Algorithmen - Eine Einführung

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1 Algorithmen - Eine Einführung von Prof. Dr. Thomas H. Cormen Prof. Dr. Charles E. Leiserson Prof. Dr. Ronald Rivest Prof. Dr. Clifford Stein 2., korrigierte Auflage Oldenbourg Verlag München Wien

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort V I Grundlagen 1 1 Die Rolle von Algorithmen in der elektronischen Datenverarbeitung Algorithmen Algorithmen als Technologie 10 2 Ein einführendes Beispiel Sortieren durch Einfügen Analyse von Algorithmen Entwurf von Algorithmen 27 3 Wachstum von Funktionen Asymptotische Notation Standardnotationen und Standardfunktionen 51 4 Rekursionsgleichungen Die Substitutionsmethode Die Rekursionsbaum-Methode Die Mastermethode * Beweis des Mastertheorems 75 5 Probabilistische Analyse und randomisierte Algorithmen Bewerberproblem Indikatorfunktionen Randomisierte Algorithmen * Probabilistische Analyse und mehr zur Verwendung der Indikatorfunktion 103

3 XVI Inhaltsverzeichnis II Sortieren und Ranggrößen Heapsort Heaps Aufrechterhaltung der Heap-Eigenschaft Konstruktion eines Heap Der Heapsort-Algorithmus Prioritätswarteschlangen Quicksort Beschreibung von Quicksort Die Performanz von Quicksort Eine randomisierte Version von Quicksort Analyse von Quicksort Sortieren in linearer Zeit Untere Schranken für das Sortieren Countingsort Radixsort Bucketsort Mediane und Ranggrößen Minimum und Maximum Auswahl in linearer erwarteter Zeit Auswahl in linearer Zeit für den schlechtesten Fall 187 III Datenstrukturen Elementare Datenstrukturen Stapel und Warteschlangen Verkettete Listen Implementierung von Zeigern und Objekten Darstellung von gerichteten Bäumen Hashtabellen Adresstabellen mit direktem Zugriff 222

4 Inhaltsverzeichnis XVII 11.2 Hashtabeilen Hashfunktionen Offene Adressierung * Perfektes Hashing Binäre Suchbäume Was ist ein binärer Suchbaum? Abfragen in einem binären Suchbaum Einfügen und Löschen * Zufällig erzeugte binäre Suchbäume Rot-Schwarz-Bäume Eigenschaften von Rot-Schwarz-Bäumen Rotationen Einfügen Entfernen Erweitern von Datenstrukturen Dynamische Ranggröße Wie man eine Datenstruktur erweitert Intervallbäume 312 IV Fortgeschrittene Entwurfs- und Analysetechniken Dynamische Programmierung Ablaufkoordination von Montagebändern Matrix-Kettenmultiplikation Elemente dynamischer Programmierung Längste gemeinsame Teilsequenz Optimale binäre Suchbäume Greedy-Algorithmen Ein Aktivitäten-Auswahl-Problem Elemente der Greedy-Strategie 380

5 XVIII Inhaltsverzeichnis 16.3 Huffman-Codierungen * Theoretische Grundlagen der Greedy-Methoden * Ein Task-Scheduling-Problem Amortisierte Analyse Aggregat-Analyse Account-Methode Die Potentialmethode Dynamische Tabellen 418 V Höhere Datenstrukturen B-Bäume Die Definition von B-Bäumen Grundoperationen auf B-Bäumen Entfernen eines Schlüssels aus einem B-Baum Binomiale Heaps Binomiale Bäume und binomiale Heaps Operationen auf binomialen Heaps Fibonacci-Heaps Die Struktur von Fibonacci-Heaps Operationen der fusionierbaren Heaps Verringern eines Schlüssels und Entfernen eines Knotens Beschränkung des maximalen Grades Datenstrukturen disjunkter Mengen Operationen auf disjunkten Mengen Darstellung disjunkter Mengen mithilfe verketteter Listen Wälder disjunkter Mengen * Analyse der Vereinigung nach dem Rang mit Pfadverkürzung 514

