3. Präferenz-Theorie. 3.1 Präferenzen. 3.2 Formales Präferenzmodell. 3.3 Präferenz-Anfragen mit BMO-Semantik. 3.4 SV-Semantik. 3.

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1 3. Präferenz-Theorie 3. Präferenzen 3.2 Formales Präferenzmodell 3.3 Präferenz-Anfragen mit BMO-Semantik 3. SV-Semantik 3.5 Literatur 3-

2 3. Präferenzen Die Verwendung von Präferenzen: Präferenzen tauchen überall im Alltags- und Berufsleben auf. Für Datenbank- und Internet-Applikationen: Personalisierung von Suchmaschinen und Web Services Vermeidung bekannter Defizite wie Leere Ergebnismenge (empty result effect) bzw. Überflutungseffekt (flooding effect) Ad-hoc Behelfe: Parametrische Suche, Boolesche Suche durch Experten, 3-2

3 Anforderungen an ein geeignetes Präferenz-Modell: Präferenzen sind persönliche Wünsche wie Ich finde A besser als B. Es können Elemente existieren, die untereinander nicht vergleichbar sind. Besser als sollte intuitiv definiert sein auf - kategoriellen Domänen für Attribute (qualitativ), - numerischen Domänen für Attribute (quantitativ). Präferenzen können auch komplex sein, indem sie sich auf mehrere Attribute beziehen. Präferenzen können von verschiedenen, ja sogar unterschiedliche Ziele verfolgenden Quellen stammen (z.b. Käufer Verkäufer). 3-3

4 Anforderungen an ein geeignetes Präferenz-Modell: Präferenzen sind keine harten Bedingungen. Präferenzen sind nicht notwendigerweise Zahlen. Präferenzen sind nicht notwendigerweise totale Ordnungen (wie z.b. (, )). Bessere Datenbankunterstützung für Personalisierung: Bedarf für ein geeignetes, intuitives Präferenzmodell Bedarf für ein geeignetes deklaratives Anfragemodell für Präferenzen Kompatibel mit Industrie-Standards (SQL, XML) Time to market Effizienz 3-

5 3.2 Formales Präferenzmodell 3.2. Präferenzen als strikte partielle Ordnungen Sei A = {A, A2,, Ak} eine Menge von Attributen Aj mit den Domänen dom(aj), j k. Die Domäne von A ist definiert als dom(a) := XAj A dom(aj). Eine Präferenz P auf A ist definiert als P = (A, <P), wobei gilt: <P dom(a) X dom(a) ist eine strikte partielle Ordnung, kurz spo. 3-5

6 Eine strikte partielle Ordnung wird definiert durch:.) Irreflexivität: (x <p x) 2.) Transivität: (x <p y) (y <p z) (x <p z) 3-6

7 x <P y wird interpretiert als Ich finde y besser als x.. Falls zwischen den Elementen keine Relation besteht, liegen indifferente Elemente vor: x ~P y gdw. (x <P y) (y <P x) Elemente einer spo P = (A, <P ), die nicht von anderen Elementen der spo dominiert werden, heißen maximale Elemente: m max(p) gdw. y dom(a) : (m <P y) 3-7

8 Strikte partielle Ordnungen lassen sich anschaulich als HasseDiagramme darstellen. Beispiel: Es gelte a <P b, a <P c, a <P m, a <P m, b <P c, b <P m, c <P m, auf der Trägermenge A mit dom(a)= {a, b, c, m, m }. a b c max(p) = {m, m } m m b ~P m c ~P m m ~P m 3-8

9 Bekannte Spezialfälle: Total-/ Lineargeordnete bzw. Ketten-Präferenz: Für alle x y: x <P y y <P x (Vergleichbarkeit) a b c Die Antichain-Präferenz Für alle x y: x ~P y d.h. <P = (Unvergleichbarkeit) a b c 3-9

10 Eine schwache Ordnung ist definiert durch folgende Eigenschaften: Jede schwache Ordnung ist eine strikte partielle Ordnung mit den Eigenschaften von Irreflexivität und Transivität. Zusätzlich besitzen schwache Ordnungen die Eigenschaft: 3.) Negative Transitivität: (x <p y) (y <p z) (x <p z) 3-0

11 Die schwache Ordnung induziert dabei eine totale Ordnung auf den Äquivalenzklassen dieser Relation. L0 L L2 L3 L Beispiel: b e c d b2 a e2 c2 b3 Gegenbeispiel: z y x 3 -

