5. PLANIMETRIE, STEREOMETRIE

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1 5. PLANIMETRIE, STEREOMETRIE 5.1. Planimetrie Die Planimetrie oder auc ebene Geometrie bescäftigt sic mit den in einer Ebene liegenden geometriscen Figuren. Im folgenden Abscnitt sollen die wictigsten Begriffe der ebenen Geometrie sowie die recneriscen Zusammenänge erklärt werden. (a) Grundlagen Alle geometriscen Gebilde kann man als Punktmengen auffassen. Punkte werden mit Großbucstaben bezeicnet. Gerade: Durc zwei versciedene Punkte A, B gibt es genau eine Gerade g(a,b). Jede Gerade ist eine unendlice Punktmenge. Geraden werden mit Kleinbucstaben bezeicnet. Gegenseitige Lage zweier Geraden Zwei Geraden können einander in einem Punkt scneiden: g = {S}. Der Punkt S eißt Scnittpunkt. Zwei Geraden können zueinander parallel sein, sie sind disjunkt: g = { }, g. Zwei Geraden können identisc sein: g = g, g =. Zwei Geraden können windscief sein (nur im dreidimensionalen Raum): g = { }, g

2 Strecke: Die Verbindung zweier Punkte A, B nennt man Strecke. Die Länge der Strecke bezeicnet man mit AB. Mittelpunkt: Der Mittelpunkt einer Strecke AB ist jener Punkt, der auf der Strecke AB liegt und von A gleic weit entfernt ist wie von B. Streckensymmetrale: Die Streckensymmetrale ist die Menge aller Punkte, die von zwei Punkten A, B jeweils gleicen Abstand aben. Senkrecte (Normale): Eine Senkrecte ist eine Gerade n, die eine Gerade g im recten Winkel (90 ) scneidet. Auc die Streckensymmetrale stet normal auf AB. Symbolisc: n g Winkel: Zwei Strecken SA und SB, die von einem gemeinsamen Punkt S ausgeen, scließen miteinander einen Winkel α = <) (a,b) = <) ASB ein. Der Punkt S eißt Sceitel, die Strecken a, b nennt man Scenkel bzw. Stralen (Halbgeraden). Winkel werden mit grieciscen Bucstaben bezeicnet. Es gibt folgende Winkelarten: Spitzer Winkel: 0 < α < 90 Nullwinkel: α = 0 Recter Winkel: α = 90 α Stumpfer Winkel: 90 < α < 180 Gestreckter Winkel: α = 180 α Überstumpfer Winkel: 180 < α < 60 Vollwinkel: α =

3 Winkelsymmetrale: Die Winkelsymmetrale ist die Menge aller Punkte, die von zwei Geraden jeweils gleicen Abstand aben. Stralensatz - Teilung einer Strecke 1. Stralensatz: Werden zwei von einem Punkt ausgeende Stralen von parallelen Geraden gescnitten, so sind die Verältnisse entsprecender Strecken auf den Stralen gleic. Auf die Abbildung bezogen eißt das: SA : SA = SB : SB 1 1. Stralensatz: Werden zwei von einem Punkt ausgeende Stralen von parallelen Geraden gescnitten, so veralten sic die Abscnitte auf den Paralleln wie die entsprecenden Stralenabscnitte. Auf die Abbildung bezogen eißt das: SA : SA = A B : A B Diese zwei Sätze kann man nützen, wenn man eine Strecke in einem bestimmten Verältnis teilen will. Innere Teilung: Eine Strecke AB ist im Verältnis m : n innen zu teilen. Auf einem weiteren Stral durc A werden von A aus m gleice Strecken bis D und n weitere gleice Strecken von D bis E abgetragen. Ziet man eine Parallele durc D zur Geraden BE, so scneidet diese Parallele die Strecke AB im Punkt C. Es gilt dann laut Stralensatz AC: CB = m: n. Äußere Teilung: Eine Strecke AB ist im Verältnis m:n außen zu teilen. Auf einem weiteren Stral durc A werden von A aus m n gleice Strecken bis D und n gleice Strecken von D bis E abgetragen. Ziet man eine Parallele durc E zur Geraden BD, so scneidet diese Parallele die Verlängerung der Strecke AB im Punkt C. Es gilt dann laut Stralensatz AC: BC = m: n

