Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik) 2.2 Schallfeldgrößen

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1 5_Schallfeldgroessen_BAneu.doc - /. Schallfeldgrößen.. Schalldruck, Schallschnelle, Schallkennimpedanz Der Schalldruck ist die wichtigste Größe in der Schallmesstechnik. Das Ohr ist ein Schalldruckempfänger! p( x, t) cos( t kx) (oder komplex p exp j( t kx) ) Verknüpfung zwischen dem Schall(wechsel)druck und der Geschwindigkeit? v p Hydrodynamisches Grundgesetz (Eulergleichung) t x v ( k sin( t kx) Integration liefert t v( x, t) cos( t kx) p c c v p c vˆ c v(x,t) = Schallschnelle vˆ = Schallschnellenamplitude Der Schalldruck ist in Phase mit der Schallschnelle (im verlustfreien homogenen Medium) Schallkennimpedanz Z Z c Die Schallkennimpedanz ist eine Matrerialkonstante des Ausbreitungsmediums Z = 48 Ns/m 3 für Normluft (0 C; 03 hpa) Phasenlage zwischen Auslenkung, Schalldruck p und Schallschnelle v. sin( t kx) sin kx (für t = 0) p v cos( t kx) p cos kx (für t = 0) Druck und Schnelle laufen der Auslenkung um 90 räumlich voraus. Schwingende Luftteilchen Verdünnung Verdichtung Verdünnung Schalldruck p Schallschnelle v Ausbreitungsrichtung Die Impedanz Z ist allgemein definiert als Ursache/Wirkung. Analogie zur ET: Strom i entspricht Schnelle v (Wirkung) Spannung u entspricht Druck p (Ursache) Widerstand R entspricht Impedanz Z (Hemmung)

2 5_Schallfeldgroessen_BAneu.doc - /.. Schallenergie und Schallintensität Für die Energiestromdichte S und für die mittlere Energiestromdichte I (= Intensität) einer sich in x-richtung ausbreitenden mech. Welle ( x, t) ˆ 0 cos( t kx) erhielten wir in Abschnitt.0: ˆ S( x, t) c 0 sin ( t kx) Energiestromdichte I c ˆ 0 wc Intensität (mittlere Energiestromdichte) ˆ w 0 Energiedichte (gemittelt) Für die Ausbreitung von Schallwellen gelten im Prinzip dieselben Gleichungen. Die kinetische und potentielle Energiedichte in einer Schallwelle lauten daher: kinetische Energiedichte Bewegungsenergie W kin des schwingenden Massenelements dm pro Volumeneinheit V. ( x, t) w kin t w kin v potentielle Energiedichte Die elastische oder potentielle Energie dw pot des gegen den ortsabhängigen Wechseldruck verschobenen Massenelements dm entspricht thermodynamisch der Druckarbeit dw = -pdv. Für ein Probevolumen V gilt: dv dp K (siehe Kap..) V Die Änderung dw pot im Probevolumen V bei Druckänderung ist dann: dwpot p dv dwpot p dp Integration ergibt V V K p potentielle Energiedichte K w pot Eine partielle Integration der Kontinuitätsgleichung liefert einen weiteren Ausdruck für w pot. v p x xt K t dt xt K p dt t x t w pot c x (, ) p K mit c K erhält man schließlich auch x Für w ges und den zeitlichen Mittelwert von w ges gilt für die ebene, harmonische Schallwelle ˆ sin ( ) ˆ wges wkin wpot 0 t kx 0 sin ( t kx) w wges ˆ 0 vˆ K Die akustische Gesamtenergiedichte w ges einer harmonischen Schallwelle setzt sich zu gleichen Teilen aus kinetischer und potentieller Energie zusammen.

