SS14 Algorithmen und Datenstrukturen Vorbemerkungen und 1. Kapitel

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1 SS14 Algorithmen und Datenstrukturen Vorbemerkungen und 1. Kapitel Martin Dietzfelbinger April 2014 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1

2 Team: Vorlesung: Univ.-Prof. Dr. Martin Dietzfelbinger (Sprechstunde: Montag, 16:45 18:00 u. n. Vereinb.) Übungen: Dipl-Inf. Martin Aumüller, Dipl.-Ing. Christopher Mattern Praktika: Dipl.-Ing. Christopher Mattern FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 1

3 Hörer: Informatikstudierende im 2. Semester. Bis Semestermitte: Studierende der Ing.-Informatik mit AuD als WP-Fach. Ab Semestermitte: Informatikstudierende im 4. Semester. Andere Interessenten sehr willkommen! FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 2

4 Hörer: Informatikstudierende im 2. Semester. Bis Semestermitte: Studierende der Ing.-Informatik mit AuD als WP-Fach. Ab Semestermitte: Informatikstudierende im 4. Semester. Andere Interessenten sehr willkommen! Material: Eigene Notizen FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 2

5 Hörer: Informatikstudierende im 2. Semester. Bis Semestermitte: Studierende der Ing.-Informatik mit AuD als WP-Fach. Ab Semestermitte: Informatikstudierende im 4. Semester. Andere Interessenten sehr willkommen! Material: Eigene Notizen und Folienkopien, Übungsblätter FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 2

6 Hörer: Informatikstudierende im 2. Semester. Bis Semestermitte: Studierende der Ing.-Informatik mit AuD als WP-Fach. Ab Semestermitte: Informatikstudierende im 4. Semester. Andere Interessenten sehr willkommen! Material: Eigene Notizen und Folienkopien, Übungsblätter auf der folgenden Webseite: FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 2

7 Hörer: Informatikstudierende im 2. Semester. Bis Semestermitte: Studierende der Ing.-Informatik mit AuD als WP-Fach. Ab Semestermitte: Informatikstudierende im 4. Semester. Andere Interessenten sehr willkommen! Material: Eigene Notizen und Folienkopien, Übungsblätter auf der folgenden Webseite: Ebenso: Aktuelle Mitteilungen. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 2

8 Hörer: Informatikstudierende im 2. Semester. Bis Semestermitte: Studierende der Ing.-Informatik mit AuD als WP-Fach. Ab Semestermitte: Informatikstudierende im 4. Semester. Andere Interessenten sehr willkommen! Material: Eigene Notizen und Folienkopien, Übungsblätter auf der folgenden Webseite: Ebenso: Aktuelle Mitteilungen. Zugang auch über die FG-Seite. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 2

9 Zur Arbeitsweise: Der Stoff ist zu kompliziert und zu umfangreich, um durch reines Zuhören verstanden zu werden. Regelmäßig Vorlesung nacharbeiten. Semesterbegleitend! Begleitend Bücher ansehen. Übungsblätter drucken, lesen, zur Übung mitbringen, vorher Lösung ausdenken, Lösungsweg aufschreiben, an Lösungen mitarbeiten, Lösungen vortragen. Regelmäßig Übungen nacharbeiten. Semesterbegleitend! Praktikumsaufgaben vorbereiten. Semesterbegleitend! Bei Verständnisproblemen frühzeitig fragen! FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 3

10 Zeitaufwand? Beispielrechnung FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 4

11 Zeitaufwand? Beispielrechnung Leistungspunkte: 8 LP Entspricht 240 Zeitstunden. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 4

12 Zeitaufwand? Beispielrechnung Leistungspunkte: 8 LP Entspricht 240 Zeitstunden. Vorlesungszeit: 15 Wochen. 12 Stunden pro Woche Davon: 6 in Vorlesung/Übung/Praktikum FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 4

13 Zeitaufwand? Beispielrechnung Leistungspunkte: 8 LP Entspricht 240 Zeitstunden. Vorlesungszeit: 15 Wochen. 12 Stunden pro Woche Davon: 6 in Vorlesung/Übung/Praktikum Zeitaufwand: 6 7 Zeitstunden pro Woche neben Vorlesung/Übung! ergibt: Stunden plus Stunden Prüfungsvorbereitung! FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 4

14 Vorlesung Montag 13:00 14:30 Hu-Hs Donnerstag 13:00 14:30 Hu-Hs FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 5

15 Übung Montag 19:00 20:30 Sr HU 011 Dienstag 17:00 18:30 Sr HU 010 Mittwoch 09:00 10:30 Sr H 1519 Freitag 09:00 10:30 Sr HU 129 Der Übungsbetrieb läuft ab KW 15, also ab 7.4. Übungsblätter stehen im Netz. Übung vor- und nachbereiten! FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 6

16 Praktikum Freitag, 13:00 14:30, U-Wochen, Sr K-Hs 2 Live -Programmierung in C++: Implementierung und Zeitmessung (hauptsächlich) zu Algorithmen aus der Vorlesung. Praktikumsanleitungen stehen im Netz. Abschluss: Implementierung eines Algorithmus in 3er-/4er-Gruppen, Details: Semestermitte. Hier: Implementierung = Quellcodegerüst vervollständigen. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 7

17 Prüfungsstoff: Vorlesung + Übungsaufgaben. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 8

18 Prüfungsstoff: Vorlesung + Übungsaufgaben. Prüfung: 150 Minuten (Informatik, 2. Semester). FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 8

19 Prüfungsstoff: Vorlesung + Übungsaufgaben. Prüfung: 150 Minuten (Informatik, 2. Semester). 150 Punkte. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 8

20 Prüfungsstoff: Vorlesung + Übungsaufgaben. Prüfung: 150 Minuten (Informatik, 2. Semester). 150 Punkte. max. 20 Bonuspunkte über Zwischenklausur (40 Minuten). FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 8

21 Prüfungsstoff: Vorlesung + Übungsaufgaben. Prüfung: 150 Minuten (Informatik, 2. Semester). 150 Punkte. max. 20 Bonuspunkte über Zwischenklausur (40 Minuten). bzw. 90 Minuten (Informatik und Ing.-Informatik, höhere Semester). FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 8

