TUD Wärmeleitung und Phasenübergang. Temperatur T1 unter 0 C Eis, Temperaturprofil. Wasser, Temperatur knapp über 0 C

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1 4.1.4 Wärmeleitung und Phasenübergang Temperatur T1 unter 0 C Eis, Temperaturprofil Wasser, Temperatur knapp über 0 C Wenn zusätzliches Wasser gefriert, muß Schmelzwärme durch die Eisschicht nach außen abgeführt werden. TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 1 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

2 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 2 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Wärmeleitung und Phasenübergang Temperatur T1 unter 0 C Eis, Temperaturprofil Wasser, Temperatur knapp über 0 C Wenn zusätzliches Wasser gefriert, muß Schmelzwärme durch die Eisschicht nach außen abgeführt werden. Bei langsam wandernder Gefrierfront herrscht immer näherungsweise stationäres Temperaturprofil im Eis. Dann gilt für Wärmestrom: j Q = T aussen T schmelz x

3 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 3 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Wärmeleitung und Phasenübergang Temperatur T1 unter 0 C Eis, Temperaturprofil Wasser, Temperatur knapp über 0 C Wenn zusätzliches Wasser gefriert, muß Schmelzwärme durch die Eisschicht nach außen abgeführt werden. Bei langsam wandernder Gefrierfront herrscht immer näherungsweise stationäres Temperaturprofil im Eis. Dann gilt für Wärmestrom: j Q = T aussen T schmelz x Wärmestrom reicht aus, um Schmelzwärme entsprechend einer Wachstumsrate d x d t = j Q H F, spez =T aussen T schmelz x H F, spez abzuführen.

4 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 4 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Wärmeleitung und Phasenübergang Temperatur T1 unter 0 C Eis, Temperaturprofil Wasser, Temperatur knapp über 0 C Wenn zusätzliches Wasser gefriert, muß Schmelzwärme durch die Eisschicht nach außen abgeführt werden. Bei langsam wandernder Gefrierfront herrscht immer näherungsweise stationäres Temperaturprofil im Eis. Dann gilt für Wärmestrom: j Q = T aussen T schmelz x Wärmestrom reicht aus, um Schmelzwärme entsprechend einer Wachstumsrate d x d t = j Q H F, spez =T aussen T schmelz Umformen führt zu x d x= T aussen T schmelz d t x H F, spez H F, spez abzuführen.

5 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 5 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Wärmeleitung und Phasenübergang Temperatur T1 unter 0 C Eis, Temperaturprofil Wasser, Temperatur knapp über 0 C Wenn zusätzliches Wasser gefriert, muß Schmelzwärme durch die Eisschicht nach außen abgeführt werden. Bei langsam wandernder Gefrierfront herrscht immer näherungsweise stationäres Temperaturprofil im Eis. Dann gilt für Wärmestrom: j Q = T aussen T schmelz x Wärmestrom reicht aus, um Schmelzwärme entsprechend einer Wachstumsrate d x d t = j Q H F, spez =T aussen T schmelz Umformen führt zu x d x= T aussen T schmelz d t x H F, spez x H F, spez abzuführen. 1 Integration: 2 x2 = T aussen T schmelz t H F, spez

6 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 6 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Wärmeleitung und Phasenübergang Temperatur T1 unter 0 C Eis, Temperaturprofil Wasser, Temperatur knapp über 0 C Wenn zusätzliches Wasser gefriert, muß Schmelzwärme durch die Eisschicht nach außen abgeführt werden. Bei langsam wandernder Gefrierfront herrscht immer näherungsweise stationäres Temperaturprofil im Eis. Dann gilt für Wärmestrom: j Q = T aussen T schmelz x Wärmestrom reicht aus, um Schmelzwärme entsprechend einer Wachstumsrate d x d t = j Q H F, spez =T aussen T schmelz Umformen führt zu x d x= T aussen T schmelz d t x H F, spez H F, spez abzuführen. 1 Integration: 2 x2 = T aussen T schmelz t H F, spez x= 2T aussen T schmelz t H F, spez

7 4.1.4 Wärmeleitung und Phasenübergang Temperatur T1 unter 0 C Eis, Temperaturprofil Wasser, Temperatur knapp über 0 C Wenn zusätzliches Wasser gefriert, muß Schmelzwärme durch die Eisschicht nach außen abgeführt werden. Bei langsam wandernder Gefrierfront herrscht immer näherungsweise stationäres Temperaturprofil im Eis. Dann gilt für Wärmestrom: j Q = T aussen T schmelz x Wärmestrom reicht aus, um Schmelzwärme entsprechend einer Wachstumsrate d x d t = j Q H F, spez =T aussen T schmelz Umformen führt zu x d x= T aussen T schmelz d t x H F, spez H F, spez abzuführen. 1 Integration: 2 x2 = T aussen T schmelz t H F, spez x= 2T aussen T schmelz t H F, spez Stefan-Formel für das Wachstum von See-Eis (1890) TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 7 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

8 4.1.4 Wärmeleitung und Phasenübergang Temperatur T1 unter 0 C Eis, Temperaturprofil Wasser, Temperatur knapp über 0 C <Ähnliche Betrachungen auch für Schmelzen von Eis in fester Matrix anwendbar (z.b. Boden- Wasser)> Wenn zusätzliches Wasser gefriert, muß Schmelzwärme durch die Eisschicht nach außen abgeführt werden. Bei langsam wandernder Gefrierfront herrscht immer näherungsweise stationäres Temperaturprofil im Eis. Dann gilt für Wärmestrom: j Q = T aussen T schmelz x Wärmestrom reicht aus, um Schmelzwärme entsprechend einer Wachstumsrate d x d t = j Q H F, spez =T aussen T schmelz Umformen führt zu x d x= T aussen T schmelz d t x H F, spez H F, spez abzuführen. 1 Integration: 2 x2 = T aussen T schmelz t H F, spez x= 2T aussen T schmelz t H F, spez Stefan-Formel für das Wachstum von See-Eis (1890) TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 8 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

9 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 9 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Wärmeleitung in Flüssigkeiten und Gasen Bisher nur Wärmeleitung in Festkörpern betrachtet. Typische Wärmeleitfähigkeiten für massive Festkörper: ca Wm -1 K -1 bis einige 100 Wm -1 K -1.

10 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 10 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Wärmeleitung in Flüssigkeiten und Gasen Bisher nur Wärmeleitung in Festkörpern betrachtet. Typische Wärmeleitfähigkeiten für massive Festkörper: ca Wm -1 K -1 bis einige 100 Wm -1 K -1. Wärmeleitfähigkeit von Flüssigkeiten: Wärmeträgeröl: Wm -1 K -1, Wasser 0.6 Wm -1 K -1 (Vergleich: Eis 2.2 Wm -1 K -1 ) Im Vergleich zu typischen Festkörpern relativ niedrig.

