Algorithmen und Datenstrukturen 1. Vorlesung
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- Ingeborg Breiner
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1 Algorithmen und Datenstrukturen 1. Vorlesung Martin Dietzfelbinger 7. April 2008 FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
2 Hörer: Informatikstudierende im 2. Semester, Ingenieurinformatik im 4. Semester. Andere Interessenten willkommen! FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
3 Hörer: Informatikstudierende im 2. Semester, Ingenieurinformatik im 4. Semester. Andere Interessenten willkommen! Übungen: Informatik: 2 Ü, d.h. wöchentlich, Frau Dr. Hübel, Herr Dr. Brinkmeier Ing.-Informatik: 1 Ü, d.h. 14-täglich, Frau Dr. Hübel FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
4 Hörer: Informatikstudierende im 2. Semester, Ingenieurinformatik im 4. Semester. Andere Interessenten willkommen! Übungen: Informatik: 2 Ü, d.h. wöchentlich, Frau Dr. Hübel, Herr Dr. Brinkmeier Ing.-Informatik: 1 Ü, d.h. 14-täglich, Frau Dr. Hübel Materialien zur Vorlesung (Folien, Übungsblätter usw.): FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
5 Hörer: Informatikstudierende im 2. Semester, Ingenieurinformatik im 4. Semester. Andere Interessenten willkommen! Übungen: Informatik: 2 Ü, d.h. wöchentlich, Frau Dr. Hübel, Herr Dr. Brinkmeier Ing.-Informatik: 1 Ü, d.h. 14-täglich, Frau Dr. Hübel Materialien zur Vorlesung (Folien, Übungsblätter usw.): Vorlesung und Übungen definieren den Prüfungsstoff. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
6 Hörer: Informatikstudierende im 2. Semester, Ingenieurinformatik im 4. Semester. Andere Interessenten willkommen! Übungen: Informatik: 2 Ü, d.h. wöchentlich, Frau Dr. Hübel, Herr Dr. Brinkmeier Ing.-Informatik: 1 Ü, d.h. 14-täglich, Frau Dr. Hübel Materialien zur Vorlesung (Folien, Übungsblätter usw.): Vorlesung und Übungen definieren den Prüfungsstoff. Prüfung: Klausur (90 Minuten). FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
7 Literatur FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
8 Literatur Grundlagen, Voraussetzungen: Prof. Günter Schäfer, Algorithmen und Programmierung für Informatiker, WS 2007/08 FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
9 Literatur Grundlagen, Voraussetzungen: Prof. Günter Schäfer, Algorithmen und Programmierung für Informatiker, WS 2007/08 Wird vorausgesetzt! FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
10 Literatur Grundlagen, Voraussetzungen: Prof. Günter Schäfer, Algorithmen und Programmierung für Informatiker, WS 2007/08 Wird vorausgesetzt! Dr. Jackisch, Dr. Hübel, Algorithmen und Programmierung (für Ing.-Inf.), WS 2006/06 FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
11 Literatur Grundlagen, Voraussetzungen: Prof. Günter Schäfer, Algorithmen und Programmierung für Informatiker, WS 2007/08 Wird vorausgesetzt! Dr. Jackisch, Dr. Hübel, Algorithmen und Programmierung (für Ing.-Inf.), WS 2006/06 Wird vorausgesetzt! FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
12 Literatur Grundlagen, Voraussetzungen: Prof. Günter Schäfer, Algorithmen und Programmierung für Informatiker, WS 2007/08 Wird vorausgesetzt! Dr. Jackisch, Dr. Hübel, Algorithmen und Programmierung (für Ing.-Inf.), WS 2006/06 Wird vorausgesetzt! G. Saake, K. U. Sattler. Algorithmen und Datenstrukturen - Eine Einführung mit Java. dpunkt.verlag, 3. Auflage, FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
13 Literatur Grundlagen, Voraussetzungen: Prof. Günter Schäfer, Algorithmen und Programmierung für Informatiker, WS 2007/08 Wird vorausgesetzt! Dr. Jackisch, Dr. Hübel, Algorithmen und Programmierung (für Ing.-Inf.), WS 2006/06 Wird vorausgesetzt! G. Saake, K. U. Sattler. Algorithmen und Datenstrukturen - Eine Einführung mit Java. dpunkt.verlag, 3. Auflage, Enthält alles aus diesen Vorlesungen und noch viel mehr. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
14 Literatur FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
15 Zur Vorlesung: Literatur R. H. Güting, S. Dieker, Datenstrukturen und Algorithmen, 2. Auflage, Teubner FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
16 Zur Vorlesung: Literatur R. H. Güting, S. Dieker, Datenstrukturen und Algorithmen, 2. Auflage, Teubner T. Ottmann, P. Widmayer, Algorithmen und Datenstrukturen, Spektrum Akademischer Verlag, 4. Auflage, FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
17 Zur Vorlesung: Literatur R. H. Güting, S. Dieker, Datenstrukturen und Algorithmen, 2. Auflage, Teubner T. Ottmann, P. Widmayer, Algorithmen und Datenstrukturen, Spektrum Akademischer Verlag, 4. Auflage, T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, Second Edition, MIT Press (Auch auf deutsch erhältlich.) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
18 Zur Vorlesung: Literatur R. H. Güting, S. Dieker, Datenstrukturen und Algorithmen, 2. Auflage, Teubner T. Ottmann, P. Widmayer, Algorithmen und Datenstrukturen, Spektrum Akademischer Verlag, 4. Auflage, T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, Second Edition, MIT Press (Auch auf deutsch erhältlich.) R. Sedgewick, Algorithmen, Pearson, (C-, C++- und Java-Versionen.) Extra-Buch: Graphalgorithmen. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
19 Zur Arbeitsweise: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
20 Zur Arbeitsweise: Der Stoff ist zu kompliziert und zu umfangreich, um durch reines Zuhören verstanden zu werden. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
21 Zur Arbeitsweise: Der Stoff ist zu kompliziert und zu umfangreich, um durch reines Zuhören verstanden zu werden. Regelmäßig Vorlesung nacharbeiten. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
22 Zur Arbeitsweise: Der Stoff ist zu kompliziert und zu umfangreich, um durch reines Zuhören verstanden zu werden. Regelmäßig Vorlesung nacharbeiten. Semesterbegleitend! FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
23 Zur Arbeitsweise: Der Stoff ist zu kompliziert und zu umfangreich, um durch reines Zuhören verstanden zu werden. Regelmäßig Vorlesung nacharbeiten. Semesterbegleitend! Bücher konsultieren. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
24 Zur Arbeitsweise: Der Stoff ist zu kompliziert und zu umfangreich, um durch reines Zuhören verstanden zu werden. Regelmäßig Vorlesung nacharbeiten. Semesterbegleitend! Bücher konsultieren. Übungsblätter drucken, lesen, zur Übung mitbringen, vorher Lösung ausdenken, Lösungsweg aufschreiben, an Lösungen mitarbeiten. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