22 Prüfungsstoff: Vorlesung + Übungsaufgaben. Prüfung: 150 Minuten (Informatik, 2. Semester). 150 Punkte. max. 20 Bonuspunkte über Zwischenklausur (40 Minuten). bzw. 90 Minuten (Informatik und Ing.-Informatik, höhere Semester). 90 Punkte. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 8

23 Prüfungsstoff: Vorlesung + Übungsaufgaben. Prüfung: 150 Minuten (Informatik, 2. Semester). 150 Punkte. max. 20 Bonuspunkte über Zwischenklausur (40 Minuten). bzw. 90 Minuten (Informatik und Ing.-Informatik, höhere Semester). 90 Punkte. max. 15 Bonuspunkte über Zwischenklausur (40 Minuten). FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 8

24 Grundlagen, Voraussetzungen FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 9

25 Grundlagen, Voraussetzungen Prof. G. Schäfer, Algorithmen und Programmierung für Informatiker, WS 2013/14 algorithmen-und-programmierung-fuer-ingenieur-informatiker/ Wird vorausgesetzt! FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 9

26 Grundlagen, Voraussetzungen Prof. G. Schäfer, Algorithmen und Programmierung für Informatiker, WS 2013/14 algorithmen-und-programmierung-fuer-ingenieur-informatiker/ Wird vorausgesetzt! G. Saake, K. U. Sattler. Algorithmen und Datenstrukturen Eine Einführung mit Java. dpunkt.verlag, 4. Auflage, FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 9

27 Grundlagen, Voraussetzungen Prof. G. Schäfer, Algorithmen und Programmierung für Informatiker, WS 2013/14 algorithmen-und-programmierung-fuer-ingenieur-informatiker/ Wird vorausgesetzt! G. Saake, K. U. Sattler. Algorithmen und Datenstrukturen Eine Einführung mit Java. dpunkt.verlag, 4. Auflage, Prof. M. Kriesell: Grundlagen und Diskrete Strukturen, Vorlesung, WS 2013/14 Wird vorausgesetzt! FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel 0+1 9

28 Literaturvorschläge: T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, 3rd ed., MIT Press, 2009 (Deutsche Ausgabe bei Oldenbourg) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

29 Literaturvorschläge: T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, 3rd ed., MIT Press, 2009 (Deutsche Ausgabe bei Oldenbourg) T. Ottmann, P. Widmayer, Algorithmen und Datenstrukturen, 5. Aufl., Spektrum Akademischer Verlag, 2012 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

30 Literaturvorschläge: T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, 3rd ed., MIT Press, 2009 (Deutsche Ausgabe bei Oldenbourg) T. Ottmann, P. Widmayer, Algorithmen und Datenstrukturen, 5. Aufl., Spektrum Akademischer Verlag, 2012 K. Mehlhorn, P. Sanders, Algorithms and Data Structures The Basic Toolbox, Springer-Verlag, 2008 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

31 Literaturvorschläge: T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, 3rd ed., MIT Press, 2009 (Deutsche Ausgabe bei Oldenbourg) T. Ottmann, P. Widmayer, Algorithmen und Datenstrukturen, 5. Aufl., Spektrum Akademischer Verlag, 2012 K. Mehlhorn, P. Sanders, Algorithms and Data Structures The Basic Toolbox, Springer-Verlag, 2008 (Deutsche Ausgabe erscheint Juli 2014, s. Ansage in Vorlesung) R. Sedgewick and K. Wayne, Algorithms, 4th ed., Addison-Wesley, 2011 (auch C-, C++, Java-Versionen, auch auf deutsch bei Pearson) (Part 5: Graph Algorithms, Addison-Wesley, 2003: separat). FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

32 Literaturvorschläge (Forts.): R. H. Güting, S. Dieker, Datenstrukturen und Algorithmen, 3. Auflage, Vieweg+Teubner 2004 (einführend) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

33 Literaturvorschläge (Forts.): R. H. Güting, S. Dieker, Datenstrukturen und Algorithmen, 3. Auflage, Vieweg+Teubner 2004 (einführend) K. Weicker, N. Weicker, Algorithmen und Datenstrukturen, Springer Vieweg 2013 (einführend) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

34 Literaturvorschläge (Forts.): R. H. Güting, S. Dieker, Datenstrukturen und Algorithmen, 3. Auflage, Vieweg+Teubner 2004 (einführend) K. Weicker, N. Weicker, Algorithmen und Datenstrukturen, Springer Vieweg 2013 (einführend) V. Heun, Grundlegende Algorithmen, 2. Auflage, Vieweg, 2003 Springer-Verlag, 2008 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

35 Literaturvorschläge (Forts.): R. H. Güting, S. Dieker, Datenstrukturen und Algorithmen, 3. Auflage, Vieweg+Teubner 2004 (einführend) K. Weicker, N. Weicker, Algorithmen und Datenstrukturen, Springer Vieweg 2013 (einführend) V. Heun, Grundlegende Algorithmen, 2. Auflage, Vieweg, 2003 Springer-Verlag, 2008 S. Dasgupta, C. Papadimitriou, U. Vazirani, Algorithms, McGraw-Hill, 2007 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

36 Literaturvorschläge (Forts.): R. H. Güting, S. Dieker, Datenstrukturen und Algorithmen, 3. Auflage, Vieweg+Teubner 2004 (einführend) K. Weicker, N. Weicker, Algorithmen und Datenstrukturen, Springer Vieweg 2013 (einführend) V. Heun, Grundlegende Algorithmen, 2. Auflage, Vieweg, 2003 Springer-Verlag, 2008 S. Dasgupta, C. Papadimitriou, U. Vazirani, Algorithms, McGraw-Hill, 2007 J. Kleinberg, E. Tardos, Algorithm Design, Pearson Education, 2005 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

37 Literaturvorschläge (Forts.): R. H. Güting, S. Dieker, Datenstrukturen und Algorithmen, 3. Auflage, Vieweg+Teubner 2004 (einführend) K. Weicker, N. Weicker, Algorithmen und Datenstrukturen, Springer Vieweg 2013 (einführend) V. Heun, Grundlegende Algorithmen, 2. Auflage, Vieweg, 2003 Springer-Verlag, 2008 S. Dasgupta, C. Papadimitriou, U. Vazirani, Algorithms, McGraw-Hill, 2007 J. Kleinberg, E. Tardos, Algorithm Design, Pearson Education, 2005 U. Schöning, Algorithmik, Spektrum Akademischer Verlag, 2001 FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

