingungen für ein nichtholonomes Gelenk Bewegungsgleichungen von Mehrkörpersystemen Offene Mehrkörpersysteme Topologie offener Mehrkörpersysteme Kinematik offener Mehrkörpersysteme Minimalkoordinaten und -geschwindigkeiten Explizite Bindungen einer Kettenstruktur Kettenstruktur mit Standardgelenken 247

10 Inhaltsverzeichnis xi Explizite Bindungen einer Baumstruktur Dynamik offener Mehrkörpersysteme Implizite Reaktionsbedingungen für offene MKS Impuls- und Drallsätze Eingeprägte Kräfte und Momente Bestimmungsgleichungen offener MKS Nichtrekursiver Formalismus für offene MKS Rekursiver Formalismus für offene MKS Rekursive Lösung der Bestimmungsgleichungen Ablauf der rekursiven Berechnung Beispiele offener Mehrkörpersysteme Vertikaler Knickarm-Roboter Schwerer Kreisel mit Fixpunktlagerung Geschlossene Mehrkörpersysteme Kinematik einer einzelnen Mehrkörperschleife Implizite Schließbedingungen Explizite Schließbedingungen Kinematik eines ebenen Gelenkvierecks Kinematik mehrschleifiger Systeme Primäre Gelenkkoordinaten Implizite Schließbedingungen Zur Definition unabhängiger Schleifen Zusätzliche kinematische Ketten Explizite Schließbedingungen Dynamik geschlossener Mehrkörpersysteme Sekundäre Reaktionskraftwinder Impuls- und Drallsätze Bewegungsgleichungen in den primären Gelenkkoordinaten Bestimmungsgleichungen geschlossener MKS Nichtrekursiver Formalismus für geschlossene MKS Rekursiver Formalismus für geschlossene MKS Bewegungsgleichungen in den Minimalkoordinaten Zustandsgleichungen Minimalform der Bewegungsgleichungen Dynamik eines ebenen Schubkurbelgetriebes Bewegungsgleichungen in den primären Gelenkkoordinaten Bewegungsgleichungen in Minimalform Dynamik eines räumlichen Koppelgetriebes Bewegungsgleichungen in den primären Gelenkkoordinaten Bewegungsgleichungen in Minimalform Dynamik eines Parallelroboters Statisch bestimmte Mehrkörpermodelle 347

11 xii Inhaltsverzeichnis Bewegungsgleichungen in den pnmaren Gelenkkoordinaten Auf einer rotierenden Ebene rollende Kugel Bewegungsgleichungen in den primären Gelenkkoordinaten Bewegungsgleichungen in Minimalform 360 A Mathematische Grundlagen A.1 Matrizen 363 A.2 Quaternionen 368 B Zur Integrierbarkeit kinematischer Bindungen 371 B.1 Wagen mit zwei Rädern (Kufe) 371 B.2 Integrierbarkeitsbedingungen 375 B.3 Beispiele 377 B.3.1 Wagen mit nicht zusammenfallenden Radachsen 377 B.3.2 Zweirädriger Wagen mit Raddrehungen 380 B.3.3 Wagen mit Lenkung 382 Literaturverzeichnis 385 Sachverzeichnis 391

12 Schreibweisen und Formelzeichen Schreibweisen Symboldarstellung Skalare werden durch Buchstaben mit normaler Schrift, Vektoren und Spaltenmatrizen durch in der Regel kleine Buchstaben in fetter Schrift sowie Tensoren zweiter Stufe und Matrizen durch große Buchstaben in fetter Schrift gekennzeichnet. Der Nullvektor und die Nullmatrix werden ohne Dimensionsangabe als 0 geschrieben. Handschriftlich wird der Fettdruck durch einen Unterstrich ersetzt. Koordinatensysteme Orthonormierte Koordinatensysteme (Gi, Xi, Yi, Zi) werden durch!ci gekennzeichnet. Schema der Indizierung.,.. Operatoren für Zeitableitungen Bilden der schiefsymmetrischen Matrix zum Vektorprodukt Notation für Terme in Bindungsgleichungen, auch konjugierte Quaternion Zusammenfassung rotatorischer und translatorischer Größen Basissystem für die DdJ E DExponent, Invertierung, Transponierung, Komponentenzerlegung Art einer Kraft oder kinematischen Größe Symbol Bezugssystem D DBezugselemente für die Zeitableitung CfJ Punkte, Koordinatensysteme Unterstrich für 4-Vektor der Euler-Parameter Notation für mechanische Größen Kinematische Größen relativer Bewegungen haben einem Doppelindex der entsprechenden Bezugssysteme: R ji (3,3)-Drehtensor, dreht!ci nach!c j, p 4-Vektor der EULER-Parameter, drehen!ci nach!c j, -Jt xiii

