7 Grundzüge der Lehre von den sinusförmigen Wechselspannungen und

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1 Grndlagen der Elekroechnik I Grndzüge der Lehre von den sinsförmigen Wechselspannngen nd Wechselsrömen 7 Beschreibngsgrößen Sinsförmige Wechselspannngen bzw -sröme haben eine spezielle Zeiabhängigkei i () () i( ) ( ) (33) Im folgenden wird als Beispiel () berache Für i() gil das Analoge: ϕ/ω () û T ( ) ()! cos ω+ ϕ (7)

2 Grndlagen der Elekroechnik I Wichige Größen (nach DIN 5483): : Zei () : Momenanwer, Zeiwer, Agenblickswer, ia kleine Bchsaben oder große Bchsaben mi Index (zb Φ ) û : Amplide, Scheielwer, ia kleine Bchsaben mi Dach oder Index m, U ach Großbchsaben ω : Kreisfreqenz, Einhei /s f ω π : Freqenz, Einhei /s Hz (Herz) π T f ω : Periodendaer ϕ : Nllphasenwinkel, ϕ 0 cos - Verlaf ϕ -π/ sin - Verlaf Bedeng des Nllphasenwinkels: Eine Schwingng mi dem Nllphasenwinkel ϕ ϕ eil einer Schwingng mi dem Nllphasenwinkel ϕ 0 vor m ϕ ω, weil ϕ ω ( + ) ω + ω+ ϕ ω is Der Nllphasenwinkel is nr af k π (k ganzzahlig) gena angebbar: ( ω ϕ) ( ω ϕ π)! cos +! cos + + k

3 Grndlagen der Elekroechnik I Effekivwer: Milere Leisng P W in einem Widersand bei Speisng mi einer sinsförmigen Spannng der Amplide û: ( ) ( ) ( ) û û d cos lim û d cos û lim ()d lim d i lim P W ϕ + ω + + ϕ ω Die Größe U! (7) bezeichne man als Effekivwer ( kleine Bchsaben mi " ~" oder Index eff, oder Großbchsaben, zb ",, U eff ) Mi dem Effekivwer nach (7) ergib sich die Leisng z P U W (73) Den qadraischen Mielwer einer Wechselgröße bezeichne man als Effekivwer

4 Grndlagen der Elekroechnik I Zwei Beispiele zr Effekivwerbesimmng: 5/99 Effekivwere einer echeckspannng Die echeckspannng habe die Amplide U 0 () U 0 + d lim ( ) lim eff + U0 d U 0 Man erhäl schließlich U eff 0 Effekivwer einer einweggleichgericheen echeckspannng () U 0

5 Grndlagen der Elekroechnik I Drch Inegraion erhäl man + + U d U0 d lim ( ) lim eff 0 Dami gil U0 eff

6 Grndlagen der Elekroechnik I Sinsförmige Wechselvorgänge in der Technik 7 Elekrische Energieerzegng Wiederholng as 63: Φ() Φ() G 0 dφ d dφ d oierende ebene Schleife im homogenen Magnefeld: Schleifenfläche A ω B (homogenes Feld) Splenflß: Φ A B cos( ω ) (7) Indziere Spannng: dφ π ABω sin( ω) ABω cos ω + (7) d An den Klemmen der roierenden Schleife enseh somi eine sinsförmige Wechselspannng

7 Grndlagen der Elekroechnik I Technische ealisierng: 5/99 Φ ω Sänder x Sänderwicklng Läfer mi Erregerwicklng An den Klemmen der fessehenden Sänderwicklng kann die Wechselspannng abgenommen werden Lediglich der relaiv geringe Srom für die Erregerwicklng mß über Schleifringe zgeführ werden Sinsförmige Wechselspannng kann relaiv einfach as mechanischer oaionsbewegng erzeg werden drch Anwenden des Indkionsgesezes

8 Grndlagen der Elekroechnik I Transformierbarkei 5/99 A e Φ i i 0 n Windngen #e n Windngen Siehe Abschnie 63 nd 633 L Ae µ n, # e M A e µ nn # e, die Sreng sei Nll! Primär angelege Spannng:! cos( ω ) (7) Mi (635): (7) L di d Sekndärspannng mi (6335): (73) M di d As (7) nd (73) M nn n, L n n n ( ) n n n! cos ω (74)

