Das Zerlegungsprinzip

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1 Steckbrief zum Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip Das Zerlegungsprinzip Mitunter treten in der Mathematik oder auch im Alltag Probleme auf, die ob ihrer Komplexität oder unüberschaubaren Fülle eine erschlagende Wirkung entfalten können. Wie kann man sich der Auseinandersetzung mit diesen Problemen nähern? Kurz gefasst könnte man das Prinzip, das in dieser Lernumgebung vorgestellt wird, mit den folgenden Worten umschreiben: Merke: Ist ein Problem in seiner Gesamtheit zu gewaltig oder bietet es die Möglichkeit, in kleine Teile zergliedert zu werden, so zerlege es und löse das große Problem, indem du dessen Teilprobleme löst. Lösungsweg mit Zerlegung: Eine Anwendung des Zerlegungsprinzips besteht darin, das Rechteck wie in der Abbildung skizziert in zwei gleiche Dreiecke zu zerlegen, für die sich die Fläche aus den Angaben unmittelbar berechnen lässt. Die gestrichelte Grundseite hat genau die Gesamtbreite = 10 und die Höhe beträgt jeweils 4. Das Ergebnis ergibt sich dann direkt: A = 2 ½ 4 10 = 40 Beispiel 1: Flächenberechnung Wie groß ist das in der Abbildung dargestellte Rechteck? Lösungsweg ohne Zerlegung: Die Fläche eines Rechtecks ist gegeben durch das Produkt aus Länge und Breite. Betrachtet man die Symmetrien und Regelmäßigkeiten der Figur, so zeigt sich, dass sich diese durch den Satz des Pythagoras berechnen lassen. 2 2 Für die Breite gilt: B Für die Länge gilt: L Die Fläche ergibt sich folglich als: A = L B = 40. Dieses geometrische Beispiel veranschaulicht dir die Vorteile und die Idee des Zerlegungsprinzips. Der erste Lösungsweg (ohne Zerlegung) führt die Aufgabe auf die bekannte Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks zurück. Der Vorteil des zweiten Lösungsweges (mit Zerlegung) ist, dass die Berechnung hier wesentlich direkter und ohne Umwege über geometrische Sätze erfolgt, es werden keine Wurzeln oder der Satz des Pythagoras benötigt, lediglich die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks. Solcherlei Zerlegungen macht man sich im Alltag bei der Berechnung von Grundflächen einer Wohnung zunutze. Webcode: PM Steckbrief zum Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip 193

2 Aufgabe 1: Flächenberechnung in einem extravaganten Zimmer Die Abbildung zeigt den Grundriss eines sehr extravaganten Zimmers (Angaben in Meter). Paul möchte in diesem Zimmer einen Teppich verlegen. Wie viel Quadratmeter muss er mindestens kaufen? Berechne die Fläche mithilfe des Zerlegungsprinzips! [Lösung: 54 m²] Lösung: Zerlege das Sechseck wie skizziert in vier Dreiecke. Mithilfe dieser Zerlegung in Dreiecke lässt sich die Winkelsumme im Sechseck aus den Winkelsummen von vier Dreiecken berechnen, die jeweils bekanntlich 180 beträgt. Also ist die Innenwinkelsumme des Sechsecks = 720. Nicht nur bei Flächenberechnungen findet dieses Prinzip häufig Anwendung, die Verallgemeinerung des Innenwinkelsatzes am Dreieck ist damit auch sehr gut zu bewerkstelligen. Beispiel 2: Winkelsummensatz am Sechseck Wie groß ist die Summe der Innenwinkel eines Sechsecks? Aufgabe 2: Winkelsummensatz am n-eck Verallgemeinere den Zusammenhang für die Winkelsumme für das Sechseck auf ein beliebiges n-eck. Was hier am Beispiel von 2-dimensionalen Objekten veranschaulicht wurde, kann natürlich auch bei 3-dimensionalen Körpern reichlich Anwendung finden. So könnte man einen Kuppelbau etwa näherungsweise zerlegen in eine Halbkugel und einen Zylinder, um sein Volumen grob abschätzen zu können. Aufgabe 3: Zusammengesetzter Körper Zeichne einen Körper, den man für die Bestimmung seines Volumens in bekannte elementare Körper zerlegen kann, und bestimme sein Volumen. Stelle die Aufgabe dann deinen Klassenkameraden vor! In der Geometrie kann man das Zerlegungsprinzip zwar sehr gut veranschaulichen, jedoch ist es auf weitaus mehr Bereiche anwendbar. Schon beim ersten Kontakt mit der Mathematik, wenn die Grundrechenarten erlernt werden, macht man sich das Zerlegungsprinzip unter dem Stichwort intelligentes Rechnen zunutze. 194 Steckbrief zum Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip

3 Beispiel 3: Intelligentes Rechnen Berechne im Kopf folgende Summe: Lösung: Um möglichst geschickt zu rechnen, lernt man in der Grundschule, die Summe im Kopf wie folgt zu zerlegen: = = = Auch bei schwierigeren Berechnungen führt eine gezielte und systematische Zerlegung häufig zum Ziel. So beispielsweise bei der Bestimmung einer Teilermenge, bei der man entweder mehr oder minder systematisch mögliche Teiler durchprobiert oder über die Primfaktoren einen direkten Weg zu allen möglichen Teilern ausnutzt. Beispiel 4: Bestimmung einer Teilermenge Bestimme alle Teiler der Zahl 117. Lösungsweg ohne Zerlegung: Man geht alle Zahlen von 1 bis 59 (wegen des Kommutativgesetzes) durch und prüft, ob sie Teiler der Zahl 117 sind. Durch dieses Ausprobieren kann man die Menge der Teiler bestimmen. Schneller löst man diese Aufgabe jedoch, indem man etwa Vielfache von Nichtteilern nicht mehr betrachtet. Lösungsweg mit Zerlegung: Man bestimmt zunächst die Primfaktorzerlegung von 117 = Die Teiler sind genau alle Produkte aus den Primfaktoren, also T = {1, 3, 9, 13, 39, 117}. Auf ähnliche Weise verfährt man bei der Nullstellenbestimmung von Funktionen. Aufgabe 4: Nullstellenbestimmung einer Funktion Bestimme alle Nullstellen der Funktion: f(x) = (x² + 4x + 4) (x 2) (x 3)². Inwiefern kann man sich hierbei das Zerlegungsprinzip zunutze machen? Anwendung findet das Zerlegungsprinzip beispielsweise auch im Bereich der Algorithmen, etwa im Zusammenhang mit Sortierungen oder Optimierung. Wird beispielsweise der kürzeste Weg von einem Ort zu einem anderen über verschiedene Zwischenstationen gesucht, so modelliert man dieses Problem in einem Bild aus Netzen und Punkten. Die Punkte können dabei etwa Städte sein und die Kanten, die sie verbinden, Straßen mit einer bestimmten Länge. Sucht man nun den kürzesten Weg, so kann man durch systematisches Probieren bei kleinen Problemen schnell zu einer Lösung kommen. Dabei kann eine geschickte Zerlegung jedoch eine deutliche Beschleunigung bringen. Steckbrief zum Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip 195

4 Aufgabe 5: Suche nach dem kürzesten Weg Finde den kürzesten Weg von Punkt A zum Punkt R, wobei die Zahlen an den Kanten die jeweilige Weglänge angeben. Ein Weg hat also als Länge die Summe der Kanten, über die er verläuft. Tipp: Alle möglichen Wege durchzuprobieren ist relativ aufwändig. Allerdings kann man die möglichen Wege sehr gut zerlegen, da es Punkte gibt, über die man immer gehen muss. Bei der obigen Aufgabe wurde implizit die Eigenschaft ausgenutzt, dass ein optimaler Weg von Punkt A nach R in allen seinen Teilwegen nur aus optimalen Wegen besteht. Das heißt: Führt der optimale Weg also beispielsweise über die Knoten G und N, so gibt es auch keinen kürzeren Weg von G nach N als den im optimalen Weg enthaltenen. Würde es diesen geben, so könnte man diesen Teilweg im gefundenen optimalen Weg ersetzen und würde damit insgesamt einen besseren optimalen Weg erhalten, was natürlich nicht sein kann, da der optimale Weg schließlich schon optimal war. Dieses Prinzip macht sich die sogenannte Dynamische Programmierung zunutze, um Verfahren zu entwickeln, das Problem des kürzesten Weges allgemein zu lösen. In der Oberstufe wirst du weitere Zusammenhänge kennenlernen, in denen das Zerlegungsprinzip angewandt wird. Berechnet man beispielsweise die Ableitung einer Funktion, die durch eine Summe mehrerer Terme gegeben ist, so zerlegt man diese sofort nach der Summenregel in die Summe von Funktionen und leitet diese ab ebenso verfährt man auch bei der Integration. Man macht sich in beiden Fällen die Linearität der jeweiligen Operation zunutze, ein sehr allgemeines und nützliches Konzept in der Mathematik, welches das Zerlegungsprinzip in vielen Zusammenhängen begünstigt. Das Zerlegungsprinzip ist eine wesentliche Methode in der Mathematik, die insbesondere auch beim Beweisen von Aussagen Anwendung findet. Häufig werden in der Mathematik beim Beweisen sogenannte Fallunterscheidungen gemacht. Die allgemeine Situation wird dabei in unterschiedliche, spezielle Teilprobleme unterteilt, die zusammen alle möglichen Fälle abdecken. Die Fähigkeit der Analyse einer Situation und der Zerlegung des Problems in bestimmte Bestandteile ist geradezu eine charakteristische Fähigkeit des menschlichen Denkens, so werden beispielsweise in allen Naturwissenschaften Vorgänge analysiert, also gewissermaßen zerlegt. Ein Großteil unseres Verständnisses für Vorgänge in der Welt beruht auf der Fähigkeit, die Dinge so zu zerlegen, dass wir sie erfassen und begreifen können. Es lohnt sich also ungemein, sich Zerlegungen immer wieder bewusst zu machen und als heuristische Vorgehensweise zu verinnerlichen. 196 Steckbrief zum Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip

5 Das Ergänzungsprinzip Ein eng mit dem Zerlegungsprinzip verwandtes Prinzip ist das Ergänzungsprinzip. Das Ergänzungsprinzip ist weniger intuitiv als das Zerlegungsprinzip, da es der intuitiven gedanklichen Äquivalenz von vereinfachen und zerlegen widerspricht. Man ergänzt eine Problemstellung, so dass sie auf den ersten Blick zwar umfangreicher wird jedoch hierdurch wieder auf Bekanntes zurückgeführt werden kann. Das Ergänzungsprinzip wird an einem, wahrscheinlich schon aus dem Unterricht bekannten, geometrischen Beweis des Satzes des Pythagoras verdeutlicht. Beispiel 4: Beweis des Satzes des Pythagoras Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypothenusenquadrat. Lösungsweg mithilfe des Ergänzungsprinzips: Wenn wir uns das Dreieck mit den Seiten a, b, c anschauen, fällt es zunächst schwer, diesen Satz zu beweisen. Die Aufgabenstellung kannst du dir veranschaulichen, indem du die Quadratflächen über den Seiten des Dreiecks ergänzt: Nun kann man durch geeignete Anordnung der Quadratflächen und Kombination mit dem gegebenen Dreieck durch weitere Ergänzungen den Satz des Pythagoras beweisen: Wie man den beiden Figuren leicht entnehmen kann, haben die Seiten der großen Quadrate jeweils die Länge a + b und beide großen Quadrate enthalten je vier der ursprünglichen Dreiecke. Daraus folgt, dass das Quadrat über der Hypotenuse genauso groß sein muss, wie die beiden Quadrate über den Katheten. An diesem Beweis lässt sich auch schön sehen, wieso der Satz nur für rechtwinklige Dreiecke gilt. Aber nicht nur in der Geometrie wird das Ergänzungsprinzip häufig verwendet. Ein wichtiges Verfahren zum Lösen quadratischer Gleichungen basiert auf demselben Prinzip: Das Verfahren der quadratischen Ergänzung. Beispiel 5: Quadratische Ergänzung Betrachten wir die Gleichung x 2 + 6x = 27. Hier fällt es dir vermutlich schwer, eine Lösung zu sehen. Auch das Zerlegungsprinzip hilft hier nicht weiter. Jedoch kann man die Gleichung so ergänzen, dass man die Zahl 9 auf beiden Seiten addiert, sodass man eine binomische Formel anwenden kann: x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 = 36 x + 3 = ± 6 x = 3 oder x = -9 Somit haben wir die beiden Lösungen gefunden. Steckbrief zum Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip 197

