4.6 Computergestütztes Aufstellen der Bewegungsgleichungen

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1 Computergestütztes Aufstellen der Bewegungsgleichungen Computergestütztes Aufstellen der Bewegungsgleichungen Die Schwierigkeit bei der Herleitung der dynamischen Gleichungen komplexer Mehrkörpersysteme liegt hauptsächlich in der Einarbeitung der Bindungsgleichungen in den allgemeinen Formalismus. Hier spielt wieder die Kinematik eine zentrale Rolle, die geeignet aufbereitet werden muss. Weitere Problemstellungen, etwa die Bestimmung der eingeprägten Kräfte bzw. der Reaktionskräfte werden durch eine entsprechend aufbereitete Kinematik ebenfalls vereinfacht. Dies soll jedoch in diesem Zusammenhang nicht näher behandelt werden Kinematische Differentiale der Absolutkinematik Vor der Aufstellung der dynamischen Gleichungen ist es günstig, die kinematische Analyse mit Beziehungen zur Bestimmung von partiellen Ableitungen zu ergänzen. Dabei werden insbesondere die Zusammenhänge zwischen den ersten und zweiten Differentialen der verallgemeinerten Koordinaten und den entsprechenden Differentialen der Absolutkoordinaten aller Körper, die zunächst in (4.26) zusammengefasst werden können, benötigt. Aus der Betrachtung der Funktionen folgt für die ersten und zweiten Zeitableitungen: (4.27) (4.28) (4.29) Die -JACOBI-Matrizen sowie die -Vektoren sind noch unbekannt. Sie können durch Betrachtung analytischer Funktionen jeweils durch entsprechende partielle Ableitungen bestimmt werden: (4.30)

2 92 Bewegungsgleichungen komplexer Mehrkörpersysteme (4.31) Die Bereitstellung von analytischen Ableitungen ist jedoch bei dem hochimpliziten Charakter der Bindungsgleichungen von komplexen Mehrkörpersystemen äußerst aufwendig. Sogar die Behandlung mit symbolischen Formelmanipulatoren (z. B. MATHEMATICA, MAPLE) kann problematisch sein, da die Zwischenergebnisse derart umfangreich sind, dass sie nachträglich praktisch nicht mehr zusammengefasst werden können. Deshalb wird eine alternative Lösungsmöglichkeit betrachtet, bei der keine analytischen Ableitungen durchgeführt werden, sondern diese auf kinematischem Weg erzeugt werden. Erste Ableitungen der Absolutkoordinaten der Körper Mit der Bereitstellung der globalen Kinematik für allgemeine komplexe Mehrkörpersysteme können, bei vorgegebener Position, die Zeitableitungen der Absolutkoordinaten aller Körper für beliebige Werte der verallgemeinerten Geschwindigkeiten mit Hilfe elementar-kinematischer Ausdrücke angegeben werden (siehe Abschnitt 3.5). Speziell lassen sich Pseudo-Eingangsgeschwindigkeiten für besondere, dimensionslose Pseudo-Geschwindigkeitender verallgemeinerten Koordinaten: (4.32) bestimmen, wobei die - Einheits-Vektoren als j-tes Element eine 1, sonst nur Nullen besitzen. Da die tatsächlichen Zeitableitungen Linearkombinationen der verallgemeinerten Geschwindigkeiten sind, diese aber wiederum unabhängig voneinander sind, folgt: (4.33) Der Vergleich von Gl. (4.33) mit Gl. (4.28) liefert schließlich die einfache Regel: j-te Spalte, (4.34) d.h. dass die einzelnen Spalten der gesuchten JACOBI-Matrizen gewissermaßen aus den Ausdrücken der vorab durchgeführten Kinematikanalyse (siehe insbesondere Abschnitt 3.5) gezielt herausgefiltert werden können.