11 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 11 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Wärmeleitung in Flüssigkeiten und Gasen Bisher nur Wärmeleitung in Festkörpern betrachtet. Typische Wärmeleitfähigkeiten für massive Festkörper: ca Wm -1 K -1 bis einige 100 Wm -1 K -1. Wärmeleitfähigkeit von Flüssigkeiten: Wärmeträgeröl: Wm -1 K -1, Wasser 0.6 Wm -1 K -1 (Vergleich: Eis 2.2 Wm -1 K -1 ) Im Vergleich zu typischen Festkörpern relativ niedrig. <Warum fühlt sich dann Wasser trotzdem kälter an, als z.b. Polystyrol?>

12 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 12 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Wärmeleitung in Flüssigkeiten und Gasen Bisher nur Wärmeleitung in Festkörpern betrachtet. Typische Wärmeleitfähigkeiten für massive Festkörper: ca Wm -1 K -1 bis einige 100 Wm -1 K -1. Wärmeleitfähigkeit von Flüssigkeiten: Wärmeträgeröl: Wm -1 K -1, Wasser 0.6 Wm -1 K -1 (Vergleich: Eis 2.2 Wm -1 K -1 ) Im Vergleich zu typischen Festkörpern relativ niedrig. <Warum fühlt sich dann Wasser trotzdem kälter an, als z.b. Polystyrol?> Wärmeleitfähigkeit von Gasen (bei Standard-Bedingungen 298 K und 1013 hpa): Luft: Wm -1 K -1, Kohlendioxid: Wm -1 K -1, Sehr niedrige Wärmeleitfähigkeit, vergleichbar mit guten porösen Dämmstoffen.

13 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 13 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Wärmeleitung in Flüssigkeiten und Gasen Bisher nur Wärmeleitung in Festkörpern betrachtet. Typische Wärmeleitfähigkeiten für massive Festkörper: ca Wm -1 K -1 bis einige 100 Wm -1 K -1. Wärmeleitfähigkeit von Flüssigkeiten: Wärmeträgeröl: Wm -1 K -1, Wasser 0.6 Wm -1 K -1 (Vergleich: Eis 2.2 Wm -1 K -1 ) Im Vergleich zu typischen Festkörpern relativ niedrig. <Warum fühlt sich dann Wasser trotzdem kälter an, als z.b. Polystyrol?> Wärmeleitfähigkeit von Gasen (bei Standard-Bedingungen 298 K und 1013 hpa): Luft: Wm -1 K -1, Kohlendioxid: Wm -1 K -1, Sehr niedrige Wärmeleitfähigkeit, vergleichbar mit guten porösen Dämmstoffen. <Versuch: Leidenfrost'sches Phänomen>

14 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 14 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Wärmeleitung in Flüssigkeiten und Gasen Bisher nur Wärmeleitung in Festkörpern betrachtet. Typische Wärmeleitfähigkeiten für massive Festkörper: ca Wm -1 K -1 bis einige 100 Wm -1 K -1. Wärmeleitfähigkeit von Flüssigkeiten: Wärmeträgeröl: Wm -1 K -1, Wasser 0.6 Wm -1 K -1 (Vergleich: Eis 2.2 Wm -1 K -1 ) Im Vergleich zu typischen Festkörpern relativ niedrig. <Warum fühlt sich dann Wasser trotzdem kälter an, als z.b. Polystyrol?> Wärmeleitfähigkeit von Gasen (bei Standard-Bedingungen 298 K und 1013 hpa): Luft: Wm -1 K -1, Kohlendioxid: Wm -1 K -1, Sehr niedrige Wärmeleitfähigkeit, vergleichbar mit guten porösen Dämmstoffen. <Versuch: Leidenfrost'sches Phänomen> Wärmeleitfähigkeit sinkt mit abnehmendem Gasdruck.

15 4.1.5 Wärmeleitung in Flüssigkeiten und Gasen Bisher nur Wärmeleitung in Festkörpern betrachtet. Typische Wärmeleitfähigkeiten für massive Festkörper: ca Wm -1 K -1 bis einige 100 Wm -1 K -1. Wärmeleitfähigkeit von Flüssigkeiten: Wärmeträgeröl: Wm -1 K -1, Wasser 0.6 Wm -1 K -1 (Vergleich: Eis 2.2 Wm -1 K -1 ) Im Vergleich zu typischen Festkörpern relativ niedrig. <Warum fühlt sich dann Wasser trotzdem kälter an, als z.b. Polystyrol?> Wärmeleitfähigkeit von Gasen (bei Standard-Bedingungen 298 K und 1013 hpa): Luft: Wm -1 K -1, Kohlendioxid: Wm -1 K -1, Sehr niedrige Wärmeleitfähigkeit, vergleichbar mit guten porösen Dämmstoffen. <Versuch: Leidenfrost'sches Phänomen> Wärmeleitfähigkeit sinkt mit abnehmendem Gasdruck. Niedrige Wärmeleitfähigkeit in Dämmstoffen: praktisch ausschließlich durch Wärmeleitung im Gas bedingt Dünne Wärmebrücken, sehr lange Wege im Vergleich zu Schichtdicke Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 15 TUD Prof. Dr. Nikolaus Nestle

16 4.1.5 Wärmeleitung in Flüssigkeiten und Gasen Bisher nur Wärmeleitung in Festkörpern betrachtet. Typische Wärmeleitfähigkeiten für massive Festkörper: ca Wm -1 K -1 bis einige 100 Wm -1 K -1. Wärmeleitfähigkeit von Flüssigkeiten: Wärmeträgeröl: Wm -1 K -1, Wasser 0.6 Wm -1 K -1 (Vergleich: Eis 2.2 Wm -1 K -1 ) Im Vergleich zu typischen Festkörpern relativ niedrig. <Warum fühlt sich dann Wasser trotzdem kälter an, als z.b. Polystyrol?> Wärmeleitfähigkeit von Gasen (bei Standard-Bedingungen 298 K und 1013 hpa): Luft: Wm -1 K -1, Kohlendioxid: Wm -1 K -1, Sehr niedrige Wärmeleitfähigkeit, vergleichbar mit guten porösen Dämmstoffen. <Versuch: Leidenfrost'sches Phänomen> Wärmeleitfähigkeit sinkt mit abnehmendem Gasdruck. Niedrige Wärmeleitfähigkeit in Dämmstoffen: praktisch ausschließlich durch Wärmeleitung im Gas bedingt <Konsequenzen für Isoliermaterialien mit noch geringerer Wärmeleitfähigkeit?> Dünne Wärmebrücken, sehr lange Wege im Vergleich zu Schichtdicke TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 16 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

17 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 17 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Mikroskopische Vorstellung zur Wärmeleitfähigkeit in Gasen: Geschwindigkeitsänderungen bei Stößen von Teilchen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Anzahl der Stöße hängt von mittlerer freier Weglänge ab. = 1 3 v l c V, spez Mittlere freie Weglänge

18 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 18 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Mikroskopische Vorstellung zur Wärmeleitfähigkeit in Gasen: Geschwindigkeitsänderungen bei Stößen von Teilchen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Anzahl der Stöße hängt von mittlerer freier Weglänge ab. = 1 3 v l c V, spez Einatomiges, ideales Gas: Mittlere freie Weglänge = 1 2 v lk N

19 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 19 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Mikroskopische Vorstellung zur Wärmeleitfähigkeit in Gasen: Geschwindigkeitsänderungen bei Stößen von Teilchen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Anzahl der Stöße hängt von mittlerer freier Weglänge ab. = 1 3 v l c V, spez Einatomiges, ideales Gas: Mittlere freie Weglänge = 1 2 v lk N 1. Abhängigkeit von der Molekülmasse

20 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 20 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Mikroskopische Vorstellung zur Wärmeleitfähigkeit in Gasen: Geschwindigkeitsänderungen bei Stößen von Teilchen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Anzahl der Stöße hängt von mittlerer freier Weglänge ab. = 1 3 v l c V, spez Einatomiges, ideales Gas: Mittlere freie Weglänge = 1 2 v lk N 1. Abhängigkeit von der Molekülmasse Mittlere Geschwindigkeit aus kinetischer Gastheorie v= 8 kt m

21 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 21 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Mikroskopische Vorstellung zur Wärmeleitfähigkeit in Gasen: Geschwindigkeitsänderungen bei Stößen von Teilchen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Anzahl der Stöße hängt von mittlerer freier Weglänge ab. = 1 3 v l c V, spez Einatomiges, ideales Gas: Mittlere freie Weglänge = 1 2 v lk N 1. Abhängigkeit von der Molekülmasse Mittlere Geschwindigkeit aus kinetischer Gastheorie v= 8 kt m Wärmeleitfähigkeit nimmt mit zunehmender Molekülmasse ab!