12 Bemerkung: Für die meisten personalisierten Web- bzw. Datenbank-Applikationen im praktischen Einsatz sind Präferenzen in der Tat strikte partielle Ordnungen. Spezifikation von Präferenzen: Beliebige Prädikate der. Stufe über die Domäne von A können für < P angegeben werden, z.b. mit den Default-Operatoren wie =,, <,, >,. <P kann auch in jeder beliebigen Programmiersprache geschrieben werden. Jedoch ist für das Design einer deklarativen Anfragesprache mit Präferenzen ein induktiver, auf Konstruktoren basierender Ansatz wichtig. 3-2

13 3.2.2 Taxonomie der Basispräferenz-Konstruktoren SCOREd EXPLICIT CONTAINS LAYEREDm POS/POS POS/NEG POS NEG BETWEENd Temporal Spatial AROUNDd LESS_THANd MORE_THANd LOWESTd HIGHESTd 3-3

14 3.2.3 Basispräferenzen mit numerischer Bewertung SCORE(A, f) Gegeben sei eine Bewertungsfunktion f: dom(a) ℝ+ x <P y gdw. f(x) > f(y) SCORE ist eine schwache Ordnung. Beachte: Bessere Werte haben eine kleinere Bewertung. Werte mit gleicher Bewertung sind indifferent. 3 -

15 Kategorielle Sicht auf numerische Domänen Der elementare SCORE Präferenz-Konstruktor sei gegeben. d-parameter gruppiert Datenbereiche. Gegeben seien d mit d > 0 und eine Bewertungsfunktion f(v) 0 fd: dom(a), wobei fd(v) := f(v) / d SCOREd(A, f) : fd(v) A x <P y gdw. fd(x) > fd(y) = d a2 a3 a 3 5 a5 a6 3-5

16 Beispiel: fd(v) A d 5 6 f(x) f(z) f(y) y und z sind indifferent, weil sie in der gleichen Schublade (6) liegen. Dahingegen ist x sowohl besser als y wie auch z. Durch Variation des d-parameters kann die Größe der Indifferenz-Relation ~P beeinflusst werden. 3-6

17 Beispiel: Einfluss des d-parameters Sei gegeben: SCOREd(A, f) für R(A) = {a, a2, a3}, wobei f(a) = 2.5, f(a2) = 3.2 und f(a3) = 3.5. d =.0: f(a) / d = f(a2) / d = f(a3) / d = 2.5 /.0 = 3.2 /.0 = 3.5 /.0 = 2.5 = 3, 3.2 =, 3.5 = ; d2 =.7: f(a) / d2 = f(a2) / d2 = f(a3) / d2 = 2.5 /.7 = 3.2 /.7 = 3.5 /.7 =.59 = 2,.88 = 2, 2.06 = 3; d3 = 2.0: f(a) / d3 = f(a2) / d3 = f(a3) / d3 = 2.5 / 2.0 = 3.2 / 2.0 = 3.5 / 2.0 =.25 = 2,.60 = 2,.75 = 2; 3-7

18 Kategorielle Basispräferenz-Konstruktoren Intuitive Präferenzen auf kategoriellen Attributen: Statt natürlicher Zahlen, die durch die Diskretisierung mit dem d-parameter entstehen, werden semantisch eindeutige Begriffe zugeordnet. LAYEREDm(A, L) POS/POS (A, POS -set; POS2 -set) POS/POS(category, {cabriolet}; {roadster}) POS/NEG (A, POS-set; NEG-set) POS/NEG(color, {yellow}; {gray}) POS (A, POS-set) POS(transmission, {automatic}) NEG (A, NEG-set) NEG(make, {Ferrari}) 3-8

19 LAYEREDm Präferenz-Konstruktor: Sei m 0, L = (L0,, Lm) eine geordnete Liste von Mengen mit folgenden Eigenschaften: L ist eine Partition von dom(a). Genau m von diesen m + disjunkten Mengen sind gegeben als Aufzählungen von Werten aus dom(a). Die übrig bleibende Menge heißt others. 0 Die Funktion layerm: dom(a) ist definiert als: Für i {0,..., m} und für alle v Li ist die Bewertungsfunktion definiert als: layerm(v) := i. 3-9

20 Beispiel: L0 {0,, 2} L {3, } L2 others L3 {6, 7} 0 3 wobei dom(a) = {0,, 2, 3,, 5, 6, 7}

21 POS/POS(A, POS-set; POS2-set) L0 POS-set L POS2-set L2 others Beispiel: POS/POS(category, {cabriolet}; {roadster}) 3-2

22 POS/NEG(A, POS-set; NEG-set) L0 POS-set L others L2 NEG-set Beispiel: POS/NEG(color, {yellow}; {gray}) 3-22

23 POS(A, POS-set) Beispiel: POS(transmission, {automatic}) L0 POS-set L others L0 others L NEG-set NEG(A, NEG-set) Beispiel: NEG(make, {Ferrari}) 3-23

