Technische Mechanik 3 Dynamik

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2 ., aktualisierte Auflage Russell C. Hibbeler Technische Mechanik 3 Dynamik Übersetzung aus dem Amerikanischen: Georgia Mais, Frank Langenau Fachliche etreuung und Erweiterungen: Jörg Wauer, Wolfgang Seemann Higher Education München Harlow Amsterdam Madrid oston San Francisco Don Mills Mexico City Sydney a part of Pearson plc worldwide

3 4.4 Stoßvorgänge Energieerhaltung Die maximale Längenänderung s 3 des Seiles wird durch erneute Anwendung des Energieerhaltungssatzes auf den all nach dem Zusammenstoß bestimmt. Mit y = y 3 = (l + s 3 ), Abbildung 4.9c, erhält man T + V = T + V 3 3 m ( v ) m gh cs m v m g l s cs cs3 mgs3 mgl m( v ) = 0 + 0= ( ) + 0= 0 ( 3) Nullniveau c h = (l + s 3 ) 3 (c) Abbildung 4.9 Wir lösen die quadratische Gleichung und nehmen die positive Wurzel: s 3 = 0,37 m = 37 mm eispiel 4.3 Zwei glatte Kreisscheiben A und der Masse m A bzw. m, siehe Abbildung 4.0a, stoßen mit den Geschwindigkeiten (v A ) bzw. (v ) zusammen. estimmen Sie für den gegebenen Restitutionskoeffizienten e die x- und y-koordinaten der Endgeschwindigkeiten der beiden Scheiben kurz nach dem Zusammenstoß. m A = kg, m = kg, (v A ) = 3m/s, (v ) = m/s, e = 0,75, θ = 30, φ = 45 Lösung Es handelt sich um einen schiefen, zentralen Stoß. Warum? Zur Lösung legen wir die x-achse auf die Stoßnormale und die y-achse in die Kontaktebene, Abbildung 4.0a. Wir zerlegen die Anfangsgeschwindigkeiten in ihre x- und y-komponenten und erhalten koordinatenweise (v Ax ) =(v A ) cos θ =,60 m/s θ y A (v A ) (v ) φ Kontaktebene (a) Abbildung 4.0 x Stoßnormale (v Ay ) =(v A ) sin θ =,50 m/s (v x ) = (v ) cos φ = 0,707 m/s (v y ) = (v ) sin φ = 0,707 m/s Es wird angenommen, dass die vier unbekannten Geschwindigkeitskoordinaten nach dem Zusammenstoß jeweils in positive Koordinatenrichtung weisen, Abbildung 4.0b. 73

4 4 Kinetik eines Massenpunktes: Impuls und Drehimpuls m A (v Ax ) A Fdt + A = m A (v Ax ) A m A (v Ay ) m A (v Ay ) m (v y ) m (v x ) Fdt + = m (v x ) (b) Abbildung 4.0 m (v y ) Unter ezugnahme auf die Impuls- Erhaltung des Impulses in x-richtung und die Kraftstoßdiagramme schreiben wir m A (v Ax ) + m (v x ) = m A (v Ax ) + m (v x ) () Restitutionskoeffizient (bezüglich x-richtung) Die angenommene Richtung der Geschwindigkeitskoordinaten beider Scheiben nach dem Zusammenstoß ist die positive x-richtung, siehe Abbildung 4.0b: e = ( vx ) ( vax ) ( v ) ( v ) Ax x (v x ) (v Ax ) = e[(v Ax ) (v x ) ] () Wir lösen die Gleichungen () und () und erhalten (v Ax ) =[m A (v Ax ) + m (v x ) em ((v Ax ) (v x ) )]/(m A + m ) =,6 m/s (v x ) =[m A (v Ax ) + m (v x ) + em A ((v Ax ) (v x ) )]/(m A + m ) =, m/s. y (v A ) =,96 m/s Erhaltung des Impulses in y-richtung Der Gesamtimpuls jeder der beiden Scheiben bleibt in y-richtung (entlang der Kontaktebene) erhalten, denn die Scheiben sind glatt und daher wirkt kein äußerer Kraftstoß in dieser Richtung. Gemäß Abbildung 4.0b gilt m A (v Ay ) = m A (v Ay ) θ = 50,0 A (c) φ = 30, (v ) =,4 m/s x (v Ay ) =,50 m/s m (v y ) = m (v y ) (v y ) = 0,707 m/s. Zeigen Sie, dass die resultierenden Geschwindigkeitsbeträge gleich den Ergebnissen in Abbildung 4.0c sind. 74