22 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 22 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Mikroskopische Vorstellung zur Wärmeleitfähigkeit in Gasen: Geschwindigkeitsänderungen bei Stößen von Teilchen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Anzahl der Stöße hängt von mittlerer freier Weglänge ab. = 1 3 v l c V, spez Einatomiges, ideales Gas: Mittlere freie Weglänge = 1 2 v lk N 1. Abhängigkeit von der Molekülmasse Mittlere Geschwindigkeit aus kinetischer Gastheorie Wärmeleitfähigkeit verschiedener Gase unter Standardbedingungen: Wasserstoff: Wm -1 K -1, Helium: Wm -1 K -1, Methan: 0.03 Wm -1 K -1, Luft: Wm -1 K -1, CO 2 : Wm -1 K -1, SO 2 : Ne: Wm -1 K-1, Ar: Wm -1 K -1, Kr: Wm -1 K -1, Xe: Wm -1 K -1, v= 8 kt m Wärmeleitfähigkeit nimmt mit zunehmender Molekülmasse ab!

23 Mikroskopische Vorstellung zur Wärmeleitfähigkeit in Gasen: Geschwindigkeitsänderungen bei Stößen von Teilchen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Anzahl der Stöße hängt von mittlerer freier Weglänge ab. = 1 3 v l c V, spez Einatomiges, ideales Gas: Mittlere freie Weglänge = 1 2 v lk N 1. Abhängigkeit von der Molekülmasse Mittlere Geschwindigkeit aus kinetischer Gastheorie Wärmeleitfähigkeit verschiedener Gase unter Standardbedingungen: Wasserstoff: Wm -1 K -1, Helium: Wm -1 K -1, Methan: 0.03 Wm -1 K -1, Luft: Wm -1 K -1, CO 2 : Wm -1 K -1, SO 2 : Ne: Wm -1 K-1, Ar: Wm -1 K -1, Kr: Wm -1 K -1, Xe: Wm -1 K -1, v= 8 kt m Wärmeleitfähigkeit nimmt mit zunehmender Molekülmasse ab! <Anwendung im Bauwesen bei sehr hochwertigen Mehrfachscheiben-Fenstern: Kr-Füllung des Scheibenzwischenraums> TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 23 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

24 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 24 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Mikroskopische Vorstellung zur Wärmeleitfähigkeit in Gasen: Geschwindigkeitsänderungen bei Stößen von Teilchen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Anzahl der Stöße hängt von mittlerer freier Weglänge ab. = 1 3 v l c V, spez Einatomiges, ideales Gas: Mittlere freie Weglänge = 1 2 v lk N 2. Abhängigkeit vom Druck

25 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 25 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Mikroskopische Vorstellung zur Wärmeleitfähigkeit in Gasen: Geschwindigkeitsänderungen bei Stößen von Teilchen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Anzahl der Stöße hängt von mittlerer freier Weglänge ab. = 1 3 v l c V, spez Einatomiges, ideales Gas: Mittlere freie Weglänge = 1 2 v lk N 2. Abhängigkeit vom Druck Proportional zum Druck.

26 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 26 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Mikroskopische Vorstellung zur Wärmeleitfähigkeit in Gasen: Geschwindigkeitsänderungen bei Stößen von Teilchen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Anzahl der Stöße hängt von mittlerer freier Weglänge ab. = 1 3 v l c V, spez Einatomiges, ideales Gas: Mittlere freie Weglänge = 1 2 v lk N 2. Abhängigkeit vom Druck Proportional zum Druck. <Gibt es noch weitere druckabhängige Größen in dieser Beziehung?>

27 Mikroskopische Vorstellung zur Wärmeleitfähigkeit in Gasen: Geschwindigkeitsänderungen bei Stößen von Teilchen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Anzahl der Stöße hängt von mittlerer freier Weglänge ab. = 1 3 v l c V, spez Einatomiges, ideales Gas: Mittlere freie Weglänge = 1 2 v lk N 2. Abhängigkeit vom Druck Proportional zum Druck. <Gibt es noch weitere druckabhängige Größen in dieser Beziehung?> Wegstrecke, die ein Molekül im Mittel zwischen zwei Stößen zurücklegt. l=v Unabhängig vom Druck TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 27 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

28 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 28 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Mikroskopische Vorstellung zur Wärmeleitfähigkeit in Gasen: Geschwindigkeitsänderungen bei Stößen von Teilchen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Anzahl der Stöße hängt von mittlerer freier Weglänge ab. = 1 3 v l c V, spez Einatomiges, ideales Gas: Mittlere freie Weglänge = 1 2 v lk N 2. Abhängigkeit vom Druck Proportional zum Druck. <Gibt es noch weitere druckabhängige Größen in dieser Beziehung?> Wegstrecke, die ein Molekül im Mittel zwischen zwei Stößen zurücklegt. l=v Unabhängig vom Druck Mittlere Zeit zwischen zwei Stößen, Kehrwert der Stoßrate

29 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 29 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Mikroskopische Vorstellung zur Wärmeleitfähigkeit in Gasen: Geschwindigkeitsänderungen bei Stößen von Teilchen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Anzahl der Stöße hängt von mittlerer freier Weglänge ab. = 1 3 v l c V, spez Einatomiges, ideales Gas: Mittlere freie Weglänge = 1 2 v lk N 2. Abhängigkeit vom Druck Proportional zum Druck. <Gibt es noch weitere druckabhängige Größen in dieser Beziehung?> Wegstrecke, die ein Molekül im Mittel zwischen zwei Stößen zurücklegt. l=v Unabhängig vom Druck Mittlere Zeit zwischen zwei Stößen, Kehrwert der Stoßrate Gedankenexperiment: Ruhende, zufällig verteilte Stoßpartner Stoßrate proportional zur Teilchenzahl 1 N p

30 Mikroskopische Vorstellung zur Wärmeleitfähigkeit in Gasen: Geschwindigkeitsänderungen bei Stößen von Teilchen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Anzahl der Stöße hängt von mittlerer freier Weglänge ab. = 1 3 v l c V, spez Einatomiges, ideales Gas: Mittlere freie Weglänge = 1 2 v lk N 2. Abhängigkeit vom Druck Proportional zum Druck. <Gibt es noch weitere druckabhängige Größen in dieser Beziehung?> Wegstrecke, die ein Molekül im Mittel zwischen zwei Stößen zurücklegt. l=v Unabhängig vom Druck Mittlere Zeit zwischen zwei Stößen, Kehrwert der Stoßrate Gedankenexperiment: Ruhende, zufällig verteilte Stoßpartner Stoßrate proportional zur Teilchenzahl Genaue Rechnung zeigt: 1 = d 2 2 v N 1 N p TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 30 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