24 Numerische Basispräferenz-Konstruktoren Intuitive Präferenzen auf numerischen Attributen: BETWEENd (A, [low, up]) BETWEEN2000 (mileage, [20000, 30000]) AROUNDd (A, z) AROUND5000 (price, 0000) MORE THANd (A, z) MORE THAN0 (horsepower, 00) LESS THANd (A, z) LESS THAN000 (price, 0000) LOWESTd (A, infa) LOWEST2 (fuel_consumption, 0) HIGHESTd (A, supa) HIGHEST20 (horsepower, 20) Bemerkung: infa ist das Infimum und supa das Supremum der Domäne A. Der d-parameter ist optional. 3-2

25 BETWEENd(A, [low, up]) Seien low, up dom(a) mit low up. Für alle v dom(a) sei definiert: fd(v) = distance(v, [low, up]) / d := if v [low, up] then 0 else if v < low then (low v) / d else (v up) / d fd(x) = fd(y) [ A x low up y ] 3-25

26 Beispiel: BETWEEN2000(mileage, [20000, 30000]) L0 [20000, 30000] L [8000, 20000) (30000, 32000] L2 [6000, 8000) (32000, 3000]

27 AROUNDd(A, z) fd(x) = fd(y) [ A x z y ] fd(v) = distance(v, [z, z]) / d := abs (z - v) / d AROUNDd ist Sub-Konstruktor von BETWEENd aufgrund der Spezialisierung: low := up := z 3-27

28 Beispiel: AROUND5000(price, 0000) L L [35000, 0000) (0000, 5000] L2 [30000, 35000) (5000, 50000]

29 HIGHESTd(A, supa) A [ a3 a2 a5 a6 a a ] supa fd(v) = distance(v, [supa, supa]) / d := (supa- v) / d L0 Beispiel: HIGHEST5(horsepower, 20) L [225, 20) L2 [20, 225)

30 LOWESTd(A, infa) A [ a5 a a3 infa a2 a ] a6 fd(v) = distance(v, [infa, infa]) / d := ( v - infa) / d Beispiel: LOWEST2(fuel_consumption, 0) L0 0 Bemerkung: HIGHEST und LOWEST sind Sub-Konstruktoren von AROUND mit z := supa bzw. z := infa L (0, 2] L2 (2, ]

31 3.2. EXPLICIT Basispräferenz-Konstruktor EXPLICIT(A, E-graph) Charakterisiere E-graph = {(val, val2), } ein Hasse-Diagramm. Beachte: Hasse-Diagramm muss azyklisch sein. Die Menge dom(a) ohne die vali aus dem E-graph wird als die Menge others bezeichnet. Eine strikte partielle Ordnung E = (V, <E ) wird induziert, wie folgt: (vali, valj) E-graph vali <E valj vali <E valj valj <E valk vali <E valk Die EXPLICIT-Präferenz ist definiert als: x <P y gdw. x <E y (x others y E-graph) 3-3

32 Beispiel: dom(color) = {green, yellow, red, white, black, blue} EXPLICIT(color, {(green, yellow), (green, red), (yellow, white)}) Das dazugehörige Hasse-Diagramm hat folgendes Aussehen: white Beachte: Es liegt hier keine schwache Ordnung vor. red yellow green others 3-32

33 3.2.5 Zeitliche Basispräferenz-Konstruktoren Intuitive Präferenzen auf zeitlichen Attributen: Die SQL-Typen DATE, TIME, TIMESTAMP und INTERVAL sind Spezialisierungen von NUMBER. Natürliche Sprachen benutzen für zeitliche Relationen auf dom( T) jedoch eigene Begriffe. So lassen sich Präferenzen intuitiver ausdrücken durch: HIGHESTd(T, supa) LATESTd(T, supa) LOWESTd(T, infa) EARLIESTd(T, infa) MORE THANd(T, t) LATER THANd(T, t) LESS THANd(T, t) EARLIER THANd(T, t) Bemerkung: d-parameter muss vom Typ INTERVAL sein. 3-33

34 3.2.6 Räumliche Basispräferenz-Konstruktoren Intuitive Präferenzen auf räumlichen Attributen: A ist vom Typ Geometry. NEARBY (A, Längengrad, Breitengrad) d WITHINd (A, KML) ONROUTEd (A, KML) BUFFERd (A, KML) Angabe komplexer geometrischer Objekte (Polygon, LineString) mittels Keyhole Markup Language (KML): <Polygon><outerBoundaryIs><LinearRing> <coordinates>28.98, ,.062</coordinates> </LinearRing></outerBoundaryIs></Polygon> 3-3