3 Computergestütztes Aufstellen der Bewegungsgleichungen 93 Damit steht also eine Methode zur Verfügung, die eine besonders effiziente Berechnung der gesuchten partiellen Ableitungen in den JACOBI- Matrizen erlaubt. Man bezeichnet sie als kinematische Differentiale der ersten Art (Kecskeméthy 1993). Zweite Ableitungen Bei gegebener Position und Geschwindigkeit des Systems können die Beschleunigungen aller Körper ebenfalls für beliebige Werte der verallgemeinerten Beschleunigungen mit einfachen kinematischen Mitteln bestimmt werden (siehe Abschnitt 3.5). Speziell lassen sich auch die Pseudo-Eingangsbeschleunigungen für verschiedene verallgemeinerte Beschleunigungen, d.h. hier speziell für bestimmen. Aus Gl. (4.29) erhält man dann unmittelbar: (4.35) Die Gln. (4.34) und (4.35) beinhalten alle benötigten Zusammenhänge zwischen den Differentialen der verallgemeinerten Koordinaten und den Absolutkoordinaten der Körper. Sie sind allein durch elementar-kinematische Ausdrücke hauptsächlich unter Nutzung der Gesetze der Relativkinematik bestimmbar. Sie werden deshalb als kinematische Differentiale der zweiten Art bezeichnet (Kecskeméthy 1993). Kinematische Differentiale Die Zeitableitungen der zusammengefassten Absolutkoordinaten können nun in ihre translatorischen und rotatorischen Anteile,, bzw., aufgespaltet werden. Die jeweiligen Zusammenhänge lauten entsprechend: (4.36) (4.37) Aus der Darstellung in den Gln. (4.36) und (4.37) wird ein weiterer Vorteil klar: während beim analytischen Weg die Zusammenhänge zwischen den Differentialen nur durch die Ableitungen einer bestimmten Komponentendarstellung aller Vektoren aufstellbar sind, gelingt es auf kinematischem Wege, die Zusammenhänge mit physikalischen Vektoren darzustellen, die unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems sind. Der Übergang auf Komponentendarstellung kann beliebig hinausgezögert werden, d. h. die

4 94 Bewegungsgleichungen komplexer Mehrkörpersysteme Wahl des Koordinatensystems kann zur Verringerung des Rechenaufwandes jedem auszuwertenden Term angepasst werden. Dies ermöglicht die Formulierung der Bewegungsgleichungen allgemeiner komplexer Mehrkörpersysteme in einer äußerst kompakten und effizienten Form Bewegungsgleichungen Für die Dynamik eines Systems aus starren Körpern wurde in Abschnitt 4.4 das d'alembertsche Prinzip angegeben: (4.38) mit den Größen : Masse und Trägheitstensor : Beschleunigung des Massenzentrums, : Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung, : eingeprägte Kräfte und Momente, : virtuelle Verschiebungen der Translation und Rotation jeweils für Körper. Zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen aus Gl. (4.38) müssen die abhängigen virtuellen Verschiebungen sowie die Beschleunigungen in Abhängigkeit der virtuellen Verschiebungen und der Beschleunigungen der unabhängigen verallgemeinerten Koordinaten ausgedrückt werden. Unter Beachtung der Tatsache, dass für die virtuellen Verschiebungen dieselben Transformationsregeln wie für die Geschwindigkeiten gelten, ergibt sich aus Gl. (4.36)und Gl. (4.37): (4.39) (4.40)