13 xiv Schreibweisen und Formelzeichen rji Vji Wji aji CXji Vektor vom Punkt Oi zum Punkt Oj, Vektor der Geschwindigkeit von Oj relativ zu ;Ci, Vektor der Winkelgeschwindigkeit von ;Cj relativ zu ;Ci, Vektor der Beschleunigung von Oj relativ zu ;Ci, Vektor der Winkelbeschleunigung von ;Cj relativ zu ;Ci. Ist das Bezugssystem das raumfeste Inertialsystem ;Co, so wird der zweite Index in der Regel weggelassen, also z.b. Vj ~ Vjo. Kräfte und Momente werden bezeichnet als f T Kraftvektor, Momentvektor. Koordinatendarstellung von Vektoren Das Koordinatensystem für die Koordinatendarstellung von Vektoren wird durch den linken oberen Index angegeben, also z.b. krji Koordinaten des Vektors rji im System ;Ck. Bei Transformationsmatrizen stehen die Indizes der Koordinatensysteme ebenfalls links oben, ijt orthogonale (3,3)-Transformationsmatrix, überführt Vektorkoordinaten von;cj nach ;Ci: i r = ijt jr. Es ist ijt = ir ji. Bezugssystem für die Zeitableitung von Vektoren Das Bezugssystem für die zeitliche Ableitung von Vektoren und Tensoren wird durch den unteren linken Index angegeben, siehe Abschnitt Dieser Index tritt nur in Verbindung mit der zeitlichen Ableitung (Ableitungspunkt) auf, z.b. krji zeitliche Änderung des Vektors rji relativ zum Bezugssystem ;Ck. Räumliche Vektoren Rotatorische und translatorische mechanische Größen werden zu - hier so genannten - räumlichen 6-Vektoren, gekennzeichnet durch ein übergesetztes ~, zusammengefasst, rji ~ = [P-J' ], rji Bei Verwendung der vier EULER-Parameter p zur Beschreibung der Orien -J' tierung ist Tji ein 7-Vektor. Für das gesamte System mit n Körpern werden die jeweiligen Größen zu (7n,1)- bzw. (6n,1)-Vektoren ohne Index zusammengefasst, Abkürzungen der trigonometrischen Funktionen In großen Ausdrücken werden die Schreibweisen sr.p ~ sin r.p, cr.p ~ cos r.p verwendet.

14 Schreibweisen und Formelzeichen Bezeichnet x einen Spal Ableitungsregeln in Matrizenschreibweise tenvektor (Koordinatenvektor), also xv so wird die Ableitung der skalaren Funktion y(x) = Y(Xl'...,xn) nach dem Vektor x als Zeilenvektor definiert, a y(x) _ [ ay ay ] ---a;;;- - axl... ax n. (0.2) Die Ableitung von y(x) nach dem Zeilenvektor x T wird als Spaltenvektor definiert, ay(x) = (ay(x))t axt ax (0.3) Speziell gilt für die Ableitung der linearen Form für y(x) = a T x = X T a und (0.4) und für die Ableitung der quadratischen Form y(x) = x T Ax mit A = AT axtax TA ---::--- = 2x ax und axtax axt = 2Ax. (0.5) Die Ableitung der Funktion eines rn-vektors y von einem n-vektor x nach dem Vektor x ergibt die (rn,n)-funktionalmatrix oder JAcoBI-Matrix r ~, 1 ayl ayl ay(x) = a~ = axl ax n ax. aym aym aym ax axl ax n = (:::). (0.6) Die totale Ableitung des rn-vektors y(x(t),t) mit dem n-vektor x(t) nach der Zeit t lautet nach der Kettenregel dy(x(t), t) ay(x, t) dx(t) ay(x, t) dt ax dt + at dyl ayl ayl dxl ayl - dt axl ax n dt at ----> + dym aym aym dx n aym dt axl ax n dt at (0.7)