31 Mikroskopische Vorstellung zur Wärmeleitfähigkeit in Gasen: Geschwindigkeitsänderungen bei Stößen von Teilchen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Anzahl der Stöße hängt von mittlerer freier Weglänge ab. = 1 3 v l c V, spez Einatomiges, ideales Gas: Mittlere freie Weglänge = 1 2 v lk N 2. Abhängigkeit vom Druck Proportional zum Druck. <Gibt es noch weitere druckabhängige Größen in dieser Beziehung?> Wegstrecke, die ein Molekül im Mittel zwischen zwei Stößen zurücklegt. l=v Unabhängig vom Druck Mittlere Zeit zwischen zwei Stößen, Kehrwert der Stoßrate Gedankenexperiment: Ruhende, zufällig verteilte Stoßpartner Stoßrate proportional zur Teilchenzahl Genaue Rechnung zeigt: 1 N p 1 = d v N l= d 2 2 N <.sxc-datei auf Server> TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 31 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

32 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 32 Prof. Dr. Nikolaus Nestle = 1 Konsequenz aus Überlegung auf voriger Seite: 2 v lk N Wärmeleitfähigkeit des Gases ist unabhängig vom Druck! = v k 2 2 d 2

33 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 33 Prof. Dr. Nikolaus Nestle = 1 Konsequenz aus Überlegung auf voriger Seite: 2 v lk N Wärmeleitfähigkeit des Gases ist unabhängig vom Druck! = v k <Versuch> 2 2 d 2 <Gilt das für beliebig kleine Drücke?> <Plausibilität?>

34 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 34 Prof. Dr. Nikolaus Nestle = 1 Konsequenz aus Überlegung auf voriger Seite: 2 v lk N Wärmeleitfähigkeit des Gases ist unabhängig vom Druck! = v k <Versuch> 2 2 d 2 <Gilt das für beliebig kleine Drücke?> <Plausibilität?> Einschränkung: Wärmeleitfähigkeit des Gases ist so lange unabhängig vom Druck, wie sie durch Stöße innerhalb des Gases bestimmt wird.

35 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 35 Prof. Dr. Nikolaus Nestle = 1 Konsequenz aus Überlegung auf voriger Seite: 2 v lk N Wärmeleitfähigkeit des Gases ist unabhängig vom Druck! = v k <Versuch> 2 2 d 2 <Gilt das für beliebig kleine Drücke?> <Plausibilität?> Einschränkung: Wärmeleitfähigkeit des Gases ist so lange unabhängig vom Druck, wie sie durch Stöße innerhalb des Gases bestimmt wird. Dies ist der Fall, so lange die Abmessungen des Gasvolumens größer als die mittlere freie Weglänge der Teilchen sind. <Was geschieht bei kleineren Drücken?>

36 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 36 Prof. Dr. Nikolaus Nestle = 1 Konsequenz aus Überlegung auf voriger Seite: 2 v lk N Wärmeleitfähigkeit des Gases ist unabhängig vom Druck! = v k <Versuch> 2 2 d 2 <Gilt das für beliebig kleine Drücke?> <Plausibilität?> Einschränkung: Wärmeleitfähigkeit des Gases ist so lange unabhängig vom Druck, wie sie durch Stöße innerhalb des Gases bestimmt wird. Dies ist der Fall, so lange die Abmessungen des Gasvolumens größer als die mittlere freie Weglänge der Teilchen sind. <Was geschieht bei kleineren Drücken?> Bewegungsenergie wird im Normalfall direkt von Wand zu Wand transportiert! Wärmeleitung hängt dann nur noch von Teilchenzahl ab und nimmt proportional zum Druck ab.

37 = 1 Konsequenz aus Überlegung auf voriger Seite: 2 v lk N Wärmeleitfähigkeit des Gases ist unabhängig vom Druck! = v k <Versuch> 2 2 d 2 <Gilt das für beliebig kleine Drücke?> <Plausibilität?> Einschränkung: Wärmeleitfähigkeit des Gases ist so lange unabhängig vom Druck, wie sie durch Stöße innerhalb des Gases bestimmt wird. Dies ist der Fall, so lange die Abmessungen des Gasvolumens größer als die mittlere freie Weglänge der Teilchen sind. <Was geschieht bei kleineren Drücken?> Bewegungsenergie wird im Normalfall direkt von Wand zu Wand transportiert! Wärmeleitung hängt dann nur noch von Teilchenzahl ab und nimmt proportional zum Druck ab. Ergänzung: Bei kleinen Drücken ist die Wärmeleitfähigkeit des Gases proportional zum Druck. <Was ist ein KLEINER Druck?> TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 37 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

38 Freie Weglänge in Luft Starker Anstieg der freien Weglänge bei Drücken < 100 Pa Grobvakuum reicht nicht aus, um mit freier Weglänge Dimensionen eines makroskopischen Systems zu erreichen Freie Weglänge [m] 1,00E-001 1,00E-002 1,00E-003 1,00E-004 1,00E-005 1,00E-006 1,00E Druck [Pa] TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 38 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

39 Freie Weglänge in Luft Starker Anstieg der freien Weglänge bei Drücken < 100 Pa Grobvakuum reicht nicht aus, um mit freier Weglänge Dimensionen eines makroskopischen Systems zu erreichen Anwendung: Vakuum-Isolierung Bei Thermoskannen etablierte Technologie seit über 100 Jahren ( Dewar-Gefäße ) Im Bauwesen: Bereits seit langem als Vision Probleme mit praktischer Umsetzung: Abdichtung, mechanische Stabilität, kann nicht auf der Baustelle auf Länge geschnitten werden Seit kurzem erste Isolierelemente für Einsatz in Gebäuden. 1,00E-001 1,00E-002 1,00E-003 1,00E-004 1,00E-005 1,00E-006 1,00E Druck [Pa] Üblich für Vakuum-Isolierung: Platten mit Mineral- oder Polymerschaumkernen <Warum?> TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 39 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Freie Weglänge [m]

40 Freie Weglänge in Luft Starker Anstieg der freien Weglänge bei Drücken < 100 Pa Grobvakuum reicht nicht aus, um mit freier Weglänge Dimensionen eines makroskopischen Systems zu erreichen Anwendung: Vakuum-Isolierung Bei Thermoskannen etablierte Technologie seit über 100 Jahren ( Dewar-Gefäße ) Freie Weglänge [m] 1,00E-001 1,00E-002 1,00E-003 1,00E-004 1,00E-005 1,00E-006 1,00E Druck [Pa] Im Bauwesen: Bereits seit langem als Vision Probleme mit praktischer Umsetzung: Abdichtung, mechanische Stabilität, kann nicht auf der Baustelle auf Länge geschnitten werden Seit kurzem erste Isolierelemente für Einsatz in Gebäuden. Üblich für Vakuum-Isolierung: Platten mit Mineral- oder Polymerschaumkernen <Warum?> TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 40 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

41 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 41 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Vakuumisolierung (VIP) und Demonstrationsgebäude Dickenvergleiche Neubau Passivhaus zur Landesgartenschau 2004 in Trier-Petrisberg Quelle Vakuumisolationspanele an Reihenhausfassade in München (Altbau) Quelle: ZAE Bayern

42 <Warum eigentlich überhaupt isolieren, wenn die Wärmeleitfähigkeit von gängigen Isoliermaterialien nicht wesentlich geringer ist als die der Luft?> TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 42 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

43 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 43 Prof. Dr. Nikolaus Nestle <Warum eigentlich überhaupt isolieren, wenn die Wärmeleitfähigkeit von gängigen Isoliermaterialien nicht wesentlich geringer ist als die der Luft?> Wärmeübertragung in Flüssigkeiten und Gasen erfolgt offensichtlich nicht nur über Wärmeleitung. Zusätzlicher Wärmeübertragungsmechanismus: Konvektion

44 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 44 Prof. Dr. Nikolaus Nestle <Warum eigentlich überhaupt isolieren, wenn die Wärmeleitfähigkeit von gängigen Isoliermaterialien nicht wesentlich geringer ist als die der Luft?> Wärmeübertragung in Flüssigkeiten und Gasen erfolgt offensichtlich nicht nur über Wärmeleitung. Zusätzlicher Wärmeübertragungsmechanismus: Konvektion Mit Materialtransportvorgängen verbundener Wärmetransport.