38 Literaturvorschläge (Forts.): R. H. Güting, S. Dieker, Datenstrukturen und Algorithmen, 3. Auflage, Vieweg+Teubner 2004 (einführend) K. Weicker, N. Weicker, Algorithmen und Datenstrukturen, Springer Vieweg 2013 (einführend) V. Heun, Grundlegende Algorithmen, 2. Auflage, Vieweg, 2003 Springer-Verlag, 2008 S. Dasgupta, C. Papadimitriou, U. Vazirani, Algorithms, McGraw-Hill, 2007 J. Kleinberg, E. Tardos, Algorithm Design, Pearson Education, 2005 U. Schöning, Algorithmik, Spektrum Akademischer Verlag, 2001 Vorlesung folgt eigenem Plan, nicht direkt einem Buch. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

39 Kapitel 1 Einführung und Grundlagen FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

40 Datenstrukturen! FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

41 Listen, Stacks, Queues Datenstrukturen! FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

42 Listen, Stacks, Queues Einfache Suchbäume Datenstrukturen! FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

43 Listen, Stacks, Queues Einfache Suchbäume Balancierte Suchbäume Datenstrukturen! FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

44 Datenstrukturen! Listen, Stacks, Queues Einfache Suchbäume Balancierte Suchbäume Hashtabellen, implementieren Wörterbücher FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

45 Datenstrukturen! Listen, Stacks, Queues Einfache Suchbäume Balancierte Suchbäume Hashtabellen, implementieren Wörterbücher Heaps, implementieren Prioritätswarteschlangen FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

46 Datenstrukturen! Listen, Stacks, Queues Einfache Suchbäume Balancierte Suchbäume Hashtabellen, implementieren Wörterbücher Heaps, implementieren Prioritätswarteschlangen Datenstrukturen für Graphen FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

47 Spezifikation des Verhaltens von Datenstrukturen (vereinfacht) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

48 Spezifikation des Verhaltens von Datenstrukturen (vereinfacht): (Abstrakte) Datentypen FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

49 Spezifikation des Verhaltens von Datenstrukturen (vereinfacht): (Abstrakte) Datentypen Syntax: Signatur Semantik: Mathematisches Modell FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

50 Spezifikation des Verhaltens von Datenstrukturen (vereinfacht): (Abstrakte) Datentypen Syntax: Signatur Semantik: Mathematisches Modell (Axiomatische Variante in AuP angesprochen.) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

51 Algorithmen! FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

52 Algorithmen! Aufgabe: Für jede beliebige gegebene Folge (a 1, a 2,..., a n ) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

53 Algorithmen! Aufgabe: Für jede beliebige gegebene Folge (a 1, a 2,..., a n ) von natürlichen / ganzen / reellen Zahlen FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

54 Algorithmen! Aufgabe: Für jede beliebige gegebene Folge (a 1, a 2,..., a n ) von natürlichen / ganzen / reellen Zahlen oder von Objekten aus einem total geordneten Bereich (U, <) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

55 Algorithmen! Aufgabe: Für jede beliebige gegebene Folge (a 1, a 2,..., a n ) von natürlichen / ganzen / reellen Zahlen oder von Objekten aus einem total geordneten Bereich (U, <) z.b.: Zahlentupel, Strings (Zeichenreihen), mit Namen versehene Datensätze, usw. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

56 Algorithmen! Aufgabe: Für jede beliebige gegebene Folge (a 1, a 2,..., a n ) von natürlichen / ganzen / reellen Zahlen oder von Objekten aus einem total geordneten Bereich (U, <) z.b.: Zahlentupel, Strings (Zeichenreihen), mit Namen versehene Datensätze, usw. sortiere (a 1, a 2,..., a n ) in aufsteigende Reihenfolge. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

57 Algorithmen! Aufgabe: Für jede beliebige gegebene Folge (a 1, a 2,..., a n ) von natürlichen / ganzen / reellen Zahlen oder von Objekten aus einem total geordneten Bereich (U, <) z.b.: Zahlentupel, Strings (Zeichenreihen), mit Namen versehene Datensätze, usw. sortiere (a 1, a 2,..., a n ) in aufsteigende Reihenfolge. Vorher: (Eve, Bob, Fran, Al) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

58 Algorithmen! Aufgabe: Für jede beliebige gegebene Folge (a 1, a 2,..., a n ) von natürlichen / ganzen / reellen Zahlen oder von Objekten aus einem total geordneten Bereich (U, <) z.b.: Zahlentupel, Strings (Zeichenreihen), mit Namen versehene Datensätze, usw. sortiere (a 1, a 2,..., a n ) in aufsteigende Reihenfolge. Vorher: (Eve, Bob, Fran, Al), nachher: (Al, Bob, Eve, Fran) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

59 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

60 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) Eingabe (a 1,..., a n ) in Array (Feld) A[1..n] FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

61 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) Eingabe (a 1,..., a n ) in Array (Feld) A[1..n] Idee: FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

62 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) Eingabe (a 1,..., a n ) in Array (Feld) A[1..n] Idee: Für i = 2, 3,..., n: FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

63 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) Eingabe (a 1,..., a n ) in Array (Feld) A[1..n] Idee: Für i = 2, 3,..., n: Suche die Stelle in der sortierten Version von a 1,..., a i 1, an die a i gehört, FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

64 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) Eingabe (a 1,..., a n ) in Array (Feld) A[1..n] Idee: Für i = 2, 3,..., n: Suche die Stelle in der sortierten Version von a 1,..., a i 1, an die a i gehört, und füge a i dort ein. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

65 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) Eingabe (a 1,..., a n ) in Array (Feld) A[1..n] Idee: Für i = 2, 3,..., n: Suche die Stelle in der sortierten Version von a 1,..., a i 1, an die a i gehört, und füge a i dort ein. Pseudocode: FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

