Mathematik Formeln 1. und 2. Semester von Gerald Meier

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1 Mthemti Fomel. ud. Semeste vo Geld Meie Gudlge. Ailduge.. Sujetive Ailduge f( X) y Y X: y f.. Ijetive Ailduge Y, X ud f f Jedes Bild y f( X) ht geu ei Uild X..3 Bijetive Ailduge Die Aildug ist sujetiv ud ijetiv... Polyome ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) + 3 ( ) ( ) ( ) Komplee Zhle. Betg Z: + j Z c+ jd c + + d. EULER sche Fomel e e jϕ jϕ cosϕ+ jsi ϕ cosϕ jsi ϕ jϕ jϕ jϕ Re jϕ jϕ jϕ j( e e ) Im( e ) cosϕ e + e e siϕ - Seite -

2 - Geld Meie: Mthemti Fomel -.3 Agumet ct fü >, Z: + j g( Z) ct + Π fü <, > ct < Π fü <, Z g g( Z) g( N) N.4 Wuzel ϕ + Π j jϕ Z z e Z z e,,..., 3 Vetoe 3. Podute vo Vetoe 3.. Ds Stdd Slpodut y, : y y, : y cosα 3.. Ds Vetopodut y y y 3 3 y y y y : y3 y y y: y siα 3..3 Ds Tesopodut y y L y y y L y T y: y ( y y L y) M M M O M y y L y m m m m 3. SCHMIDT sches Othoomlisieugsvefhe w : u w : u u, v v,,3,..., j j j wj vj:, w j j,,..., - Seite -

3 - Geld Meie: Mthemti Fomel HESSE sche Nomlfom Eie Eee sei gegee i de Fom de llgemeie Eeegleichug + y + cz d heiße de Nomleveto (e steht seecht uf de Eee). De Nomleeiheitsveto (Eiheitsomle) wid eechet duch De Veto : (,, ) : ± c T Dmit ommt m zu HESSE sche Nomlfom, d, E 4 Mtize 4. Mti-Multiplitio Rg De Rg de Mti A g A ist die Dimesio des vo de Zeilevetoe (zw. Spltevetoe) ufgespte Uteums. A ud A T he de gleiche Rg: g A g A T. 4.3 Detemite 4.3. Detemite zweite Odug 4.3. Detemite ditte Odug (Regel vo SARRUS) Detemite -te Odug (Etwiclugsstz vo LAPLACE) z.b. Etwiclug ch de 3-te Zeile Die Vozeiche egee sich gemäß des Tleus Seite 3 -

4 - Geld Meie: Mthemti Fomel M M M L L L Elemete Umfomuge Elemete Umfomuge eie Mti wie sich folgedemße uf die Detemite us:. Vetuscht m zwei Zeile (Splte), so ädet sich ds Vozeiche de Detemite.. Multipliziet m eie Zeile (Splte) mit de Zhl, so multipliziet sich die Detemite mit. 3. Additio eies Vielfche eie Zeile (Splte) zu eie dee Zeile (Splte) ädet de Wet de Detemite icht. 4.4 Bsis- ud Kooditetsfomtio Es seie A ( L ) B L mit F A die Bsis A uf die Bsis B : B F A. ud Bse eies Vetoums. Die Mti F ildet Bsiswechsel Mti de Bsistsfomtio Mti de Kooditetsfomtio A B F B A B A F A B 4.5 Ke ud Bild 4.5. Ke (Nullum) vo f Ke f: v V: f( v ) V { } 4.5. Bild (Bildum) vo f Bild f : w W: w f( v) ud v V W { } Dimesiosfomel dim Bild A + dim Ke A dim V fü edlich dimesiole Vetoäume: dim Bild f + dim Ke f dim V Sätze L(V,W) f ijetiv dim V dim Bild f f sujetiv dim W dim Bild f f ijetiv dim V dim W T B A S T A B - Seite 4 -

5 - Geld Meie: Mthemti Fomel - 5 Folge ud Reihe 5. Kovegeziteie vo Reihe 5.. Quotieteiteium vo D ALEMBERT + oveget < q < K+ + K ist uestimm + diveget > q > 5.. Wuzeliteium vo CAUCHY oveget < q < + + K+ + K ist uestimm diveget > q > 5..3 Iteglvegleichsiteium vo CAUCHY f: [ m,+) R stetige, mooto fllede, positive Futio ud : f ud fd m + he dssele Kovegezvehlte. m Fehleeischließug des Reiheestes 5..4 LEIBNIZ-Kiteium Eie lteieede Reihe ( ) : fd + fd N N N N N, ( > ), ist oveget, we 5..5 Kovegezvehlte vo Potezeihe Gegee eie Potezeihe vo de Fom P : ρ lim ρ lim + eie mootoe Nullfolge ist. <ρ : Die Reihe ist solut oveget >ρ : Die Reihe ist diveget 5. Wichtige Folge ud Reihe 5.. Wichtige Folge + e! + e!! + e > fest - Seite 5 -