5 Computergestütztes Aufstellen der Bewegungsgleichungen 95 Einsetzen der Gln. (4.39) und (4.40) in Gl. (4.38) liefert, unter Berücksichtigung der Unabhängigkeit der virtuellen Verschiebungen, die Bewegungsgleichungen in der minimalen Form: (4.41) Die Koeffizienten der verallgemeinerten -Massenmatrix sowie des -Vektors der verallgemeinerten Kreisel- und Zentrifugalkräfte sowie des -Vektors der verallgemeinerten eingeprägten Kräfte ergeben sich dabei wie folgt: (4.42) Die Gln. (4.42) können bei bekannter globaler Kinematik gemäß Abschnitt 3.5 unmittelbar ausgewertet werden. Dabei kann die Auswertung einerseits auf rein numerischer Basis erfolgen, d. h. die kinematischen Differentiale werden ohne Rücksicht auf redundante Operationen direkt durch entsprechende Wiederholungen der globalen Kinematik mit geeigneten Eingängen bestimmt. Andererseits können bei der Bildung der kinematischen Differentiale die redundanten Operationen durch analytische Aufbereitung eliminiert werden. Dann erhält man die Bewegungsgleichungen in zusammengefasster, symbolischer Form. Der numerische Zusammenhang hat den Vorteil einer sehr schnellen Realisierung (etwa zu einmaligen Simulationen), während der symbolische Zugang eine optimierte Fassung der Bewegungsgleichungen (z. B. für Variantenkonstruktionen) liefert. Beiden Darstellungen ist jedoch gemeinsam, dass die Darstellung von Gl. (4.42) unabhängig von Koordinatendarstellungen ist. Damit können die einzelnen Terme, je nach Anwendung, in jeweils günstig gewählten Komponentendarstellungen ausgewertet werden (Abb. 4.1).

6 96 Bewegungsgleichungen komplexer Mehrkörpersysteme Eingangsdaten: Massen und Trägheitstensoren Eingeprägte Kräfte und Momente Verallgemeinerte Koordinaten Globale Kinematik (Position) Globale Kinematik (Geschwindigkeit) Globale Kinematik (Beschleunigung) Bewegungsgleichungen (in Minimalkoordinaten) Abb. 4.1: Bewegungsgleichungen komplexer Mehrkörpersysteme mit Hilfe kinematischer Differentiale Dynamik einer räumlichen Mehrkörperschleife Die in der Folge exemplarisch behandelte Mehrkörperschleife in Abb. 4.2 besitzt ein Kugelgelenk und vier Drehgelenke mit den Einheitsvektoren und für die jeweiligen Drehachsen. Alle Körper, mit Ausnahme des Koppelkörpers (Massenmittelpunkt ) und dem ruhenden Gestell, sind als masselose Körper modelliert, um die Dynamik zu vereinfachen. Die Schleife enthält sieben natürliche Koordinaten: die vier relativen Winkel,,, an den vier Drehgelenken und drei weitere Winkel am Kugelgelenk, die jedoch in diesem Zusammenhang nicht benötigt werden. Das System besitzt einen Freiheitsgrad, für den eine skalare Bewegungsgleichung aufgestellt werden kann. Grundsätzlich kann jede Koordinate als verallgemeinerte Koordinate gewählt werden. Sowohl wegen der Nähe dieses Beispiels zu technischen Anwendungen als auch um Singularitäten zu vermeiden, wählt man sinnvollerweise die Koordinate als Eingang. Die Kinematik des Systems, d.h. die nichtlinearen Gleichungen für Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Funktion der Eingangsvariablen und ihrer Ableitungen, werden nachfolgend aufgestellt (Hiller 1995).

7 Computergestütztes Aufstellen der Bewegungsgleichungen 97 Kern -System impliziter Gleichungen Um einen impliziten Kern aus Zwangsgleichungen minimaler Ordnung zu erhalten, wählt man ein charakteristisches Gelenkpaar mit möglichst vielen Freiheitsgraden aus (Woernle 1988). In diesem Beispiel können die beiden Drehgelenke, sich senkrecht schneidenden Achsen und als ein Kardangelenk mit zwei Freiheitsgraden interpretiert werden. Das zweite Gelenk des charakteristischen Gelenkpaares ist das Kugelgelenk mit drei Gelenkkoordinaten. Kardangelenk und Kugelgelenk bilden die charakteristische Gelenkpaarung der Schleife. Als charakteristischen Bindungsparameter erhält man deren (skalaren) Abstand (Abb. 4.2):. (4.43) Abb. 4.2: Räumliche Mehrkörperschleife Der Vektor lässt sich einerseits bezüglich des unteren Segments als, andererseits bezüglich des oberen Segments als darstellen. Daraus ergeben sich zwei Ausdrücke für den Abstand, die identisch sein müssen. Quadrieren der entsprechenden Terme mit den Projektionen, (4.44) liefert nach Gleichsetzen die explizite Beziehung für den Winkel : (4.45)