45 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 45 Prof. Dr. Nikolaus Nestle <Warum eigentlich überhaupt isolieren, wenn die Wärmeleitfähigkeit von gängigen Isoliermaterialien nicht wesentlich geringer ist als die der Luft?> Wärmeübertragung in Flüssigkeiten und Gasen erfolgt offensichtlich nicht nur über Wärmeleitung. Zusätzlicher Wärmeübertragungsmechanismus: Konvektion Mit Materialtransportvorgängen verbundener Wärmetransport. Freie Konvektion: Spontan als Folge von Temperaturunterschieden einsetzende Transportvorgänge <Schauen wir uns jetzt im Versuch an>. Erzwungene Konvektion: Wärmetransport als Folge von ohnehin bestehenden oder technisch aktiv ausgelösten Strömungen: Warmwasserheizung Luft- und Wasser-Kühlungen für technische Geräte Auskühlung von Häusern oder Menschen im Wind ( Windchill-Faktor )

46 Windchill-Faktor TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 46 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Physiologisch gefühlte Temperatur in Abhängigkeit der gemessenen Temperatur und der Windgeschwindigkeit Empirische Formel: T WC =330,4780,237 v w v w T 33 T : C, v w : km /h Windgeschwindigkeit [km/h] T [ C] Entspricht Windstärke ,01 7,62 3,33 0,71-1,06-2,28-3,11-3,64-3, ,05 5,41 0,75-2,1-4,02-5,35-6,24-6,82-7, ,62 2,1-3,12-6,31-8,47-9,95-10,95-11,6-11, ,66-0,1-5,7-9,12-11,43-13,02-14,09-14,79-15, ,23-3,41-9,57-13,34-15,87-17,62-18,8-19,57-19, ,75-4,52-10,86-14,74-17,35-19,15-20,37-21,16-21,6-3 15,79-6,72-13,44-17,55-20,31-22,22-23,51-24,34-24, ,84-8,93-16,02-20,36-23,27-25,29-26,65-27,53-28, ,45-14,45-22,47-27,38-30,68-32,96-34,5-35,49-36, ,06-19,97-28,92-34,4-38,08-40,62-42,35-43,46-44, ,67-25,48-35,36-41,42-45,49-48,29-50,2-51,42-52, , ,81-48,44-52,89-55,96-58,05-59,39-60, ,89-36,52-48,26-55,46-60,3-63,63-65,9-67,35-68,16 Erfrierungsrisiko Starke Erfrierungen innerhalb weniger Minuten

47 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 47 Prof. Dr. Nikolaus Nestle 4.2 Einschub: Viskosität und Strömungsvorgänge in Fluiden (Wäre eigentlich ein weiteres großes Kapitel der Transportphänomene, kann aber hier nur kurz im Hinblick auf Konvektionsvorgänge behandelt werden) Laminare Strömung Turbulente Strömung Vollständige quantitative Beschreibung von Strömungsvorgängen ist mathematisch sehr anspruchsvoll (Navier-Stokes-Gleichung). Berücksichtigung von Trägheits- Kräften, inneren Reibungskräften, Dichteunterschieden, Druckunterschieden und zusätzlichen lokal wirkenden Kräften. <Versuch: Stromfaden>

48 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 48 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Ansätze zur Lösung von hydrodynamischen Problemen: Numerische Modellierung Analyse von Sonderfällen, in denen einzelne Teilphänomene dominieren Ausnutzung hydrodynamischer Ähnlichkeitsgesetze

49 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 49 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Ansätze zur Lösung von hydrodynamischen Problemen: Numerische Modellierung Analyse von Sonderfällen, in denen einzelne Teilphänomene dominieren Ausnutzung hydrodynamischer Ähnlichkeitsgesetze Viskosität und Impulstransport Überlegung: Was passiert mit einer Flüssigkeit, die sich zwischen einer ruhenden und einer mit einer Geschwindigkeit v bewegten Platte befindet? Bewegt mit Geschwindigkeit v In Ruhe

50 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 50 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Ansätze zur Lösung von hydrodynamischen Problemen: Numerische Modellierung Analyse von Sonderfällen, in denen einzelne Teilphänomene dominieren Ausnutzung hydrodynamischer Ähnlichkeitsgesetze Viskosität und Impulstransport Überlegung: Was passiert mit einer Flüssigkeit, die sich zwischen einer ruhenden und einer mit einer Geschwindigkeit v bewegten Platte befindet? Wenn die Flüssigkeit nicht völlig reibungsfrei ist: Flüssigkeit unmittelbar an der ruhenden Platte ist auch in Ruhe, Flüssigkeit unmittelbar an der bewegten Platte wird mit derselben Geschwindigkeit mitgezogen. Bewegt mit Geschwindigkeit v In Ruhe

51 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 51 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Ansätze zur Lösung von hydrodynamischen Problemen: Numerische Modellierung Analyse von Sonderfällen, in denen einzelne Teilphänomene dominieren Ausnutzung hydrodynamischer Ähnlichkeitsgesetze Viskosität und Impulstransport Überlegung: Was passiert mit einer Flüssigkeit, die sich zwischen einer ruhenden und einer mit einer Geschwindigkeit v bewegten Platte befindet? Bewegt mit Geschwindigkeit v Wenn die Flüssigkeit nicht völlig reibungsfrei ist: Flüssigkeit unmittelbar an der ruhenden Platte ist auch in Ruhe, In Ruhe Flüssigkeit unmittelbar an der bewegten Platte wird mit derselben Geschwindigkeit mitgezogen. Reibungskraft zwischen zwei Flüssigkeitsschichten mit unterschiedlicher Fließgeschwindigkeit: bzw. Schubspannung: F R = A d v = d v d x d x

52 Ansätze zur Lösung von hydrodynamischen Problemen: Numerische Modellierung Analyse von Sonderfällen, in denen einzelne Teilphänomene dominieren Ausnutzung hydrodynamischer Ähnlichkeitsgesetze Viskosität und Impulstransport Überlegung: Was passiert mit einer Flüssigkeit, die sich zwischen einer ruhenden und einer mit einer Geschwindigkeit v bewegten Platte befindet? Bewegt mit Geschwindigkeit v Wenn die Flüssigkeit nicht völlig reibungsfrei ist: Flüssigkeit unmittelbar an der ruhenden In Ruhe Platte ist auch in Ruhe, Flüssigkeit unmittelbar an der bewegten Platte wird mit derselben Geschwindigkeit mitgezogen. Reibungskraft zwischen zwei Flüssigkeitsschichten mit unterschiedlicher Fließgeschwindigkeit: bzw. Schubspannung: F R = A d v = d v d x d x Dynamische Viskosität (Zähigkeit), Einheit: 1 Ns/m 2 =1 Pa s Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 52 TUD Prof. Dr. Nikolaus Nestle

