Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen

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1 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 1 Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Seminar Medizinische Bildverarbeitung Sebastian Brandt sbrandt@uni-koblenz.de Universität Koblenz-Landau 10. November 2006

2 Agenda Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 2 Einleitung Erfordernis Probleme Beispiel Problem Vorüberlegung Verfahren zur Bestimmung des Biasfeldes Allgemein Fazit

3 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 3 Erfordernis Einleitung Wofür werden MR Bilder benutzt? Qualitative Diagnose Quantitative Diagnose Intraoperative Benutzung

4 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 4 Probleme Einleitung Probleme Inhomogenitäten in Bildern Gewebsklassen können nicht zugeordnet werden Klassische Segmentierung schlägt fehl Störungen sind Aufnahme-/Patienten-Abhängig

5 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 5 Beispiel Problem Einleitung: Beispiel

6 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 6 Beispiel Problem Einleitung: Beispiel

7 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 7 Vorüberlegung Einleitung: Vorüberlegung Mathematische Formulierung des Problems X k = Y k G k + N k für k = 1,2,..,n wobei X k : Beobachteter Pixel Y k : Idealer unverfälschter Pixel G k : Multiplikativer Verfälschungsfaktor (Biasfeld) N k : Additiver Verfälschungsfaktor (Rauschen, Helligkeitsverschiebung)

8 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 8 Vorüberlegung Einleitung: Vorüberlegung Wir arbeiten mit logarithmierten Werten x k = y k + β k für k = 1,2,..,n wobei x k : logx k y k : logy k β k : Verfälschungsfaktor (Biasfeld) Additive Verfälschungen werden vernachlässigt oder in der Vorverarbeitung herausgerechnet. Pixelintensitäten entsprechen einer Gewebsklasse f : X k Γ k

9 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 9 Allgemein Verschiedene Verfahren Highpass Filterung Nutzung eines vorberechneten Biasbildes Polynome/Splines zur Annäherung des Biasfeldes

10 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 10 Idee Welche Zufallsgrößen gibt es: Beobachtbare Zufallsgrößen : Verfälschte Pixelwerte Versteckte Zufallsgrößen : Gewebsklassen Parameter : Biasfeld

11 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 11 Einordnung in ein probabilistisches Modell Beobachtungen sind Normalverteilt: p(x k Γ k ) = N(x k ;µ(γ k )) Warum stimmt die Annahme Normalverteilung? Statistischer Test, z.b. Kolmogorov-Smirnov Anhand der Konstruktion Es funktioniert einfach! Elimination der Zufallsvariable Γ durch Randverteilung p(x k ) = Γ j p(x k Γ j ) p(γ j )

12 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 12 Weitere Bestandteile des Modells A priori Wissen über Gewebsklassen: p(γ k ) A priori Wissen über das Biasfeld p(β) = N(β,0,v)

13 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 13 Schätzung des Biasfeldes Anwendung des Satz von Bayes: p(β x) = p(x β) p(β) p(x) Dieser Term soll unter dem Parameter Beta maximiert werden: β max = argmax β p(x β) p(β) p(x) = argmax β p(x β) p(β) = argmax β log(p(x β)) + log(p(β)) (1) Annahme: Alle Intensitäten x sind voneinander unabhängig.

14 Prinzip der fehlenden Information Es gibt sowohl beobachtbare als nichtbeobachtbare Variablen beobachtete Information = komplette Information - versteckte Information Beobachtbare Zufallsvariable: X Nichtbeobachtbare Zufallsvariable: Y Parametermenge: B p(x,y ;B) = p(x;b) p(y X;B) p(x;b) = p(x,y;b) p(y X;B) log(p(x;b)) = log(p(x,y ;B)) log(p(y X;B)) Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 14

15 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 15 Iteratives Schätzverfahren Erstellen eines iterative Schätzverfahrens für B Betrachte i+1te Iteration: log(p(x;b (i+1) )) = log(p(x,y ;B (i+1) )) log(p(y X;B (i+1) )) multipliziere auf beiden Seiten mit p(y X;B (i) ) p(y X;B (i) ) log(p(x;b (i+1) )) = p(y X;B (i) ) log(p(x,y;b (i+1) )) p(y X;B (i) ) log(p(y X;B (i+1) ))

16 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 16 Iteratives Schätzverfahren integriere über alle Y p(y X;B (i) ) log(p(x;b (i+1) ))dy = p(y X;B (i) ) log(p(x,y ;B (i+1) ))dy p(y X;B (i) ) log(p(y X;B (i+1) ))dy Betrachte die linke Seite der Gleichung: p(y X;B (i) ) log(p(x;b (i+1) ))dy = p(y X;B (i) )dy log(p(x;b (i+1) )) = log(p(x;b (i+1) ))

17 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 17 Iteratives Schätzverfahren Es ergibt sich eine Log-Likelihood funktion, welche mit einem Maximum Likelihood Estimator schätzbar ist Kullback-Leibler Statistik (Q-Funktion) p(y X;B (i) ) log(p(x,y ;B (i+1) ))dy

18 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 18 Pseudocode eines EM-Algorithmus Initialisiere B (0) i = 0 Repeat Q(B (i+1) ;B (i) ) = p(y X;B (i) ) log(p(x,y;b (i+1) ))dy B (i+1) = arg max B (i+1) Q(B (i+1) ;B (i) ) i = i + 1 until B (i+1) = B (i)

19 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 19 Optimierung der Q-Funktion, Beispiel: Gewebsklasse Wir wollen p(γ k ) schätzen unter der Annahme das Bild mit den Intensitäten x k zu beobachten p(x k ) = Γ k p(x k Γ k,β) p(γ k ) Welche Variablen sind dem EM-Algorithmus zuzuweisen: Beobachtbare Variable: xk Versteckte Variable: Γk Parametermenge: p(γk )

20 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 20 Optimierung der Q-Funktion, Einsetzung eingesetzt in die Q-Funktion ergibt sich: = Q(B (i+1) ;B (i) ) p(y X;B (i) ) log(p(x,y ;B (i+1) ))dy unter der Umformungen mit dem Satz von Bayes: und der Produktregel: p(a B) = p(a) p(b A) p(b) p(a,b) = p(a) p(b A) ergibt sich eingesetzt: N p (i) (Γ k ) p(x k Γ k,β k ) Γ l p (i) (Γ l ) p(x l Γ l,β l ) log(p(i+1) (Γ k ) p(x k Γ k,β k )) k=1

21 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 21 Beispiel 3D Rekonstruktion

22 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 22 Fazit Vorteile des EM-Algorithmus: Geschlossene Lösung Numerisch robust Leicht implementierbar Konstanter Speicheraufwand Nachteil: Hängt stark von der Initialisierung ab

23 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 23 Ausblick und Verbesserung Lokale Unabhängigkeit aufheben Normalverteilungsannahme ändern

24 Sebastian Brandt Korrektur des Bias Feldes in MR Aufnahmen Folie 24 Ende Vielen Dank für die Aufmerksamkeit