8 98 Bewegungsgleichungen komplexer Mehrkörpersysteme (4.46) Die Gl.(4.45) ergibt für die Funktion zwei symmetrische Lösungen, wovon nur eine mit der Anfangsstellung der kinematischen Schleife verträglich ist. Komplementäre Winkel Die komplementären Variablen sind in diesem Fall die Winkel und, die auf einfache Weise aus den Projektionen, (4.47), (4.48) berechnet werden können. Hier können die Einheitsvektoren und mit Hilfe bereits bekannter Vektoren ausgedrückt werden: Für erhält man zwei mögliche Lösungen: Für erhält man: (4.49) (4.50) wobei sich die Projektionen und im System bestimmen lassen. Die explizite Auswertung von Gl. (4.47) bis Gl. (4.50) liefert: (4.51) (4.52) (4.53) (4.54) mit den Abkürzungen

9 Computergestütztes Aufstellen der Bewegungsgleichungen 99 (4.55) (4.56) (4.57) (4.58) (4.59) Alle Vektoren können nun bezüglich jedes beliebigen Koordinatensystems dargestellt werden. Die Positionskinematik ist somit vollständig. Zeitliche Ableitungen der relativen Winkel Für die Winkelgeschwindigkeit folgt aus der Ableitung von Gl. (4.45) und (4.46) sofort: (4.60) Hier wird der Koeffizient für, d. h. für parallele Vektoren und, singulär. Dieses kann jedoch im vorliegenden Fall ausgeschlossen werden. Die Winkelgeschwindigkeiten und könnten durch die Ableitung der Gl. (4.47) bis (4.48) bestimmt werden. Es ist jedoch bequemer, diese Werte mit Hilfe der Geschwindigkeit des Vektors zu bestimmen. Zwei Bestimmungsgleichungen für diesen Vektor wurden schon im vorhergehenden Schritt aufgestellt. Aus der Gleichheit der entsprechenden Ableitungen folgt dann:

10 100 Bewegungsgleichungen komplexer Mehrkörpersysteme (4.61) In Gl. (4.61) sind die zwei unbekannten Größen und enthalten. Unter Beachtung, dass die Einheitsvektoren und senkrecht zum Einheitsvektor sind, erhält man aus Gl. (4.61) durch Projektion auf bzw. zwei unabhängige skalare Gleichungen für und. Die entsprechenden Skalarprodukte führen zu: Mit den Koeffizienten (4.62) oder in skalaren Größen ausgedrückt: (4.63) (4.64) Diese Koeffizienten werden für, d.h. wenn der Abstandsvektor parallel zu ist, singulär. Auch diese besondere Konfiguration lässt sich jedoch im vorliegenden Fall ausschließen. Mit der gewählten Eingangsvariablen ist damit eine singularitätsfreie Simulation der Kinematik und Dynamik dieser Mehrkörperschleife gewährleistet. Wegen den Gln. (4.62) können keine weiteren unabhängigen Bedingungen für die Winkelgeschwindigkeiten und aufgestellt werden. Durch Projektion von Gl. (4.61) auf die Richtung des Vektors erhält man nur die Bedingung: (4.65) die äquivalent zu Gl. (4.60) ist. Dies kann nach Einsetzen von in die linke Seite, bzw. von in die rechte Seite von Gl. (4.61) gezeigt werden. Für die Winkelbeschleunigung erhält man durch die Ableitung von Gl. (4.60):