53 Bewegt mit Geschwindigkeit v In Ruhe Anmerkung: Gesetz für viskose Reibungskraft ist formal analog zu Wärmeleitungsgesetz. An die Stelle der Wärmestromdichte tritt eine Impulsstromdichte: = F R A = d mv d t A = j P, R= d v d x TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 53 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

54 Bewegt mit Geschwindigkeit v In Ruhe Weitere Begriffe zur Viskosität: Anmerkung: Gesetz für viskose Reibungskraft ist formal analog zu Wärmeleitungsgesetz. An die Stelle der Wärmestromdichte tritt eine Impulsstromdichte: = F R A = d mv d t A = j P, R= d v d x Fluidität: = 1 <Wert nimmt zu, je flüssiger die Substanz ist> Kinematische Viskosität / Kinematische Zähigkeit: = TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 54 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

55 Bewegt mit Geschwindigkeit v In Ruhe Weitere Begriffe zur Viskosität: Anmerkung: Gesetz für viskose Reibungskraft ist formal analog zu Wärmeleitungsgesetz. An die Stelle der Wärmestromdichte tritt eine Impulsstromdichte: = F R A = d mv d t A = j P, R= d v d x Fluidität: = 1 <Wert nimmt zu, je flüssiger die Substanz ist> Kinematische Viskosität / Kinematische Zähigkeit: = Zahlenwerte für die dynamische Viskosität: Gase unter Standardbedingungen: Stickstoff: 1, Pa s, Sauerstoff: 2, Pa s, Wasserstoff: 9, Pa s, Kohlendioxid: 1, Pa s, Viskositäten nehmen mit Temperatur leicht zu, Flüssigkeiten (bei 20 C): Aceton: 3, Pa s, Ethanol: 1, Pa s (bei 0 C: 1, Pa s), Wasser: 1, Pa s (bei 0 C: 1, ) Pa s, Pentan 2, Pa s, Viskositäten nehmen mit Temperatur stark ab! Zahlenwerte ca. 10 bis 100 mal höher als für Gase. TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 55 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

56 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 56 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Bewegt mit Geschwindigkeit v Anmerkung: Gesetz für viskose Reibungskraft ist formal analog zu Wärmeleitungsgesetz. In Ruhe Weitere Begriffe zur Viskosität: An die Stelle der Wärmestromdichte tritt eine Impulsstromdichte: = F R A = d mv d t A = j P, R= d v d x Fluidität: = 1 <Wert nimmt zu, je flüssiger die Substanz ist> Kinematische Viskosität / Kinematische Zähigkeit: = Temperaturabhängigkeit der Viskosität in Flüssigkeiten folgt näherungsweise einer Arrhenius-Beziehung: b T =Ae

57 Bewegt mit Geschwindigkeit v In Ruhe Weitere Begriffe zur Viskosität: Anmerkung: Gesetz für viskose Reibungskraft ist formal analog zu Wärmeleitungsgesetz. An die Stelle der Wärmestromdichte tritt eine Impulsstromdichte: = F R A = d mv d t A = j P, R= d v d x Fluidität: = 1 <Wert nimmt zu, je flüssiger die Substanz ist> Kinematische Viskosität / Kinematische Zähigkeit: = Temperaturabhängigkeit der Viskosität in Flüssigkeiten folgt näherungsweise einer Arrhenius-Beziehung: b T =Ae Nicht alle Flüssigkeiten zeigen einfaches, lineares Viskositätsverhalten: Kompliziertes Verhalten bei sogenannten nichtnewtonschen Flüssigkeiten. Häufigster Fall: Thixotropes (thixopexes) Verhalten: Viskosität nimmt mit zunehmendem Geschwindigkeitsgradienten ab. TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 57 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

58 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 58 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Vergleich der viskosen Reibung in thixotroper und newtonscher Flüssigkeit: F R Sehr hohe Viskosität bei kleinen Scherverspannungen bzw. kleinen Geschwindigkeitsgradienten, abnehmende Viskosität für höhere Scherverspannungen. Viskositätsänderung kann eventuell mehrere Größenordnungen erreichen. <Experiment> d v d x

59 Vergleich der viskosen Reibung in thixotroper und newtonscher Flüssigkeit: F R Sehr hohe Viskosität bei kleinen Scherverspannungen bzw. kleinen Geschwindigkeitsgradienten, abnehmende Viskosität für höhere Scherverspannungen. Viskositätsänderung kann eventuell mehrere Größenordnungen erreichen. d v d x <Experiment> Typisches Verhalten für komplexe Flüssigkeiten. Beispiele: Lebensmittel, Mörtel, Tone, Druckfarben, Bohrlochspülungen... Thixotropes Verhalten technisch in vielen Fällen erwünscht (z.b. Verdickung von fließfähiger Lebensmittel durch Stabilisatoren ). TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 59 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

60 Vergleich der viskosen Reibung in thixotroper und newtonscher Flüssigkeit: F R Sehr hohe Viskosität bei kleinen Scherverspannungen bzw. kleinen Geschwindigkeitsgradienten, abnehmende Viskosität für höhere Scherverspannungen. Viskositätsänderung kann eventuell mehrere Größenordnungen erreichen. d v d x <Experiment> Typisches Verhalten für komplexe Flüssigkeiten. Beispiele: Lebensmittel, Mörtel, Tone, Druckfarben, Bohrlochspülungen... Thixotropes Verhalten technisch in vielen Fällen erwünscht (z.b. Verdickung von fließfähiger Lebensmittel durch Stabilisatoren ). <Wo ist thixoptropes Verhalten im Bauwesen wünschenswert? Wo kann es zum Problem werden?> TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 60 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

61 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 61 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Strömungsgeschwindigkeitsverteilung in einem Rohr r r+dr Druck p 2 Flüssigkeit im Rohr kann gedanklich in konzentrische Zylinderschichten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit zerlegt werden. Bei stationärer Strömung muß Gleichgewicht zwischen viskoser Reibung und äußerem Druck- Unterschied herrschen l Druck p 1 R

62 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 62 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Strömungsgeschwindigkeitsverteilung in einem Rohr r r+dr l Druck p 2 Druck p 1 Flüssigkeit im Rohr kann gedanklich in konzentrische Zylinderschichten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit zerlegt werden. Bei stationärer Strömung muß Gleichgewicht zwischen viskoser Reibung und äußerem Druck- Unterschied herrschen p 1 p 2 r 2 = A d v d r p 1 p 2 r 2 = 2 rl d v d r Newton'sche Flüssigkeit R

63 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 63 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Strömungsgeschwindigkeitsverteilung in einem Rohr r r+dr R l Druck p 2 Druck p 1 Flüssigkeit im Rohr kann gedanklich in konzentrische Zylinderschichten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit zerlegt werden. Bei stationärer Strömung muß Gleichgewicht zwischen viskoser Reibung und äußerem Druck- Unterschied herrschen p 1 p 2 r 2 = A d v d r p 1 p 2 r 2 = 2 rl d v d r Umformen ergibt: r d r= 2l p 1 p 2 d v Newton'sche Flüssigkeit

64 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 64 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Strömungsgeschwindigkeitsverteilung in einem Rohr r r+dr R l Druck p 2 Druck p 1 Flüssigkeit im Rohr kann gedanklich in konzentrische Zylinderschichten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit zerlegt werden. Bei stationärer Strömung muß Gleichgewicht zwischen viskoser Reibung und äußerem Druck- Unterschied herrschen Umformen ergibt: Integrieren führt zu p 1 p 2 r 2 = A d v d r p 1 p 2 r 2 = 2 rl d v d r r d r= 2l p 1 p 2 d v r 2 = 4l p 1 p 2 v rc Newton'sche Flüssigkeit