6 - Geld Meie: Mthemti Fomel -! e e < < fest 5.. Wichtige Reihe 5... Geometische Reihe Die geometische Reihe q q < q q Die edliche geometische Reihe ovegiet gemäß ovegiet geu d, we q < ist, gege de Gezwet + q q q 5... Hmoische Reihe Die hmoische Reihe ovegiet geu, we > ist. 6 Diffeetilechug 6. Aleitugsegel 6.. Summeegel ( f ± g)( ) f ( ) ± g ( ) 6.. Podutegel f g f g + f g 6..3 Quotieteegel f f g f g ( ) g g ( ) ( ) ( ) ( ) 6..4 Ketteegel gof g f f [ ] 6..5 Aleitug de Umehfutio ( f )( y) f f f y [ ] ( ) 6..6 Logithmisches Diffeeziee f f l f q. - Seite 6 -

7 - Geld Meie: Mthemti Fomel - 6. Mittelwetstz de Diffeetilechug ( ζ)( ) ζ (, ) [ + ( )]( ) θ θ, f f f f f f 6.3 L HOSPITAL-Regel f f lim lim g g lim f ( ) g ( ) f g Stttdesse: lim ode lim g f lim f ( ) g ( ) Stttdesse: lim f ( g ) f g lim ( f ) g Umfomug: ( ) g l[ f ] lim f lim e e g lim ( f ) lim g lim lim g lim [ ] Umfomug: g l f f e e g lim ( f ) Umfomug: g l f f e e 6.4 TAYLOR-Polyome 6.4. TAYLOR-Polyom TAYLOR-Polyom -te Gdes de Futio f( ) im Etwiclugsput mit de Dstellug ( T ) f! 6.4. LAGRANGE-Restglied Flls die (+)-te Aleitug im Etwiclugsput eistiet so ht ds Restglied die LAGRANGE-Dstellug R ( ; ) Itegl-Restglied ( ) + ( + )! [ ] ( + ) ( ζ) ζ: θ θ (, ) f + Flls die (+)-te Aleitug im Etwiclugsput eistiet so ht ds Restglied die Itegl-Dstellug R! ( + ( ; ) ) () t f t dt - Seite 7 -

8 - Geld Meie: Mthemti Fomel Wichtige TAYLOR-Reihe mit LAGRANGE-Restgliede + θ e + e! ( + )! θ (, ) + ( ) ( ) ( ) + + l + ( + ) ζ ζ: + θ ( -) θ (, ) + ( ) si cos θ ( + )! ( + 3)! θ (, ) ( ) cos cos θ! ( + )! θ (, ) 6.5 Wichtige Aleituge ( l ) ( ) + e ct H + p p pl e pl p p l log log e l l ( ) ( e ) l l ( ) ( e ) l ( + l ) ( csi H ) ( ccos ) H ccot H + 7 Iteglechug 7. Itegtiosegel 7.. Lieität λ f + µ g d λ fd+ µ gd 7.. Ptielle Itegtio f g ( d ) f g f gd 7..3 Sustitutiosegel g g g [ ] () fudu fgt gtdt [ ] () f( u) du f g( t) g t dt g [ ] () fd fgt gtdt g isesodee: f d f f d - Seite 8 -

9 - Geld Meie: Mthemti Fomel Itegtio de Umehfutio ( y) f y dy y f y f d f 7..5 Aleitug des Nees im Zähle f + f d l f C 7..6 Symmetie Putsymmetie: f( ) f fd Spiegelsymmetie: f f f d f d 7. Mittelwetstz de Iteglechug m fd M m f M, ( ) ( ) [ ] fd f ( ζ) ζ [, ] ( ζ) ζ [, ] f g d f g d 7.3 Fläche- ud Volumemomete, Schwepute 7.3. Flächemomet M : ( f g ) d M [ f g ][ f g ] d ( f g y: + ) d 7.3. Schweput i R T :, ( y ) s s s Volumemomet s M y A Vq d q: Queschittsfläche M : q d Alog M y ud M z Schweput i R 3 T :,, ( y z ) s s s s s M y V s s M A y A:Flächeihlt de Fläche My z V M V z s V:Volume des Köpes - Seite 9 -

10 - Geld Meie: Mthemti Fomel Wichtige Itegle f + f d l f C d l csi H ccos H ct + H c cot + H 8 Ahg tigoometische Futioe Hypeelfutioe i i sih ( e e ) ( i i ) cosh ( e e + ) si e e cos e + e - Seite -