66 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) Eingabe (a 1,..., a n ) in Array (Feld) A[1..n] Idee: Für i = 2, 3,..., n: Suche die Stelle in der sortierten Version von a 1,..., a i 1, an die a i gehört, und füge a i dort ein. Pseudocode: Algorithmus Straight Insertion Sort FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

67 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) Eingabe (a 1,..., a n ) in Array (Feld) A[1..n] Idee: Für i = 2, 3,..., n: Suche die Stelle in der sortierten Version von a 1,..., a i 1, an die a i gehört, und füge a i dort ein. Pseudocode: Algorithmus Straight Insertion Sort (1) for i from 2 to n do (2) x A[i] ; (3) j i-1 ; (4) while j 1 and x.key < A[j].key do (5) A[j+1] A[j] ; (6) j j-1 ; (7) A[j+1] x. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

68 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

69 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: Ein Algorithmus A FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

70 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: Ein Algorithmus A ist eine durch einen endlichen Text FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

71 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: Ein Algorithmus A ist eine durch einen endlichen Text gegebene Verarbeitungsvorschrift, die zu jeder gegebenen Eingabe x FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

72 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: Ein Algorithmus A ist eine durch einen endlichen Text gegebene Verarbeitungsvorschrift, die zu jeder gegebenen Eingabe x aus einer Menge I (Menge der möglichen Eingaben) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

73 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: Ein Algorithmus A ist eine durch einen endlichen Text gegebene Verarbeitungsvorschrift, die zu jeder gegebenen Eingabe x aus einer Menge I (Menge der möglichen Eingaben) eindeutig eine Reihe von auszuführenden Schritten vorschreibt. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

74 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: Ein Algorithmus A ist eine durch einen endlichen Text gegebene Verarbeitungsvorschrift, die zu jeder gegebenen Eingabe x aus einer Menge I (Menge der möglichen Eingaben) eindeutig eine Reihe von auszuführenden Schritten vorschreibt. Wenn nach endlich vielen Schritten diese Ausführung anhält, FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

75 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: Ein Algorithmus A ist eine durch einen endlichen Text gegebene Verarbeitungsvorschrift, die zu jeder gegebenen Eingabe x aus einer Menge I (Menge der möglichen Eingaben) eindeutig eine Reihe von auszuführenden Schritten vorschreibt. Wenn nach endlich vielen Schritten diese Ausführung anhält, wird ein Ergebnis A(x) ausgegeben. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

76 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: Ein Algorithmus A ist eine durch einen endlichen Text gegebene Verarbeitungsvorschrift, die zu jeder gegebenen Eingabe x aus einer Menge I (Menge der möglichen Eingaben) eindeutig eine Reihe von auszuführenden Schritten vorschreibt. Wenn nach endlich vielen Schritten diese Ausführung anhält, wird ein Ergebnis A(x) ausgegeben. Mögliche Formen: Umgangssprache, Pseudocode, Programm in Programmiersprache, Programm für formales Maschinenmodell, Programm in Maschinensprache. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

77 Allgemeine Merkmale eines Algorithmus FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

78 Allgemeine Merkmale eines Algorithmus Endlicher Text FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

79 Allgemeine Merkmale eines Algorithmus Endlicher Text Ein Algorithmus für eine große (oft: unendliche!) Menge von Eingaben x FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

80 Allgemeine Merkmale eines Algorithmus Endlicher Text Ein Algorithmus für eine große (oft: unendliche!) Menge von Eingaben x (Beachte: Zeitliche Trennung der Formulierung des Algorithmus/der Programmierung und der Anwendung auf eine Eingabe.) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

81 Allgemeine Merkmale eines Algorithmus Endlicher Text Ein Algorithmus für eine große (oft: unendliche!) Menge von Eingaben x (Beachte: Zeitliche Trennung der Formulierung des Algorithmus/der Programmierung und der Anwendung auf eine Eingabe.) Eindeutig vorgeschriebene Abfolge von Schritten, wenn Eingabe x vorliegt FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

82 Allgemeine Merkmale eines Algorithmus Endlicher Text Ein Algorithmus für eine große (oft: unendliche!) Menge von Eingaben x (Beachte: Zeitliche Trennung der Formulierung des Algorithmus/der Programmierung und der Anwendung auf eine Eingabe.) Eindeutig vorgeschriebene Abfolge von Schritten, wenn Eingabe x vorliegt Wenn Verarbeitung anhält: Ausgabe ablesbar FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

83 Allgemeine Merkmale eines Algorithmus Endlicher Text Ein Algorithmus für eine große (oft: unendliche!) Menge von Eingaben x (Beachte: Zeitliche Trennung der Formulierung des Algorithmus/der Programmierung und der Anwendung auf eine Eingabe.) Eindeutig vorgeschriebene Abfolge von Schritten, wenn Eingabe x vorliegt Wenn Verarbeitung anhält: Ausgabe ablesbar Nicht verlangt: FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

84 Allgemeine Merkmale eines Algorithmus Endlicher Text Ein Algorithmus für eine große (oft: unendliche!) Menge von Eingaben x (Beachte: Zeitliche Trennung der Formulierung des Algorithmus/der Programmierung und der Anwendung auf eine Eingabe.) Eindeutig vorgeschriebene Abfolge von Schritten, wenn Eingabe x vorliegt Wenn Verarbeitung anhält: Ausgabe ablesbar Nicht verlangt: Terminierung auf allen x I. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

85 Erweiterungen des Algorithmusbegriffs FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

86 Erweiterungen des Algorithmusbegriffs Online-Algorithmen: Die Eingabe wird nicht am Anfang der Berechnung, sondern nach und nach zur Verfügung gestellt FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

87 Erweiterungen des Algorithmusbegriffs Online-Algorithmen: Die Eingabe wird nicht am Anfang der Berechnung, sondern nach und nach zur Verfügung gestellt Häufige Situation bei Datenstrukturen FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

88 Erweiterungen des Algorithmusbegriffs Online-Algorithmen: Die Eingabe wird nicht am Anfang der Berechnung, sondern nach und nach zur Verfügung gestellt Häufige Situation bei Datenstrukturen Standard bei Betriebssystemen, Systemprogrammen, Anwendungsprogrammen mit Benutzerdialog usw. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