25 Zur Arbeitsweise: Der Stoff ist zu kompliziert und zu umfangreich, um durch reines Zuhören verstanden zu werden. Regelmäßig Vorlesung nacharbeiten. Semesterbegleitend! Bücher konsultieren. Übungsblätter drucken, lesen, zur Übung mitbringen, vorher Lösung ausdenken, Lösungsweg aufschreiben, an Lösungen mitarbeiten. Regelmäßig Übungen nacharbeiten. Semesterbegleitend! FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
26 Zur Arbeitsweise: Der Stoff ist zu kompliziert und zu umfangreich, um durch reines Zuhören verstanden zu werden. Regelmäßig Vorlesung nacharbeiten. Semesterbegleitend! Bücher konsultieren. Übungsblätter drucken, lesen, zur Übung mitbringen, vorher Lösung ausdenken, Lösungsweg aufschreiben, an Lösungen mitarbeiten. Regelmäßig Übungen nacharbeiten. Semesterbegleitend! Bei Verständnisproblemen frühzeitig fragen! FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
27 Kapitel 1 Einführung und Grundlagen FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
28 Datenstrukturen! FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
29 Listen, Stacks, Queues Datenstrukturen! FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
30 Listen, Stacks, Queues Einfache Suchbäume Datenstrukturen! FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
31 Listen, Stacks, Queues Einfache Suchbäume Balancierte Suchbäume Datenstrukturen! FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
32 Datenstrukturen! Listen, Stacks, Queues Einfache Suchbäume Balancierte Suchbäume Hashtabellen implementieren Wörterbücher FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
33 Listen, Stacks, Queues Einfache Suchbäume Balancierte Suchbäume Datenstrukturen! Hashtabellen implementieren Wörterbücher Heaps implementieren Vorrangswarteschlangen (Priority Queues) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
34 Listen, Stacks, Queues Einfache Suchbäume Balancierte Suchbäume Datenstrukturen! Hashtabellen implementieren Wörterbücher Heaps implementieren Vorrangswarteschlangen (Priority Queues) Union-Find-Strukturen FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
35 Listen, Stacks, Queues Einfache Suchbäume Balancierte Suchbäume Datenstrukturen! Hashtabellen implementieren Wörterbücher Heaps implementieren Vorrangswarteschlangen (Priority Queues) Union-Find-Strukturen Datenstrukturen für Graphen FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
36 Graph: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
37 Graph: Digraph / gerichteter Graph: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
38 Spezifikation des Verhaltens von Datenstrukturen (vereinfacht) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
39 Spezifikation des Verhaltens von Datenstrukturen (vereinfacht): (Abstrakte) Datentypen FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
40 Spezifikation des Verhaltens von Datenstrukturen (vereinfacht): Syntax: Signatur (Abstrakte) Datentypen Semantik: Mathematisches Modell FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
41 Algorithmen! FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
42 Algorithmen! Aufgabe: Für jede beliebige gegebene Folge a 1, a 2,..., a n FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
43 Algorithmen! Aufgabe: Für jede beliebige gegebene Folge a 1, a 2,..., a n von natürlichen / ganzen / reellen Zahlen von Objekten aus einem total geordneten Bereich (U, <) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
44 Algorithmen! Aufgabe: Für jede beliebige gegebene Folge a 1, a 2,..., a n von natürlichen / ganzen / reellen Zahlen von Objekten aus einem total geordneten Bereich (U, <) Z.B.: Zahlentupel, Strings (Zeichenreihen), FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
45 Algorithmen! Aufgabe: Für jede beliebige gegebene Folge a 1, a 2,..., a n von natürlichen / ganzen / reellen Zahlen von Objekten aus einem total geordneten Bereich (U, <) Z.B.: Zahlentupel, Strings (Zeichenreihen), mit Namen versehene Datensätze, usw. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
46 Algorithmen! Aufgabe: Für jede beliebige gegebene Folge a 1, a 2,..., a n von natürlichen / ganzen / reellen Zahlen von Objekten aus einem total geordneten Bereich (U, <) Z.B.: Zahlentupel, Strings (Zeichenreihen), mit Namen versehene Datensätze, usw. sortiere a 1, a 2,..., a n in aufsteigende Reihenfolge. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
47 Algorithmen! Aufgabe: Für jede beliebige gegebene Folge a 1, a 2,..., a n von natürlichen / ganzen / reellen Zahlen von Objekten aus einem total geordneten Bereich (U, <) Z.B.: Zahlentupel, Strings (Zeichenreihen), mit Namen versehene Datensätze, usw. sortiere a 1, a 2,..., a n in aufsteigende Reihenfolge. Vorher: (5, 2, 9, 3, 6, 5, 8) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
48 Algorithmen! Aufgabe: Für jede beliebige gegebene Folge a 1, a 2,..., a n von natürlichen / ganzen / reellen Zahlen von Objekten aus einem total geordneten Bereich (U, <) Z.B.: Zahlentupel, Strings (Zeichenreihen), mit Namen versehene Datensätze, usw. sortiere a 1, a 2,..., a n in aufsteigende Reihenfolge. Vorher: (5, 2, 9, 3, 6, 5, 8) Nachher: (2, 3, 5, 5, 6, 8, 9) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
49 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
50 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) Eingabe (a 1,..., a n ) in Array (Feld) A[1..n] FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
51 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) Eingabe (a 1,..., a n ) in Array (Feld) A[1..n] Idee: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
52 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) Eingabe (a 1,..., a n ) in Array (Feld) A[1..n] Idee: Für i = 2, 3,..., n: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
53 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) Eingabe (a 1,..., a n ) in Array (Feld) A[1..n] Idee: Für i = 2, 3,..., n: Suche die Stelle in der sortierten Version von a 1,..., a i 1, an die a i gehört, FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
54 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) Eingabe (a 1,..., a n ) in Array (Feld) A[1..n] Idee: Für i = 2, 3,..., n: Suche die Stelle in der sortierten Version von a 1,..., a i 1, an die a i gehört, und füge a i dort ein. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
55 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) Eingabe (a 1,..., a n ) in Array (Feld) A[1..n] Idee: Für i = 2, 3,..., n: Suche die Stelle in der sortierten Version von a 1,..., a i 1, an die a i gehört, und füge a i dort ein. Algorithmus Straight Insertion Sort (Pseudocode) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
56 Sortieren durch Einfügen (Insertion Sort) Eingabe (a 1,..., a n ) in Array (Feld) A[1..n] Idee: Für i = 2, 3,..., n: Suche die Stelle in der sortierten Version von a 1,..., a i 1, an die a i gehört, und füge a i dort ein. Algorithmus Straight Insertion Sort (Pseudocode) (1) for i from 2 to n do (2) x A[i].key ; (3) j i-1 ; (4) while j 1 and x < A[j].key do (5) A[j+1] A[j] ; (6) j j-1 ; (7) A[j+1] x. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