3 Intensität Mit den obigen Definitionen der Schallfeldgrößen lässt sich für die Intensität schreiben. 5_Schallfeldgroessen_BAneu.doc - 3/ I wc Ph c Ph vˆ ˆ p c I Zvˆ Z vˆ oder mit den Effektivwerten bei harmonischen Schallwellen I Z v peff eff peff v eff Z Beispiele: a) Hörschwelle: p eff = 0-5 Pa (f = 000 Hz) eff p I Z 5 ( 0 ) Pa 3 W 9, ,9 kg/m 343 m/s m W m b) Schmerzschwelle: p eff = 0 Pa (f = 000 Hz) I = W/m großer Bereich der mechanischen Schallintensitäten ( Größenordnungen!) Abschätzung einiger Schallfeldgrößen (Hörschall) pstat vˆ c ( vˆ ) Z T T 0 vˆ 0 m ˆ 8 0 Wegen T/T p/p keine Nettoerwärmung, kein Energieverlust, keine Dämpfung der Schallwelle (thermodynamisch - adiabatischer Vorgang) Schallauslenkung ist nur /0 der mittleren freien Weglänge der Gasmoleküle. Im Festkörper ist die Schallauslenkung viel kleiner als der Durchmesser der Atome ( starke Kopplung der Gitterbausteine) Aufgabe: Berechnen Sie die Schallschnellenamplitude und Schallamplitude bei der Hörschwelle für eine Frequenz von f = khz. Aufgabe: Bestimmen Sie mit Hilfe einer Skizze das Schwingungsbild für die Auslenkung, für die Schnelle v und für den Wechseldruck p bei der Reflexion an einer weichen Wand. Aufgabe: Wie sieht der räumliche bzw. zeitliche Verlauf der Energiedichte an der weichen Wand aus? Der Effektivwert oder RMS-Wert einer Größe x ist definiert durch: x eff x 0 ( t)dt

4 Aufgabe: Schallwelle bei der Reflexion am weichen Ende ) Einlaufende und rücklaufende Auslenkungswelle r e cos( t kx) cos( t kx) r 5_Schallfeldgroessen_BAneu.doc - 4/ Auslenkung ) Stehendes Wellenbild der Auslenkung: Wellenbauch am Ende 3) Die Schnelle eilt der Auslenkung von einund rücklaufender Welle räumlich um 90 voraus. r Schnelle Schnelle 4) Stehendes Wellenbild der Schnelle: Wellenbauch am Ende aber zeitlich 90 der stehenden Auslenkungswelle vorauseilend 5) Der Druck der rücklaufenden Welle ist gegenüber der Schnelle um 80 verschoben. (p/v = -Z!). 3 Zu einem Maximum der Schnelle in Ausbreitungsrichtung gehört ein Maximum des Drucks. Da v aber für die rücklaufende Welle negativ ist, ergibt sich eine Phasendifferenz von 80. Druck 6) Stehendes Wellenbild des Drucks: Wellenknoten am Ende zeitlich und räumlich gegenüber der Schnelle um 90 vorauseilend. r Druck v p ( cos( t kx) pk ˆ t x x 3 ( sin( ) t kx pk ˆ pk ˆ v( t) (sin( t kx) dt cos( t kx) p c

5 Aufgabe: Energiedichte bei der Reflexion am weichen Ende (= Energiedichte einer stehenden Welle) 5_Schallfeldgroessen_BAneu.doc - 5/ ) Stehendes Wellenbild der Auslenkung: Wellenbauch am Ende Auslenkung t = 0, /4, /, 3/4, ) kin. Energiedichte w kin t = 0, /4, /, 3/4, 3) pot. Energiedichte w kin t = 0, /4, /, 3/4, 4) Gesamt-Energiedichte w ges t = 0, /4, /, 3/4,