5 4.5 Drehimpuls 4.5 Drehimpuls Der Drehimpuls oder Drall H eines Massenpunktes bezüglich eines ezugspunktes ist definiert als das Moment des Impulses des Massenpunktes bezüglich. Dieser egriff ist analog dem Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes. Daher heißt der Drehimpuls H auch Impulsmoment. z H Skalare Schreibweise ewegt sich ein Massenpunkt auf einer gekrümmten ahn in der x-y-ebene, Abbildung 4., kann der Drehimpuls zu einem beliebigen Zeitpunkt um Punkt (d.h. um die z-achse) skalar bestimmt werden. Der etrag von H ist (H ) z =(d)(mv) (4.3) P d mv y worin d der Hebelarm, d.h. der senkrechte Abstand von zur Wirkungslinie von mv ist. Die SI-Einheit von (H ) z ist kg m /s. Die Richtung von H wird mittels der Rechte-Hand-Regel bestimmt. Wie in Technische Mechanik and erläutert, zeigt die Krümmung der Finger der rechten Hand den Drehsinn von mv um an. In diesem Fall steht der Daumen senkrecht auf der x-y-ebene und zeigt entlang der +z-achse. x Abbildung 4. z Vektorschreibweise ewegt sich ein Massenpunkt auf einer gekrümmten ahn im Raum, Abbildung 4., dann ist eine unmittelbare skalare Auswertung (in Koordinaten) schwierig und man stellt eine vektorielle Darstellung des Drehimpulses um unter Verwendung des Kreuzproduktes an den Anfang: H = r mv (4.4) mv P r y r ist der rtsvektor vom Koordinatenursprung zum Massenpunkt P. Wie dargestellt steht H senkrecht auf der grau unterlegten Ebene, in der r und mv liegen. Zur Auswertung des Kreuzproduktes werden r und mv in kartesischen Koordinaten geschrieben und der Drehimpuls durch erechnung der Determinante bestimmt. H i j k = r r r mv mv mv x y z x y z (4.5) x H = r mv Abbildung 4. z F 4.6 Drehimpulssatz r Die Momente aller äußeren Kräfte auf den Massenpunkt in Abbildung 4.3 um Punkt sollen mit dem Impulsmoment H bezüglich desselben Punktes in eziehung gesetzt werden. Ausgangspunkt ist das Newton sche Grundgesetz F= mv x Inertialsystem Abbildung 4.3 y 75