6 Man kann also vergleichbar zum Zerlegungsprinzip folgende Grundidee des Ergänzungsprinzips festhalten: Merke: - Suche eine geeignete Erweiterung/ Ergänzung des Problems, um es in ein bekanntes Problem zu transformieren ( Analogieprinzip), oder - Suche eine geeignete Erweiterung/ Ergänzung des Problems, um Symmetrien zu erzeugen ( Symmetrieprinzip) Die Frage ist allerdings: Wie kommt man auf geeignete Erweiterungen? Im Gegensatz zum Zerlegungsprinzip, bei dem häufig nur überschaubar viele sinnvolle Möglichkeiten zur Zerlegung existieren können, kann man häufig unendlich viele Erweiterungen vornehmen. Wie erkennt man zielführende Erweiterungen? Wichtig ist hierbei, sich darauf zu besinnen, welche Gesetzmäßigkeiten im Kontext der Problemstellung bekannt sind. Kennt man das Ziel, wie beispielsweise bei einem Beweis, so sucht man Gesetzmäßigkeiten, mit denen man das Ziel erreichen könnte, und versucht die Problemstellung so zu erweitern, dass man diese Gesetzmäßigkeiten anwenden kann. Ist das Ziel jedoch nicht bekannt, beispielsweise bei offenen Aufgaben, so muss man leider häufig ein wenig probieren, wie dir nachfolgende Aufgabe zeigt. Aufgabe 6: Bestimmung eines Zusammenhangs zwischen Winkeln Mithilfe des Ergänzungsprinzips kann man folgende Figur so erweitern, dass sich mit elementaren geometrischen Mitteln ein Zusammenhang zwischen den Winkeln bei A, B und C zeigen lässt. Welcher Zusammenhang besteht zwischen diesen Winkeln? Lösungshinweise: Es bietet sich an, sich zunächst den Zusammenhang klar zu machen, etwa durch Ausprobieren einiger Werte. Jedoch auch ohne ein konkretes Ziel respektive ohne die Kenntnis des Zusammenhangs, kann man durch einige Überlegungen zu sinnvollen Erweiterungen kommen: Um einen geometrischen Zusammenhang zwischen drei Winkeln herzustellen, bietet es sich an, die Figur so zu erweitern, dass man eine geometrische Figur erhält, in der alle drei Winkel vorkommen und auch nur Kombinationen dieser drei Winkel. Falls du nicht selbst drauf kommst, hier ein paar aufeinander aufbauende Tipps. Tipp 1: Du kannst nicht nur die vorhandenen Dreiecke vergrößern, sondern sie auch überall gedreht, gespiegelt oder verschoben neu einzeichnen. Tipp 2: Die Gesetzmäßigkeit lautet A + B = C Tipp 3: Versuche durch Erweiterung ein neues, großes Dreieck zu konstruieren, in dem alle Winkel so vorkommen, dass sich die Formel daraus herleiten lässt. 198 Steckbrief zum Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip

7 Aufgabe 7: Höhensatz Beweise ähnlich zu dem oben vorgestellten Beweis des Satzes des Pythagoras, dass bei einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Höhe gleich p q ist. Darum ergänzen wir nun die Figur, wir kleben das linke Dreieck rechts an, und erhalten ein Rechteck mit den Seitenlängen g und h wie im Bild veranschaulicht. Lösungshinweise: Tipp 1: Zerlege das Dreieck zunächst in die zwei Teildreiecke, die p und h sowie h und q enthalten, wie oben in der Skizze schon angedeutet. Tipp 2: Ergänze die beiden Teildreiecke einmal um die Quadratfläche der Höhe und einmal um die Rechteckfläche p q. Bei der letzten Aufgabe wurden sowohl das Zerlegungsprinzip als auch das Ergänzungsprinzip verwendet. Siehst du, wo? Oft bietet sich eine Kombination aus Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip an. Hierbei wird ein Problem sowohl zerlegt als auch sinnvoll ergänzt. Um den Vorteil dieser Vorgehensweise an einem weiteren Beispiel zu illustrieren, schauen wir uns die Herleitung der Flächeninhaltsformel eines Parallelogramms an, diese besagt: A = Grundseite Höhe. Beispiel 3: Flächeninhaltsformel eines Parallelogramms Zunächst nehmen wir folgendes Parallelogramm und zerlegen dieses: Die Zerlegung alleine bringt uns jedoch nicht weiter, da wir die Längen der beiden roten Strecken im rechten Bild nicht kennen, sondern nur die Länge der vollständigen Grundseite g im linken. Fazit Das Zerlegungs- und das Ergänzungsprinzip sind sehr eng miteinander verwandt und basieren auf der gleichen Idee: eine Problemstellung so zu transformieren, dass man Bekanntes wieder erkennt. Das Zerlegungsprinzip ist dabei intuitiver anwendbar und aufgrund der häufig überschaubaren Möglichkeiten mitunter einfacher einzusetzen. Die beiden Prinzipien sind jedoch keineswegs gegeneinander austauschbar, sie ergänzen sich stattdessen, so dass die Beherrschung beider Prinzipien sinnvoll ist. Die beiden Prinzipien sind sowohl in der Mathematik als auch im alltäglichen Denken verankert, beispielsweise bei der Verarbeitung von Bildern durch das Auge. Dabei werden häufig Strukturen durch das Gehirn zerlegt oder ergänzt, um Bekanntes wiederzuerkennen. Im Bild ergänzt unser Gehirn beispielsweise weiße Kanten, sodass ein Dreieck sichtbar wird, obwohl diese Kanten eigentlich nicht enthalten sind. Steckbrief zum Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip 199