89 Erweiterungen des Algorithmusbegriffs Online-Algorithmen: Die Eingabe wird nicht am Anfang der Berechnung, sondern nach und nach zur Verfügung gestellt Häufige Situation bei Datenstrukturen Standard bei Betriebssystemen, Systemprogrammen, Anwendungsprogrammen mit Benutzerdialog usw. Randomisierung: Algorithmus führt Zufallsexperimente durch FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

90 Erweiterungen des Algorithmusbegriffs Online-Algorithmen: Die Eingabe wird nicht am Anfang der Berechnung, sondern nach und nach zur Verfügung gestellt Häufige Situation bei Datenstrukturen Standard bei Betriebssystemen, Systemprogrammen, Anwendungsprogrammen mit Benutzerdialog usw. Randomisierung: Algorithmus führt Zufallsexperimente durch Verteilte Algorithmen : Mehrere Rechner arbeiten zusammen, kommunizieren, zeitliche Abfolge nicht vorhersagbar FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

91 Erweiterungen des Algorithmusbegriffs Online-Algorithmen: Die Eingabe wird nicht am Anfang der Berechnung, sondern nach und nach zur Verfügung gestellt Häufige Situation bei Datenstrukturen Standard bei Betriebssystemen, Systemprogrammen, Anwendungsprogrammen mit Benutzerdialog usw. Randomisierung: Algorithmus führt Zufallsexperimente durch Verteilte Algorithmen : Mehrere Rechner arbeiten zusammen, kommunizieren, zeitliche Abfolge nicht vorhersagbar in dieser Vorlesung nicht oder nur am Rande diskutiert FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

92 Algorithmen im 1. Teil dieser Vorlesung: FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

93 Algorithmen im 1. Teil dieser Vorlesung: Darstellung von Algorithmen, Bausteine für Algorithmen (besonders Iteration, Rekursion) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

94 Algorithmen im 1. Teil dieser Vorlesung: Darstellung von Algorithmen, Bausteine für Algorithmen (besonders Iteration, Rekursion) Analyse 1: Korrektheit von Algorithmen, Induktionsbeweise für iterative und rekursive Verfahren FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

95 Algorithmen im 1. Teil dieser Vorlesung: Darstellung von Algorithmen, Bausteine für Algorithmen (besonders Iteration, Rekursion) Analyse 1: Korrektheit von Algorithmen, Induktionsbeweise für iterative und rekursive Verfahren Analyse 2: Laufzeitbegriff, O-Notation, Laufzeitanalyse FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

96 Algorithmen im 1. Teil dieser Vorlesung: Darstellung von Algorithmen, Bausteine für Algorithmen (besonders Iteration, Rekursion) Analyse 1: Korrektheit von Algorithmen, Induktionsbeweise für iterative und rekursive Verfahren Analyse 2: Laufzeitbegriff, O-Notation, Laufzeitanalyse Algorithmen zur Implementierung von Datentypen FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

97 Algorithmen im 1. Teil dieser Vorlesung: Darstellung von Algorithmen, Bausteine für Algorithmen (besonders Iteration, Rekursion) Analyse 1: Korrektheit von Algorithmen, Induktionsbeweise für iterative und rekursive Verfahren Analyse 2: Laufzeitbegriff, O-Notation, Laufzeitanalyse Algorithmen zur Implementierung von Datentypen Balancierte Suchbäume, einfache Hashverfahren FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

98 Algorithmen im 1. Teil dieser Vorlesung: Darstellung von Algorithmen, Bausteine für Algorithmen (besonders Iteration, Rekursion) Analyse 1: Korrektheit von Algorithmen, Induktionsbeweise für iterative und rekursive Verfahren Analyse 2: Laufzeitbegriff, O-Notation, Laufzeitanalyse Algorithmen zur Implementierung von Datentypen Balancierte Suchbäume, einfache Hashverfahren Sortierverfahren: Quicksort, Heapsort, Mergesort, CountingSort FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

99 Algorithmen im 1. Teil dieser Vorlesung: Darstellung von Algorithmen, Bausteine für Algorithmen (besonders Iteration, Rekursion) Analyse 1: Korrektheit von Algorithmen, Induktionsbeweise für iterative und rekursive Verfahren Analyse 2: Laufzeitbegriff, O-Notation, Laufzeitanalyse Algorithmen zur Implementierung von Datentypen Balancierte Suchbäume, einfache Hashverfahren Sortierverfahren: Quicksort, Heapsort, Mergesort, CountingSort Datenstrukturen für Graphen FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

100 Algorithmen im 1. Teil dieser Vorlesung: Darstellung von Algorithmen, Bausteine für Algorithmen (besonders Iteration, Rekursion) Analyse 1: Korrektheit von Algorithmen, Induktionsbeweise für iterative und rekursive Verfahren Analyse 2: Laufzeitbegriff, O-Notation, Laufzeitanalyse Algorithmen zur Implementierung von Datentypen Balancierte Suchbäume, einfache Hashverfahren Sortierverfahren: Quicksort, Heapsort, Mergesort, CountingSort Datenstrukturen für Graphen Grundlegende Exploration von Graphen: FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

101 Algorithmen im 1. Teil dieser Vorlesung: Darstellung von Algorithmen, Bausteine für Algorithmen (besonders Iteration, Rekursion) Analyse 1: Korrektheit von Algorithmen, Induktionsbeweise für iterative und rekursive Verfahren Analyse 2: Laufzeitbegriff, O-Notation, Laufzeitanalyse Algorithmen zur Implementierung von Datentypen Balancierte Suchbäume, einfache Hashverfahren Sortierverfahren: Quicksort, Heapsort, Mergesort, CountingSort Datenstrukturen für Graphen Grundlegende Exploration von Graphen: Breitensuche FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

102 Algorithmus Straight Insertion Sort (Pseudocode) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

103 Algorithmus Straight Insertion Sort (Pseudocode) (1) for i from 2 to n do (2) x A[i] ; (3) j i-1 ; (4) while j 1 and x.key < A[j].key do (5) A[j+1] A[j] ; (6) j j-1 ; (7) A[j+1] x. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

104 Algorithmus Straight Insertion Sort (Pseudocode) (1) for i from 2 to n do (2) x A[i] ; (3) j i-1 ; (4) while j 1 and x.key < A[j].key do (5) A[j+1] A[j] ; (6) j j-1 ; (7) A[j+1] x. Fragen: FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