4 (b) Dreiecke Allgemeines Dreieck: Ein Dreieck entstet im allgemeinen durc die Scnittpunkte dreier Geraden. Man bezeicnet α, β und γ als Innenwinkel und α 1, β 1 und γ 1 als Außenwinkel. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180 : α + β + γ = 180 Die Summe eines Innen- und eines Außenwinkels ist jeweils 180 : α + α 1 = β + β 1 = γ + γ 1 = 180 Die Summe der Außenwinkel ist daer 60 : α 1 + β 1 + γ 1 = 60 Ein Außenwinkel ist gleic der Summe der beiden nict anliegenden Innenwinkel: α 1 = β + γ, β 1 = α + γ, γ 1 = α + β Die Summe zweier Seiten ist immer größer als die dritte Seite (Dreiecksungleicung): a + b > c a + c > b b + c > a Der gößeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber. Man kann die Arten von Dreiecken nac der Länge der Seiten und nac der Größe der vorkommenden Winkel einteilen. ungleicseitiges Dreieck: (allgemeines Dreieck) a b c α β γ gleicscenkliges Dreieck: a, b... Scenkel, c... Basis a = b c, α = β γ gleicseitiges Dreick: a = b = c α = β = γ =

5 spitzwinkliges Dreieck: α < 90, β < 90, γ < 90 rectwinkliges Dreieck: a, b... Kateten, c... Hypotenuse p, q... Hypotenusenabscnitte α < 90, β < 90, γ = 90 stumpfwinkliges Dreieck: α < 90, β < 90, 90 < γ < 180 In allen angefürten Dreiecken gibt es folgende besondere Linien und Punkte: Höen, Höenscnittpunkt: Die Linie, die normal auf eine Seite eines Dreiecks stet und durc den nict auf dieser Seite liegenden Eckpunkt get, nennt man die Höe auf diese Seite ( a, b, c ). Die Höen eines Dreiecks scneiden einander im Höenscnittpunkt H. Seitensymmetrale, Umkreismittelpunkt: Errictet man auf allen Seiten die Streckensymmetrale (Seitensymmetrale), so scneiden diese Symmetralen einander in einem Punkt. Da dieser Punkt aufgrund der Konstruktion von allen Eckpunkten gleice Entfernung at, ist dies der Umkreismittelpunkt U. Scwerelinien, Scwerpunkt: Die Verbindungslinie zwiscen dem Mittelpunkt einer Dreiecksseite und dem nict auf dieser Seite liegenden Eckpunkt nennt man Scwerelinie. Die Scwerelinien scneiden einander im sogenannten Scwerpunkt S. Dieser Punkt teilt jede Scwerelinie im Verältnis :1. Winkelsymmetralen, Inkreismittelpunkt: Die Winkelsymmetralen zwiscen jeweils zwei Scenkel eines Dreiecks scneiden einander in einem Punkt. Da dieser Punkt aufgrund der Konstruktion von allen Dreiecksseiten gleice Entfernung at, ist dies der Inkreismittelpunkt I. Der Höenscnittpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Scwerpunkt liegen in jedem Dreieck auf einer Geraden, der sogenannten Eulerscen Geraden. Der Scwerpunkt und der Inkreismittelpunkt liegen stets inneralb des Dreiecks; der Höenscnittpunkt und der Umkreismittelpunkt liegen beim spitzwinkligen Dreieck inneralb, beim stumpfwinkligen Dreieck jedoc außeralb des Dreiecks

