Die Poisson-Gleichung

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1 56 Plato XII Die Poisson-Gleichung 95 Einführung Die Poisson-Gleichung ist von der Form dx u WD u D f Ex/ für Ex D x x ; : : : ; x d / D; kd k (95) mit einer offenen beschränkten enge D d, wobei d gilt und die Funktion f W D! gegeben ist, und die Funktion u W D! ist zu bestimmen Im Fall f D spricht man von der Laplace-Gleichung Die Lösungen der Laplace-Gleichung nennt man harmonische Funktionen Den Differenzialoperator bezeichnet man als Laplace-Operator Die Poisson-Gleichung wird zum Beispiel in Verbindung mit Dirichlet-anddaten oder auch mit Neumann-anddaten u D g auf D (95) u D g auf D (953) n betrachtet, wobei D den and der enge D bezeichnet Beispiel Solche Probleme treten beispielsweise bei Wärmeleitungs- oder Diffusionsprozessen im stationären Fall auf, der meist bereits nach kurzer Zeit erreicht wird In der ebenen inhomogenen Diffusionsgleichung u t x; y; t/ D c u x; y; t/ C u x; y; t// C x y f x; y; t/ für x; y/ D; t > (siehe (836) auf Seite 7 für den eindimensionalen Fall) und hier nicht weiter spezifizierten andbedingungen liegt beispielsweise im stationären Fall die Situation u D vor, was t gleichbedeutend mit (95) mit d D ist Für das nachfolgende Beispiel ist die folgende Identität von Bedeutung (nachrechnen!): div grad ' D ' auf D; wobei ' W D! eine zweimal differenzierbare Funktion ist, mit D d d / Beispiel Ein weiteres Beispiel liefert die Strömungsmechanik Dazu betrachten wir in einem Bereich D d d / ein inkompressibles Fluid mit einer zeitlich stationären Strömungsgeschwindigkeit Eu W D! d Dieses erfüllt die Kontinuitätsgleichung div Eu D f, wobei die Funktion f W D! Quellen und Senken repräsentiert (siehe Abschnitt 9 auf Seite 47 ff) Ist nun das Geschwindigkeitsfeld Eu ein Gradientenfeld (das gilt typischerweise für rotationsfreie Felder, siehe (94) auf der vorherigen Seite), so gilt Eu D grad ' auf D für eine zu bestimmende Funktion ' W D!, und die Gleichung div Eu D f geht dann über in die Poisson- Gleichung ' D f auf D, mit der gesuchten Funktion ' 96 Der rotationssymmetrische Fall Es werden für den Torus D D ¹ Ex d W r min j Exj r max º (mit < r min < r max und d N fix) rotationssymmetrische Lösungen u W D! der Laplace-Gleichung gesucht Dies sind Lösungen von der Form u Ex/ D v/ für Ex D (96) mit einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion v W Œr min ; r max! Der Ansatz (96) führt auf u x k Ex/ D v j Exj/ x k ; u x k und liefert Ex/ D v j Exj/ x k C v j Exj/ u/ex/ D v j Exj/ dx kd x k D v j Exj/ C v d j Exj/ D v j Exj/ C d v j Exj/: C v j Exj/ dx kd x k 3 x k 3

2 Abschnitt 97 Der zweidimensionale Fall, Polarkoordinaten Plato 57 Die Lösungen der gewöhnlichen Differenzialgleichung zweiter Ordnung v r/ C d v r/ D für r r min < r < r max (96) lassen sich mit Satz 6 auf Seite 55 angewendet auf die Funktion y D v unmittelbar angeben an erhält so c C c vr/ D ln r; falls d D ; c C c r d sonst (963) mit reellen Konstanten c und c Diese Funktionen v liefern genau die rotationssymmetrischen Lösungen (96) der Laplace-Gleichung Die Konstanten c und c werden an die vorgegebenen anddaten auf den Kreisen mit den adien r D r min und r D r max angepasst Beispiel Wir betrachten das folgende andwertproblem für die Laplace-Gleichung: u D auf D D ¹ Ex d W j Exj º uex/ 3 für j Exj D ; uex/ für j Exj D : Für den zweidimensionalen Fall d D ist die Situation in Abb 8 dargestellt Im dreidimensional Fall u u D u 3 Abb 8: otationssymmetrisches andwertproblem für die zweidimensionale Laplace-Gleichung d D 3 ist die Lösung wegen der vorliegenden otationssymmetrie von Definitionsbereich und andbedingungen von der Form uex/ D c C c =j Exj für Ex D Die andbedingungen ergeben die beiden Gleichungen c C c D 3; c C c D mit den Lösungen c D und c D Die gesuchte Lösung ist damit von der Form ux; y; z/ D C p x C y C z ; x C y C z 4: Bemerkung Der vorgestellte Ansatz zur Gewinnung rotationssymmetrischer harmonischer Funktionen auf Kugeln D D ¹ Ex d W j Exj r max º r max > fix/ liefert außer den konstanten Lösungen keine weiteren Lösungen Dies liegt daran, dass die sich ergebenden Funktionen (963) im Fall d singulär sind 97 Der zweidimensionale Fall, Polarkoordinaten 97 Einführung Bei der Betrachtung der ebenen Poisson-Gleichung u x C u y D f x; y/ für x; y/ D (97) auf Gebieten D wie z B Kreisen oder Kreisringen oder allgemeiner auf Kreisringsegmenten kann die Verwendung von Polarkoordinaten x D r cos '; y D r sin '; ux; y/ D Ur; '/; f x; y/ D Fr; '/; (97) in Betracht gezogen werden it diesen Notationen (97) geht (97) über in (Übungsaufgabe) r C r U r C D Fr; '/ (973) r ' für r geeignet; ' :