9 Grndlagen der Elekroechnik I Zm Ermieln des sekndären Eingangswidersands wird die Primärqelle drch einen Krzschlß ersez (ideale Spannngsqelle) : 5/99 0, L di M di + 0, ( ) d d M di L di + ( ) d d As ( ): di d M di L d ( 3 ) (3 ) in ( ): M di L di M LL di L d d L d $ &&%&&' 0 wegen Srengsfreihei Dami is der sekndäre Eingangswidersand Nll Es gil das Ersazschalbild G ~ n n û cos (ω) Wechselspannngen nd Wechselsröme können drch Anwenden des Indkionsgesezes leich ransformier werden

10 Grndlagen der Elekroechnik I Forierdarsellng 5/99 Zwei Beispiele: echeckspannng: () U 0 T ω π Τ 4U0 cos( 3ω) cos( 5ω) cos( 7ω ) () cos( ω) + + π Zweiweggleichgerichee Sinsschwingng: () U 0 sin (ω) U 0 U0 4U0 cos( ω) cos( 4ω) cos( 6ω) () π π Komplizierere periodische Wechselvorgänge, die zb in der Nachrichenechnik afreen, lassen sich rechnerisch leicher behandeln, wenn man sie als Smme sinsoidaler Wechselvorgänge darsell Forieranalyse, enwickel von JBJ Forier

11 Grndlagen der Elekroechnik I Berechnen einfacher Wechselsromkreise 73 Ohmsche Widersände, Splen nd Kondensaoren in Wechselsromkreisen Ohmscher Widersand : i() i () (), (33) () ( ) () ˆ cos ω + j ( i ) i() ˆi cos ω + j, ( ι ) ˆ ( ) ˆi cos ω + j cos ω + j, As Koeffizienenvergleich ergib sich!! i, ji j () i() Bei einem ohmschen Widersand is das Verhälnis der Spannngsamplide û zr Sromamplide î û î (73) Srom nd Spannng sind in Phase, dh ji j (VZS)

12 Grndlagen der Elekroechnik I Sple mi der Indkiviä L: 5/99 i() L di d (), (635) () L ( ) ()! cos ω+ ϕ, ( ) i ()! i cos ω + ϕ i,! cos ( )! sin ( )! π ω + ϕ Li ω ω + ϕi ω L i cos ω + ϕi + Diese Umformng gil, da π sin x cos x + Man erhäl drch Koeffizienenvergleich!! i π ω L, ϕ ϕ + i () i()

13 Grndlagen der Elekroechnik I /99 Bei einer Sple mi der Indkiviä L is das Verhälnis der Spannngsamplide! zr Sromamplide! i! ω L (73)! i Für die Nllphasenwinkel gil ϕ π ϕ + (733) i Der Srom eil der Spannng m Scheinleiwer der Sple π nach (VZS) ω L heiß Scheinwidersand, ω ωl Beispiel:! 0V 3V, L 0mH, f 50 Hz!! 3 i ωl π 50 0 V 99 A Kondensaor mi der Kapaziä C: Der Kondensaor wird in Abschni 8 genaer besprochen Er is ein Baeil, das im Prinzip as zwei voneinander isolieren Meallkörpern (Elekroden), zb as zwei Meallplaen, beseh Jede Elekrode ha einen Anschlß Ein Kondensaor ha nendlichen Widersand bei Gleichsrom

14 Grndlagen der Elekroechnik I Leg man an den Kondensaor im Zeipnk 0 eine Gleichspannngsqelle mi der Qellspannng U 0 nd dem Innenwidersand i, so sellen sich die nen dargesellen Verläfe von Spannng () nd Srom i() ein i i() U 0 G q() q() () () i() U 0 U 0 i q C U 0 Der Kondensaor enhäl die von der Zei abhängige Ladng q() q() häng mi der Klemmenspannng () wie folg zsammen: q () C ( ) Der Proporionaliäsfakor C is eine charakerisische Größe des Kondensaors, die als Kapaziä des Kondensaors bezeichne wird Definiionseinhei der Definiionsgröße Kapaziä: [ C] As F (Farad) V