57 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
58 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: Ein Algorithmus A FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
59 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: Ein Algorithmus A ist eine durch einen endlichen Text FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
60 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: Ein Algorithmus A ist eine durch einen endlichen Text gegebene Verarbeitungsvorschrift, die zu jeder gegebenen Eingabe x FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
61 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: Ein Algorithmus A ist eine durch einen endlichen Text gegebene Verarbeitungsvorschrift, die zu jeder gegebenen Eingabe x aus einer Menge I (Menge der zugelassenen Eingaben) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
62 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: Ein Algorithmus A ist eine durch einen endlichen Text gegebene Verarbeitungsvorschrift, die zu jeder gegebenen Eingabe x aus einer Menge I (Menge der zugelassenen Eingaben) eindeutig eine Reihe von auszuführenden Schritten vorschreibt. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
63 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: Ein Algorithmus A ist eine durch einen endlichen Text gegebene Verarbeitungsvorschrift, die zu jeder gegebenen Eingabe x aus einer Menge I (Menge der zugelassenen Eingaben) eindeutig eine Reihe von auszuführenden Schritten vorschreibt. Wenn nach endlich vielen Schritten diese Ausführung anhält, FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
64 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: Ein Algorithmus A ist eine durch einen endlichen Text gegebene Verarbeitungsvorschrift, die zu jeder gegebenen Eingabe x aus einer Menge I (Menge der zugelassenen Eingaben) eindeutig eine Reihe von auszuführenden Schritten vorschreibt. Wenn nach endlich vielen Schritten diese Ausführung anhält, wird ein Ergebnis A(x) ausgegeben. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
65 Was ist ein Algorithmus? Erklärung: Ein Algorithmus A ist eine durch einen endlichen Text gegebene Verarbeitungsvorschrift, die zu jeder gegebenen Eingabe x aus einer Menge I (Menge der zugelassenen Eingaben) eindeutig eine Reihe von auszuführenden Schritten vorschreibt. Wenn nach endlich vielen Schritten diese Ausführung anhält, wird ein Ergebnis A(x) ausgegeben. Mögliche Formen: Umgangssprache, Pseudocode, Programm in Programmiersprache, Programm für formales Maschinenmodell FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
66 Allgemeine Merkmale eines Algorithmus FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
67 Allgemeine Merkmale eines Algorithmus Endlicher Text FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
68 Allgemeine Merkmale eines Algorithmus Endlicher Text Ein Algorithmus für eine große (oft: unendliche!) Menge von Eingaben x FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
69 Allgemeine Merkmale eines Algorithmus Endlicher Text Ein Algorithmus für eine große (oft: unendliche!) Menge von Eingaben x (Beachte: Zeitliche Trennung der Formulierung des Algorithmus/der Programmierung und der Anwendung auf eine Eingabe.) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
70 Allgemeine Merkmale eines Algorithmus Endlicher Text Ein Algorithmus für eine große (oft: unendliche!) Menge von Eingaben x (Beachte: Zeitliche Trennung der Formulierung des Algorithmus/der Programmierung und der Anwendung auf eine Eingabe.) Eindeutig vorgeschriebene Abfolge von Schritten, wenn Eingabe x vorliegt FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
71 Allgemeine Merkmale eines Algorithmus Endlicher Text Ein Algorithmus für eine große (oft: unendliche!) Menge von Eingaben x (Beachte: Zeitliche Trennung der Formulierung des Algorithmus/der Programmierung und der Anwendung auf eine Eingabe.) Eindeutig vorgeschriebene Abfolge von Schritten, wenn Eingabe x vorliegt Wenn Verarbeitung anhält: Ausgabe ablesbar FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
72 Allgemeine Merkmale eines Algorithmus Endlicher Text Ein Algorithmus für eine große (oft: unendliche!) Menge von Eingaben x (Beachte: Zeitliche Trennung der Formulierung des Algorithmus/der Programmierung und der Anwendung auf eine Eingabe.) Eindeutig vorgeschriebene Abfolge von Schritten, wenn Eingabe x vorliegt Wenn Verarbeitung anhält: Ausgabe ablesbar Nicht verlangt: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
73 Allgemeine Merkmale eines Algorithmus Endlicher Text Ein Algorithmus für eine große (oft: unendliche!) Menge von Eingaben x (Beachte: Zeitliche Trennung der Formulierung des Algorithmus/der Programmierung und der Anwendung auf eine Eingabe.) Eindeutig vorgeschriebene Abfolge von Schritten, wenn Eingabe x vorliegt Wenn Verarbeitung anhält: Ausgabe ablesbar Nicht verlangt: Terminierung auf allen x I. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
74 Erweiterungen des Algorithmusbegriffs FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
75 Erweiterungen des Algorithmusbegriffs Online-Algorithmen: Die Eingabe wird nicht am Anfang der Berechnung, sondern nach und nach zur Verfügung gestellt FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
76 Erweiterungen des Algorithmusbegriffs Online-Algorithmen: Die Eingabe wird nicht am Anfang der Berechnung, sondern nach und nach zur Verfügung gestellt Häufige Situation bei Datenstrukturen FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
77 Erweiterungen des Algorithmusbegriffs Online-Algorithmen: Die Eingabe wird nicht am Anfang der Berechnung, sondern nach und nach zur Verfügung gestellt Häufige Situation bei Datenstrukturen Standard bei Betriebssystemen, Systemprogrammen, usw. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
78 Erweiterungen des Algorithmusbegriffs Online-Algorithmen: Die Eingabe wird nicht am Anfang der Berechnung, sondern nach und nach zur Verfügung gestellt Häufige Situation bei Datenstrukturen Standard bei Betriebssystemen, Systemprogrammen, usw. Randomisierung: Algorithmus führt Zufallsexperimente durch FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
79 Erweiterungen des Algorithmusbegriffs Online-Algorithmen: Die Eingabe wird nicht am Anfang der Berechnung, sondern nach und nach zur Verfügung gestellt Häufige Situation bei Datenstrukturen Standard bei Betriebssystemen, Systemprogrammen, usw. Randomisierung: Algorithmus führt Zufallsexperimente durch Verteilte Algorithmen : Mehrere Rechner arbeiten zusammen, kommunizieren, zeitliche Abfolge nicht vorhersagbar FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
