Abb. 0: Arbeitsvorlage

Transkript

1 Hans Walser Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung Worum geht es? Durch iterierte Zerlegung eines rechtwinkligen Dreiecks durch die Höhe kommen wir zu den Binomialkoeffizienten und der Binomialverteilung. Die Überlegungen können mit Schere und Papier nachvollzogen werden. 2 Mit Geodreieck und Schere Abb. 0: Arbeitsvorlage Wir arbeiten entweder mit dem weißen Dreieck links oben (oder mit einem beliebigen anderen rechtwinkligen Dreieck), zeichnen mit dem Geodreieck die Höhe und schneiden aus. In den beiden Teildreiecken zeichnen wir wieder je die Höhe und zerlegen mit der Schere. Und so weiter und so fort.

2 Hans Walser: Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung 2 / 3 Alternativ können wir im schon präparierten rechtwinkligen Dreieck rechts unten mit den Höhen zerlegen, die Teildreiecke der Größe nach ordnen und am Schluss versuchen, die Teildreiecke wieder zum großen rechtwinkligen Dreieck zusammenzufügen. Alternativ können wir im schon präparierten rechtwinkligen Dreieck rechts unten die Dreiecke der Größe nach ausmalen und dann die Farben auszählen. Die Arbeitsvorlage kann in [] als pdf heruntergeladen werden. 3 Zerlegungen des rechtwinkligen Dreiecks Ein Dreieck wird durch eine Ecktransversale in zwei Teildreiecke zerlegt (Hölzl 207). Dabei können verschiedene Bedingungen an das Startdreieck und die beiden Teildreiecke gestellt werden. Wir besprechen den Sonderfall eines rechtwinkligen Dreiecks, welches wir durch die Höhe in zwei Teildreiecke zerlegen. Die beiden Teildreiecke sind wieder rechtwinklig. Dabei iterieren wir den Zerlegungsprozess. Die Abbildung zeigt das Startdreieck. Da wir noch nichts zerlegt haben, bleibt vorerst einmal dieses Startdreieck. Abb. : Startdreieck

3 Hans Walser: Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung 3 / 3 Erster Schritt: wir zerlegen mit der zur Hypotenuse senkrecht stehenden Höhe. Es entstehen zwei ungleich große Teildreiecke (Abb. 2). Abb. 2: Zerlegung durch die Höhe Zweiter Schritt: Und nun kommt das Entscheidende. Wir zerlegen auch jedes der beiden Teildreiecke mit seiner Hypotenusenhöhe (Abb. 3). 2 Abb. 3: Zweite Zerlegung durch die Höhe Das gibt zunächst vier Teildreiecke. Dabei ist aus Symmetriegründen sofort klar, dass die beiden mittleren gleich groß sind. Das eine der beiden mittleren Dreiecke ist dabei das große Teildreieck vom vorhergehenden kleinen Teildreieck, und das andere das kleine Teildreieck vom vorhergehenden großen Teildreieck. Die Anzahlen, 2, erinnern an die Binomialkoeffizienten.

4 Hans Walser: Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung 4 / 3 Die Abbildungen 4 und 5 zeigen die beiden weiteren Zerlegungen. 3 3 Abb. 4: Dritte Zerlegung Abb. 5: Vierte Zerlegung

5 Hans Walser: Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung 5 / 3 4 Binomialkoeffizienten Die jeweiligen Anzahlen der Teildreiecke sind vermutlich die Binomialkoeffizienten (Abb. 6) ( 0 ) ( 0 ) ( ) 2 ( 0 ) ( 2 ) ( 2 2 ) ( 0 3 ) ( 3 ) ( 2 3 ) ( 3 3 ) ( 0 4 ) ( 4 ) ( 2 4 ) ( 3 4 ) ( 4 4 ) Abb. 6: Binomialkoeffizienten Um dies exemplarisch einzusehen, vermischen wir die figürlichen Aufzählungen der Abbildungen 3 und 4. Die in der Abbildung 7 weiß unterlegten Teile entstammen der Abbildung 3, die gelb unterlegten der Abbildung 4. Abb. 7: Vermischung

6 Hans Walser: Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung 6 / 3 Nun zerlegen wir die Dreiecke aus der Abbildung 3, also die in der Abbildung 7 weiß unterlegten Dreiecke, durch ihre Hypotenusenhöhen (Abb. 8). Wir können die Teildreiecke nun eins zu eins (bijektiv) den gelb unterlegten Dreiecken zuordnen. Abb. 8: Zerlegung und Zuordnung Im Zahlendreieck der Binomialkoeffizienten haben wir damit die Zuordnung der Abbildung 9 vorgenommen Abb. 9: Im Zahlendreieck Damit ergibt sich allgemein die für die Binomialkoeffizienten relevante Rekursion: n n ( k ) = k n ( ) + ( k ) ()