35 NEARBYd(A, Längengrad, Breitengrad) L0 L L2 3-35

36 WITHINd(A, KML) L L0 3-36

37 ONROUTEd(A, KML) L0 L 3-37

38 BUFFERd(A, KML) L L0 3-38

39 Istanbul-Demo: Hotelsuche in Istanbul mit räumlichen, numerischen, kategoriellen und komplexen Präferenzen wurde auf VLDB 202 präsentiert. 3-39

40 Demo: Hotelsuche in Istanbul 3-0

41 3.2.7 Komplexe Präferenz-Konstruktoren Basispräferenz-Konstruktoren sind typischerweise elementare Präferenzen auf einzelnen Datenbank-Attributen. Mit Hilfe von Basispräferenzen, die sich aufteilen in Kategorielle Präferenzen, Numerische Präferenzen, Zeitliche Präferenzen und Räumliche Präferenzen. werden induktiv komplexe Präferenzen aufgebaut. 3 -

42 Für Anwendungen sind folgende vier komplexen PräferenzKonstruktoren von besonderer Bedeutung: Pareto-Präferenz: A ist mir genauso wichtig wie B. Priorisierungspräferenz: A ist mir wichtiger als B. Ranking-Präferenz: A hat den gleichen Rang wie B, bzw. A hat einen höheren / niedrigeren Rang als B. Duale Präferenz: Die der Präferenz P entgegen gesetzte Präferenz wird bevorzugt. 3-2

43 Pareto-Präferenz Gegeben seien P = (A, <P ) und P2 = (A2, <P ). 2 Für alle x = (x, x2) und y = (y, y2) dom(a) X dom(a2): P und P2 sind gleich wichtig. Pareto-Präferenz P: P = ({A, A2}, <P P2) x <P P2 y gdw. (x <P y (x2 <P y2 x2 = y2)) 2 (x2 <P y2 (x <P y x = y)) 2 Triviale SV-Semantik! Beispiel : POS/POS(color, {white}; {yellow}) AROUND(age, 0) 3-3

44 Beispiel : POS/POS(color, {white}; {yellow}) AROUND(age, 0) white 0 yellow 3 others

45 Beispiel : POS/POS(color, {white}; {yellow}) AROUND(age, 0) oldtimer ident Maggie Bart Homer Selma Smithers Skinner color age 29 white white 9 yellow 35 0 red 3 red yellow 5 (white, 29) (yellow, 35) (red, 0) (yellow, 5) (red, 3) (white, 9) 3-5

46 Priorisierungspräferenz Priorisierungspräferenz P: P ist wichtiger als P2. Gegeben seien P = (A, <P ) und P2 = (A2, <P ). 2 Für alle x = (x, x2) und y = (y, y2) dom(a) dom(a2): P = ({A, A2}, <P ) & P 2 x <P & P2 y gdw. x <P y (x = y x2 <P y2) 2 Triviale SV-Semantik! Beispiel: AROUND(age, 0) & POS/POS(color, {white}; {yellow}) 3-6

47 Beispiel 3: (Änderung Maggie white 29 := Maggie white 9): AROUND(age, 0) & (red, 0) POS/POS(color, {white}; {yellow}) oldtimer ident Maggie Bart Homer Selma Skinner Smithers color age white 9 green 9 yellow 35 red 0 yellow 5 red 3 (red, 3) (yellow, 35) (yellow, 5) (white, 9) (green, 9) 3-7

48 Ranking-Präferenz Ranking-Präferenz P: Gegeben seien zwei schwache Ordnungen P = (A, <P ) und P2 = (A2, <P ) mit ihren Bewertungsfunktionen f(a) und f2(a2). 2 Zudem ist gegeben eine Kombinationsfunktion F: ℝ ℝ ℝ. Dann definieren wir für alle x = (x, x2), y = (y, y2) dom(a) = dom(a) dom(a2): RANK({A, A2}, F) = ({A, A2}, <rank ) F x <rank y gdw. F( f(x), f2(x2)) > F( f(y), f2(y2)) F 3-8

49 Der RANK-Präferenz-Konstruktor lässt sich analog zum SCOREPräferenz-Konstruktor mit einen d-parameter diskretisieren: Gegeben seien d mit d > 0 und die Kombinationsfunktion F(v) eines Rank-Präferenz-Konstruktors, die als Bewertungsfunktion dient: Fd: dom(a) dom(a2) 0, wobei Fd (v) := F(v) / d RANKd ({A, A2}, F) = { x <P y gdw. Fd (x) > Fd (y) } 3-9

50 Beispiele für typische Kombinationsfunktionen sind: Mittelwert Gewichtetes Mittel Minimum / Maximum... Anmerkung: Die Kombinationsfunktion F bildet ein Aggregat über mehrere Funktionen fi. Damit die Funktionen die gleiche Gewichtung haben, sollten sie jeweils normiert sein bezüglich des Intervalls [0.0,.0]. Perfekte Treffer haben den Wert