15 xvi Schreibweisen und Formelzeichen Verwendete Formelzeichen Es wird die Nummer der Gleichung angegeben, in der das jeweilige Formelzeichen zum ersten Mal verwendet wird. Zu Bindungen gelten die Angaben L - Lageebene, G - Geschwindigkeitsebene, B - Beschleunigungsebene. Lateinische Buchstaben a (i (irel 0, a rel 0,0 Beschleunigungsvektor, (3.18) Vektor in expliziter Bindung (B), (5.46) Vektor in expliziter Gelenkbindung (B), (6.74) Vektor der räumlichen Beschleunigung (6.22) räumlicher Vektor in expliziter Bindung (B), (7.35) räumlicher Vektor in expliziter Gelenkbindung (B), (6.73) Anteil d. Körperbeschleunigungen im rekursiven Formalismus, (8.129) Fläche, (4.15) Hauptträgheitsmoment, (4.54) Matrix im rekursiven Formalismus für geschlossene MKS, (8.129) Anzahl Bindungen, (5.15), (5.120) Anzahl redundanter Bindungen, (5.68), (6.11) Anzahl sekundärer kinematischer Gelenkbindungen, (8.7) Anzahl unabhängiger Bindungen, (6.10) Anzahl geometrischer Bindungen, (5.121) Anzahl sekundärer geometrischer Gelenkbindungen, (8.4) Anzahl skleronomer holonomer Gelenkbindungen, (6.1) Anzahl rheonomer holonomer Gelenkbindungen, (6.2) Vektor vom Körper-Bezugspunkt zu einem Körperpunkt, (4.8) Hauptträgheitsmoment, (4.54) Versatzmatrix in expliziten Gelenkbindungen (G,B), (6.67) c c C C C R/T d D e E Federkonstante, (5.195) Vektor von einem Körper-Bezugspunkt zu einer Gelenkachse, (6.30) Hauptträgheitsmoment, (4.54) JACOBI-Matrix in expliziten Gelenkbindungen (G,B), (6.67) JAcoBI-Matrix der Rotation/Translation eines Gelenks, (6.65), (6.66) Vektor von einer Gelenkachse zu einem Körper-Bezugspunkt, (6.75) Koeffizientenmatrix der Bestimmmungsgleichungen, (8.128) Einheitsvektor, (2.1) Einheitsmatrix bzw. Einheitstensor, (2.34) (Geschwindigkeits-)Freiheitsgrad, (5.15), (5.120) Freiheitsgrad eines freigeschnittenen Systems, (6.8) Anzahl primärer Gelenkgeschwindigkeiten und Freiheitsgrad des aufspannenden Baumes, (8.2)