80 Erweiterungen des Algorithmusbegriffs Online-Algorithmen: Die Eingabe wird nicht am Anfang der Berechnung, sondern nach und nach zur Verfügung gestellt Häufige Situation bei Datenstrukturen Standard bei Betriebssystemen, Systemprogrammen, usw. Randomisierung: Algorithmus führt Zufallsexperimente durch Verteilte Algorithmen : Mehrere Rechner arbeiten zusammen, kommunizieren, zeitliche Abfolge nicht vorhersagbar in dieser Vorlesung nicht oder nur am Rande diskutiert FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
81 Algorithmen in dieser Vorlesung: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
82 Algorithmen in dieser Vorlesung: Darstellung von Algorithmen, Bausteine für Algorithmen (besonders Iteration, Rekursion) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
83 Algorithmen in dieser Vorlesung: Darstellung von Algorithmen, Bausteine für Algorithmen (besonders Iteration, Rekursion) Analyse 1: Korrektheit von Algorithmen, Induktionsbeweise für iterative und rekursive Verfahren FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
84 Algorithmen in dieser Vorlesung: Darstellung von Algorithmen, Bausteine für Algorithmen (besonders Iteration, Rekursion) Analyse 1: Korrektheit von Algorithmen, Induktionsbeweise für iterative und rekursive Verfahren Analyse 2: Laufzeitbegriff, O-Notation, Laufzeitanalyse FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
85 Algorithmen in dieser Vorlesung: Darstellung von Algorithmen, Bausteine für Algorithmen (besonders Iteration, Rekursion) Analyse 1: Korrektheit von Algorithmen, Induktionsbeweise für iterative und rekursive Verfahren Analyse 2: Laufzeitbegriff, O-Notation, Laufzeitanalyse Algorithmen zur Implementierung von Datentypen FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
86 Algorithmen in dieser Vorlesung: Darstellung von Algorithmen, Bausteine für Algorithmen (besonders Iteration, Rekursion) Analyse 1: Korrektheit von Algorithmen, Induktionsbeweise für iterative und rekursive Verfahren Analyse 2: Laufzeitbegriff, O-Notation, Laufzeitanalyse Algorithmen zur Implementierung von Datentypen Balancierte Suchbäume, einfache Hashverfahren FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
87 Algorithmen in dieser Vorlesung: Darstellung von Algorithmen, Bausteine für Algorithmen (besonders Iteration, Rekursion) Analyse 1: Korrektheit von Algorithmen, Induktionsbeweise für iterative und rekursive Verfahren Analyse 2: Laufzeitbegriff, O-Notation, Laufzeitanalyse Algorithmen zur Implementierung von Datentypen Balancierte Suchbäume, einfache Hashverfahren Sortierverfahren (Quicksort, Heapsort, Mergesort, CountingSort), Medianbestimmung FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
88 Grundbegriffe der Graphentheorie FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
89 Grundbegriffe der Graphentheorie Grundlegende Algorithmen für Graphen: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
90 Grundbegriffe der Graphentheorie Grundlegende Algorithmen für Graphen: Breitensuche, Tiefensuche, Zusammenhangskomponenten, Entdecken von Kreisen, minimale Spannbäume FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
91 Algorithmus Straight Insertion Sort (Pseudocode) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
92 Algorithmus Straight Insertion Sort (Pseudocode) (1) for i from 2 to n do (2) x A[i] ; (3) j i-1 ; (4) while j 1 and x.key < A[j].key do (5) A[j+1] A[j] ; (6) j j-1 ; (7) A[j+1] x. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
93 Algorithmus Straight Insertion Sort (Pseudocode) (1) for i from 2 to n do (2) x A[i] ; (3) j i-1 ; (4) while j 1 and x.key < A[j].key do (5) A[j+1] A[j] ; (6) j j-1 ; (7) A[j+1] x. Fragen: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
94 Algorithmus Straight Insertion Sort (Pseudocode) (1) for i from 2 to n do (2) x A[i] ; (3) j i-1 ; (4) while j 1 and x.key < A[j].key do (5) A[j+1] A[j] ; (6) j j-1 ; (7) A[j+1] x. Fragen: (a) Ist dieser Algorithmus korrekt? FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
95 Algorithmus Straight Insertion Sort (Pseudocode) (1) for i from 2 to n do (2) x A[i] ; (3) j i-1 ; (4) while j 1 and x.key < A[j].key do (5) A[j+1] A[j] ; (6) j j-1 ; (7) A[j+1] x. Fragen: (a) Ist dieser Algorithmus korrekt? (b) Wie lange braucht der Algorithmus, um die Berechnung zu beenden? FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
96 (a) Korrektheit : Damit die Frage sinnvoll ist, müssen wir die zu lösende Aufgabe spezifizieren. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
97 (a) Korrektheit : Damit die Frage sinnvoll ist, müssen wir die zu lösende Aufgabe spezifizieren. Bemerkung: Aus einer vagen Problemstellung eine präzise Spezifikation des zu lösenden Problems zu gewinnen ist ein in der Praxis extrem wichtiger Schritt, dessen Bedeutung oft unterschätzt wird. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
98 Berechnungsprobleme FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
99 Berechnungsprobleme Erklärung: Ein Berechnungsproblem P besteht aus FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
100 Berechnungsprobleme Erklärung: Ein Berechnungsproblem P besteht aus (i) einer Menge I von möglichen Eingaben ( Inputs, Instanzen ) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
101 Berechnungsprobleme Erklärung: Ein Berechnungsproblem P besteht aus (i) einer Menge I von möglichen Eingaben ( Inputs, Instanzen ) (I kann unendlich sein!) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
102 Berechnungsprobleme Erklärung: Ein Berechnungsproblem P besteht aus (i) einer Menge I von möglichen Eingaben ( Inputs, Instanzen ) (I kann unendlich sein!) (ii) einer Menge O von möglichen Ausgaben FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
103 Berechnungsprobleme Erklärung: Ein Berechnungsproblem P besteht aus (i) einer Menge I von möglichen Eingaben ( Inputs, Instanzen ) (I kann unendlich sein!) (ii) einer Menge O von möglichen Ausgaben (iii) einer Funktion f : I O FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
104 Berechnungsprobleme Erklärung: Ein Berechnungsproblem P besteht aus (i) einer Menge I von möglichen Eingaben ( Inputs, Instanzen ) (I kann unendlich sein!) (ii) einer Menge O von möglichen Ausgaben (iii) einer Funktion f : I O Ein Algorithmus A löst P, wenn A genau die Eingaben aus I verarbeitet und zu Eingabe x I Ausgabe A(x) = f(x) liefert. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