51 Beispiel 5: Sei gegeben P = AROUND (age, 0), wobei infage = 0 und supage = 60 seien. f(v) = abs(0 - v) / max(60-0; 0-0) = abs(0 - v) / 30 Sei gegeben P2 = POS/POS(color, {white}; {yellow}). f2(v) = { 0 0,5 falls v {white} falls v {yellow} falls v others Gewichtetes Mittel: F(f(a), f2(c)) = (3 * f(a) + * f2(c) ) / P = ({age, color}, <rankf) 3-5

52 P = ({age, color}, <rankf) (red, 0) (yellow, 35) ident color f(c) age f(a) F(a,c) Homer yellow 0,5 35 0,7 0,25 Selma red,0 0 0,00 0,25 Smithers red,0 3 0,0 0,36 Skinner yellow 0,5 5 0,37 0,0 Maggie white 0,0 9 0,70 0,53 Bart green,0 9 0,70 0,78 (red, 3) (yellow, 5) (white, 9) (green, 9) 3-52

53 age color (white, 9) age & color (red, 0) ¾*f(a) + ¼*f2(c) (red, 0) (yellow, 35) (red, 3) (red, 0) (yellow, 35) (yellow, 35) (red, 3) (red, 3) (yellow, 5) (yellow, 5) (yellow, 5) (white, 9) (white, 9) (green, 9) (green, 9) (green, 9) 3-53

54 Duale Präferenz P: a b c Pδ: a b c Die duale Präferenz ist der ursprünglichen Präferenz P entgegen gesetzt. 3-5

55 Ausdrucksmächtigkeit komplexer Konstruktoren Theorem: Pareto kann nicht durch rank ausgedrückt werden und F umgekehrt. Pareto kann nicht durch Priorisierung ausgedrückt werden und umgekehrt. Priorisierung kann nicht durch rank ausgedrückt F werden und umgekehrt. Personalisierung, die nur auf numerisches Ranking beruht, hat deshalb eine begrenzte Ausdrucksmächtigkeit und ist zudem oft nicht sehr intuitiv. 3-55

56 Demo für Selbststudium: Excel-Simulation: Vergleich Ranking mit Pareto Es können einerseits künstliche Datensätze generiert werden, die vorher definierten Verteilungen entsprechen. Andrerseits besteht die Möglichkeit, mit dem realen Datensatz der Istanbul-Demo zu arbeiten. Versuchen Sie, ob Sie die durch den Pareto-Konstruktor ausgewählten Tupel auch durch ein geschicktes Scoring erzielen können? Download 3-56

57 Gewichtete Summe durch RANK-Konstruktor: BMO =, Steigung der Gerade passt. 3-57

58 3.2.8 Induktive Konstruktion von Präferenzen Induktive Konstruktion von Präferenz-Termen: Jede mit einem Basiskonstruktor erzeugte Präferenz ist ein Präferenz-Term. Gegeben seien die Präferenz-Terme P und P2, P ist ein PräferenzTerm gdw. Pareto-Präferenz: P := P P2 Priorisierungspräferenz: P := P & P2 Numerisches Ranking: P := rankf(p, P2) wobei für rankf(p, P2) gilt: P und P2 sind schwache Ordnungen 3-58

59 Theorem: Jeder Präferenz-Term definiert eine strikte partielle Ordnung. Theorem: Pareto erzeugt i. A. keine schwache Ordnung. Theorem: Priorisierung ist eine schwache Ordnung, falls die enthaltenen Präferenzen schwache Ordnungen sind. Theorem: rankf ist eine schwache Ordnung. 3-59

60 Bemerkung: Dieser konstruktive Ansatz ist erweiterbar! Neue elementare oder komplexe PräferenzKonstruktoren, welche die strikte partielle Ordnungseigenschaft einhalten, können bei Bedarf jederzeit hinzu gefügt werden. 3-60

61 3.2.9 Beispiel: E-commerce Scenario Julia und Leslie wollen einen Gebrauchtwagen vom Gebrauchtwagenhändler Michael kaufen. Julia äußert folgende komplexe Kunden-Präferenz QJulia: P := POS/POS(category, {cabriolet}; {roadster}) P2 := POS(transmission, {automatic}) P3 := AROUND20(horsepower, 00) P := LOWEST000(price) P5 := NEG(color, {gray}) QJulia = ({color, category, transmission, horsepower, price}, < QJulia) := P5 & ((P P2 P3) & P) 3-6