105 Algorithmus Straight Insertion Sort (Pseudocode) (1) for i from 2 to n do (2) x A[i] ; (3) j i-1 ; (4) while j 1 and x.key < A[j].key do (5) A[j+1] A[j] ; (6) j j-1 ; (7) A[j+1] x. Fragen: (a) Ist dieser Algorithmus korrekt? FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

106 Algorithmus Straight Insertion Sort (Pseudocode) (1) for i from 2 to n do (2) x A[i] ; (3) j i-1 ; (4) while j 1 and x.key < A[j].key do (5) A[j+1] A[j] ; (6) j j-1 ; (7) A[j+1] x. Fragen: (a) Ist dieser Algorithmus korrekt? (b) Wie lange braucht der Algorithmus, um die Berechnung zu beenden? FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

107 (a) Korrektheitsbeweise Damit die Frage nach einem Beweis der Korrektheit sinnvoll ist, müssen wir die zu lösende Aufgabe zunächst spezifizieren. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

108 (a) Korrektheitsbeweise Damit die Frage nach einem Beweis der Korrektheit sinnvoll ist, müssen wir die zu lösende Aufgabe zunächst spezifizieren. Bemerkung: Aus einer vagen Problemstellung eine präzise Spezifikation des zu lösenden Problems zu gewinnen ist ein in der Praxis extrem wichtiger Schritt, dessen Bedeutung oft unterschätzt wird. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

109 Berechnungsprobleme FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

110 Berechnungsprobleme Erklärung: Ein Berechnungsproblem P besteht aus FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

111 Berechnungsprobleme Erklärung: Ein Berechnungsproblem P besteht aus (i) einer Menge I von möglichen Eingaben ( Inputs, Instanzen ) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

112 Berechnungsprobleme Erklärung: Ein Berechnungsproblem P besteht aus (i) einer Menge I von möglichen Eingaben ( Inputs, Instanzen ) (I kann unendlich sein!) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

113 Berechnungsprobleme Erklärung: Ein Berechnungsproblem P besteht aus (i) einer Menge I von möglichen Eingaben ( Inputs, Instanzen ) (I kann unendlich sein!) (ii) einer Menge O von möglichen Ausgaben FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

114 Berechnungsprobleme Erklärung: Ein Berechnungsproblem P besteht aus (i) einer Menge I von möglichen Eingaben ( Inputs, Instanzen ) (I kann unendlich sein!) (ii) einer Menge O von möglichen Ausgaben (iii) einer Funktion f : I O FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

115 Berechnungsprobleme Erklärung: Ein Berechnungsproblem P besteht aus (i) einer Menge I von möglichen Eingaben ( Inputs, Instanzen ) (I kann unendlich sein!) (ii) (iii) einer Menge O von möglichen Ausgaben einer Funktion f : I O Ein Algorithmus A löst P, wenn A genau die Eingaben aus I verarbeitet und zu Eingabe x I Ausgabe A(x) = f(x) liefert. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

116 Berechnungsprobleme Erklärung: Ein Berechnungsproblem P besteht aus (i) einer Menge I von möglichen Eingaben ( Inputs, Instanzen ) (I kann unendlich sein!) (ii) (iii) einer Menge O von möglichen Ausgaben einer Funktion f : I O Ein Algorithmus A löst P, wenn A genau die Eingaben aus I verarbeitet und zu Eingabe x I Ausgabe A(x) = f(x) liefert. Spezialfall O = {1, 0} = {true, false} = {Ja, Nein} (Entscheidungsproblem) FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

117 Varianten FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

118 Varianten Zu einer Eingabe x I gibt es mehrere legale Ergebnisse. Formal: In (iii) haben wir statt einer Funktion f eine Relation R I O mit: x I y O : R(x, y). FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

119 Varianten Zu einer Eingabe x I gibt es mehrere legale Ergebnisse. Formal: In (iii) haben wir statt einer Funktion f eine Relation R I O mit: x I y O : R(x, y). A löst P, wenn A genau die Eingaben aus I verarbeitet und R(x, A(x)) für jedes x I gilt. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

120 Varianten Zu einer Eingabe x I gibt es mehrere legale Ergebnisse. Formal: In (iii) haben wir statt einer Funktion f eine Relation R I O mit: x I y O : R(x, y). A löst P, wenn A genau die Eingaben aus I verarbeitet und R(x, A(x)) für jedes x I gilt. Beispiel: Beim Sortieren von Datensätzen (k i, d ki ), wobei ein Schlüssel k wiederholt als k i vorkommen darf, kann jede sortierte Anordnung eine legale Lösung sein. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

121 Varianten Zu einer Eingabe x I gibt es mehrere legale Ergebnisse. Formal: In (iii) haben wir statt einer Funktion f eine Relation R I O mit: x I y O : R(x, y). A löst P, wenn A genau die Eingaben aus I verarbeitet und R(x, A(x)) für jedes x I gilt. Beispiel: Beim Sortieren von Datensätzen (k i, d ki ), wobei ein Schlüssel k wiederholt als k i vorkommen darf, kann jede sortierte Anordnung eine legale Lösung sein. Online-Situation: Eingabe wird in Raten geliefert, Zwischenausgaben werden verlangt. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

122 Spezifikation des Sortierproblems Parameter: Der Grundbereich, aus dem die zu sortierenden Objekte stammen, ist ein Parameter der Spezifikation. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

123 Spezifikation des Sortierproblems Parameter: Der Grundbereich, aus dem die zu sortierenden Objekte stammen, ist ein Parameter der Spezifikation. (U, <): eine total geordnete Menge (endlich oder unendlich). FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

124 Spezifikation des Sortierproblems Parameter: Der Grundbereich, aus dem die zu sortierenden Objekte stammen, ist ein Parameter der Spezifikation. (U, <): eine total geordnete Menge (endlich oder unendlich). Beispiele: Zahlenmengen {1,..., n}, N, Z, Q; Mengen von Strings. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

125 Spezifikation des Sortierproblems Parameter: Der Grundbereich, aus dem die zu sortierenden Objekte stammen, ist ein Parameter der Spezifikation. (U, <): eine total geordnete Menge (endlich oder unendlich). Beispiele: Zahlenmengen {1,..., n}, N, Z, Q; Mengen von Strings. D: Eine Menge (von Datensätzen ). FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