105 Berechnungsprobleme Erklärung: Ein Berechnungsproblem P besteht aus (i) einer Menge I von möglichen Eingaben ( Inputs, Instanzen ) (I kann unendlich sein!) (ii) einer Menge O von möglichen Ausgaben (iii) einer Funktion f : I O Ein Algorithmus A löst P, wenn A genau die Eingaben aus I verarbeitet und zu Eingabe x I Ausgabe A(x) = f(x) liefert. Spezialfall O = {1, 0} = {true, false} = {Ja, Nein} (Entscheidungsproblem) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
106 Varianten FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
107 Varianten Zu einer Eingabe x I gibt es mehrere legale Ergebnisse. Formal: In (iii) haben wir statt einer Funktion f eine Relation R I O mit: x I y O : R(x, y). FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
108 Varianten Zu einer Eingabe x I gibt es mehrere legale Ergebnisse. Formal: In (iii) haben wir statt einer Funktion f eine Relation R I O mit: x I y O : R(x, y). A löst P, wenn A genau die Eingaben aus I verarbeitet und R(x, A(x)) für jedes x I gilt. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
109 Varianten Zu einer Eingabe x I gibt es mehrere legale Ergebnisse. Formal: In (iii) haben wir statt einer Funktion f eine Relation R I O mit: x I y O : R(x, y). A löst P, wenn A genau die Eingaben aus I verarbeitet und R(x, A(x)) für jedes x I gilt. Beispiel: Beim Sortieren von Datensätzen (k, d k ), wobei ein Schlüssel k wiederholt vorkommen darf, ist jede sortierte Anordnung legal. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
110 Varianten Zu einer Eingabe x I gibt es mehrere legale Ergebnisse. Formal: In (iii) haben wir statt einer Funktion f eine Relation R I O mit: x I y O : R(x, y). A löst P, wenn A genau die Eingaben aus I verarbeitet und R(x, A(x)) für jedes x I gilt. Beispiel: Beim Sortieren von Datensätzen (k, d k ), wobei ein Schlüssel k wiederholt vorkommen darf, ist jede sortierte Anordnung legal. Online-Situation: Eingabe wird in Raten geliefert, Zwischenausgaben werden verlangt. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
111 Spezifikation des Sortierproblems Parameter: Der Grundbereich, aus dem die zu sortierenden Objekte stammen, ist ein Parameter der Spezifikation. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
112 Spezifikation des Sortierproblems Parameter: Der Grundbereich, aus dem die zu sortierenden Objekte stammen, ist ein Parameter der Spezifikation. (U, <): eine total geordnete Menge (endlich oder unendlich). FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
113 Spezifikation des Sortierproblems Parameter: Der Grundbereich, aus dem die zu sortierenden Objekte stammen, ist ein Parameter der Spezifikation. (U, <): eine total geordnete Menge (endlich oder unendlich). ( Mathematik-Vorlesung) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
114 Spezifikation des Sortierproblems Parameter: Der Grundbereich, aus dem die zu sortierenden Objekte stammen, ist ein Parameter der Spezifikation. (U, <): eine total geordnete Menge (endlich oder unendlich). ( Mathematik-Vorlesung) Beispiele: Zahlenmengen, Mengen von Strings. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
115 Spezifikation des Sortierproblems Parameter: Der Grundbereich, aus dem die zu sortierenden Objekte stammen, ist ein Parameter der Spezifikation. (U, <): eine total geordnete Menge (endlich oder unendlich). ( Mathematik-Vorlesung) Beispiele: Zahlenmengen, Mengen von Strings. D: Eine Menge (von Datensätzen ). FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
116 Spezifikation des Sortierproblems Parameter: Der Grundbereich, aus dem die zu sortierenden Objekte stammen, ist ein Parameter der Spezifikation. (U, <): eine total geordnete Menge (endlich oder unendlich). ( Mathematik-Vorlesung) Beispiele: Zahlenmengen, Mengen von Strings. D: Eine Menge (von Datensätzen ). Jeder Datensatz a hat einen Sortierschlüssel : key : D U. I = O = Seq(D) = D < = n 0 Dn FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
117 Spezifikation des Sortierproblems Parameter: Der Grundbereich, aus dem die zu sortierenden Objekte stammen, ist ein Parameter der Spezifikation. (U, <): eine total geordnete Menge (endlich oder unendlich). ( Mathematik-Vorlesung) Beispiele: Zahlenmengen, Mengen von Strings. D: Eine Menge (von Datensätzen ). Jeder Datensatz a hat einen Sortierschlüssel : key : D U. I = O = Seq(D) = D < = n 0 Dn = {(a 1..., a n ) n N, a 1,..., a n D}, FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
118 Spezifikation des Sortierproblems Parameter: Der Grundbereich, aus dem die zu sortierenden Objekte stammen, ist ein Parameter der Spezifikation. (U, <): eine total geordnete Menge (endlich oder unendlich). ( Mathematik-Vorlesung) Beispiele: Zahlenmengen, Mengen von Strings. D: Eine Menge (von Datensätzen ). Jeder Datensatz a hat einen Sortierschlüssel : key : D U. I = O = Seq(D) = D < = n 0 Dn = {(a 1..., a n ) n N, a 1,..., a n D}, die Menge aller endlichen Folgen von Datensätzen. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
119 Beispiel: U = N, D = N {a,..., z} key : D (i, b) i U FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
120 Beispiel: U = N, D = N {a,..., z} key : D (i, b) i U Ein möglicher Input: x = ((5, p), (3, q), (9, a), (6, q), (5, a), (4, u), (5, z)). FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
121 Beispiel: U = N, D = N {a,..., z} key : D (i, b) i U Ein möglicher Input: x = ((5, p), (3, q), (9, a), (6, q), (5, a), (4, u), (5, z)). Das Ergebnis beim Sortieren sollte z. B. sein: y = ((3, q), (4, u), (5, z), (5, a), (5, p), (6, q), (9, a)). FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
122 x = (a 1,..., a n ) I und y = (b 1,..., b m ) O stehen in der Relation R genau dann wenn FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
123 x = (a 1,..., a n ) I und y = (b 1,..., b m ) O stehen in der Relation R genau dann wenn n = m FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
124 x = (a 1,..., a n ) I und y = (b 1,..., b m ) O stehen in der Relation R genau dann wenn n = m und es gibt eine Permutation π von {1,..., n} FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
125 x = (a 1,..., a n ) I und y = (b 1,..., b m ) O stehen in der Relation R genau dann wenn n = m und es gibt eine Permutation π von {1,..., n} mit b i = a π(i), 1 i n und key(b 1 ) key(b 2 ) key(b n ). FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
126 x = (a 1,..., a n ) I und y = (b 1,..., b m ) O stehen in der Relation R genau dann wenn n = m und es gibt eine Permutation π von {1,..., n} mit b i = a π(i), 1 i n und key(b 1 ) key(b 2 ) key(b n ). Beispiel: Für x = ((5, p), (3, q), (9, a), (6, q), (5, a), (4, u), (5, z)) und y = ((3, q), (4, u), (5, z), (5, a), (5, p), (6, q), (9, a)) ( ) wäre π = passend FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
127 Alternative für die Spezifikation einer Lösung des Sortierproblems: O = {π π Permutation einer Menge {1,..., n}, n N} FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