15 Grndlagen der Elekroechnik I Bei zeiabhängiger Spannng () beseh zwischen Klemmensrom i() nd Klemmenspannng () der Zsammenhang (VZS vorasgesez): () i() C d i () d q () Cd, d ( ) ()! cos ω+ ϕ, ( ) i ()! i cos ω + ϕ i,! π icos ( ω + ϕi) ω C! sin ( ω + ϕ) ω C! cos ω + ϕ + Man erhäl drch Koeffizienenvergleich!! i ω C, ϕ ϕ π i + () i()

16 Grndlagen der Elekroechnik I Bei einem Kondensaor mi der Kapaziä C is das Verhälnis der Spannngsamplide! zr Sromamplide! i!! i ω C (734) 5/99 Für die Nllphasenwinkel gil ϕ i π ϕ + (735) π Der Srom eil der Spannng m vor (VZS) ω C heiß Scheinleiwer, ω heiß Scheinwidersand des Kondensaors ωc Beispiel:! 0 V 3V, C 0 F, f 50 Hz µ,! 5 i! ωc 3 π 50 0 A 0, 976A 73 Addiion gleichfreqener sinsförmiger Wechselgrößen In Wechselsromschalngen sind häfig alle Sröme nd Spannngen gleichfreqen Bei der Behandlng solcher Schalngen müssen Wechselgrößen gleicher Freqenz, aber nerschiedlicher Nllphase addier werden, wenn man die Kirchhoffschen Säze anwende Man finde, daß als Smme wieder ein gleichfreqener Sinsverlaf afri Im allgemeinen ineressieren dann die Amplide nd der Nllphasenwinkel der Smme

17 Grndlagen der Elekroechnik I Beispiel: i() () û cos(ω + ϕ ) () L L () û L cos(ω + ϕ L ) Geg: ()! cos( + ) ()! cos( + ) ω ϕ, ω ϕ L L L Ges: () () + L()! cos( ω+ ϕ ),! f(!,!, ϕ, ϕ ), ϕ g ( ϕ ϕ ) L L!,!,, L L Allgemein: () û cos(ω+ϕ) () û cos(ω+ϕ ) () û cos(ω+ϕ ) In diesem Fall is gesch ( )! f!,!, ϕ, ϕ, (!,!,, ) ϕ g ϕ ϕ

18 Grndlagen der Elekroechnik I Berechnng von! nd ϕ: ( ω ϕ ) ( ω ϕ ) ( ω ϕ)! cos + +! cos +! cos + Mi dem Addiionsheorem cos( α + β) cosα cosβ sin α sinβ erhäl man! ( ) ( ) cos ω cos ϕ! sin ω sinϕ +! cos( ω) cos ϕ! sin( ω) sinϕ! cos( ω) cos ϕ! sin( ω) sin ϕ Koeffizienenvergleich:! cos ϕ +! cos ϕ! cosϕ, (73)! sin ϕ +! sin ϕ! sinϕ (73) As (73) nd (73) ergib sich drch Division anϕ! sin ϕ +! sin ϕ! cos ϕ +! cosϕ (733) As (73) nd (73) erhäl man drch Qadrieren nd Addieren ( ϕ+ ϕ) + + ( ϕ ϕ + ϕ ϕ )! cos sin!!!! cos cos sin sin $ &&%&&' $ &&&&&%&&&&&', cos( ϕ ϕ )!! +! +!! cos( ϕ ϕ ) (734)

19 Grndlagen der Elekroechnik I Sonderfälle: nd gleichphasig ϕ ϕ 0,!! +! +!!! +! nd gegenphasig ϕ ϕ ± π,!! +!!!!! 3 eil m π vor ϕ ϕ π,!! +! + 0! +!