7 Hans Walser: Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung 7 / 3 5 Didaktische Zwischenbemerkung Die Zerlegungen können mit Schere und Papier nachvollzogen werden. So erhalten wir einen modellmäßigen Zugang zu den Binomialkoeffizienten. Neckisch ist auch das Puzzle, die einzelnen Teildreiecke ohne Schnittvorlage wieder zum Startdreieck zusammenzufügen. 6 Maßverhältnisse Für die Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck verwenden wir die üblichen Bezeichnungen a und b für die beiden Katheten und c für die Hypotenuse. Für die Dreiecke der Abbildung 2 erhalten wir damit die in der Abbildung 0 rot angegebenen Ähnlichkeitsfaktoren (Längenmaßstäbe oder Längenveränderungsfaktoren). Die Flächenmaßstäbe sind die Quadrate davon (blau in Abb. 0). b c b ( c ) 2 c b a b a a c a ( c ) 2 Abb. 0: Längenmaßstäbe (rot) und Flächenmaßstäbe (blau) 7 Relative Hypotenusenabschnitte Für das Ausgangsdreieck definieren wir die relativen Hypotenusenabschnitte: p = ( a c ) 2, q = ( b c ) 2 (2) Um daraus die in der Schule üblichen vom Höhenfußpunkt ausgehenden absoluten Hypotenusenabschnitte zu erhalten, muss man noch mit der Hypotenusenlänge c multiplizieren. Diese relativen Hypotenusenabschnitte sind auch die Flächenmaßstäbe bei der Zerlegung durch die Hypotenusenhöhe gemäß Abbildung 0. Weiter gilt nach dem Satz des Pythagoras:

8 Hans Walser: Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung 8 / 3 p + q = a2 +b 2 c 2 = (3) Die beiden Variablen p und q sind also auch passend für Überlegungen mit Wahrscheinlichkeit und Gegenwahrscheinlichkeit. 8 Flächenanteile Wir können nun mit den Variablen p und q die Flächenanteile der Teildreiecke der Abbildungen 2 bis 5 am Startdreieck angeben (Abb. -4). p q Abb. : Flächenanteile bei einmaligem Zerlegen p 2 2pq q 2 Abb. 2: Flächenanteile bei zweimaligem Zerlegen

9 Hans Walser: Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung 9 / 3 p 3 3p 2 q 3pq 2 q 3 Abb. 3: Flächenanteile bei dreimaligem Zerlegen p 4 4p 3 q 6p 2 q 2 4pq 3 q 4 Abb. 4: Flächenanteile bei viermaligem Zerlegen Wir erkennen die Binomialverteilung in folgender Form: in der n-ten Zerlegung ist der Flächenanteil aller k n ( ) gleich großer Teildreiecke: n Flächenanteil n,k = ( k ) p k q n k (4)

10 Hans Walser: Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung 0 / 3 9 Und wo bleibt der Baum? In der Schule ist es üblich, im Kontext der Binomialverteilung mit einem Baumgerüst etwa gemäß der Abbildung 5 zu arbeiten. Dieser Baum visualisiert die kombinatorischen Anzahlen mit den Binomialkoeffizienten, er ist aber keine Visualisierung der Maßverhältnisse mit der Binomialverteilung. p 2 3 p p 2 q p pq p 2 q pq 2 3 p 2 q q pq pq 2 3 q 2 q 3 pq 2 Abb. 5: Kombinatorischer Baum 0 Der Pythagorasbaum Um die kombinatorischen Anzahlen zusammen mit den Maßverhältnissen zu visualisieren, verfahren wir wie folgt (Abb. 6-2). Abb. 6: Am Anfang war das Quadrat

11 Hans Walser: Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung / 3 Abb. 7: Gruß von Pythagoras Abb. 8: Zweiter Gruß von Pythagoras Wir sehen, dass die Quadrate der jeweils neuen Runde gleich orientiert sind. Abb. 9: Dritte Verästelung

12 Hans Walser: Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung 2 / 3 Abb. 20: Vierte Verästelung Die Weiterführung ad infinitum führt zu einem Fraktal (Abb. 2). Hat das etwas mit der Normalverteilung zu tun? Abb. 2: Pythagorasbaum

13 Hans Walser: Rechtwinkliges Dreieck und Binomialverteilung 3 / 3 Literatur Glötzner, Fabian (207): Binomialverteilung erkunden. Beispiele untersuchen, systematisieren und erweitern. mathematik lehren , Hölzl, Reinhard (207): Dreiecke in Dreiecke zerlegen. Welche Eigenschaften und Zusammenhänge findest du? mathematik lehren , 2-5. Walser, Hans (207): Dreiecksunterteilung und Binomialverteilung In: Fachnewsletter mathematik lehren vom Walser, Hans (207): Rechtwinklige Dreiecke.... Ideenkiste. ml, mathematik lehren , 5. Websites [] Hans Walser: Arbeitsvorlage ( ):