6 ..3 Schallleistung 5_Schallfeldgroessen_BAneu.doc - 6/ Die gesamte Schallleistung, die eine Schallquelle emittiert, erhält man durch Aufsummierung über alle Raumwinkel der Abstrahlung. Bei punktförmigen Schallquellen nimmt die Schallintensität mit /r ab (Kugelstrahler 4 ). P Kugel I( r,, ) da Sonderfälle für homogenes Kugelstrahlungsfeld P ) ohne Boden: I( r) ohne 4 r P ) schallharter Boden (R = ): I( r) hart r P 3) schallweicher Boden (R = 0): I( r) weich 4 r Beispiele für Schallleistungen: Sprache: 0-5 W bis mw Geige: < 0-3 W; Orgel: -0 W Quelle I(r) da = r sindd.3 Schallpegel Definition einer logarithmischen Skala ist sinnvoll, da: ) Hörbereich umfasst Größenordnungen in der Intensität! ) menschliches Hörempfinden ist logarithmisch, d.h. Empfinden Log. des physikalischen Reizes (Wegner-Fechner-Gesetz) L p 0log db 0log db Schalldruckpegel, 0,0 peff Lp 0log db Schall(druck)pegel (Tech. Akust.: p eff = p) p L I eff,0 I p ( c) 0 0log db 0log db Schallintensitätspegel (I = p I eff /Z = p eff /c) p ( ) 0 0 c Für die Bezugsschallgrößen werden dabei willkürlich die Hörschwellenwerte festgelegt. 5 ˆp =,80-5 Pa Hörschwelle: p p 0 Pa L P = 0 db,0 p eff,0 =,00-5 Pa Schmerzgrenze: p 0 Pa L P = 0 db I 0 = 0 - W/m Druck- und Intensitätspegel sind für eine Schallkennimpedanz von Z = Z 0 = 400 kg/(m s) identisch (z.b. Luft bei 03 hpa und 40 C = p/r S T =,6 kg/m 3 ) Für Kugelstrahler gilt: I (r) = const auf einer Kugeloberfläche um die Quelle mit dem Radius r 5 Achtung: In der Hydroakustik (Schallausbreitung im Wasser) wird der Referenzwert für den effektiven Schalldruck auf p eff,0 = 0-6 Pa festgelegt.

7 .3. Überlagerung von Schall Schallfelder sind meist dadurch gekennzeichnet, dass sie aus Tönen unterschiedlicher Frequenzen bestehen und Vielfachreflexionen zu einem diffusen Schallfeld führen. Der Frequenzbereich erstreckt sich dabei über 8 Oktaven. Als Folge davon addieren sich bei mehreren Schallquellen an einem bestimmten Ort die Intensitäten der einzelnen Schallquellen und nicht die Amplituden bzw. Schalldrücke (inkohärente Überlagerung). I ges I i (inkohärente Überlagerung: Iges, inkoh ( p i ) ) i Z Beispiele: a) L = 50 db; L = 60 db; L ges =? I ges I I p ges c (kohärente Überlagerung: p p c c p ges p p db i ges, koh ( p i ) Z i p ges p p Lges 0log 0 log( ) p0 p0 p0 Daraus ergibt sich die allgemeine Summenformel für Pegel bei n Quellen I ) 5_Schallfeldgroessen_BAneu.doc - 7/ L ges 0 log( n i 0 0, L i ) L ges = b) Verdopplung der Schallintensität I ges I L ges c) 0-fache Schallintensität I ges 0I L ges d) Abstandsverdopplung (bei Kugelstrahler) I( r ) r r I( r ) L ( r )