128 Alternative für die Spezifikation einer Lösung des Sortierproblems: O = {π π Permutation einer Menge {1,..., n}, n N} Definition: x = (a 1,..., a n ) wird durch π sortiert, wenn key(a π(1) ) key(a π(2) ) key(a π(n) ) gilt. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
129 Alternative für die Spezifikation einer Lösung des Sortierproblems: O = {π π Permutation einer Menge {1,..., n}, n N} Definition: x = (a 1,..., a n ) wird durch π sortiert, wenn key(a π(1) ) key(a π(2) ) key(a π(n) ) gilt. x = (a 1,..., a n ) und π stehen in der Relation R, FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
130 Alternative für die Spezifikation einer Lösung des Sortierproblems: O = {π π Permutation einer Menge {1,..., n}, n N} Definition: x = (a 1,..., a n ) wird durch π sortiert, wenn key(a π(1) ) key(a π(2) ) key(a π(n) ) gilt. x = (a 1,..., a n ) und π stehen in der Relation R, wenn x durch π sortiert wird. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
131 Löst Straight Insertion Sort das Sortierproblem? Gilt für jede Eingabe (a 1,..., a n ) in A[1..n], dass nachher dieselben Elemente im Array stehen, aber nach Schlüsseln aufsteigend sortiert? FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
132 Korrektheitsbeweis Durch vollständige Induktion über i = 1, 2,..., n zeigt man die folgende Behauptung: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
133 Korrektheitsbeweis Durch vollständige Induktion über i = 1, 2,..., n zeigt man die folgende Behauptung: (IB i ) Nach Durchlauf Nummer i (in i) der äußeren Schleife FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
134 Korrektheitsbeweis Durch vollständige Induktion über i = 1, 2,..., n zeigt man die folgende Behauptung: (IB i ) Nach Durchlauf Nummer i (in i) der äußeren Schleife stehen in A[1..i] dieselben Elemente wie vorher, aber aufsteigend sortiert. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
135 Korrektheitsbeweis Durch vollständige Induktion über i = 1, 2,..., n zeigt man die folgende Behauptung: (IB i ) Nach Durchlauf Nummer i (in i) der äußeren Schleife stehen in A[1..i] dieselben Elemente wie vorher, aber aufsteigend sortiert. I.A.: i = 1: Nach Durchlauf für i = 1 ist vor Beginn. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
136 Korrektheitsbeweis Durch vollständige Induktion über i = 1, 2,..., n zeigt man die folgende Behauptung: (IB i ) Nach Durchlauf Nummer i (in i) der äußeren Schleife stehen in A[1..i] dieselben Elemente wie vorher, aber aufsteigend sortiert. I.A.: i = 1: Nach Durchlauf für i = 1 ist vor Beginn. Anfangs ist das Teilarray A[1..1] (nur ein Eintrag) sortiert. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
137 Korrektheitsbeweis Durch vollständige Induktion über i = 1, 2,..., n zeigt man die folgende Behauptung: (IB i ) Nach Durchlauf Nummer i (in i) der äußeren Schleife stehen in A[1..i] dieselben Elemente wie vorher, aber aufsteigend sortiert. I.A.: i = 1: Nach Durchlauf für i = 1 ist vor Beginn. Anfangs ist das Teilarray A[1..1] (nur ein Eintrag) sortiert. I.V.: (IB i 1 ) gilt, d. h.a[1..i 1] ist sortiert, und Schleifendurchlauf i beginnt. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
138 Ind.-Schritt: Betrachte Schleifendurchlauf i. Die innere Schleife (2) (7) transportiert x = A[i] (via x) an die Position j unmittelbar rechts von dem Eintrag in A[1..i 1] mit dem größten Schlüssel, der der key(x) ist. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
139 Ind.-Schritt: Betrachte Schleifendurchlauf i. Die innere Schleife (2) (7) transportiert x = A[i] (via x) an die Position j unmittelbar rechts von dem Eintrag in A[1..i 1] mit dem größten Schlüssel, der der key(x) ist. Oder an Position 1, wenn key(a[i]) kleiner als alle Schlüssel in A[1..i 1] ist. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
140 Ind.-Schritt: Betrachte Schleifendurchlauf i. Die innere Schleife (2) (7) transportiert x = A[i] (via x) an die Position j unmittelbar rechts von dem Eintrag in A[1..i 1] mit dem größten Schlüssel, der der key(x) ist. Oder an Position 1, wenn key(a[i]) kleiner als alle Schlüssel in A[1..i 1] ist. Die Einträge A[j],...,A[i 1] werden um eine Position nach rechts verschoben, um für A[i] Platz zu machen. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
141 Ind.-Schritt: Betrachte Schleifendurchlauf i. Die innere Schleife (2) (7) transportiert x = A[i] (via x) an die Position j unmittelbar rechts von dem Eintrag in A[1..i 1] mit dem größten Schlüssel, der der key(x) ist. Oder an Position 1, wenn key(a[i]) kleiner als alle Schlüssel in A[1..i 1] ist. Die Einträge A[j],...,A[i 1] werden um eine Position nach rechts verschoben, um für A[i] Platz zu machen. Ind.-Beh. (IB i ) erfüllt. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
142 Ind.-Schritt: Betrachte Schleifendurchlauf i. Die innere Schleife (2) (7) transportiert x = A[i] (via x) an die Position j unmittelbar rechts von dem Eintrag in A[1..i 1] mit dem größten Schlüssel, der der key(x) ist. Oder an Position 1, wenn key(a[i]) kleiner als alle Schlüssel in A[1..i 1] ist. Die Einträge A[j],...,A[i 1] werden um eine Position nach rechts verschoben, um für A[i] Platz zu machen. Ind.-Beh. (IB i ) erfüllt. Also gilt (IB n ), also ist nach Abschluss des Ablaufs das Array sortiert. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
143 Methoden für Korrektheitsbeweise FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
144 Methoden für Korrektheitsbeweise Diskrete Mathematik FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
145 Methoden für Korrektheitsbeweise Diskrete Mathematik Vollständige Induktion FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
146 Methoden für Korrektheitsbeweise Diskrete Mathematik Vollständige Induktion Schleifen FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
147 Methoden für Korrektheitsbeweise Diskrete Mathematik Vollständige Induktion Schleifen Andere Formen der Induktion FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
148 Methoden für Korrektheitsbeweise Diskrete Mathematik Vollständige Induktion Schleifen Andere Formen der Induktion Rekursive Prozeduren FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
149 (b) Laufzeitanalyse FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
150 (b) Laufzeitanalyse Kosten, Aufwand, Eingabe x abläuft. Rechenzeit, wenn Algorithmus A auf FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
151 Kosten, Aufwand, Eingabe x abläuft. (b) Laufzeitanalyse Eingabegröße: n = x = size(x). Rechenzeit, wenn Algorithmus A auf FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