16 Schreibweisen und Formelzeichen xvii h ff Lage-Freiheitsgrad, (5.121) Anzahl primärer Gelenkkoordinaten und Lage-Freiheitsgrad des aufspannenden Baumes, (8.1) Kraftvektor, (4.12) äußere bzw. innere Kraft, (4.13) eingeprägte Kraft, (5.54) Reaktionskraft, (5.54) Kraftwinder von Kreisel- und Zentrifugalkräften, (7.79) Eingeprägter Kraftwinder, (7.79) Summe von je und je, (7.93) Reaktionskraftwinder in primären Gelenken, (7.62) Anteil der Reaktionskraftwinder im rekursiven Formalismus, (8.129) Reaktionskraftwinder, (6.97), (7.64) Reaktionskraftwinder in sekundären Gelenken, (8.111) Matrix im rekursiven Formalismus für geschlossene MKS, (8.129) Erdbeschleunigung, (4.28) Residuum impliziter Bindungen (L), (5.4) Residuum impliziter sekundärer Bindungen (L), (8.4) Residuum impliziter Schließbedingungen (L), (8.6) Bindungsmatrix in impliziten Bindungen (G,B), (5.24) Bindungsmatrix in sekundären Bindungen (G,B), (8.7) Bindungsmatrix in impliziten Schließbedingungen (G,B), (8.9) H H H Vektor in kinematischer Bewegungsgleichung für Minimalkoordinaten bei geschlossenen MKS, (8.31), (8.108) Matrix in kinematischer Bewegungsgleichung, (3.161), (7.15) Matrix in kinematischer Bewegungsgleichung, (6.21) Matrix in kinematischer Bewegungsgleichung für Minimalkoordinaten bei geschlossenen MKS, (8.30), (8.108) Spaltenvektor der JAcoBI-Matrix J, (5.126), (B.2) JACOBI-Matrix in expliziten Bindungen von Körpern (G,B), (5.36) JAcoBI-Matrix der Rotation/Translation (G,B), (7.28) JACOBI-Matrix in expliziten Schließbedingungen (G,B), (8.26) verallgemeinerte CORIOLIs-Kräfte, (5.80), (7.104), (8.123) verallgemeinerte eingeprägte Kräfte, (5.81), (7.105), (8.123) verallgemeinerte sekundäre Reaktionskräfte in geschlossenen MKS, bezogen auf primäre Gelenkgeschwindigkeiten, (5.78), (7.97), (8.123) verallgemeinerte CORIOLIS-Kräfte in geschlossenen MKS, bezogen auf Minimalgeschwindigkeiten, (8.162) verallgemeinerte eingeprägte Kräfte in geschlossenen MKS, bezogen auf Minimalgeschwindigkeiten, (8.162) Quaternion zur Koordinatentransformation, (3.186)

17 xviii Schreibweisen und Formelzeichen l Länge, (3.20) l Differenzvektor in einer Gelenkbindung, (6.30) l Verbindungsvektor in Beispielen geschlossener MKS, (8.36) l Drallvektor, (4.6) L LAGRANGE-Funktion, (5.201) L Matrix im rekursiven Formalismus für geschlossene MKS, (8.129) m Masse, (4.3) m Einheitsvektor in impliziter Gelenkbindung, (6.55) M Massenmatrix, bezogen auf Minimalgeschwindigkeiten, (5.78), (7.97), bei geschlossenen MKS bez. auf primäre Gelenkgeschwindigkeiten, (8.123) M Massenmatrix geschlossener MKS, bezogen auf Minimalgeschwindigkeiten, (8.162) M Massenmatrix, bezogen auf Absolutgeschwindigkeiten, (5.56), (7.79) n Anzahl Massenpunkte (Kap. 5), Anzahl Körper (in Kap. 7 und 8) n Anzahl Lagekoordinaten (Anhang B) ng Anzahl Gelenke, (6.6) nk Anzahl Körper, (5.15); in Kapitel 7 und 8 entfällt der Index K np Anzahl Massenpunkte, (5.16) ns Anzahl kinematischer Schleifen, (6.7) n Normalenvektor, Einheitsvektor in impliziter Gelenkbindung, (6.55) N Matrix im rekursiven Formalismus, (7.119) p Impulsvektor, (4.1) p 4-Vektor der EULER-Parameter bzw. Quaternionen, (3.166) Ps Skalarteil der EULER-Parameter bzw. Quaternionen, (3.166) p Vektorteil der EULER-Parameter bzw. Quaternionen, (3.166) P Leistung, (5.162) q minimale (voneinander unabhängige) Lagekoordinaten, (5.19) r Ortsvektor, (3.1) r Lagegrößen eines Körpers, (6.17) R Radius, (4.28) R Drehtensor (Drehmatrix), (3.92) s minimale (voneinander unabhängige) Geschwindigkeiten, (5.83) S Spur einer Drehmatrix, (3.177) S Inzidenzmatrix, (7.1) t Zeit, (3.1) T kinetische Energie, (4.71) ijt Transformationsmatrix für Vektorkoordinaten (Drehmatrix), (2.46) T Wegematrix, (7.3) u Drehachs-Einheitsvektor im Drehzeiger, (3.92)