126 Spezifikation des Sortierproblems Parameter: Der Grundbereich, aus dem die zu sortierenden Objekte stammen, ist ein Parameter der Spezifikation. (U, <): eine total geordnete Menge (endlich oder unendlich). Beispiele: Zahlenmengen {1,..., n}, N, Z, Q; Mengen von Strings. D: Eine Menge (von Datensätzen ). Jeder Datensatz a hat einen Sortierschlüssel : key: D U. I = O = Seq(D) = D < = n 0 Dn FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

127 Spezifikation des Sortierproblems Parameter: Der Grundbereich, aus dem die zu sortierenden Objekte stammen, ist ein Parameter der Spezifikation. (U, <): eine total geordnete Menge (endlich oder unendlich). Beispiele: Zahlenmengen {1,..., n}, N, Z, Q; Mengen von Strings. D: Eine Menge (von Datensätzen ). Jeder Datensatz a hat einen Sortierschlüssel : key: D U. I = O = Seq(D) = D < = n 0 Dn = {(a 1..., a n ) n N, a 1,..., a n D}, FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

128 Spezifikation des Sortierproblems Parameter: Der Grundbereich, aus dem die zu sortierenden Objekte stammen, ist ein Parameter der Spezifikation. (U, <): eine total geordnete Menge (endlich oder unendlich). Beispiele: Zahlenmengen {1,..., n}, N, Z, Q; Mengen von Strings. D: Eine Menge (von Datensätzen ). Jeder Datensatz a hat einen Sortierschlüssel : key: D U. I = O = Seq(D) = D < = n 0 Dn = {(a 1..., a n ) n N, a 1,..., a n D}, die Menge aller endlichen Folgen von Datensätzen. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

129 Beispiel: U = N, D = N {a,..., z} key : D (i, b) i U FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

130 Beispiel: U = N, D = N {a,..., z} key : D (i, b) i U Ein möglicher Input: x = ((5, r), (3, s), (11, t), (6, e), (9, r), (5, t), (4, o), (5, i)). FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

131 Beispiel: U = N, D = N {a,..., z} key : D (i, b) i U Ein möglicher Input: x = ((5, r), (3, s), (11, t), (6, e), (9, r), (5, t), (4, o), (5, i)). Das Ergebnis beim Sortieren sollte z. B. sein: y = ((3, s), (4, o), (5, r), (5, t), (5, i), (6, e), (9, r), (11, t)). FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

132 x = (a 1,..., a n ) I und y = (b 1,..., b m ) O stehen in der Relation R FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

133 x = (a 1,..., a n ) I und y = (b 1,..., b m ) O stehen in der Relation R n = m FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

134 x = (a 1,..., a n ) I und y = (b 1,..., b m ) O stehen in der Relation R n = m und es gibt eine Permutation π von {1,..., n} FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

135 x = (a 1,..., a n ) I und y = (b 1,..., b m ) O stehen in der Relation R n = m und es gibt eine Permutation π von {1,..., n} mit b i = a π(i), 1 i n, und key(b 1 ) key(b 2 ) key(b n ). FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

136 x = (a 1,..., a n ) I und y = (b 1,..., b m ) O stehen in der Relation R n = m und es gibt eine Permutation π von {1,..., n} mit b i = a π(i), 1 i n, und key(b 1 ) key(b 2 ) key(b n ). Beispiel: Für x = ((5, r), (3, s), (11, t), (6, e), (9, r), (5, t), (4, o), (5, i)) und y = ((3, s), (4, o), (5, r), (5, t), (5, i), (6, e), (9, r), (11, t)) wäre ( ) π = passend. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

137 Alternative Formulierung für die Spezifikation einer Lösung des Sortierproblems: O = {π π Permutation einer Menge {1,..., n}, n N} FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

138 Alternative Formulierung für die Spezifikation einer Lösung des Sortierproblems: O = {π π Permutation einer Menge {1,..., n}, n N} Definition: x = (a 1,..., a n ) wird durch π sortiert, wenn key(a π(1) ) key(a π(2) ) key(a π(n) ) gilt. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

139 Alternative Formulierung für die Spezifikation einer Lösung des Sortierproblems: O = {π π Permutation einer Menge {1,..., n}, n N} Definition: x = (a 1,..., a n ) wird durch π sortiert, wenn key(a π(1) ) key(a π(2) ) key(a π(n) ) gilt. x = (a 1,..., a n ) und π stehen in der Relation R, FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

140 Alternative Formulierung für die Spezifikation einer Lösung des Sortierproblems: O = {π π Permutation einer Menge {1,..., n}, n N} Definition: x = (a 1,..., a n ) wird durch π sortiert, wenn key(a π(1) ) key(a π(2) ) key(a π(n) ) gilt. x = (a 1,..., a n ) und π stehen in der Relation R, wenn x durch π sortiert wird. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

141 Löst Straight Insertion Sort das Sortierproblem? Gilt für jede Eingabe (a 1,..., a n ) in A[1..n], dass nachher dieselben Elemente im Array stehen, aber nach Schlüsseln aufsteigend sortiert? FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

142 Korrektheitsbeweis an Beispiel: Durch vollständige Induktion über i = 1, 2,..., n zeigt man die folgende Behauptung: FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

143 Korrektheitsbeweis an Beispiel: Durch vollständige Induktion über i = 1, 2,..., n zeigt man die folgende Behauptung: (IB i ) Nach Durchlauf Nummer i (in i) der äußeren Schleife FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

144 Korrektheitsbeweis an Beispiel: Durch vollständige Induktion über i = 1, 2,..., n zeigt man die folgende Behauptung: (IB i ) Nach Durchlauf Nummer i (in i) der äußeren Schleife stehen in A[1..i] dieselben Elemente wie vorher, aber aufsteigend sortiert. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

145 Korrektheitsbeweis an Beispiel: Durch vollständige Induktion über i = 1, 2,..., n zeigt man die folgende Behauptung: (IB i ) Nach Durchlauf Nummer i (in i) der äußeren Schleife stehen in A[1..i] dieselben Elemente wie vorher, aber aufsteigend sortiert. I.A.: i = 1: Nach Durchlauf für i = 1 ist vor Beginn. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

