M athematische Grundlagen

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1 Matematisce Grundlagen 1.8 Geometrisce Grundegriffe Sceitelwinkel Sceitelwinkel liegen am Winkelsceitel einander gegenüer. Sceitelwinkel sind gleic groß. Stufenwinkel = γ β = δ 17 M atematisce Grundlagen Stufenwinkel liegen auf der gleicen Seite der Geraden, die die Parallelen scneidet, jedoc auf einer anderen Stufe. 1 = 3 2 = 4 Stufenwinkel sind gleic groß. Wecselwinkel Wecselwinkel an Parallelen liegen dem Winkel auf einer anderen Stufe gegenüer. 1 = 4 2 = 3 Wecselwinkel sind gleic groß. Neenwinkel Neenwinkel sind Nacarwinkel am Scnittpunkt zweier Stralen. Neenwinkel ergeen zusammen δ = β = 180 β + γ = 180 γ + δ = 180 Lage der Winkelscenkel Winkel sind gleic groß, wenn ire Winkelscenkel paarweise senkrect aufeinander steen Außenwinkel Innenwinkel Da γ + δ = 180 und + β + γ = 180 gilt: δ = + β ε = β + γ ϕ = + γ In einem Dreieck ist ein Außenwinkel (d) gleic der Summe der eiden nict anliegenden Innenwinkel. (a + ) Tangentenviereck Im Tangentenviereck ist die Summe zweier Gegenseiten gleic der Summe der eiden anderen Gegenseiten. AB + CD = BC + AD Der Inkreismittelpunkt des Tangentenvierecks ist der Scnittpunkt der Winkelalierenden.

2 24 Matematisce Grundlagen 1.13 Recneriscer Aund Tangensfunktion Sinusfunktion Cosinusfunktion = irstöe irstöe = = Sparrenlänge Sparrenlänge = 1 s 1 = = s = s s 1 = 1 irstöe = irstöe = Sparrenlänge = Sparrenlänge = = s = s = irstöe = Sparrenlänge = irstöe Sparrenlänge = 1 = s 1 cos β = 2 s 2 s 2 = 2 cos β 2 = s 2 cos β Kervenversticmaße am Oolz o k v2 t K = t K = a sin β s a s k v3 l 1 k v1 k v2 a w o senkrectes Oolz waagerectes Oolz = rectwinkliges Oolz k v = Kervenversticmaß o w a β t k a senkrecter Ascnitt a w = waagerecter Ascnitt t k = Kerventiefe Senkel = Sparrenöe = Dacneigungswinkel β = 90 c r k v1 = k v1 = o w k v2 = k v2 = k v3 = o k v3 = w k v3 = o o o w o k v3 k v1 k v3 = = o w a = sin β = c = l l = (s a w ) a s a w a w = s a s l l = a s l l = a w

3 Baukonstruktionen Zimmermannsmäßige Verindungen Stirnversatz (one Zapfen) = Streenkraft in N H = Scerkraft auf die Vorolzfl äce in N = Balkenreite t V = Versatztiefe l V = Vorolzlänge τ = Scerspannung in N/mm 2 = Neigungswinkel der Stree oder des Sparrens H = V = Vertikaler Anteil der Streenkraft, der in das darunterliegende Mauerwerk ageleitet wird. Baukonstruktionen erf t V = 7,0 zul = 7,0 t V Streenneigungswinkel a Versatztiefe t V erf l V = τ min l V = 200 mm erf. = erforderlic zul. = zulässig Stirnversatz (mit Zapfen) vor τ = l V min. = mindestens vor. = voranden < < erf t v 7, erf l v ( + 2 t) τ vor τ ( + 2 t) l v zul 7,0 t v one Zapfen zul 7,0 (t v + t 1 ) mit Zapfen t = Zapfentiefe t v = Versatztiefe, 1, t, t v ersenversatz ( Rückversatz) Doppelter Versatz erf t v 5,6 erf l v τ min l v = 200 mm erf t v1 2 7,0 erf l v1 τ min l v1 = 200 mm zul 7,0 t v1 zul 5,6 t v2 zul 5,6 t v zul l v τ Der kleinere Wert ist maßgeend. vor τ l v erf t v2 2 5,6 erf l v2 erf l v1 2 vor τ l v1 t v2 > t v1