65 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 65 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Strömungsgeschwindigkeitsverteilung in einem Rohr r r+dr R l Druck p 2 Druck p 1 Flüssigkeit im Rohr kann gedanklich in konzentrische Zylinderschichten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit zerlegt werden. Bei stationärer Strömung muß Gleichgewicht zwischen viskoser Reibung und äußerem Druck- Unterschied herrschen Umformen ergibt: p 1 p 2 r 2 = A d v d r p 1 p 2 r 2 = 2 rl d v d r r d r= 2l p 1 p 2 d v Integrieren führt zu r 2 = 4l v rc p 1 p 2 Geschwindigkeit an Rohroberfläche muß 0 sein: C=R 2 Newton'sche Flüssigkeit

66 4.2.2 Strömungsgeschwindigkeitsverteilung in einem Rohr r r+dr R l Druck p 2 Druck p 1 Flüssigkeit im Rohr kann gedanklich in konzentrische Zylinderschichten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit zerlegt werden. Bei stationärer Strömung muß Gleichgewicht zwischen viskoser Reibung und äußerem Druck- Unterschied herrschen Umformen ergibt: Integrieren führt zu Geschwindigkeit an Rohroberfläche muß 0 sein: p 1 p 2 r 2 = A d v d r p 1 p 2 r 2 = 2 rl d v d r r d r= 2l p 1 p 2 d v r 2 = 4l p 1 p 2 v rc Newton'sche Flüssigkeit C=R 2 Auflösen nach Geschwindigkeit ergibt: v r= p 1 p 2 R 2 r 2 4l TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 66 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

67 4.2.2 Strömungsgeschwindigkeitsverteilung in einem Rohr r r+dr R l Druck p 2 Druck p 1 Flüssigkeit im Rohr kann gedanklich in konzentrische Zylinderschichten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit zerlegt werden. Bei stationärer Strömung muß Gleichgewicht zwischen viskoser Reibung und äußerem Druck- Unterschied herrschen Umformen ergibt: Integrieren führt zu Geschwindigkeit an Rohroberfläche muß 0 sein: p 1 p 2 r 2 = A d v d r p 1 p 2 r 2 = 2 rl d v d r r d r= 2l p 1 p 2 d v r 2 = 4l p 1 p 2 v rc Newton'sche Flüssigkeit C=R 2 Auflösen nach Geschwindigkeit ergibt: v r= p 1 p 2 R 2 r 2 Hagen-Poiseuille-Gesetz 4l TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 67 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

68 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 68 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Massenstrom durch das Rohr: d d m = v rda=2 r v rdr d t R d m d t = p 1 p 2 R 2 r 2 r d r 2l 0

69 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 69 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Massenstrom durch das Rohr: d d m = v rda=2 r v rdr d t R d m d t = p 1 p 2 R 2 r 2 r d r 2l 0 = R4 p 1 p 2 8l

70 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 70 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Massenstrom durch das Rohr: d d m = v rda=2 r v rdr d t R d m d t = p 1 p 2 R 2 r 2 r d r 2l 0 Entspricht Volumenstrom = R4 p 1 p 2 8l d V d t = d m d t

71 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 71 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Massenstrom durch das Rohr: d d m = v rda=2 r v rdr d t R d m d t = p 1 p 2 R 2 r 2 r d r 2l 0 Entspricht Volumenstrom = R4 p 1 p 2 8l d V d t = d m d t = R4 p 1 p 2 8l

72 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 72 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Massenstrom durch das Rohr: d d m = v rda=2 r v rdr d t R d m d t = p 1 p 2 R 2 r 2 r d r 2l 0 = R4 p 1 p 2 8l Entspricht Volumenstrom d V d t = d m d t = R4 p 1 p 2 Extreme Durchflußsteigerung durch Erhöhung der Rohrdurchmessers möglich. Wesentlich effektiver als höherer 8l Druck!

73 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 73 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Massenstrom durch das Rohr: d d m = v rda=2 v rde d t R d m d t = p 1 p 2 R 2 r 2 r d r 2l 0 = R4 p 1 p 2 Entspricht Volumenstrom 8l Darcy-Gesetz für Fluß durch poröse Materialien: d V d t = d m d t = R4 p 1 p 2 Extreme Durchflußsteigerung durch Erhöhung der Rohrdurchmessers möglich. Wesentlich effektiver als höherer 8l Druck! j Fluß = K d p d x

74 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 74 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Massenstrom durch das Rohr: d d m = v rda=2 r v rdr d t R d m d t = p 1 p 2 R 2 r 2 r d r 2l 0 = R4 p 1 p 2 Entspricht Volumenstrom 8l Darcy-Gesetz für Fluß durch poröse Materialien: d V d t = d m d t = R4 p 1 p 2 Extreme Durchflußsteigerung durch Erhöhung der Rohrdurchmessers möglich. Wesentlich effektiver als höherer 8l Druck! j Fluß = K d p d x Hydraulische Leitfähigkeit Vorsicht! Verschiedende Formulierungen in Literatur (z.b. auf Basis des hydraulischen Gradienten anstelle der Druckänderung. Zahlenwerte für K hinsichtlich passender Formulierung des Darcy-Gesetzes überprüfen!

75 Massenstrom durch das Rohr: d d m = v rda=2 r v rdr d t R d m d t = p 1 p 2 R 2 r 2 r d r 2l 0 = R4 p 1 p 2 8l Entspricht Volumenstrom Darcy-Gesetz für Fluß durch poröse Materialien: d V d t = TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 75 Prof. Dr. Nikolaus Nestle d m d t = R4 p 1 p 2 Extreme Durchflußsteigerung durch Erhöhung der Rohrdurchmessers möglich. Wesentlich effektiver als höherer Druck! 8l j Fluß = K d p d x <Versuch> Hydraulische Leitfähigkeit Vorsicht! Verschiedende Formulierungen in Literatur (z.b. auf Basis des hydraulischen Gradienten anstelle der Druckänderung). Zahlenwerte für K hinsichtlich passender Formulierung des Darcy-Gesetzes überprüfen! Kann verstanden werden als Überlagerung der Beiträge vieler einzelner röhrenförmiger Poren, deren Transporteigenschaften dem Hagen-Poiseuille-Gesetz gehorchen.

76 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 76 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Laminare Umströmung einer Kugel (bzw. Reibungskraft auf eine bewegte Kugel unter laminaren Bedingungen) Stokes'sches Reibungsgesetz: F R =6 rv In guter Näherung anwendbar für SEHR kleine Teilchen in Luft und für nicht zu große Objekte in Wasser. Sinkgeschwindigkeit eines kugelförmigen Teilchens im Schwerefeld der Erde: F R =6 rv= F g =mg= 4 3 r3 Kugel flüssig g <Versuch>

77 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 77 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Laminare Umströmung einer Kugel (bzw. Reibungskraft auf eine bewegte Kugel unter laminaren Bedingungen) Stokes'sches Reibungsgesetz: F R =6 rv In guter Näherung anwendbar für SEHR kleine Teilchen in Luft und für nicht zu große Objekte in Wasser. Sinkgeschwindigkeit eines kugelförmigen Teilchens im Schwerefeld der Erde: F R =6 rv= F g =mg= 4 3 r3 Kugel flüssig g <Versuch> v= 2 gr 2 kugel flüssig 9

78 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 78 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Laminare Umströmung einer Kugel (bzw. Reibungskraft auf eine bewegte Kugel unter laminaren Bedingungen) Stokes'sches Reibungsgesetz: F R =6 rv In guter Näherung anwendbar für SEHR kleine Teilchen in Luft und für nicht zu große Objekte in Wasser. Sinkgeschwindigkeit eines kugelförmigen Teilchens im Schwerefeld der Erde: F R =6 rv= F g =mg= 4 3 r3 Kugel flüssig g <Versuch> v= 2 gr 2 kugel flüssig 9 Kann zur Messung von Viskosität oder Größe oder Dichte kleiner Teilchen angewandt werden.

