Algorithmen - Eine Einführung

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1 Algorithmen - Eine Einführung von Prof. Dr.Thomas H. Cormen, Prof. Dr. Charles E. Leiserson, Prof. Dr. Ronald Rivest, Prof. Dr. Clifford Stein Aus dem Englischen von Prof. Dr. rer. nat. habil. Paul Molitor, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg 3., überarbeitete und erweiterte Auflage Oldenbourg Verlag München

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort XIII I Grundlagen 1 1 Die Rolle von Algorithmen in der elektronischen Datenverarbeitung Algorithmen Algorithmen als Technologie 11 2 Ein einführendes Beispiel Sortieren durch Einfügen Analyse von Algorithmen Entwurf von Algorithmen 30 3 Wachstum von Funktionen Asymptotische Notation Standardnotationen und Standardfunktionen 55 4 Teile-und-Beherrsche Das Max-Teilfeld-Problem Strassens Algorithmus zur Matrizenmultiplikation Die Substitutionsmethode zum Lösen von Rekursionsgleichungen Die Rekursionsbaum-Metliode zum Lösen von Rekursionsgleichungen Die Mastermethode zum Lösen von Rekursionsgleichungen *Beweis des Mastertheorems 99 5 Probabilistische Analyse und randomisierte Algorithmen Das Bewerberproblem Indikatorfunktionen 118

3 VI Inhaltsverzeichnis 5.3 Randomisierte Algorithmen * Probabilistische Analyse und mehr zur Verwendung der Indikatorfunktion 130 II Sortieren und Ranggrößen Heapsort Heaps Die Heap-Eigenschaft aufrechterhalten Einen Heap bauen Der Heapsort-Algorithmus Prioritätswarteschlangen Quicksort Beschreibung von Quicksort Die Performanz von Quicksort Eine randomisierte Version von Quicksort Analyse von Quicksort Sortieren in linearer Zeit Untere Schranken für das Sortieren Countingsort Radixsort Bucketsort Mediane und Ranggrößen Minimum und Maximum Auswahl in linearer erwarteter Zeit Auswahl in linearer Zeit im schlechtesten Fall 219 III Datenstrukturen Elementare Datenstrukturen Stapel und Warteschlangen Verkettete Listen 237

4 Inhaltsverzeichnis VII 10.3 Implementierung von Zeigern und Objekten Darstellung von gerichteten Bäumen Hashtabeilen Adresstabellen mit direktem Zugriff Hashtabeilen Hashfunktionen Offene Adressierung * Perfektes Hashing Binäre Suchbäume Was ist ein binärer Suchbaum? Abfragen in einem binären Suchbaum Einfügen und Löschen * Zufällig erzeugte binäre Suchbäume Rot-Schwarz-Bäume Eigenschaften von Rot-Schwarz-Bäumen Rotationen Einfügen eines Knotens Löschen eines Knotens Erweitern von Datenstrukturen Dynamische Ranggröße Wie man eine Datenstruktur erweitert Intervallbäume 350 IV Fortgeschrittene Entwurfs- und Analysetechniken Dynamische Programmierung Schneiden von Eisenstangen Matrizen-Kettenmultiplikation Elemente dynamischer Programmierung Längste gemeinsame Teilsequenz Optimale binäre Suchbäume 399

5 VIII Inhaltsverzeichnis 16 Greedy-Algorithmen Ein Aktivitäten-Auswahl-Problem Elemente der Greedy-Strategie Huffman-Codierungen * Matroiden und Greedy-Methoden * Ein Task-Scheduling-Problem als Matroid Amortisierte Analyse Aggregat-Analyse Account-Methode Die Potentialmethode Dynamische Tabellen 466 V Höhere Datenstrukturen B-Bäume Die Definition von B-Bäumen Grundoperationen auf B-Bäumen Löschen eines Schlüssels aus einem B-Baum Fibonacci-Heaps Die Struktur von Fibonacci-Heaps Operationen der fusionierbaren Heaps Verringern eines Schlüssels und Entfernen eines Knotens Beschränkung des maximalen Grades van-emde-boas-bäume Vorbereitende Ansätze Eine rekursive Datenstruktur Die van-emde-boas-bäume Datenstrukturen disjunkter Mengen Operationen auf disjunkten Mengen Darstellung disjunkter Mengen mithilfe verketteter Listen 572