11 Computergestütztes Aufstellen der Bewegungsgleichungen 101 (4.66) Die Winkelbeschleunigungen und könnten entsprechend durch Ableitung der Gl. (4.62) bestimmt werden. Einfacher ist jedoch die Ableitung von Gl. (4.61) mit nachfolgender Wiederholung der Projektionen, die schon zur Bestimmung der Winkelgeschwindigkeiten und benutzt wurden. Die Differentiation von Gl. (4.61) führt zu: (4.67) Skalarmultiplikation von Gl. (4.67) mit bzw. liefert: (4.68) Die Koeffizienten und hängen von Spatprodukten aus Ortsvektoren und Geschwindigkeiten ab. Nach der Elimination der verschwindenden Terme und erhält man: (4.69) Die auftretenden Geschwindigkeitsvektoren können in Abhängigkeit der Relativgeschwindigkeiten,,,dargestellt werden:,, (4.70) (4.71) Die explizite Auswertung der auftretenden Spatprodukte im jeweils geeigneten Koordinatensystem liefert:

12 102 Bewegungsgleichungen komplexer Mehrkörpersysteme Absolute Kinematik Für die Bestimmung der Bewegungsgleichungen ist nur die absolute Kinematik der massebehafteten Körper notwendig. So wird im Folgenden also nur die absolute Geschwindigkeit und Beschleunigung des Massenmittelpunktes, sowie die absolute Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung desselben Körpers betrachtet. Für die entsprechenden Ableitungen erhält man: (4.72), (4.73) (4.74) (4.75) Die Beschleunigungsterme und lassen sich mit den vorher definierten Geschwindigkeiten beschreiben als (4.76) (4.77) Die Auswertung der entsprechenden Vektorausdrücke lässt sich am einfachsten in Komponenten durchführen. Man erhält z. B. für die Winkelgeschwindigkeit in Komponentenschreibweise: (4.78)

13 Computergestütztes Aufstellen der Bewegungsgleichungen 103 Kinematische Differentiale Da das System nur einen Freiheitsgrad besitzt, müssen nur einspaltige JACOBI-Matrizen aufgestellt werden. Hierfür müssen lediglich die im vorherigen Abschnitt bereits aufgestellten Geschwindigkeitsterme nochmals für den speziellen Eingang formuliert werden. Aus den entsprechenden Gleichungen erhält man: (4.79) (4.80) Für die Pseudo-Beschleunigungen (das heißt die Beschleunigungen für die spezielle Beschleunigungsvorgabe ) erhält man analog: (4.81) (4.82) Mit diesen Ausdrücken kann die Bewegungsgleichung nun in geschlossener Form aufgestellt werden. Bewegungsgleichungen Aus dem d'alembertschen Prinzip folgt für dieses Beispiel die skalare Bewegungsgleichung: (4.83) wobei den Trägheitstensor bezüglich des Massenmittelpunktes bezeichnet. Mit den im vorherigen Schritt abgeleiteten kinematischen Differentialen können die in Gl. (4.83) auftretenden virtuellen Verschiebungen und Beschleunigungen als lineare Funktionen der virtuellen Verschiebung bzw. der Beschleunigung der verallgemeinerten Koordinate dargestellt werden:

14 104 Bewegungsgleichungen komplexer Mehrkörpersysteme (4.84) Einsetzen von Gl. (4.84) in Gl. (4.83) führt schließlich zur expliziten Form der in diesem Fall skalaren Bewegungsgleichung: (4.85) Dabei ergibt sich für die Masse, die verallgemeinerte Zentripetal- und CORIOLISkraft und die verallgemeinerte Kraft: (4.86) Die Auswertung von Gl. (4.86) kann in jedem Koordinatensystem durchgeführt werden, da die entsprechenden Ausdrücke nur physikalische Darstellungen der Positions-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren beinhalten. Diese Form ist daher für physikalische Interpretationen günstiger.

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