6 Inhaltsverzeichnis XIX VI Graphenalgorithmen Elementare Graphenalgorithmen Darstellungen von Graphen Breitensuche Tiefensuche Topologisches Sortieren Starke Zusammenhangskomponenten Minimale Spannbäume Aufbau eines minimalen Spannbaums Die Algorithmen von Kruskal und Prim Das Problem der kürzesten Pfade bei einem einzigen Startknoten Der Bellman-Ford-Algorithmus Kürzeste Pfade von einem einzigen Startknoten aus in ger. azykl. Graphen Der Dijkstra-Algorithmus Differenzbedingungen und kürzeste Pfade Beweise der Eigenschaften kürzester Pfade Das Problem der kürzesten Pfade für alle Knotenpaare Kürzeste Pfade und Matrixmultiplikation Der Floyd-Warshall-Algorithmus Johnsons Algorithmus für dünn besetzte Graphen Maximaler Fluss Flussnetzwerke Die Ford-Fulkerson-Methode Maximales bipartites Matching * Push/Relabel-Algorithmen * Der Relabel-to-Front-Algorithmus 685

7 XX Inhaltsverzeichnis VII Ausgewählte Themen Sortiernetzwerke Vergleichsnetzwerke Das Null-Eins-Prinzip Ein bitonisches Sortiernetzwerk Ein Mischnetzwerk Ein Sortiernetzwerk Matrixoperationen Eigenschaften von Matrizen Strassens Algorithmus zur Matrixmultiplikation Lösung linearer Gleichungssysteme Matrixinversion Symmetrische, positiv definite Matrizen, Methode der kleinsten Quadrate Lineare Programmierung Standard- und Schlupfformen Die Darstellung von Problemen durch lineare Programme Der Simplexalgorithmus Dualität Die initiale zulässige Basislösung Polynome und die FFT Darstellung von Polynomen DFT und FFT Effiziente Implementierung der FFT Zahlentheoretische Algorithmen Elementare zahlentheoretische Begriffe Größter gemeinsamer Teiler Modulare Arithmetik Lösen modularer linearer Gleichungen Der chinesische Restsatz Potenzen eines Elements 878

8 Inhaltsverzeichnis XXI 31.7 Das RSA-Verschlüsselungssystem * Primzahltests * Primfaktorzerlegung String-Matching Der naive String-Matching-Algorithmus Der Rabin-Karp-Algorithmus String-Matching mit endlichen Automaten * Der Knuth-Morris-Pratt-Algorithmus Algorithmische Geometrie Eigenschaften von Strecken Schnittpunkt eines beliebigen Streckenpaares Bestimmen der konvexen Hülle Berechnung des dichtesten Punktepaares NP-Vollständigkeit Polynomiale Zeit Verifikation in polynomialer Zeit NP-Vollständigkeit und Reduktion NP-Vollständigkeitsbeweise NP-vollständige Probleme Approximationsalgorithmen Das Knotenüberdeckungsproblem Das Problem des Handelsreisenden Das Mengenüberdeckungsproblem Randomisierung und lineare Programmierung Das Teilsummenproblem 1046 VIII Anhang: 1057 A Summen 1061 A.l Summenformeln und Eigenschaften 1061 A.2 Abschätzungen für Summen 1065

9 XXII Inhaltsverzeichnis B Mengen usw B.l Mengen 1073 B.2 Relationen 1078 B.3 Funktionen 1080 B.4 Graphen 1082 B.5 Bäume 1087 C Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie 1097 C.l Zähltheorie 1097 C.2 Wahrscheinlichkeit 1102 C.3 Diskrete Zufallsvariablen 1109 C.4 Die geometrische Verteilung und die Binomialverteilung 1114 C.5 * Die Ränder der Binomialverteilung 1120 Literaturverzeichnis 1131 Index 1151