62 Michael als Händler besitzt spezifisches Domänenwissen über Autos: P6 := HIGHEST2(year-of-construction) Michael hat natürlich aber auch eigene Interessen, seine VerkäuferPräferenz: P7 := HIGHEST50(commission) Michael ist Julia wohl gesonnen, da er Julias Anfrage folgendermaßen erweitert (query expansion): QMichael = ({color, category, transmission, horsepower, price, year-of-construction, commission}, <QMichael) := (QJulia & P6) & P7 = ((P5 & ((P P2 P3) & P)) & P6) & P7 3-62

63 Nun kommt Leslie ins Spiel. Sie hat einen anderen Farbgeschmack: PLeslie := POS/NEG(color, {blue}; {gray, red}) Julia besteht auf ihren Farbgeschmack P5, lässt aber auch Leslies Farbgeschmack PLeslie gelten. Im Lauf der weiteren Diskussion überzeugt Leslie Julia, dass die Kosten genauso wichtig sind wie die Autofarbe. Julia ändert daraufhin ihre Meinung zu ihrem Wunschauto: QJulia* = ({color, category, transmission, horsepower, price}, < Q ) Julia* := (P5 PLeslie P) & (P P2 P3) Letztendlich erweitert Händler Michael erneut Julias Präferenzen zu einem Wunschauto QMichael* und die Geschichte könnte damit enden, dass jeder glücklich ist mit dem erzielten Resultat 3-63

64 3.3 Präferenz-Anfragen mit BMO-Semantik Best-Matches-Only (BMO)-Anfragemodell: Präferenzen sind Bedingungen mit einer weichen Selektion (nicht jeder Wunsch muss wahr werden). Perfekte Treffer sind die maximalen Elemente einer gegebenen Präferenz P. Ergebnis einer BMO-Anfrage: Spüre die perfekten Treffer auf, falls sie im Datenbestand existieren. Ansonsten liefere die am besten passenden Alternativen zurück, aber auf keinem Fall schlechtere Elemente. 3-6

65 Deklarative Semantik der Präferenz-Selektion: Gegeben seien eine Relation R, R[A] dom(a) und eine Präferenz P = (A, <P): σ[p](r) := { t R v R: t[a] <P v[a] } Die BMO-Menge enthält alle Tupel aus R, die bezüglich <P nicht dominiert sind oder dazu äquivalent: Die BMO-Menge enthält alle maximalen Elemente aus R bezüglich <P. 3-65

66 Beispiel: Sei dom(a) = dom(b) = dom(c) = {,, 9} σ[ HIGHEST (A) HIGHEST (B) HIGHEST (C) ](R) R A B C T 3 5 T2 3 T3 2 6 T

67 Beispiel: Sei dom(a) = dom(b) = dom(c) = {,, 9} σ[ HIGHEST (A) HIGHEST (B) HIGHEST (C) ](R) R A B C T 3 5 T2 3 T3 2 6 T

68 Beispiel: Sei dom(a) = dom(b) = dom(c) = {,, 9} σ[ HIGHEST (A) HIGHEST (B) HIGHEST (C) ](R) R A B C T 3 5 T2 3 T3 2 6 T

69 Beispiel: Sei dom(a) = dom(b) = dom(c) = {,, 9} σ[ HIGHEST (A) HIGHEST (B) HIGHEST (C) ](R) R A B C T 3 5 T2 3 T3 2 6 T

70 Beispiel: Sei dom(a) = dom(b) = dom(c) = {,, 9} σ[ HIGHEST (A) HIGHEST (B) HIGHEST (C) ](R) R A B C T 3 5 T2 3 T3 2 6 T

71 Beispiel: Sei dom(a) = dom(b) = dom(c) = {,, 9} σ[ HIGHEST (A) HIGHEST (B) HIGHEST (C) ](R) R A B C T 3 5 T2 3 T3 2 6 T

72 Beispiel: Sei dom(a) = dom(b) = dom(c) = {,, 9} σ[ HIGHEST (A) HIGHEST (B) HIGHEST (C) ](R) R A B C T 3 5 T2 3 T3 2 6 T

73 Beispiel: Sei dom(a) = dom(b) = dom(c) = {,, 9} σ[ HIGHEST (A) HIGHEST (B) HIGHEST (C) ](R) R A B C T 3 5 T2 3 T3 2 6 T

74 Beispiel: Sei dom(a) = dom(b) = dom(c) = {,, 9} σ[ HIGHEST (A) HIGHEST (B) HIGHEST (C) ](R) R A B C T 3 5 T2 3 T3 2 6 T

75 Beispiel: Sei dom(a) = dom(b) = dom(c) = {,, 9} σ[ HIGHEST (A) HIGHEST (B) HIGHEST (C) ](R) R A B C T 3 5 T2 3 T3 2 6 T

76 Ergebnistupel Beispiel: Sei dom(a) = dom(b) = dom(c) = {,, 9} σ[ HIGHEST (A) HIGHEST (B) HIGHEST (C) ](R) R A B C T 3 5 T2 3 T3 2 6 T 2 3 T3 T2 T BMO-Set = {T2, T3} 3-76 T