6 Dreiecksberecnungen a + b = c Satzgruppe des Pytagoras für rectwinklige Dreiecke: In jedem rectwinkligen Dreieck ist die Summe der Fläceninalte der Quadrate über den Kateten gleic dem Fläceninalt des Quadrats über der Hypotenuse (Pytagoräiscer Lersatz). a = c p b = c q In jedem rectwinkligen Dreieck ist der Fläceninalt des Quadrats über einer Katete gleic dem Fläcenialt des Rectecks aus der Hypotenuse und dem der Katete anliegenden Hypotenusenabscnitts (Katetensatz). = p q In jedem rectwinkligen Dreieck ist der Fläceninalt des Quadrats über der Höe gleic dem Fläceninalt des Rectecks aus den beiden Hypotenusenabscnitten (Höensatz). Berecnung des ungleicseitigen Dreiecks: U a+ b+ c U= a+ b+ c, s = = A a a b b c c = = = Heronsce Fläcenformel: A = s( s a)( s b)( s c) Berecnung des gleicscenkligen Dreiecks: c U= a+ c, c = a A c c c c = = a Berecnung des gleicseitigen Dreiecks: a a U= a, = a = A = a = a 4 Berecnung des rectwinkligen Dreiecks: U= a+ b+ c, c = p+ q, = a p = b q A = a b = c

7 Änlice Dreiecke - Kongruente Dreiecke Dreiecke sind änlic, wenn sie allen Winkeln übereinstimmen. Änlice Dreiecke aben also gleice Form, sie untersceiden sic nur durc ire Größe und Lage. Änlice Dreicke können also so zueinander zum Liegen gebract werden, daß entsprecende Seiten zueinander parallel sind. Zwiscen änlicen Dreiecken gilt daer der Stralensatz. Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Bestimmungsstücken übereinstimmen. Kongruente Dreiecke aben also die gleice Form und Größe, sie untersceiden sic nur durc ire Lage. (c) Vierecke allgemeines Viereck: Die Summe der Innenwinkel beträgt 60 : α + β + γ + δ = 60 Jede Diagonale (e, f) teilt das Viereck in zwei Dreiecke. Einteilung und Berecnung der Vierecke Recteck: α = β = γ = δ = 90, a b U= a+ b = ( a+ b) A = a b d = a + b d = a + b Quadrat: α = β = γ = δ = 90, a a U= 4 a A = a a = a d = a + a = a d = a

8 Parallelogramm: α = γ, β = δ, α + β = γ + δ = 180 U= a+ b = ( a+ b) A = a = b a b Rombus (Raute): α = γ, β = δ, α + β = γ + δ = 180, e f U= 4 a, e + f = 4a A = e f Trapez: U= a+ b+ c+ d, m a + = c A = m = a c, a m ( a+ c) Deltoid (Dracenviereck): α γ, β = δ, e f U= a+ b = ( a+ b) A = e f (d) Vielecke (Polygone) Allgemeines Vieleck: n... Anzal der Seiten Es gibt n ( n ) Diagonalen; das Vieleck läßt sic durc die von einer Ecke ausgeenden Diagonalen in (n ) Dreiecke zerlegen. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180 (n ). Regelmäßige Vielecke: Ein Vieleck eißt regelmäßig, wenn alle Seiten gleic lang und alle Winkel gleic groß sind. Jedem regelmäßigen Vieleck läßt sic ein Kreis umscreiben und ein Kreis einscreiben. Jeder ( n ) Innenwinkel beträgt 180. Das gleicseitige Dreieck und das Quadrat sind regelmäßige Vielecke

9 (e) Kreis, Kreisteile Ein Kreis k ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem Punkt M, (Mittelpunkt) den gleicen Abstand r (Radius) aben: k = { X ε XM= r} Die Verbindung zweier Punkte des Kreises durc eine Strecke bezeicnet man als Sene s. Verläuft diese Sene durc den Mittelpunkt M, so erält man einen Durcmesser d des Kreises mit d = r. Die Verbindung zweier Punkte des Kreises entlang der Kreislinie bezeicnet man als Bogen. Die Fläce, die durc einen Bogen und zwei Radien des Kreises begrenzt wird, nennt man Sektor oder Kreisausscnitt; die Fläce, die durc einen Bogen und eine Sene begrenzt wird, eißt Segment oder Kreisabscnitt. Der Winkel, der zwiscen den Radien eines Sekors gemessen wird, ist der sogenannte Zentriwinkel. Der Winkel, unter dem man eine Sene (bzw. einen Bogen) von einem Punkt des Kreises siet, ist der Periperiewinkel. Periperiewinkel, die zu derselben Sene (demselben Bogen) geören, sind gleic groß: α 1 = α. Der Zentriwinkel ist doppelt so groß wie der zugeörige Periperiewinkel: β = α. Satz von Tales Jeder Periperiewinkel über einem Kreisdurcmesser beträgt 90. Kreis und Gerade Passante: Die Passante at mit dem Kreis keinen Punkt gemeinsam. Tangente: Die Tangente at mit dem Kreis einen Punkt P (Berürungspunkt) gemeinsam. Jede Tangente stet normal auf den Berürradius. Sekante: Die Sekante scneidet den Kreis in zwei Punkten A, B (A B)