79 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 79 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Laminare Umströmung einer Kugel (bzw. Reibungskraft auf eine bewegte Kugel unter laminaren Bedingungen) Stokes'sches Reibungsgesetz: F R =6 rv In guter Näherung anwendbar für SEHR kleine Teilchen in Luft und für nicht zu große Objekte in Wasser. Sinkgeschwindigkeit eines kugelförmigen Teilchens im Schwerefeld der Erde: F R =6 rv= F g =mg= 4 3 r3 Kugel flüssig g <Versuch> v= 2 gr 2 kugel flüssig 9 Kann zur Messung von Viskosität oder Größe oder Dichte kleiner Teilchen angewandt werden. <Praktische Konsequenzen bei der Arbeit mit granularen Materialien?>

80 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 80 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Laminare Umströmung einer Kugel (bzw. Reibungskraft auf eine bewegte Kugel unter laminaren Bedingungen) Stokes'sches Reibungsgesetz: F R =6 rv In guter Näherung anwendbar für SEHR kleine Teilchen in Luft und für nicht zu große Objekte in Wasser. Sinkgeschwindigkeit eines kugelförmigen Teilchens im Schwerefeld der Erde: F R =6 rv= F g =mg= 4 3 r3 Kugel flüssig g <Versuch> v= 2 gr 2 kugel flüssig Kann zur Messung von Viskosität oder Größe oder Dichte kleiner Teilchen angewandt werden. 9 <Praktische Konsequenzen bei der Arbeit mit granularen Materialien?> Reibungskraft bei turbulenter Strömung (typischer Fall für große Objekte in Luft oder sehr große Objekte in Wasser) Dichte des Fluids F R =c w 2 v2 A Luftwiderstandsbeiwert, experimentelle Bestimmung im Windkanal

81 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 81 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Laminare Umströmung einer Kugel (bzw. Reibungskraft auf eine bewegte Kugel unter laminaren Bedingungen) Stokes'sches Reibungsgesetz: F R =6 rv In guter Näherung anwendbar für SEHR kleine Teilchen in Luft und für nicht zu große Objekte in Wasser. Sinkgeschwindigkeit eines kugelförmigen Teilchens im Schwerefeld der Erde: F R =6 rv= F g =mg= 4 3 r3 Kugel flüssig g <Versuch> v= 2 gr 2 kugel flüssig Kann zur Messung von Viskosität oder Größe oder Dichte kleiner Teilchen angewandt werden. 9 <Praktische Konsequenzen bei der Arbeit mit granularen Materialien?> Reibungskraft bei turbulenter Strömung (typischer Fall für große Objekte in Luft oder sehr große Objekte in Wasser) Dichte des Fluids F R =c w 2 v2 A Luftwiderstandsbeiwert, experimentelle Bestimmung im Windkanal Newton-Reibung

82 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 82 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Laminare Umströmung einer Kugel (bzw. Reibungskraft auf eine bewegte Kugel unter laminaren Bedingungen) Stokes'sches Reibungsgesetz: F R =6 rv In guter Näherung anwendbar für SEHR kleine Teilchen in Luft und für nicht zu große Objekte in Wasser. Sinkgeschwindigkeit eines kugelförmigen Teilchens im Schwerefeld der Erde: F R =6 rv= F g =mg= 4 3 r3 Kugel flüssig g <Versuch> v= 2 gr 2 kugel flüssig Kann zur Messung von Viskosität oder Größe oder Dichte kleiner Teilchen angewandt werden. 9 <Praktische Konsequenzen bei der Arbeit mit granularen Materialien?> Reibungskraft bei turbulenter Strömung (typischer Fall für große Objekte in Luft oder sehr große Objekte in Wasser) Dichte des Fluids F R =c w 2 v2 A Luftwiderstandsbeiwert, experimentelle Bestimmung im Windkanal Newton-Reibung <Erinnerung: Arbeitsblätter zur gedämpften Schwingung>

83 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 83 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Laminare Umströmung einer Kugel (bzw. Reibungskraft auf eine bewegte Kugel unter laminaren Bedingungen) Stokes'sches Reibungsgesetz: F R =6 rv In guter Näherung anwendbar für SEHR kleine Teilchen in Luft und für nicht zu große Objekte in Wasser. Sinkgeschwindigkeit eines kugelförmigen Teilchens im Schwerefeld der Erde: F R =6 rv= F g =mg= 4 3 r3 Kugel flüssig g <Versuch> v= 2 gr 2 kugel flüssig Kann zur Messung von Viskosität oder Größe oder Dichte kleiner Teilchen angewandt werden. 9 <Praktische Konsequenzen bei der Arbeit mit granularen Materialien?> Reibungskraft bei turbulenter Strömung (typischer Fall für große Objekte in Luft oder sehr große Objekte in Wasser) Dichte des Fluids Verlustleistung F R =c w 2 v2 A gegen Newton- Luftwiderstandsbeiwert, Reibung experimentelle Bestimmung im Windkanal Newton-Reibung P=F R v v 3 <Erinnerung: Arbeitsblätter zur gedämpften Schwingung>

84 4.2.3 Laminare Umströmung einer Kugel (bzw. Reibungskraft auf eine bewegte Kugel unter laminaren Bedingungen) Stokes'sches Reibungsgesetz: F R =6 rv In guter Näherung anwendbar für SEHR kleine Teilchen in Luft und für nicht zu große Objekte in Wasser. Sinkgeschwindigkeit eines kugelförmigen Teilchens im Schwerefeld der Erde: F R =6 rv= F g =mg= 4 3 r3 Kugel flüssig g <Versuch> v= 2 gr 2 kugel flüssig Kann zur Messung von Viskosität oder Größe oder Dichte kleiner Teilchen angewandt werden. 9 <Praktische Konsequenzen bei der Arbeit mit granularen Materialien?> Reibungskraft bei turbulenter Strömung (typischer Fall für große Objekte in Luft oder sehr große Objekte in Wasser) Dichte des Fluids F R =c w 2 v2 A Luftwiderstandsbeiwert, experimentelle Bestimmung im Windkanal Newton-Reibung <Erinnerung: Arbeitsblätter zur gedämpften Schwingung> <Konsequenzen für Kraftstoffverbrauch bei hoher Geschwindigkeit?> Verlustleistung gegen Newton- Reibung P=F R v v 3 TUD Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 84 Prof. Dr. Nikolaus Nestle

85 Physik4BI 2K5 Vorlesung 10, Projektion 85 Prof. Dr. Nikolaus Nestle Hydromechanische Ähnlichkeiten, Reynoldszahl Fließgeschwindigkeitsverteilung in geometrisch ähnlichen Objekten nicht zwingend ähnlich, da für Fließverhalten relevante Kräfte nicht linear mit den Abmessungen anwachsen. Zusätzliche Forderung: Hydromechanische Ähnlichkeit: Gleiches Verhältnis der verschiedenen für die Strömung verantwortlichen Kräfte.