8 .4 Reflexion von Schall an Grenzflächen, Schalldämmung Das Verhalten von Wellen an Grenzflächen wurde bereits in Abschnitt.6 untersucht. Für senkrechten Einfall können wir die entsprechenden Ausdrücke übernehmen. 5_Schallfeldgroessen_BAneu.doc - 8/ Z Z r Reflexionsfaktor (Amplitude) Z Z Z t r Transmissionsfaktor Z Z Z r Z Z R Reflexionsgrad (Intensität) Z R möglichst groß Prinzip der Schalldämmung 4ZZ T Transmissionsgrad ( Z Z ) R T Energieerhaltung R Z Z T Bei der Reflexion an der harten Wand (Z >> Z ) kehrt sich die Schallauslenkung und die Schallschnelle um (r = -). Der Druck kehrt sich jedoch nicht um. Die rücklaufende Welle erzeugt den gleichen Druck wie die einlaufende Welle (Druck ist ein Skalar und kein Vektor wie die Auslenkung). Für den (Druck)Reflexions- und Transmissionsfaktor gilt daher Z Z r p r Z Z Z t p rp Z Z Für die harte Wand ist damit t p =. Die Wand spürt den doppelten Druck der Schallwelle. 6 Schalldämmung* Wenn wir annehmen, dass die transmittierte Schallintensität im Medium absorbiert wird, kann T auch als Schallabsorptionsgrad (oder besser Schalldämmungsgrad) bezeichnet werden. 7 T r S Aufgabe: Die Schallreflexion an einer harten Wand kann durch Anbringen einer dünnen "schallabsorbierenden Platte" vor der Wand unterdrückt werden. In welchem Abstand vor der Wand muss die Platte aufgestellt werden? Erklären Sie den Wirkungsmechanismus! 6 Der Vorgang kann verglichen werden mit dem elastischen Stoß einer Kugel an einer harten Wand. Die Impulsänderung (entspricht Kraft bzw. Druck) p = mv, ist dabei doppelt so groß ist wie der Impuls p = mv. 7 Der Logarithmus von S heißt auch Schalldämmmaß Technische Akustik

9 5_Schallfeldgroessen_BAneu.doc - 9/.5 Lautstärke L S Die Lautstärke L S ist eine physiologische Skala, die die Eigenschaft des menschlichen Ohres berücksichtigt, bei gleicher Schallintensität (Pegel L P ) Töne verschiedener Frequenz unterschiedlich laut zu empfinden. Der Maßstab für das Lautheitsempfinden ist die Lautstärke L S in phon Die Lautstärke wird durch subjektiven Vergleich (normalhörender Beobachter) mit Normschall von 000 Hz ermittelt. a) Testperson hat einen bestimmten Lautstärkeeindruck. Physikalischer Pegel wird gemessen. (z.b. L P = 60 db) f = f m Normschallquelle wird solange nachgeregelt, bis die Testperson den b) gleichen Lautstärkeeindruck hat. (z.b. 40 db; der oben gemessene Pegel liegt f = khz dann auf der 40 Phon-Kurve) Bild: Messung der Phon-Kurven Der Schallpegel des Normschalles bei khz wird so eingestellt, dass er als gleich laut empfunden wird wie der nach seiner Lautstärke zu bewertende Schall bei der zu messenden Frequenz. Die Einheit ist das Phon. Die Lautstärke 40 phon bedeutet also einen Schall beliebiger Frequenz, der genauso laut empfunden wird wie ein khz Sinuston mit einem Schalldruckpegel von 40 db. Bei khz stimmen die Werte für den physikalischen Schallpegel und der Lautstärke überein.