77 Eigenschaften von BMO: Kooperatives Verhalten, automatische Erzielung der besten Übereinstimmung (match making): Die Ergebnismenge einer BMO-Anfrage adaptiert sich an die Qualität der Daten des Datenbestands. Die leere Ergebnismenge (empty result) ist beseitigt: Implizite Relaxation der Anfrage Der Überflutungseffekt (flooding effect) ist reduziert: Schlechtere Ergebnisse werden automatisch gefiltert. Mühsame Parametrische Suche und Boolesche Suche durch Experten sind technisch überholt. 3-77

78 3. SV-Semantik Bedeutung von indifferenten Werten: Die Indifferenz-Relation ~P ist folgendermaßen definiert: x ~P y gdw. (x <P y) (y <P x) Beispiel: Betrachte P := AROUND(A, 0): -5 ~P

79 Was sind ersetzbare Werte (substitutable values = SV)? Beispiel: P := AROUND(A, 0), P2 := LOWEST(A2), P3 := P P2 Betrachte die Tupel (-5, 3) und (5, ). Bisher gilt: -5 ~P 5, 3 <P (-5, 3) ~P (5, ) 2 3 Was passiert, wenn einige indifferente Werte eines Attributs als ersetzbare (synonym: gleich gute) Werte betrachtet werden? Sei ein Unterschied von +5 oder -5 vom perfekten Treffer 0 als gleich gut bewertet, dann lässt uns das intuitive Gefühl folgendes Ergebnis viel eher erwarten: (-5, 3) <P3 (5, ) 3-79

80 Herausforderung: Wie sollte die Definition einer Pareto-Präferenz angepasst werden? Bekannte Vorschläge in der Literatur lauten: Ersetze Gleichheit = in der Definition von (vgl ) durch Indifferenz ~. Schwerer Fehler: Die Eigenschaft einer strikten partiellen Ordnung geht verloren! Eine semantisch korrekte (und berechnungseffiziente) Lösung: SV-Semantik. 3-80

81 Intuitive Semantik von Ersetzbarkeit: Gegeben sei P = (A, <P), P wird Ersetzbarkeit-Relation (SV-Relation, substitutable values) genannt gdw. für x, y dom(a) gilt: x, y: x P y x ~P y x, y, z: x p y z <P x z <P y x, y, z: x p y x <P z y <P z P ist eine Äquivalenz-Relation. Indifferente Werte, die nicht ersetzbar sind, heißen alternative Werte. 3-8

82 Beispiel: Gegeben sei eine Präferenz P mit diesem Hasse-Diagramm: a b e c d f x P y gdw. x = y x, y {a, b} x, y {c, d} 3-82

83 Erweiterung der Präferenz-Definition: Eine Präferenz P mit einer SV-Relation P wird so gekennzeichnet: P = (A, <P, P) Theorem: Triviale SV-Relation = ist eine SV-Relation für jede Präferenz P. Theorem: Reguläre SV-Relation x P y gdw. x ~P y ist eine SV-Relation für jede SCOREd-Präferenz P (oder von Subkonstruktoren von P). 3-83

84 Beispiel zu regulärer SV-Semantik: dom(a) = dom(b) = {0,, 9} σ[ LOWEST (A, =) AROUND (B, 5, ~) ] (R) R A B DistanzB T T2 0 T3 0 6 T

85 Beispiel zu regulärer SV-Semantik: dom(a) = dom(b) = {0,, 9} σ[ LOWEST (A, =) AROUND (B, 5, ~) ] (R) R A B DistanzB T T2 0 T3 0 6 T

86 Beispiel zu regulärer SV-Semantik: dom(a) = dom(b) = {0,, 9} σ[ LOWEST (A, =) AROUND (B, 5, ~) ] (R) R A B DistanzB T T2 0 T3 0 6 T

87 Beispiel zu regulärer SV-Semantik: dom(a) = dom(b) = {0,, 9} σ[ LOWEST (A, =) AROUND (B, 5, ~) ] (R) R A B DistanzB T T2 0 T3 0 6 T

88 Beispiel zu regulärer SV-Semantik: dom(a) = dom(b) = {0,, 9} σ[ LOWEST (A, =) AROUND (B, 5, ~) ] (R) R A B DistanzB T T2 0 T3 0 6 T

89 Beispiel zu regulärer SV-Semantik: dom(a) = dom(b) = {0,, 9} σ[ LOWEST (A, =) AROUND (B, 5, ~) ] (R) R A B DistanzB T T2 0 T3 0 6 T