6 4 Kinetik eines Massenpunktes: Impuls und Drehimpuls Dazu bildet man das Kreuzprodukt beider Seiten des Newton schen Grundgesetzes (von links) mit dem rtsvektor r. Linksseitig ergibt sich das resultierende Moment M aller Kräfte bezüglich des genannten Punktes, und insgesamt erhalten wir M = r F= r mv Gemäß Anhang C kann der Differenzialquotient des Impulsmomentes r mv mittels Produktregel als d H = ( r mv) = r mv+ r mv dt geschrieben werden. Der erste Term auf der rechten Seite dieser eziehung verschwindet, denn es gilt r mv= m( r r) = 0, weil das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst null ist. Das Moment von mv auf der rechten Seite der eingangs formulierten Gleichung kann demnach als Zeitableitung des Drehimpulses geschrieben werden, r mv = H, sodass sich insgesamt M = H (4.6) ergibt. Diese Gleichung besagt, dass das resultierende Moment aller auf einen Massenpunkt während seiner ewegung einwirkenden Kräfte bezüglich eines frei wählbaren Punktes gleich der zeitlichen Änderung des Drehimpulses des Massenpunktes bezüglich dieses Punktes ist. Die Aussage wird als Drehimpulsatz oder Drallsatz in differenzieller Form bezeichnet und ist ganz ähnlich dem Ergebnis F= p (4.7) gemäß Gleichung (4.) unter expliziter Verwendung des Impulses p = mv: Die resultierende Kraft auf einen Massenpunkt während seiner ewegung ist gleich der Änderung des Impulses des Massenpunktes. Aus den Herleitungen wird klar, dass sowohl Gleichung (4.7) als auch Gleichung (4.6) eine andere Schreibweise für das Newton sche Grundgesetz sind. ei der etrachtung einzelner Massenpunkte werden keinerlei Zusatzinformationen über das Newton sche Grundgesetz hinaus verwendet, es handelt sich eineindeutig um äquivalente Aussagen, die nur durch mathematische Äquivalenzoperationen ein anderes Aussehen angenommen haben. In weiteren Abschnitten des uches wird gezeigt, dass für Massenpunktsysteme und starre Körper der Drallsatz eine weitergehende Aussage als das Newton sche Grundgesetz darstellt und als weiteres Axiom zum Newton schen Grundgesetz (d.h. dem Schwerpunktsatz) hinzutritt. 76

7 4.6 Drehimpulssatz eispiel 4.4 Die Kiste in Abbildung 4.4a hat die Masse m, gleitet reibungsfrei die kreisförmige Rampe hinunter und erreicht beim Winkel θ die Geschwindigkeit v. estimmen Sie in dieser Position ihren Drehimpuls bezüglich des Punktes und ihre eschleunigung a t. r sin θ θ r v r n θ G t (a) Abbildung 4.4 (b) N Lösung Da v tangential zur ahnkurve verläuft, ergibt sich gemäß Gleichung (4.3) für den Drehimpuls H = rmv Die eschleunigung (dv/dt) wird mit Gleichung (4.6) bestimmt. Dem Freikörperbild der Kiste in Abbildung 4.4b ist zu entnehmen, dass nur das Gewicht G = mg ein Moment bezüglich bewirkt: mg ( r sin θ ) = ( rmv ) M = H; d dt Da r und m konstant sind, erhalten wir dv mgr sin θ= rm dt dv = g sin θ dt Auf das gleiche Ergebnis führt natürlich auch die direkte Anwendung des Newton schen Grundgesetzes in tangentialer Richtung, siehe Abbildung 4.4b: F = ma ; t t dv mg sin θ= m dt dv = g sin θ dt 77

8 4 Kinetik eines Massenpunktes: Impuls und Drehimpuls eispiel 4.5 Das Auto mit der Masse m fährt auf der in Abbildung 4.5a gezeigten kreisförmigen Straße. Die Räder übertragen eine Zugkraft von F = kt auf die Straße. estimmen Sie die Geschwindigkeit des Autos bei t = t. Die Anfangsgeschwindigkeit des Autos beträgt v(t =0) = v 0. Vernachlässigen Sie die Größe des Autos. k = 50 N/s, t = 5s, v 0 = 5m/s z G R R F F kt N F r (a) Lösung Abbildung 4.5 (b) Freikörperbild Abbildung 4.5b zeigt das Freikörperbild des Autos. Wenn wir den Drehimpulssatz um die z-achse anwenden, lassen sich der vom Gewicht erzeugte Drehimpuls, die Normalkraft und die radiale Reibungskraft eliminieren, da sie parallel zur Achse wirken oder hindurchgehen. Drehimpulssatz in integraler Form ( H ) + M dt= ( H ) z t z z + = t Rm v RFdt Rm v v= v+ Fdt= v + kt dt m m v 3 3 = v kt = v + m 3m kt v = 9,7 m/s 78