152 Kosten, Aufwand, Eingabe x abläuft. (b) Laufzeitanalyse Eingabegröße: n = x = size(x). I n = {x I size(x) = n} Rechenzeit, wenn Algorithmus A auf FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
153 Kosten, Aufwand, Eingabe x abläuft. (b) Laufzeitanalyse Eingabegröße: n = x = size(x). Rechenzeit, wenn Algorithmus A auf I n = {x I size(x) = n} Größenklasse FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
154 Kosten, Aufwand, Eingabe x abläuft. (b) Laufzeitanalyse Eingabegröße: n = x = size(x). Rechenzeit, wenn Algorithmus A auf I n = {x I size(x) = n} Größenklasse Beim Sortierproblem: size((a 1,..., a n )) = n FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
155 Kosten für Elementaroperationen: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
156 Kosten für Elementaroperationen: Addition, Vergleich, Test, Sprung, Zuweisung, Auswertung eines Attributs, Zeiger-/Indexauswertung FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
157 Kosten für Elementaroperationen: Addition, Vergleich, Test, Sprung, Zuweisung, Auswertung eines Attributs, Zeiger-/Indexauswertung Abhängig von Programmiersprache, Compiler, Prozessor, Hauptspeichertyp, Cachestruktur,... FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
158 Kosten für Elementaroperationen: Addition, Vergleich, Test, Sprung, Zuweisung, Auswertung eines Attributs, Zeiger-/Indexauswertung Abhängig von Programmiersprache, Compiler, Prozessor, Hauptspeichertyp, Cachestruktur,... Unabhängig vom konkreten Input x. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
159 Kosten für Elementaroperationen: Addition, Vergleich, Test, Sprung, Zuweisung, Auswertung eines Attributs, Zeiger-/Indexauswertung Abhängig von Programmiersprache, Compiler, Prozessor, Hauptspeichertyp, Cachestruktur,... Unabhängig vom konkreten Input x. Wir schreiben: für: O(1) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
160 Kosten für Elementaroperationen: Addition, Vergleich, Test, Sprung, Zuweisung, Auswertung eines Attributs, Zeiger-/Indexauswertung Abhängig von Programmiersprache, Compiler, Prozessor, Hauptspeichertyp, Cachestruktur,... Unabhängig vom konkreten Input x. Wir schreiben: O(1) für: nicht größer als eine (von x unabhängige) Konstante c FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
161 Kosten für Elementaroperationen: Addition, Vergleich, Test, Sprung, Zuweisung, Auswertung eines Attributs, Zeiger-/Indexauswertung Abhängig von Programmiersprache, Compiler, Prozessor, Hauptspeichertyp, Cachestruktur,... Unabhängig vom konkreten Input x. Wir schreiben: O(1) für: nicht größer als eine (von x unabhängige) Konstante c (z.b. c op, für eine Operation op) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
162 Kosten für Elementaroperationen: Addition, Vergleich, Test, Sprung, Zuweisung, Auswertung eines Attributs, Zeiger-/Indexauswertung Abhängig von Programmiersprache, Compiler, Prozessor, Hauptspeichertyp, Cachestruktur,... Unabhängig vom konkreten Input x. Wir schreiben: O(1) für: nicht größer als eine (von x unabhängige) Konstante c (z.b. c op, für eine Operation op) Gesamtlaufzeit: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
163 Kosten für Elementaroperationen: Addition, Vergleich, Test, Sprung, Zuweisung, Auswertung eines Attributs, Zeiger-/Indexauswertung Abhängig von Programmiersprache, Compiler, Prozessor, Hauptspeichertyp, Cachestruktur,... Unabhängig vom konkreten Input x. Wir schreiben: O(1) für: nicht größer als eine (von x unabhängige) Konstante c (z.b. c op, für eine Operation op) Gesamtlaufzeit: Nicht größer als die Summe aller Konstanten für die Einzeloperationen. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
164 Kosten für Elementaroperationen: Addition, Vergleich, Test, Sprung, Zuweisung, Auswertung eines Attributs, Zeiger-/Indexauswertung Abhängig von Programmiersprache, Compiler, Prozessor, Hauptspeichertyp, Cachestruktur,... Unabhängig vom konkreten Input x. Wir schreiben: O(1) für: nicht größer als eine (von x unabhängige) Konstante c (z.b. c op, für eine Operation op) Gesamtlaufzeit: Nicht größer als die Summe aller Konstanten für die Einzeloperationen. Entscheidend: Wie oft wird jede Operation ausgeführt? FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
165 Straight Insertion Sort: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
166 Straight Insertion Sort: (1) (3) und (7): FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
167 Straight Insertion Sort: (1) (3) und (7): Wird (n 1)-mal ausgeführt. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
168 Straight Insertion Sort: (1) (3) und (7): Wird (n 1)-mal ausgeführt. Es gibt aber n Schleifenende-Tests FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
169 Straight Insertion Sort: (1) (3) und (7): Wird (n 1)-mal ausgeführt. Es gibt aber n Schleifenende-Tests FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
170 Straight Insertion Sort: (1) (3) und (7): Wird (n 1)-mal ausgeführt. Es gibt aber n Schleifenende-Tests Kosten n O(1) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
171 Straight Insertion Sort: (1) (3) und (7): Wird (n 1)-mal ausgeführt. Es gibt aber n Schleifenende-Tests Kosten n O(1) = O(n) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
172 Straight Insertion Sort: (1) (3) und (7): Wird (n 1)-mal ausgeführt. Es gibt aber n Schleifenende-Tests Kosten n O(1) = O(n) (4) (6) für i: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
173 Straight Insertion Sort: (1) (3) und (7): Wird (n 1)-mal ausgeführt. Es gibt aber n Schleifenende-Tests Kosten n O(1) = O(n) (4) (6) für i: Entscheidend: Anzahl der Tests in (4). FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
174 Straight Insertion Sort: (1) (3) und (7): Wird (n 1)-mal ausgeführt. Es gibt aber n Schleifenende-Tests Kosten n O(1) = O(n) (4) (6) für i: Entscheidend: Anzahl der Tests in (4). Der Test j 1 wird zwischen 1-mal und i-mal durchgeführt, der Test x.key < A[j].key zwischen 1-mal und (i 1)-mal FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
175 Straight Insertion Sort: (1) (3) und (7): Wird (n 1)-mal ausgeführt. Es gibt aber n Schleifenende-Tests Kosten n O(1) = O(n) (4) (6) für i: Entscheidend: Anzahl der Tests in (4). Der Test j 1 wird zwischen 1-mal und i-mal durchgeführt, der Test x.key < A[j].key zwischen 1-mal und (i 1)-mal, inputabhängig. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
176 Straight Insertion Sort: (1) (3) und (7): Wird (n 1)-mal ausgeführt. Es gibt aber n Schleifenende-Tests Kosten n O(1) = O(n) (4) (6) für i: Entscheidend: Anzahl der Tests in (4). Der Test j 1 wird zwischen 1-mal und i-mal durchgeführt, der Test x.key < A[j].key zwischen 1-mal und (i 1)-mal, inputabhängig. Setze k i = #{l l < i und key(a i ) < key(a l )}. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