20 Grndlagen der Elekroechnik I Zeigerdiagramm: (733) nd (734) können anhand eines Zeigerdiagramms veranschalich werden Zeiger sind symbolische Größen, drch die Amplide nd Nllphasenwinkel des bereffenden sinsförmigen Wechselvorgangs asgedrück werden Die Zeigerlänge ensprich der Amplide, der Winkel zwischen Zeiger nd posiiver horizonaler Achse ensprich dem Nllphasenwinkel û û û sin ϕ û sin ϕ ϕ ϕ û cos ϕ û cos ϕ û û û û ϕ ϕ ϕ Addier man zwei gleichfreqene sinsförmige Wechselgrößen, so erhäl man den Zeiger der Smme drch vekorielle Addiion der Zeiger der beiden Wechselgrößen

21 Grndlagen der Elekroechnik I Beispiel: Geg:! 00V, ϕ 0,! 00 V, ϕ 45, Ges: 3 +,! 3, ϕ 3 Zeigerdiagramm: û û 3 û echnng: anϕ 3! sin ϕ +! sinϕ! cos ϕ +! cosϕ , ϕ 3 30, 3!! +! +!! cos( ϕ ϕ ) V, 3!3 80 V

22 Grndlagen der Elekroechnik I Unerschng einfacher Schalngen Widersand nd Sple in eihe: i() () Geg: i ()! i cos ( ω ) () L L () Ges: ( ), L ( ), ( ), û Z (Scheinwidersand) nd î Phasenverschiebng zwischen () nd i () Wegen dem Kirchhoffschen Saz is der Srom in nd L gleich i() Wegen (73) gil ()! i cos ( ω)! cos( ω ) Mi (73) erhäl man L() L! π i cos +! L cos + π ω ω ω Wegen dem Kirchhoffschen Saz gil dann ( ) ()! cos ω+ ϕ ( ) + ( ) L Zeigerdiagramm: û L π ϕ û û () eil gegenüber i() vor î

23 Grndlagen der Elekroechnik I !! +!! i + ( L) L ω, (733a) 5/99! L ωl anϕ!, (733b) Z û + ( ωl) (733c) î Anmerkng: Die oben behandele Serienschalng is das Ersazschalbild einer verlsbehafeen Sple Die Größe Q ωl heiß Güefakor, die Größe d Verlsfakor der Sple ωl ϕ π Z ω ω

24 Grndlagen der Elekroechnik I Widersand nd Kondensaor parallel: i() i C () i () Geg: ()! cos( ω ) () C Ges: i ( ), ic ( ), i( ), z!! i (Scheinwidersand) nd Phasenverschiebng zwischen () nd i () Wegen (73) gil i! () cos ( ω )! i ( ) cos ω Mi (733) erhäl man π ic() C! cos +! ic cos + π ω ω ω Wegen dem Kirchhoffschen Saz gil dann ( ) i ()! i cos ω + ϕ i ( ) + i ( ) C Zeigerdiagramm: î C î i() eil gegenüber () vor π ϕ î û

25 Grndlagen der Elekroechnik I !!! i i + i! + ( C) C ω, (733a)! ic anϕ ωc! i, (733b) Z û (733c) î + ( ωc) Anmerkng: Die oben behandele Parallelschalng is das Ersazschalbild eines verlsbehafeen Kondensaors Die Größe Q ωc heiß Güefakor, die Größe d Verlsfakor ωc des Kondensaors ϕ π Z ω ω

26 Grndlagen der Elekroechnik I Widersand nd Sple parallel: i() i L () i () Geg: ()! cos( ω ) () L Ges: i ( ), i ( ), i( ), Y i!! (Scheinleiwer) L!! i () i i ( ) L() + () cos ω π + cos ω ωl Zeigerdiagramm: ϕ î û π î L î!!! i! + L +, (7333a) ω ( ωl)! il anϕ! i ωl, (7333b) Y! i +! ( ωl) (7333c)

27 Grndlagen der Elekroechnik I Widersand nd Kondensaor in eihe: i() () Geg: i ()! i cos ( ω ) () C C () Ges: ( ), C ( ), ( ), û Z (Scheinwidersand) î! i () i ( ) () C()! + cos ω + cosω π ωc Zeigerdiagramm: î ϕ û π û C û!! (! i i) +! i + ωc ( ωc), (7334a)! C anϕ! ωc, (7334b) Z û + (7334c) î ( ωc)