9 4.6 Drehimpulssatz Wie bereits der Impulssatz in integraler Form gemäß Gleichung (4.), (4.3) bzw. (4.4) aus der Formulierung gemäß Gleichung (4.) bzw. (4.7) in differenzieller Form durch Zeitintegration folgte, kann eine derartige Rechnung auch auf den Drallsatz in differenzieller Form gemäß Gleichung (4.6) angewendet werden. Wird er in der Form M dt = dh geschrieben und integriert, erhält man nämlich unter der Annahme, dass zum Zeitpunkt t = t der Drehimpuls H =(H ) genannt wird und zum Zeitpunkt t = t entsprechend H =(H ) ist, oder M dt = H H t ( ) ( ) ( H ) + M dt = ( H ) t (4.8) Dies ist die integrale Form des Drehimpulssatzes. Die Anfangs- und Enddrehimpulse (H ) und (H ) sind definiert als Moment des Impulses des Massenpunktes H = r (mv) zu den Zeitpunkten t bzw. t. Der zweite Term M dt auf der linken Seite wird als Momentenstoß (oder ebenfalls als Drehimpuls) bezeichnet. Er wird durch Zeitintegration des resultierenden Moments aller auf den Massenpunkt im Zeitraum von t bis t einwirkenden Kräfte bestimmt und wegen M = r F damit in vektorieller Form Momentenstoß = M dt = ( r F) dt t t (4.9) geschrieben. Der rtsvektor r geht dabei vom ezugspunkt zu einem Punkt auf der Wirkungslinie von F. Vektorielle Schreibweise Mit dem Impuls- und Drehimpulssatz (in integraler Form) können also zwei Gleichungen angegeben werden, die die ewegung des Massenpunktes beschreiben, nämlich in vektorieller Formulierung die Gleichungen (4.3) und (4.8): mv + Fdt= mv t ( H ) + M dt = ( H ) t (4.0) 79

10 4 Kinetik eines Massenpunktes: Impuls und Drehimpuls Skalare Schreibweise Im Allgemeinen können diese Gleichungen in beliebigen Koordinatensystemen ausgewertet werden, z.. in einem kartesischen x,y,z-koordinatensystem. Somit ergeben sich bei allgemein räumlicher ewegung zwei mal drei skalare Gleichungen. Ist die ewegung des Massenpunktes auf die x-y-ebene beschränkt, können zur eschreibung dieser ewegung + = 3 skalare Gleichungen angeschrieben werden, nämlich ( ) + = ( ) mv Fdt mv x x x t ( y) + y = ( y) t t mv Fdt mv ( H ) + M dt= ( H ) t (4.) Die ersten beiden Gleichungen repräsentieren den Impulssatz in der x- und y-richtung aus Abschnitt 4. und die dritte Gleichung spiegelt den Drehimpulssatz um die z-achse wider. Drehimpulserhaltung Sind die Momentenstöße eines Massenpunktes während der Zeitspanne von t bis t gleich null, vereinfacht sich die Gleichung (4.8) auf (H ) =(H ) (4.) Diese eziehung nennt man Drehimpulserhaltungssatz und bedeutet, dass der Drehimpuls während des Zeitraumes von t bis t sich nicht ändert, d.h. zu jedem Zeitpunkt konstant bleibt. Liegt kein äußerer Kraftstoß auf den Massenpunkt vor, bleiben Impuls und Drehimpuls erhalten. In bestimmten Fällen kann aber trotz fehlender Impulserhaltung der Drehimpuls erhalten bleiben. Ein eispiel dafür ist ein Massenpunkt, an dem nur ein zentrales Kräftesystem angreift (Abschnitt.8). Wie in Abbildung 4.6 dargestellt, ist die resultierende Impulskraft F immer auf gerichtet, während sich der Massenpunkt auf der gekennzeichneten ahnkurve bewegt. Der durch die Kraft F verursachte Momentenstoß auf den Massenpunkt um die z-achse durch den Punkt ist immer null. Daher bleibt der Drehimpuls des Massenpunktes um diese Achse immer erhalten. y P F Abbildung 4.6 x 80