4 158 Baukonstruktionen Wärmedämm-Verund-Systeme (WDVS) DIN Im Gegensatz zur zweiscaligen Wand, die aus einer iegeweicen und einer iegesteifen Scale estet, ezeicnet man mit WDVS eine Konstruktion, ei der auf einer einscaligen Wand ein Dämmstoff aufgeklet und/ oder aufgedüelt wird, der aus ästetiscen und Regenscutzgründen mit einem dünnen Putz üerzogen wird. Aus aupysikaliscen Gründen verwendete Dämmstoffe in assade und Dac Aufsparrendämmung: Holzweicfaserplatten (W) Polyisocyanurater- Isolationsscaum (PIR) Polyuretan-Hartscaum (PUR) Zwiscensparrendämmung: Mineralwolle (MW) Steinwolle Glaswolle Holzweicfaserpatten (W) Cellulose Baumwolle Hanf Untersparrendämmung: Holzweicfaserplatten (W) Wanddämmung (assade): Mineralwolle (MW) als Steinwolle als Glaswolle steende asern (Stoßfestigkeit) Holzweicfaserplatten (W) expandiertes Polystyrol (EPS) Wanddämmung im Spritzereic: extrudiertes Pölystyrol (XPS) Scaumglas (CG) Wanddämmung im Erdreic ( Perimeterdämmung): Scaumglas (CG) extrudiertes Polystyrol (XPS) Dämmung unter Bodenplatte/undament: Scaumglas-Platten (CG) Scaumglas-Granulat Nacteile der üerzogenen Dämmung 1. Je dicker die Dämmung ist, desto geringer werden die Minderungsraten des U -Wertes. 2. Höere Investitionskosten 3. Geringere Wonfl äce 4. Evtl. Proleme mit dem Grenzastand 5. Missverältnis zwiscen Investitionskosten und Energie-Einsparung 6. Große Gefar der Algenildung aufgrund der geringen Wärmestromdicte 7. Große Brandlast und Gefar der Bildung gesundeitsscädlicer Gase im Brandfall, je nac Dämmmaterial Bei der Dämmstoffdicke, ei der die Minderungsrate des Wärmedurcgangskoeffi zienten U in den zweistelligen Bereic nac dem Komma fällt (200 m), ist die Dicke wirtscaftlic nict mer sionnvoll. 1 1 U = U = R R T

5 162 Baukonstruktionen Das Steildac Das Steildac als sogenanntes leictes Bauteil (m < 100 kg/m 2 ) ist esonders im Sommer und damit im sommerlicen Wärmescutz großen Anforderungen ausgesetzt. Tagsüer: Nacts: große Hitze, Wärmestrom von außen nac innen durc die Dackonstruktion, esonders durc die Dacfl äcenfenster Wärmeeinstralwinkel fast senkrect zur Dacfl äce und damit ser intensiv geringe Wärmespeicerfäigkeit der Dackonstruktion ser geringe Temperaturamplitudendämpfung (TAD) ser geringes Temperaturamplitudenverältnis (TAV) kaum eine Pasenverscieung der Temperatur von außen und innen olge: unerträglice Raulufttemperaturen Kaum Akülung im Raum, da durc die geringe Temperaturdifferenz zwiscen außen und innen der Wärmestrom von innen nac außen nur ser gering ist. Aufau des Steildacs Steildac mit Ausparrendämmung Aus Gründen der veresserten Wärmespeicerfäigkeit wäre eine Untersparrendämmung innen sinnvoller und wirksamer als außen. Optimal wäre eides, woei die Untersparrendämmung aus Wärmespeicergründen eine größere Rodicte aen und dicker sein sollte als die äußere. Steildac mit Aufsparren- und Untersparrendämmung aus Holzweicfasern Untersparrendämmung innen 1. Konterlattung: Hinterlüftung der Dacaut 2. Winddicteitseene: diffusionsoffen z.b. s d -Wert = 0,2 m 3. Aufsparrendämmung: z.b. Holzweicfaserplatten mit großer Rodicte. Dadurc kleine Temperaturleitzal a. Minimierung der Wärmerücke OK Sparren 4. Holzscalung: Dadurc kann die Aufsparrendämmung vollfl äcig gelagert werden. 5. Sparren: Die Sparrenöe estimmt das Maß der Zwiscensparrendämmdicke. Die Sparrenöe estimmt außerdem die Tragfäigkeit, denn diese get mit der dritten Potenz in das Trägeitsmoment ein. 6. Zwiscensparrendämmung: Mineralwolle oder Holzweic-asern. Gute Anpassung im Gefac. 7. Luftdicteitseene: Der s d -Wert sollte ca. 6-mal größer sein als der der Winddicteitseene. 8. Lattung 9. Verkleidung: Holz, Gipsplatten u.a. Nac DIN 4108 Empfelenswerte s d -Werte ei Däcern außen s d,e Alle Scicten oeral der Dämmscict is zur ersten elüfteten Luftscict (auc ei Aufsparrendämmung) 0,1 m 0,3 m 0,3 m innen s d,i Alle Scicten unteral der Dämmscict is zur ersten elüfteten Luftscict (auc ei Untersparrendämmung) 1,0 m 2,0 m s d,i 6 s d,e Denkar wäre innen auc eine feuctadaptive Dampfremse, die ei eucteeintrag (im Winter) iren s d -Wert vergrößert und im Sommer diffusionsoffener wird, indem sie iren s d -Wert verkleinert.