3 58 Plato Teil XII Die Poisson-Gleichung Beweis U r D u u cos ' C sin '; x y r D u x cos ' C u xy sin ' cos ' U r ' D U r ' D mit C u xy cos ' C u y sin ' sin ' D u x cos ' C u xy sin ' cos ' C u y sin '; u u sin ' C cos '; x y u x sin ' C u xy cos ' sin ' C u xy sin ' C u y cos ' cos ' D u x sin ' D r C u y cos ' Daraus ergibt sich unmittelbar r C U r ' D u x C u y Dies komplettiert den Beweis u sin ' cos ' xy u x cos ' C u r y sin ' D U r r : D u x C u U y r r : Bemerkung an beachte, dass der Ausdruck auf der linken Seite in (973) im Fall U D Ur/ (otationssymmetrie, es liegt keine Abhängigkeit von ' vor) wegen D mit dem Ausdruck (Fall d D ) in (963) auf ' der vorherigen Seite übereinstimmt 97 Die Laplace-Gleichung auf dem Kreis Wir betrachten im Folgenden das dirichletsche andwertproblem für die Laplace-Gleichung auf einem Kreis, u u x y für x; y ; x C y < ; (974) u D gx; y/ für x; y ; x C y D : (975) Folgendes: r C r U r C r ' D für r ; ' ; (977) U; '/ D G'/ für ' : (978) Eine Familie von Lösungen dieses Problems wird mit dem Separationsansatz Ur; '/ D Sr/ˆ'/ gewonnen Aus (977) erhält man so r S r/ Sr/ C r S r/ Sr/ D für r ; ' ˆ '/ ˆ'/ D mit einem von r und ' unabhängigen Separationsparameter Die separierten Gleichungen lauten dann ˆ C ˆ D für ' ; (979) r S C rs S D für r ; (97) mit einem noch zu spezifizierenden Separationsparameter Eine notwendige Bedingung für Glattheit ist stetige Differenzierbarkeit der Funktion ˆ sowie ˆ/ D ˆ/; ˆ/ D ˆ/: (97) Bei (979), (97) handelt es sich um ein Eigenwertproblem für eine gewöhnliche Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit periodischen andbedingungen Die Eigenwerte und zugehörigen Eigenfunktionen lassen sich mit einem Exponentialansatz bestimmen und lauten n D n ; ˆn'/ D a n cos n' C b n sin n' für n D ; ; : : : : Lösungen der gewöhnlichen Differenzialgleichung mit nichtkonstanten Koeffizienten (97) erhält man mit dem Ansatz Sr/ D rˇ ˇ /: Die estriktion ˇ ist sinnvoll, da ansonsten eine Singularität bei r D vorliegt Zusammen mit der Setzung D n führt dies auf Im Fall des Kreises mit adius und ittelpunkt im Ursprung verwendet man die Polarkoordinatendarstellung (973) und erhält mit der Notation ˇˇ und ergibt /rˇ C ˇrˇ n rˇ D ˇ n /rˇ D ux; y/ D Ur; '/; gx; y/ D G'/ (976) ˇ D n:

4 Abschnitt 97 Der zweidimensionale Fall, Polarkoordinaten Plato 59 Superposition liefert letztlich Ur; '/ D a C r n a n cos n' C b n sin n' / (97) mit noch an die andbedingungen anzupassenden Koeffizienten a n und b n Hierzu gehen wir von einer Fourier-Entwicklung G'/ D d C d n cos n' C e n sin n' / (973) für ' aus an beachte, dass hier d und nicht wie bisher d verwendet wird Ein Koeffizientenvergleich liefert unmittelbar a n D n d n für n D ; ; : : :; b n D n e n für n D ; ; : : :; und aus (97) erhält man dann Ur; '/ D d C r /n d n cos n' C e n sin n' / : (974) Die Fourier-Koeffizienten der Funktion G haben die Form d WD G/ d; d n WD G/ cos n d; e n WD G/ sin n d für n D ; ; : : : : (975) Beispiel Wir betrachten hier das dirichletsche andwertproblem (974) (975) auf der vorherigen Seite für die Laplace-Gleichung mit der speziellen andbedingung g cos '; sin '/ D cos '/ für ' : Unter Verwendung der Identität cos '/ D Ccos ' liefert ein Koeffizientenvergleich die Lösung Ur; '/ D C r cos ': Einsetzen der Fourier-Koeffizienten aus (975) in Darstellung (974) liefert nach einigen echnungen Folgendes: Satz 97 Für die Lösung des andwertproblems (977) (978) gilt mit den Notationen aus (976) auf der vorherigen Seite die Poisson-Formel Ur; '/ D r G/ d C r r cos ' / für r < ; ' : 973 Die Laplace-Gleichung auf einem Kreissektor 973 Separationsansatz Wir betrachten im Folgenden ein Dirichlet- andwertproblem für die Laplace-Gleichung auf einem Kreissektor mit Öffnungswinkel =b (b > ), adius und ittelpunkt im Ursprung In Polarkoordinatendarstellung (973) hat es die Form U r C r ' r C r D für r ; ' =b (976) U; '/ D G'/ für ' =b; (977) Ur; / D Ur; =b/ D für r : (978) Eine Familie von Lösungen der Differenzialgleichung (976) wird mit dem Separationsansatz Ur; '/ D Sr/ˆ'/ für r ; ' =b gewonnen Aus (976) erhält man so wie beim Kreis die separierten Gleichungen ˆ C ˆ D für ' =b; (979) r S C rs S D für r (97) mit einem noch zu spezifizierenden Separationsparameter Dazu gehören dann noch die andbedingungen ˆ/ D ˆ=b/ D : (97) Bei (979), (97) handelt es sich um ein Eigenwertproblem für eine gewöhnliche Differenzialgleichung zweiter Ordnung mit Nullrandbedingungen Die Eigenwerte und zugehörigen Eigenfunktionen lauten n D bn/ ; ˆn'/ D sinnb'/ für n D ; ; : : : : Lösungen der gewöhnlichen Differenzialgleichung (97) erhält man in der Form S n r/ D r bn für n D ; ; : : : : Superposition ergibt dann Ur; '/ D a n r bn sinnb'/ (97) mit noch an die andbedingungen anzupassenden Koeffizienten a n Hierzu gehen wir von einer Fourier- Entwicklung G'/ D b n sinnb'/ für ' =b (973)

5 6 Plato Teil XII Die Poisson-Gleichung aus Ein Koeffizientenvergleich liefert unmittelbar a n D bn b n für n D ; ; : : :; und (97) geht dann über in Ur; '/ D r /bn b n sinnb'/ (974) für ' =b; r r max : U D sin3'=/ Die Fourier-Entwicklung für die Funktion G von der speziellen Form (974) erhält man wie üblich durch ungerade Fortsetzung von G auf das Intervall Œ =b; 973 Einspringende Ecken Für b < ist die Lösung U aus (974) im Fall b nicht stetig differenzierbar Hierzu betrachtet man in (974) den ersten Summanden (obda sei b D und D ) U D U D Abb 8: andwertproblem für die Laplace- Gleichung auf dem Kreissektor ¹r cos '; r sin '/ j ' =3; < r º U r; '/ D r b sin b' für ' =b; r : Hier gilt so dass r U r; '/ D br b sin b' für ' =b; < r ; r U r; '/! für r! : Allgemein können bei Gebieten mit einspringenden Ecken in der Ableitung der Lösung Singularitäten auftreten Für zwei Werte von b sind in den Abbildungen 8 und 83 die Funktionen U r; '/ D r b sin b' für ' =b; r mit Hilfe von Niveaulinien dargestellt In Abbildung 8 geschieht dies für den Wert b D 3, in Abbildung 83 für den Wert b D Es ist 9 deutlich zu erkennen, dass sich in der zweiten Situation dort liegt eine einspringende Ecke vor die Höhenlinien nahe dem Ursprunge stark verdichten U D sin'=9/ U D U D Abb 83: andwertproblem für die Laplace- Gleichung auf dem Kreissektor ¹r cos '; r sin '/ j ' 9=; < r º