18 Schreibweisen und Formelzeichen xix U potentielle Energie, (5.191) v Geschwindigkeitsvektor, (3.9) v Vektor in expliziter Bindung (G), (5.41) v re1 Vektor in expliziter Gelenkbindung (G), (6.66) ij Vektor der räumlichen Geschwindigkeit, (6.19) ij räumlicher Vektor in expliziter Bindung (G), (7.26) ijrel räumlicher Vektor in expliziter Gelenkbindung (G), (6.67) V Volumen, (4.15) w Drehachs-Einheitsvektor im Drehzeiger, (3.117) W Arbeit, (5.190) x Vektor von Zustandsgrößen, (5.71) x Lagekoordinaten (Anhang B) z Zustandsgröße im integralen Kraftgesetz, (7.87) Z Zwang im Prinzip von GAUSS, (5.168) Griechische Buchstaben a KARDAN-Winkel, (3.153) 0: Vektor der Winkelbeschleunigung, (3.19) a Vektor in expliziter Bindung (B), (7.32) are] Vektor in expliziter Gelenkbindung (B), (6.74) ß KARDAN-Winkel, (3.153) ß relative Gelenkkoordinaten, (7.12) ß Vektor der drei KARDAN- oder EULER-Winkel, (3.153) I KARDAN-Winkel, (3.153), Residuum impliziter Bindungen (G), (5.24),S Residuum impliziter sekundärer Bindungen (G), (8.7),e Residuum impliziter Schließbedingungen (G), (8.9) -y Term in impliziter Bindung (G), (5.24) -ys Term in impliziter sekundärer Bindung (G), (8.7) -ye Term in impliziter Schließbedingung (G), (8.9) -y Term in impliziter Bindung (B), (5.30) ;;ys Term in impliziter sekundärer Bindung (B), (8.12) ;;ye Term in impliziter Schließbedingung (B), (8.14) <: Vektor vom Massenmittelpunkt zu einem Körperpunkt, (4.41) 1] relative Gelenkgeschwindigkeiten, (7.14) fj Term in expliziter Schließbedingung (G), (8.26) 'ij Term in expliziter Schließbedingung (B), (8.33)

19 xx Schreibweisen und Formelzeichen r,0 Anteil der primären Gelenkbeschleunigungen im rekursiven Formalismus für geschlossene MKS, (8.129) e EULER-Winkel, Tabelle 3.11 (3, e Trägheitstensor, Trägheitsmoment, (4.33),X RODRIGUES-Parameter, (3.212),X minimale Reaktionskoordinaten (LAGRANGE-Multiplikatoren), (5.58),XS sekundäre Reaktionskoordinaten, (8.111) 7r Quasikoordinaten, (5.125) p Dichte, (4.26) T Momentvektor, (4.18) Te eingeprägtes Moment, (7.78) T kr Kreiselmoment, (4.70) T r Reaktionsmoment, (5.136), (6.97) rp Drehwinkel im Drehzeiger, (3.92) 1J EULER-Winkel, Tabelle > Residuen der Nebenbedingungen der EULER-Parameter, (3.167) 1j; Drehwinkel im Drehzeiger, (3.117) 1j; EULER-Winkel, Tabelle 3.11.p Vektor der rechten Seite einer Zustandsgleichung, (5.85) w Vektor der Winkelgeschwindigkeit, (3.11) w Vektor in expliziter Bindung (G), (7.28) w rel Vektor in expliziter Gelenkbindung (G), (6.65) Rechts hochgestellte Attribute au, in c e k kr f! o p r rel s sk, rh U, a t * äußere bzw. innere Kraft, (4.13) CORIOLls-Kraft, (5.80) eingeprägte Kraft, (5.54) konservative Kraft, (5.196) Kreiselmoment, (4.70) auf Schleifenschließbedingungen bezogene Größe, (8.6) auf aufspannenden Baum bezogene Größe, (8.1) auf primäre Gelenke bezogene Größe, (7.62) Reaktionskraft bzw. -moment, (5.54) auf Gelenk-Relativbewegung bezogene Größe, (6.65), (7.19) auf sekundäre Gelenke kinematischer Schleifen bezogene Größe, (8.4) skleronom bzw. rheonom, (6.2) unabhängige bzw. abhängige primäre Gelenkkoordinaten, (8.19) D' ALEMBERTsche Trägheitskraft bzw. -Drehmoment, (4.67) aufsummierte Größen im rekursiven Formalismus, (7.123)