10 Kreisberecnungen Kreis: Das Verältnis des Umfanges eines Kreises zu seinem Durcmesser ist konstant und beträgt π =, d U= r π = d π A = r π = π 4 Kreisbogen: r b = π α 180 α... Zentriwinkel im Gradmaß Kreissektor: rπα U= r+ b = r+ 180 A = br = r πα 60 Kreissegment: U= s+ b, s= ( r ) A r πα = s 60 Kreisring: R... äußerer Radius r... innerer Radius U= Rπ + rπ = π( R+ r) A = R π r π = π( R r )

11 5.. Stereometrie Stereometrie nennt man die elementare Geometrie des dreidimensionalen (reellen euklidiscen) Raumes. Im folgenden Abscnitt werden die wictigsten Körper und ire Berecnung aufgefürt. (a) Pyramiden Eine Pyramide besitzt ein Polygon (n-eck) als Grundfläce. Die Mantelfläce bestet aus n Dreiecken, welce in der Spitze S zusammenlaufen. Die Seiten der Grundfläce eißen Grundkanten, die Verbindungsstrecken zwiscen Spitze und den Ecken der Grundfläce eißen Seitenkanten. Der Normalabstand zwiscen Spitze und Grundfläce ist die Höe. Eine Pyramide eißt gerade, wenn der Fußpunkt der Höe im Mittelpunkt der Grundfläce liegt, andernfalls ist sie scief. Eine regelmäßige Pyramide ist eine gerade Pyramide, deren Grundfläce ein regelmäßiges n-eck ist. Die Oberfläce einer Pyramide ist die Summe der Fläceninalte der Grundfläce und der Mantelfläce: O = G + M Für das Volumen einer Pyramide gilt immer die Formel: 1 V = G Quadratisce Pyramide: a a = + 4 Die Grundfläce ist ein Quadrat. a a s = + a = + 4 a O= G+ M= a + 4 a 1 = a + aa V = a Regelmäßiges Tetraeder: 1 a a =, MC = = a 1 = a MC = 6 a O = 4 4 = a 1 a V = 4 a =

12 Regelmäßiges Oktaeder: = a EF = = a a O = 8 4 = a a V = 1 a = Quadratiscer Pyramidenstumpf: a MH =, a = + a 1 M= ( a + a ) 1 O= G1+ G + M= a1 + a 1 + ( a1+ a) V = ( a1 + a1a+ a) (b) Prismen Ein Prisma besitzt zwei in parallelen Ebenen gelegene kongruente n-ecke als Grund- und Deckfläce. Die Mantelfläce bestet aus n Parallelogrammen. Gemeinsame Strecken von zwei Teilfläcen eißen Kanten. Die Seitenkanten sind parallel und gleic lang. Gemeinsame Punkte von je drei Teilfläcen eißen Ecken. Der Normalabstand zwiscen Grund- und Deckfläce ist die Höe. Ein Prisma eißt gerade, wenn alle Seitenkanten zur Grundfläce normal steen, andernfalls ist es scief. Ein regelmäßiges Prisma ist ein gerades Prisma, welces als Grundfläce ein regelmäßiges n-eck besitzt. Die Oberfläce eines Prismas ist die Summe der Fläceninalte von Grundfläce, Deckfläce und Mantelfläce: O = G + M Für das Volumen eines Prismas gilt immer die Formel: V = G