11 4.6 Drehimpulssatz Es ist abschließend festzuhalten, dass bei der ewegung eines einzelnen Massenpunktes unter der Einwirkung von Kräften die Aussagen des Impuls- und des Drehimpulssatzes nicht voneinander unabhängig sind. Liegt eine Zentralbewegung vor, ist allerdings die Verwendung des Drehimpulssatzes besonders effizient, weil dieser dann in Form einer Drehimpulserhaltung bezüglich des Drehzentrums verwendet werden kann. Lösungsweg Für die Anwendung der integralen Form des Drehimpulssatzes und des Drehimpulserhaltungssatzes für die ewegung einzelner Massenpunkte wird der folgende Lösungsweg vorgeschlagen: Freikörperbild Zeichnen Sie ein Freikörperbild zur Ermittlung jener Achsen, bezüglich derer eine Drehimpulserhaltung auftritt. Dazu müssen die Momente aller Kräfte (oder der zugeordneten Kraftstöße) parallel zur betreffenden Achse sein oder durch diese Achse hindurchgehen, damit kein Momentenstoß während der betrachteten Zeitspanne von t bis t erzeugt werden kann. Legen Sie positive Koordinatenrichtungen fest, ermitteln Sie damit etrag und Richtung der Anfangsgeschwindigkeit des Massenpunktes und nehmen Sie die Richtung der gesuchten Endgeschwindigkeit konsistenterweise in positive Koordinatenrichtung an. Alternativ können Sie auch Momentenstoß- und Drehimpulsdiagramme für den Massenpunkt zeichnen. Impulsgleichungen Wenden Sie den Drehimpulssatz G N Unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes bleibt der Drehimpuls der Fahrgäste eines Kettenkarussells um die Drehachse erhalten. Das Freikörperbild zeigt, dass die Wirkungslinie der Normalkraft N des Sitzes auf den Fahrgast durch diese vertikale Achse geht und das Gewicht G des Fahrgastes parallel dazu ist. Um die z-achse wirkt demnach keinerlei Momentenstoß. z ( ) ( H ) + r F dt =( H ) t oder gegebenenfalls den Drehimpulserhaltungssatz (H ) =(H ) an. 8

12 4 Kinetik eines Massenpunktes: Impuls und Drehimpuls eispiel 4.6 Der Klotz vernachlässigbarer Größe ruht auf einer glatten horizontalen Ebene, siehe Abbildung 4.7a. Er ist in A an einem schlanken Rundstab vernachlässigbarer Masse befestigt, dieser wiederum an einem Drehgelenk in. Es wird das Moment M auf den Rundstab und die Kraft P auf den Klotz aufgebracht. estimmen Sie die Geschwindigkeit des Klotzes, die er aus der Ruhe heraus, bei t = 0, nach der Zeit t = t erreicht. M = ct, P = 0 N, c = 3Nm/s, r A = 0,4 m, m = 5kg, t = 4s M A P (v A ) F M z mg r A r A N P (a) Lösung Abbildung 4.7 (b) Freikörperbild Wir betrachten das System aus Rundstab und Klotz, Abbildung 4.7b. Die resultierende Reaktionskraft F im Drehgelenk fällt dann aus der etrachtung heraus, wenn der Drehimpulssatz um die z-achse angewendet wird. Dann fallen auch die vom Gewicht G und der Normalkraft N erzeugten Momentenstöße ebenfalls heraus, denn ihre Wirkungslinien verlaufen parallel zur z-achse und liefern keine Wirkung bezüglich dieser Achse. Drehimpulssatz in integraler Form ( ) t ( H ) + M dt= ( H ) z 0 z z 0 t 0 ( ) ( ) 0+ ct + r P dt = m v r A A A c P va = t + t= 0 m/s mr m A 8

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