90 Beispiel zu regulärer SV-Semantik: dom(a) = dom(b) = {0,, 9} σ[ LOWEST (A, =) AROUND (B, 5, ~) ] (R) R A B DistanzB T T2 0 T3 0 6 T

91 Beispiel zu regulärer SV-Semantik: dom(a) = dom(b) = {0,, 9} σ[ LOWEST (A, =) AROUND (B, 5, ~) ] (R) R A B DistanzB T T2 0 T3 0 6 T

92 Beispiel zu regulärer SV-Semantik: dom(a) = dom(b) = {0,, 9} σ[ LOWEST (A, =) AROUND (B, 5, ~) ] (R) R A B DistanzB T T2 0 T3 0 6 T

93 Beispiel zu regulärer SV-Semantik: dom(a) = dom(b) = {0,, 9} σ[ LOWEST (A, =) AROUND (B, 5, ~) ] (R) R A B DistanzB T T2 0 T3 0 6 T

94 Beispiel zu regulärer SV-Semantik: dom(a) = dom(b) = {0,, 9} σ[ LOWEST (A, =) AROUND (B, 5, ~) ] (R) R A B DistanzB T T2 0 T3 0 6 T

95 Ergebnistupel Beispiel zu regulärer SV-Semantik: dom(a) = dom(b) = {0,, 9} σ[ LOWEST (A, =) AROUND (B, 5, ~) ] (R) R A B DistanzB T T2 0 T3 0 6 T T3 T T T2 BMO-Set = {T3, T} 3-95

96 Vergleich mit trivialer SV-Semantik: σ[ LOWEST (A, =) AROUND (B, 5, =) ] (R) Attribute R A B T T2 0 T3 0 6 T 2 5 T T3 T T2 BMO-Set = {T, T3, T} 3-96

97 Erweiterung des Pareto-Konstruktors um SV-Relationen: P = P P2 = { (x, x2) <P (y, y2) gdw. (x <P y (x2 <P y2 x2 P y2)) 2 2 (x2 <P y2 (x <P y x P y)) } 2 Spezialfall: Triviale SV-Relation entspricht der bisherigen ParetoDefinition. 3-97

98 Erweiterung des Priorisierung-Konstruktors um SVRelationen: P = P & P2 = { (x, x2) <P (y, y2) gdw. (x <P y (x P y x2 <P y2 )) } 2 Spezialfall: Triviale SV-Relation entspricht der bisherigen PriorisierungDefinition. 3-98

99 Beispiel -SV (vgl. 3. Pareto-Präferenz): POS/POS(color, {white}; {yellow}, ~) AROUND(age, 0, ~) oldtimer ident Maggie Bart Homer Selma Smithers Skinner age color white 29 white 9 yellow 35 0 red red 3 yellow 5 (white, 29) (yellow, 35) regulär (red, 0) (yellow, 5) (red, 3) (white, 9) 3-99

100 Beispiel 2-SV (Änderung Bart white 9 := Bart green 9): POS/POS(color, {white}; {yellow}, ~) AROUND(age, 0, ~) ident color Maggie Bart Homer Selma age white green yellow red Smithers red Skinner 5 yellow (white, 29) (yellow, 35) regulär (red, 0) (yellow, 5) 3 regulär (red, 3) (green, 9) 3-00

101 Beispiel 5-SV (vgl Ranking-Präferenz): age color age & color ¾*f(a) + ¼*f2(c) (red, 0) (red, 0) (yellow, 35) (white, 9) (red, 3) (red, 0) (yellow, 35) (yellow, 35) (red, 3) (red, 3) (yellow, 5) regulär (yellow, 5) (yellow, 5) (white, 9) (white, 9) (green, 9) (green, 9) (green, 9) 3-0

102 Theorem: Erhalt der strikten partiellen Ordnung Gegeben seien P = (A, <P, P ) und P2 = (A2, <P, P ), 2 2 dann ist P := P P2 eine Präferenz mit SV-Semantik, d.h.: <P ist eine strikte partielle Ordnung auf A A2 Induktive Konstruktion von Präferenzen mit SVSemantik erhält die Eigenschaft der strikten partiellen Ordnung der Konstituenten! (Priorisierung & : analog) 3-02

103 3.5 Literatur J. Chomicki: Preference formulas in relational queries ACM Transactions on Database Systems (TODS), Volume 28, Issue (December 2003), pp , W. Kießling: Foundations of Preferences in Database Systems 28th International Conference on Very Large Data Bases (VLDB 2002). pp , Hong Kong, China, Aug

104 W. Kießling: Preference Queries with SV-Semantics th International Conference on Management of Data (COMAD 2005). pp. 5-26, Goa, India, Jan In Jayant R. Haritsa, T. M. Vijayaraman (eds.): Advances in Data Management Computer Society of India. 3-0