10 5_Schallfeldgroessen_BAneu.doc - 0/ Bewerteter Schallpegel Die Lautstärke L S in phon ist veraltet. Wegen der subjektiven Beurteilung ist auch ein Messverfahren auf der Grundlage der phon-kurven nicht durchführbar. In der technischen Akustik wurde zur physiologischen Bewertung der Lautstärke der bewertete Schalldruckpegel (z.b. L PA ) eingeführt. Die frequenzabhängige Empfindlichkeit des Ohres wird dabei mit Hilfe von elektronischen Filtern mit frequenzabhängiger Dämpfung angenähert. Frequenzen unter und über khz werden entsprechend den Bewertungskurven nachgebildet, d.h. abgeschwächt oder verstärkt. Diese Filter sind in Schallpegelmessern eingebaut. Es gibt 4 Bewertungskurven A, B, C, und D. Die Angabe erfolgt z.b. für den A-bewerteten Schalldruckpegel in L PA mit der Benennung db(a). Bild: Schall-Bewertungskurven (Filterkurven) Beispiel: Nach der Bewertungskurve A wird der Schalldruckpegel eines 00 Hz Tones um 0 db niedriger angezeigt als ohne Filter. Umgekehrt müsste der Ton um 0 db stärker sein wie ein ungefilterter khz Ton, um den gleichen Lautstärkeeindruck zu erzeugen. Beispiele: L PA = 0 db(a) bei khz Schallpegel L P = 0 db L PA = 0 db(a) bei 00 Hz Schallpegel L P = 30 db In der Technik wird üblicherweise die Bewertung nach A angewendet. Bei sehr hohen Schallpegeln (z.b. Flugzeuglärm) wird die D-Bewertung angewendet, da hier die Frequenzabhängigkeit des Filters der Schallempfindung des menschlichen Ohres besser angepasst ist (siehe phon-kurven). Es gilt: Ein Unterschied von 6..0 db(a) entspricht einer Verdoppelung/Halbierung der empfundenen Lautstärke. Pegelunterschiede von..3 db(a) sind noch wahrnehmbar.

11 5_Schallfeldgroessen_BAneu.doc - / Lautheit Die wenig anschauliche log. Skalierung der Lautstärke L S wird durch die Definition der "linearen" Größe Lautheit S behoben. ( L 40) /0 S S Lautheit (Einheit: [S] = sone) Ein Unterschied in L S von 0 phon entspricht dann einer Verdoppelung der Lautheit S, wird also doppelt so laut wahrgenommen. Bild: Lautstärke und Schallpegel von verschiedenen Schallvorgängen

12 .6 Frequenzspektrum von Schall.6. Höreindruck Der Höreindruck des menschlichen Ohres wird neben der Lautheit vor allem durch die spektrale Zusammensetzung des Schallereignisses bestimmt. Die Unterscheidung des Höreindrucks in Ton, Klang, Geräusch oder Knall ist vor allem durch das Intensitätsspektrum bestimmt. Der Phasenverlauf ist dabei unerheblich. 5_Schallfeldgroessen_BAneu.doc - / Ton Sinusschwingung der Frequenz f 0 Klang Sinus der Grundschwingung plus Oberschwingungen f 0, 3f 0... harm. Klang. Ganzzahlige Verhältnisse der Frequenzen bis 8 (8/7) Wohlklang Geräusch Breitbandig strukturiertes Spektrum Knall breite, fast konstante Spektraldichte.6. Schallfrequenzbereiche Das Frequenzspektrum von Schallwellen ist nicht nur auf den Hörbereich des menschlichen Ohres beschränkt, sondern erstreckt sich über einen sehr großen Bereich. Infraschall: f = 0 Hz bis 0 Hz (Körperschall) Gebäudeschwingungen, Erdbebenwellen, Schwingungen mechanischer Strukturen. Autofahren bei teilweise offenem Fenster erzeugt Vibrationen (5-0 Hz), die unangenehme Resonanzen innerer Organe verursachen können. Hörschall: f = 6 Hz bis 0 khz Meerdünung, Brandung, Gewitter, Wind (natürliche Schallquellen) Maschinen zum Erzeugen von Luftturbulenzen (Pfeifen, Sirenen, Musikinstrumente, Lautsprecher), Resonanzen bei Maschinen Hörschall erfährt nur eine geringe Dämpfung in Luft, Flüssigkeiten und Festkörpern und breitet sich fast dispersionsfrei aus. Problematik: Lärm, Lärmschutz, Schwingungsisolierung, Raumakustik Ultraschall: f = 0 khz bis 0 GHz Erzeugung z.b. mit piezoelektrischen und magnetostriktiven Wandlern. Viele technische Anwendungen Extrakapitel Ultraschall. Hyperschall: f = 0 GHz bis 0 THz Erzeugung mit Hilfe von piezoelektrisch gekoppelten MW-Resonatoren.. Anwendungen in der Grundlagenphysik, Werkstoffforschung.