6 Abschnitt 98 Die Laplace-Gleichung auf beschränkten echteckgebieten Plato 6 98 Die Laplace-Gleichung auf beschränkten echteckgebieten Ziel der nachfolgenden Betrachtungen ist die Bestimmung von Lösungen u W Œ; L Œ;! der Laplace-Gleichung von der Form ux; y/ D Xx/Yy/ für < x < L; < y < (98) mit zweimal stetig differenzierbaren Funktionen X W Œ; L!und Y W Œ;!, wobei < L < und < < gilt Der Ansatz (98) führt auf u/x; y/ D X x/yy/ C Xx/Y y/ Š D für < x < L; < y < : Dies bedeutet X x/ Xx/ D Y y/ Yy/ für < x < L; < y < : (98) Für den oment sei hierbei Xx/ für x L und Yy/ für y angenommen, wobei man diese estriktion später auch wieder fallen lassen kann Vergleichbar der Situation in (83) führt dies auf die Bedingungen X x/ Xx/ D Y y/ Yy/ D s für < x < L; < y < (983) mit einer noch zu spezifizierenden reellen Konstanten s > Denkbar wäre hier auch die Zulassung positiver Konstanten s bei gleichzeitigem Verzicht der Quadratbildung Während der weiteren echnungen stellt sich jedoch heraus, dass sich damit keine weiteren Lösungen gewinnen lassen Daher werden die Betrachtungen gleich auf negative Konstanten s beschränken, wobei sich durch die Verwendung von s > anstelle von s > die Notation vereinfachen wird Die Darstellung (983) führt unmittelbar auf die beiden Gleichungen X x/ C s Xx/ D für < x < L; Y y/ s Yy/ D für < y < : Die allgemeinen Lösungen dieser gewöhnlichen Differenzialgleichungen sind von der Form X s x/ D a cossx/ C a sinsx/; x L; (984) Y s y/ D b coshsy/ C b sinhsy/; y : (985) Durch endliche oder abzählbare Überlagerung erhält man eine Klasse von Lösungen der Laplace-Gleichung, ux; y/ D X s> A s cossx/ C B s sinsx// C s coshsy/ C D s sinhsy// (986) für x L; y : Durch estriktion an die Wahl von s beziehungsweise Anpassung der Koeffizienten lassen sich dann wie üblich noch gegebene andbedingungen erfüllen Beispiel 98 Es wird das folgende andwertproblem für die Laplace-Gleichung betrachtet: u D ; x L; y ; u; y/ D ul; y/ D ; y ; ux; / D gx/; ux; / D ; x L: (987) Die Situation ist in Abb 84 dargestellt L x y u D u; / D g u; / D u; / D ul; / D Abb 84: Ein andwertproblem für die zweidimensionale Laplace-Gleichung Ansätze der Form X s x/y s y/ mit Funktionen X s und Y s aus (984) beziehungsweise (985) erfüllen die andbedingungen links und rechts, falls X s /Y s y/ D X s L/Y s y/ D für y : Das bedeutet X s / D A s D ; X s L/ D B s sinsl/ D ; was für sl ¹ ; ; 3; : : : º erfüllt ist Die untere andbedingung ist gleichbedeutend mit X s x/y s / D für x L Ý Y s / D C s D :

7 6 Plato Teil XII Die Poisson-Gleichung Damit gewinnt man Lösungen von der Form ux; y/ D a n sin n L x / sinh n L y / für x L; y : Nun müssen die Koeffizienten noch an die obere andbedingung angepasst werden Hierzu geht man von einer Fourier-Entwicklung aus Es gilt gx/ D c n sin n L x / für x L ux; / D a n sin n L x / sinh n L / für x L; und ein Koeffizientenvergleich liefert dann a n sinh n L / D c n für n D ; ; : : : : Die Fourier-Entwicklung der Funktion g gewinnt man wie üblich durch ungerade Fortsetzung auf das Intervall Œ L;, mit dem Ergebnis c n D L L g/ sin n L / d für n D ; ; : : : : Für die Darstellung der Lösung des vorgegebenen Problems (987) für die Laplace-Gleichung erhält man dann die Darstellung L ux; y/ D Kx; y; /g/ d (988) mit der Kernfunktion Kx; y; / D L für x L; y ; sinhn L y/ sinhn L / sin n L x / sin n L / :