28 Grndlagen der Elekroechnik I Serienresonanzkreis: i() () Geg: i ()! i cos ( ω ) () C C () Ges: L( ), ( ), C (), (), L L () û Z (Scheinwidersand) î Zeigerdiagramm: () L() + C() + ()! π! i π i ωl cosω+ + cosω +! i cos( ω) C $ ω &&%&& '! i π cos ω + ωc! i L cos! i cos( ) C + π ω ω + ω ω û L π û ϕ û î û C

29 Grndlagen der Elekroechnik I !! i + ωl ωc, (7335a) ωl anϕ ωc, (7335b) Z + ωl (7335c) ωc Bei einer gewissen Freqenz verschwinde der zweie Smmand ner der Wrzel Diese Freqenz heiß esonanzfreqenz f ω L 0 ω ω C,, LC f π LC (7336) Z ûcons f f ϕ π ûcons î ûcons f f π f f

30 Grndlagen der Elekroechnik I Beispiel: 0, kω, L mh, C 0, µ F,! V, 5 0 f Hz Hz 5, 8kHz, 3 7 π LC π 0 0 π Bei esonanz gil:!! i A 0mA 0 Doppele esonanzfreqenz: z , 5 0 Ω 00 3, 5 Ω 80Ω Ω 0 + ( 00 50) 4 Ω!! i A 555, ma z 80

31 Grndlagen der Elekroechnik I Parallelresonanzkreis: i() î cos (ω+ϕ) i C () i () i L () () û cos (ω) C L Y î cons û î cons f f f f Anmerkng: esonanzkreise werden z Filerzwecken verwende

32 Grndlagen der Elekroechnik I Wechselsromleisng i() () Verbracher ( ) i () Icos + $%' ω ϕ i,! i ( ) () Ucos + $%' ω ϕ! Scheinleisng: PS U I (74) Milere Leisng (Wirkleisng): P W + + lim i d U I ( + ) ( + i) d lim cos ω ϕ cos ω ϕ Mi dem Addiionsheorem [ ( ) ( )] cosα cosβ cos α β + cos α+ β erhäl man P W + UI lim [ ( i) ( i) ] d cos ϕ ϕ + cos ω + ϕ + ϕ UI cos( ϕ ϕi) lim U I ( i) cos ϕ ϕ

33 Grndlagen der Elekroechnik I Die von einem Zweipol afgenommene milere Leisng (Wirkleisng) is mi den Effekivweren U nd I sowie den Nllphasenwinkeln ϕ nd ϕ i von Klemmenspannng bzw Klemmensrom PW ( ϕ ϕ ) U I cos i (74) Verbracherzählpfeilsysem is vorasgesez Beispiele: Sple: i() i ()! i cos ( ω ), () L () Li! π ω cos ω +, P! W i L π ω cos 0 Kondensaor: i() i ()! i cos ( ω ), () C! i π () cosω ωc, P! W i C π cos 0 ω

34 Grndlagen der Elekroechnik I Verlsbehafee Sple: i() () i ()! i cos ( ω ), Z zeigen: L i PW! (bekann) As (733): L ()! ω i + ( ωl) cos ( ω+ ϕ), an ϕ, cosϕ + an ϕ + ( ωl) As (74): P! i i i ( L) i!! )!! + ω! cos( ϕ ϕ ) cosϕ 0 + ( ωl)! i W i

35 Grndlagen der Elekroechnik I Momenanleisng: P W ( ) ( ) p() () i() i ˆˆ cos w + j cos w + j ûi ˆ Ècos( i) cos( i) Î j -j + w +j +j UIcos( j -j i) + UIcos( w +j +ji) $&&%&&' i p() P W Im allgemeinen sreb man an, daß p() möglichs wenig ins Negaive geh (geringe Blindleisng) Dies is erfüll, wenn ϕ ϕ nahe bei Nll lieg, dh bei nahez ohmschen Verbrachern i