13 Quader: d = a + b + c O = ( ab+ ac + bc) V = a b c Würfel: d = a O= 6 a V a = (c) Kegel Ein Kegel besitzt einen Kreis als Grundfläce. Die Mantelfläce ist eine einfac gekrümmte Fläce, da sic die Kante eines Lineals nur in einer Rictung anlegen läßt, sodaß sie ganz in der Mantelfläce liegt. Das angelegte Lineal berürt die Mantelfläce längs einer Mantellinie, einer sogenannten Erzeugenden s. Die Mantellinien scneiden einander in der Spitze S des Kegels. Der Normalabstand zwiscen Spitze und Grundfläce ist die Höe. Ein Kegel eißt gerade, wenn der Fußpunkt der Höe im Mittelpunkt M der Grundfläce liegt, andernfalls ist er scief. Die Oberfläce eines Kegels ist die Summe der Fläceninalte der Grundfläce und Mantelfläce: O = G + M Für das Volumen eines Kegels gilt die Formel: 1 V = G Die Verbindung des Mittelpunkts der Grundfläce mit der Spitze ist die Dreacse eines geraden Drekegels. Ein Acsenscnitt liefert als Scnittfläce ein gleicscenkliges Dreieck. Die eben aufgerollte Mantelfläce ergibt einen Kreisausscnitt (Sektor) mit der Erzeugenden s als Radius

14 Drekegel: s = r + M= rπ s O= G+ M= r 1 π+ rπs= rπ( r+ s) V = r π Gleicseitiger Drekegel: s = r = r M= r π O= r π V = r π Kegelstumpf: s = ( r r ) + M= ( r + r ) s 1 1 π O= G1+ G + M= r1 + r 1 π π+ ( r1+ r) πs V = ( r1 + rr 1+ r )π (d) Zylinder Ein Zylinder besitzt zwei fläcengleice Kreise als Grund- und Deckfläce. Die Mantelfläce ist eine einfac gekrümmte Fläce, da sic die Kante eines Lineals nur in einer Rictung anlegen läßt, sodaß sie ganz in der Mantelfläce liegt. Das angelegte Lineal berürt die Mantelfläce längs einer Mantellinie, einer Erzeugenden s. Die eben aufgerollte Mantelfläce ist ein Recteck. Der Normalabstand zwiscen Grund- und Deckfläce eißt Höe. Ein Zylinder eißt gerade, wenn alle Mantellinien zur Grundfläce normal steen, andernfalls ist er scief. Die Oberfläce eines Zylinders ist die Summe der Fläceninalte von Grundfläce, Deckfläce und Mantelfläce: O = G + M Für das Volumen gilt die Formel: V = G

15 Die Verbindung der Mittelpunkte der Grund- und Deckfläce ist die Dreacse eines geraden Drezylinders. Ein Acsenscnitt liefert als Scnittfläce ein Recteck. Drezylinder: M= rπ, O= r π+ rπ= rπ( r+ ) V = r π Gleicseitiger Zylinder: = r M= 4r π, O= 6r π V = r π Holzylinder: R... äußerer Radius M= π( R+ r) r... innerer Radius O= π( R r ) + π( R+ r) = π( R+ r)( R r+ ) V = π( R r ) (e) Kugel, Kugelteile Eine Kugel entstet, wenn ein Kreis um einen seiner Durcmesser gedret wird. Alle Punkte der Kugeloberfläce aben vom Kugelmittelpunkt M den gleicen Abstand r (Kugelradius). Die Kugeloberfläce ist doppelt gekrümmt; sie kann nict wie ein Zylinder- oder Kegelmantel in einer Ebene ausgebreitet werden. Kugel: O= 4r π = d 4r π d π π V = =

16 Kugelsektor (Kugelausscnitt): r = r Kugelkappe: A 1 = rπ Kegelmantel: M= r 1 π r r O= A+ M= rπ+ r1π r V = π Kugelsegment (Kugelabscnitt): r = r Kugelkappe: A 1 = rπ Grundfläce: K = r 1 π O= A+ K = rπ+ r π V = 1 π ( r ) π( r1 + ) = 6 Kugelscict und Kugelzone: Kugelzone: A = rπ 1 1 O= G + G + A = r π+ r π+ rπ V = π ( r1 + r + ) 6 Holkugel: R... äußerer Radius O= 4R π V = r... innerer Radius 4π( R r ) π( D d ) =