6 Inhaltsverzeichnis IX 21.3 Wälder disjunkter Mengen * Analyse der Vereinigung nach dem Rang mit Pfadverkürzung 580 VI Graphenalgorithmen Elementare Graphenalgorithmen Darstellungen von Graphen Breitensuche Tiefensuche Topologisches Sortieren Starke Zusammenhangskomponenten Minimale Spannbäume Aufbau eines minimalen Spannbaums Die Algorithmen von Kruskal und Prim Kürzeste Pfade von einem Startknoten aus Der Bellman-Ford-Algorithmus Kürzeste Pfade von einem Startknoten aus in DAGs Dijkstras Algorithmus Differenzbedingungen und kürzeste Pfade Beweise der Eigenschaften kürzester Pfade Kürzeste Pfade für alle Knotenpaare Kürzeste Pfade und Matrizenmultiplikation Der Floyd-Warshall-Algorithmus Johnsons Algorithmus für dünn besetzte Graphen Maximaler Fluss Flussnetzwerke Die Ford-Fulkerson-Methode Maximales bipartites Matching * Push/Relabel-Algorithmen * Der Relabel-to-Front-Algorithmus 762

7 X Inhaltsverzeichnis VII Ausgewählte Themen Mehrfädige Algorithmen Grundlagen von dynamischem Multithreading Mehrfädige Matrizenmultiplikation Mehrfädiges Sortieren durch Mischen Operationen auf Matrizen Lösen linearer Gleichungssysteme Matrixinversion Symmetrische positiv definite Matrizen, Summe der quadratischen Fehler Lineare Programmierung Standard- und Schlupfform Darstellung von Problemen als lineare Programme Der Simplexalgorithmus Dualität Die initiale zulässige Basislösung Polynome und die FFT Darstellung von Polynomen Die DFT und FFT Effiziente Implementierung der FFT Zahlentheoretische Algorithmen Elementare zahlentheoretische Begriffe Größter gemeinsamer Teiler Modulare Arithmetik Lösen modularer linearer Gleichungen Der chinesische Restsatz Potenzen eines Elements Das RSA-Kryptosystem * Primzahltests * Primfaktorzerlegung 987

8 Inhaltsverzeichnis XI 32 String-Matching Der naive String-Matching-Algorithmus Der Rabin-Karp-Algorithmus String-Matching mit endlichen Automaten * Der Knuth-Morris-Pratt-Algorithmus Algorithmische Geometrie Eigenschaften von Strecken Bestimmung von Schnittpunkten in einer Menge von Strecken Bestimmen der konvexen Hülle Berechnung des dichtesten Punktepaares NP-Vollständigkeit Polynomielle Zeit Verifikation in polynomieller Zeit NP-Vollständigkeit und Reduktion NP-Vollständigkeitsbeweise NP-vollständige Probleme Approximationsalgorithmen Das Knotenüberdeckungsproblem Das Problem des Handelsreisenden Das Mengenüberdeckungsproblem Randomisierung und lineare Programmierung Das Teilsummenproblem 1139 VIII Anhang 1151 A Summen 1155 A.l Summenformeln und Eigenschaften 1155 A.2 Abschätzungen für Summen 1159 B Mengen usw B.l Mengen 1169 B.2 Relationen 1174

9 XII Inhaltsverzeichnis B.3 Funktionen 1176 B.4 Graphen 1178 B.5 Bäume 1183 C Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie 1193 C.l Kombinatorik 1193 C.2 Wahrscheinlichkeiten 1199 C.3 Diskrete Zufallsvariablen 1205 C.4 Die geometrische Verteilung und die Binomialverteilung 1211 C.5 * Die Ränder der Binomialverteilung 1217 D Matrizen 1227 D.l Matrizen und Ma.trizenoperationen 1227 D.2 Elementare Matrizeneigenschaften 1232 Literaturverzeichnis 1241 Index 1265