146 Korrektheitsbeweis an Beispiel: Durch vollständige Induktion über i = 1, 2,..., n zeigt man die folgende Behauptung: (IB i ) Nach Durchlauf Nummer i (in i) der äußeren Schleife stehen in A[1..i] dieselben Elemente wie vorher, aber aufsteigend sortiert. I.A.: i = 1: Nach Durchlauf für i = 1 ist vor Beginn. Anfangs ist das Teilarray A[1..1] (nur ein Eintrag) sortiert. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

147 Korrektheitsbeweis an Beispiel: Durch vollständige Induktion über i = 1, 2,..., n zeigt man die folgende Behauptung: (IB i ) Nach Durchlauf Nummer i (in i) der äußeren Schleife stehen in A[1..i] dieselben Elemente wie vorher, aber aufsteigend sortiert. I.A.: i = 1: Nach Durchlauf für i = 1 ist vor Beginn. Anfangs ist das Teilarray A[1..1] (nur ein Eintrag) sortiert. I.V.: (IB i 1 ) gilt, d. h.a[1..i 1] ist sortiert, und Schleifendurchlauf i beginnt. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

148 Ind.-Schritt: Betrachte Schleifendurchlauf i. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

149 Ind.-Schritt: Betrachte Schleifendurchlauf i. Sei k die kleinste Zahl in {0,..., i 1}, so dass key(a[j]) > key(a[i]) für k < j < i. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

150 Ind.-Schritt: Betrachte Schleifendurchlauf i. Sei k die kleinste Zahl in {0,..., i 1}, so dass key(a[j]) > key(a[i]) für k < j < i. Dann ist key(a[j]) key(a[i]) für 1 j k. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

151 Ind.-Schritt: Betrachte Schleifendurchlauf i. Sei k die kleinste Zahl in {0,..., i 1}, so dass key(a[j]) > key(a[i]) für k < j < i. Dann ist key(a[j]) key(a[i]) für 1 j k. Die innere Schleife (2) (7) verschiebt die Einträge A[i 1],A[i 2],...,A[k + 1] nacheinander um eine Position nach rechts FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

152 Ind.-Schritt: Betrachte Schleifendurchlauf i. Sei k die kleinste Zahl in {0,..., i 1}, so dass key(a[j]) > key(a[i]) für k < j < i. Dann ist key(a[j]) key(a[i]) für 1 j k. Die innere Schleife (2) (7) verschiebt die Einträge A[i 1],A[i 2],...,A[k + 1] nacheinander um eine Position nach rechts und schreibt x = A[i] (via x) an die Stelle A[k + 1]. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

153 Ind.-Schritt: Betrachte Schleifendurchlauf i. Sei k die kleinste Zahl in {0,..., i 1}, so dass key(a[j]) > key(a[i]) für k < j < i. Dann ist key(a[j]) key(a[i]) für 1 j k. Die innere Schleife (2) (7) verschiebt die Einträge A[i 1],A[i 2],...,A[k + 1] nacheinander um eine Position nach rechts und schreibt x = A[i] (via x) an die Stelle A[k + 1]. Ind.-Beh. (IB i ) erfüllt. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

154 Ind.-Schritt: Betrachte Schleifendurchlauf i. Sei k die kleinste Zahl in {0,..., i 1}, so dass key(a[j]) > key(a[i]) für k < j < i. Dann ist key(a[j]) key(a[i]) für 1 j k. Die innere Schleife (2) (7) verschiebt die Einträge A[i 1],A[i 2],...,A[k + 1] nacheinander um eine Position nach rechts und schreibt x = A[i] (via x) an die Stelle A[k + 1]. Ind.-Beh. (IB i ) erfüllt. Also gilt (IB n ), also ist nach Abschluss des Ablaufs das Array sortiert. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

155 Methoden für Korrektheitsbeweise FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

156 Methoden für Korrektheitsbeweise Diskrete Mathematik FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

157 Methoden für Korrektheitsbeweise Diskrete Mathematik Vollständige Induktion FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

158 Methoden für Korrektheitsbeweise Diskrete Mathematik Vollständige Induktion Schleifen FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

159 Methoden für Korrektheitsbeweise Diskrete Mathematik Vollständige Induktion Schleifen Wesentlich: Formulierung der Induktionsbehauptung. Schleifeninvariante. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

160 Methoden für Korrektheitsbeweise Diskrete Mathematik Vollständige Induktion Schleifen Wesentlich: Formulierung der Induktionsbehauptung. Schleifeninvariante. Andere Formen der Induktion FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

161 Methoden für Korrektheitsbeweise Diskrete Mathematik Vollständige Induktion Schleifen Wesentlich: Formulierung der Induktionsbehauptung. Schleifeninvariante. Andere Formen der Induktion Rekursive Prozeduren FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

162 (b) Laufzeitanalysen FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

163 (b) Laufzeitanalysen Kosten, Aufwand, Eingabe x abläuft. Rechenzeit, wenn Algorithmus A auf FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

164 Kosten, Aufwand, Eingabe x abläuft. (b) Laufzeitanalysen Eingabegröße: n = x = size(x). Rechenzeit, wenn Algorithmus A auf FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

165 Kosten, Aufwand, Eingabe x abläuft. (b) Laufzeitanalysen Rechenzeit, wenn Algorithmus A auf Eingabegröße: n = x = size(x). (Bedeutung ist abhängig von Problem P.) I n = {x I size(x) = n} FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

166 Kosten, Aufwand, Eingabe x abläuft. (b) Laufzeitanalysen Rechenzeit, wenn Algorithmus A auf Eingabegröße: n = x = size(x). (Bedeutung ist abhängig von Problem P.) I n = {x I size(x) = n} Größenklasse FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel

167 Kosten, Aufwand, Eingabe x abläuft. (b) Laufzeitanalysen Rechenzeit, wenn Algorithmus A auf Eingabegröße: n = x = size(x). (Bedeutung ist abhängig von Problem P.) I n = {x I size(x) = n} Größenklasse Beim Sortierproblem: size((a 1,..., a n )) = n. FG KTuEA, TU Ilmenau Algorithmen und Datenstrukturen SS14 Kapitel