177 Straight Insertion Sort: (1) (3) und (7): Wird (n 1)-mal ausgeführt. Es gibt aber n Schleifenende-Tests Kosten n O(1) = O(n) (4) (6) für i: Entscheidend: Anzahl der Tests in (4). Der Test j 1 wird zwischen 1-mal und i-mal durchgeführt, der Test x.key < A[j].key zwischen 1-mal und (i 1)-mal, inputabhängig. Setze k i = #{l l < i und key(a i ) < key(a l )}. Kosten für einen Durchlauf: (k i + 1) O(1) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
178 Straight Insertion Sort: (1) (3) und (7): Wird (n 1)-mal ausgeführt. Es gibt aber n Schleifenende-Tests Kosten n O(1) = O(n) (4) (6) für i: Entscheidend: Anzahl der Tests in (4). Der Test j 1 wird zwischen 1-mal und i-mal durchgeführt, der Test x.key < A[j].key zwischen 1-mal und (i 1)-mal, inputabhängig. Setze k i = #{l l < i und key(a i ) < key(a l )}. Kosten für einen Durchlauf: (k i + 1) O(1) = O(k i ). FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
179 Straight Insertion Sort: (1) (3) und (7): Wird (n 1)-mal ausgeführt. Es gibt aber n Schleifenende-Tests Kosten n O(1) = O(n) (4) (6) für i: Entscheidend: Anzahl der Tests in (4). Der Test j 1 wird zwischen 1-mal und i-mal durchgeführt, der Test x.key < A[j].key zwischen 1-mal und (i 1)-mal, inputabhängig. Setze k i = #{l l < i und key(a i ) < key(a l )}. Kosten für einen Durchlauf: (k i + 1) O(1) = O(k i ). Notation: #A oder A : Kardinalität von A. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
180 Kosten insgesamt: O(n) + (k 2 + 1) O(1) + (k 3 + 1) O(1) + + (k n + 1) O(1) = FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
181 Kosten insgesamt: O(n) + (k 2 + 1) O(1) + (k 3 + 1) O(1) + + (k n + 1) O(1) = = O(n + 2 i n k i ). Typisch: Charakteristische Operationen sind entscheidend, FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
182 Kosten insgesamt: O(n) + (k 2 + 1) O(1) + (k 3 + 1) O(1) + + (k n + 1) O(1) = = O(n + 2 i n k i ). Typisch: Charakteristische Operationen sind entscheidend, Hier: Vergleiche zwischen Elementen (Zeile (4)), Anzahl k i + 1. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
183 Kosten insgesamt: O(n) + (k 2 + 1) O(1) + (k 3 + 1) O(1) + + (k n + 1) O(1) = = O(n + 2 i n k i ). Typisch: Charakteristische Operationen sind entscheidend, Hier: Vergleiche zwischen Elementen (Zeile (4)), Anzahl k i + 1. Oder: Zuweisungen von Elementen (Zeilen (5) und (7)), Anzahl k i + 1. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
184 Worst case (Schlechtester Fall): k i = i 1, für alle i, d. h. x ist absteigend sortiert. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
185 Worst case (Schlechtester Fall): k i = i 1, für alle i, d. h. x ist absteigend sortiert. Beispiel: x = ((11, a), (9, q), (8, p), (7, a), (5, z), (4, u), (2, q)). FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
186 Worst case (Schlechtester Fall): k i = i 1, für alle i, d. h. x ist absteigend sortiert. Beispiel: x = ((11, a), (9, q), (8, p), (7, a), (5, z), (4, u), (2, q)). Wegen n(n 1) 2 i n (i 1) = 2 < n2 2 FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
187 Worst case (Schlechtester Fall): k i = i 1, für alle i, d. h. x ist absteigend sortiert. Beispiel: x = ((11, a), (9, q), (8, p), (7, a), (5, z), (4, u), (2, q)). Wegen n(n 1) 2 i n (i 1) = 2 < n2 2 Gesamtaufwand für S.I.S.: O(n + n 2 ) = O(n 2 ). FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
188 Worst case (Schlechtester Fall): k i = i 1, für alle i, d. h. x ist absteigend sortiert. Beispiel: x = ((11, a), (9, q), (8, p), (7, a), (5, z), (4, u), (2, q)). Wegen n(n 1) 2 i n (i 1) = 2 < n2 2 Gesamtaufwand für S.I.S.: O(n + n 2 ) = O(n 2 ). Best case (Bester Fall): k i = 0, für alle i. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
189 Worst case (Schlechtester Fall): k i = i 1, für alle i, d. h. x ist absteigend sortiert. Beispiel: x = ((11, a), (9, q), (8, p), (7, a), (5, z), (4, u), (2, q)). Wegen n(n 1) 2 i n (i 1) = 2 < n2 2 Gesamtaufwand für S.I.S.: O(n + n 2 ) = O(n 2 ). Best case (Bester Fall): k i = 0, für alle i. Beispiel: x = ((2, q), (4, u), (5, z), (7, a), (8, p), (9, q), (11, a)), FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
190 Worst case (Schlechtester Fall): k i = i 1, für alle i, d. h. x ist absteigend sortiert. Beispiel: x = ((11, a), (9, q), (8, p), (7, a), (5, z), (4, u), (2, q)). Wegen n(n 1) 2 i n (i 1) = 2 < n2 2 Gesamtaufwand für S.I.S.: O(n + n 2 ) = O(n 2 ). Best case (Bester Fall): k i = 0, für alle i. Beispiel: x = ((2, q), (4, u), (5, z), (7, a), (8, p), (9, q), (11, a)), Aufwand pro Durchlauf durch Schleife (2) (7): O(1) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
191 Worst case (Schlechtester Fall): k i = i 1, für alle i, d. h. x ist absteigend sortiert. Beispiel: x = ((11, a), (9, q), (8, p), (7, a), (5, z), (4, u), (2, q)). Wegen n(n 1) 2 i n (i 1) = 2 < n2 2 Gesamtaufwand für S.I.S.: O(n + n 2 ) = O(n 2 ). Best case (Bester Fall): k i = 0, für alle i. Beispiel: x = ((2, q), (4, u), (5, z), (7, a), (8, p), (9, q), (11, a)), Aufwand pro Durchlauf durch Schleife (2) (7): O(1) Gesamtaufwand für S.I.S.: n O(1) FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
192 Worst case (Schlechtester Fall): k i = i 1, für alle i, d. h. x ist absteigend sortiert. Beispiel: x = ((11, a), (9, q), (8, p), (7, a), (5, z), (4, u), (2, q)). Wegen n(n 1) 2 i n (i 1) = 2 < n2 2 Gesamtaufwand für S.I.S.: O(n + n 2 ) = O(n 2 ). Best case (Bester Fall): k i = 0, für alle i. Beispiel: x = ((2, q), (4, u), (5, z), (7, a), (8, p), (9, q), (11, a)), Aufwand pro Durchlauf durch Schleife (2) (7): O(1) Gesamtaufwand für S.I.S.: n O(1) = O(n). FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
193 Fazit: FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
194 Fazit: Selbst für feste Implementierung eines Algorithmus A auf fester Maschine FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
195 Fazit: Selbst für feste Implementierung eines Algorithmus A auf fester Maschine und feste Eingabegröße n = size(x) = x kann der Berechnungsaufwand höchst unterschiedlich sein. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
196 Fazit: Selbst für feste Implementierung eines Algorithmus A auf fester Maschine und feste Eingabegröße n = size(x) = x kann der Berechnungsaufwand höchst unterschiedlich sein. Begriff Laufzeit von Algorithmus A auf Eingaben x vom Umfang n = size(x) ist meist sinnlos. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
197 Fazit: Selbst für feste Implementierung eines Algorithmus A auf fester Maschine und feste Eingabegröße n = size(x) = x kann der Berechnungsaufwand höchst unterschiedlich sein. Begriff Laufzeit von Algorithmus A auf Eingaben x vom Umfang n = size(x) Sinnvoll: Obere Schranken ist meist sinnlos. FG KTuEA, TU Ilmenau AuD
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