Mathematik UND/ODER Verknüpfung Ungleichungen Betrag Intervall Umgebung Stefan Gärtner 004
Gr Mathematik UND/ODER Seite UND Verknüpfung Kommentar Aussage Symbolform Die Aussagen Hans kann schwimmen p und Hans kann Rad fahren q lassen sich durch das Bindewort und zu der Aussage verbinden. Hans kann schwimmen und Hans kann Rad fahren p Ÿq Man sagt, die neue Aussage entsteht durch Verknüpfung der beiden Einzelaussagen. Der Wahrheitswert dieser zusammengesetzten Aussage hängt vom Wahrheitswert der beiden Einzelaussagen ab. Die Aussage (p Ÿ q) ist genau dann wahr, wenn sowohl p als auch q wahr sind. Beispiel 1: Nur wenn Hans sowohl schwimmen als auch Rad fahren kann, ist die Aussage Hans kann schwimmen und Hans kann Rad fahren wahr. Ist eine der beiden Teilaussagen nicht wahr, so ist auch die Verknüpfung nicht wahr. Beispiel : Kann Hans nicht schwimmen, so ist die Aussage Hans kann schwimmen und Hans kann Rad fahren insgesamt falsch, auch wenn er Rad fahren kann. Die Wahrheitswertetafel gibt einen entsprechenden Überblick: p q pÿq w w w w f f w w f w f f w= wahr f = falsch Beispiel 1: p wahr, q wahr fi (p Ÿ q) wahr. Beispiel : p wahr, q falsch fi(p Ÿ q) falsch. Beispiel : (p Ÿ q) wahr fi p wahr und q wahr.. Beispiel 4: (p Ÿ q) falsch fi p falsch oder q falsch. ODER Verknüpfung Kommentar Aussage Symbolform Die Aussagen Freda kann Englisch sprechen p und Freda kann Spanisch sprechen q lassen sich durch das Bindewort oder zu der Aussage verbinden. Freda kann Englisch sprechen oder Freda kann Spanisch sprechen p q Man sagt, die neue Aussage entsteht durch Verknüpfung der beiden Einzelaussagen. Der Wahrheitswert dieser zusammengesetzten Aussage hängt vom Wahrheitswert der beiden Einzelaussagen ab. Die Aussage (p q) ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist. Beispiel 1: Kann Freda zwar Englisch sprechen, aber nicht Spanisch sprechen, so ist die Aussage Freda kann Englisch sprechen oder Freda kann Spanisch sprechen trotzdem wahr. Auch wenn beide Teilaussagen wahr sind, ist die Gesamtaussage wahr.
Gr Mathematik UND/ODER Seite Beispiel : Nur Freda sowohl Englisch als auch Spanisch sprechen. Die Aussage Freda kann Englisch sprechen oder Freda kann Spanisch sprechen ist wahr. Die Wahrheitswertetafel gibt einen entsprechenden Überblick: p q P q w w w w f w w w w w f w w= wahr f = falsch Beispiel 1: p wahr, q wahr fi (p q) wahr. Beispiel : p wahr, q falsch fi(p q) wahr. Beispiel : (p q) wahr fi p wahr oder q wahr oder beide wahr. Beispiel 4: (p q) falsch fi p falsch und q falsch. ENTWEDER - ODER Umgangssprachlich wird oder häufig auch im Sinn von entweder-oder benutzt. Beispiel: Ich bleibe zu Hause oder ich gehe ins Kino. Beachten Sie: Das mathematische ODER meint nie das umgangssprachliche entweder oder, sondern das oder, das auch das sowoghl als auch einschließt. Beispiel: Ich hätte gern einen Lottogewinn oder einen reichen Mann Anwendungen auf Gleichungen und Ungleichungen: 1. Produktsatz (ODER - Verknüpfung) (x )(x +) = 0 (x ) = 0 (x +) = 0 x = x = - Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. x kann nicht gleichzeitig und sein, aber einer der beiden Werte reicht, um das Prodkt zu 0 zu machen.. Betragsgleichung (ODER - Verknüpfung)) x = 4 x = 4 x = -4. Betragsungleichung (UND - Verknüpfung)) x < 4 x > -4 Ÿ x < 4-4 < x < 4 Beide Werte (4 oder -4) machen aus der Betragsgleichung eine wahre Auasage Die Betragsungleichung ist wahr, wenn x zwischen -4 und + 4 liegt, also wenn x sowohl größer als -4 und zugleich kleiner als +4 ist. Das drückt die UND Verknüpfung aus.
Gr Mathematik Ungleichungen Seite 4 Ungleichungen Als formalisierte Aussageformen treten in der Mathematik neben Gleichungen auch Ungleichungen auf. Beispiel: x + 1 < 4x -x 1 < x + 4 < x : < x L = {xœd x>} Beim Lösen von Ungleichungen geht man bis auf einen Sonderfall genau so vor, wie beim Lösen von Gleichungen. Der Unterschied ist in der folgenden Regel zusammengefasst: Regel: Bei der Multiplikation (Division) einer Ungleichung mit einer negativen Zahl muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden. Beispiel: x + 1 < 4x -4x x + 1 < -1 x < 4 : ( )!! x >!! L = {xœd x>} Begründung der Regel am Beispiel: 1. Beispiel: < (-1). Beispiel: < (-1) > > Graphische Deutung von Linearen Ungleichungen: Die Ungleichung x + 1 < 4x kann man graphisch deuten. Man zeichnet die beiden Geraden y = x + 1 und y = 4x. Zur Lösungsmenge gehören nun alle x-werte, für die die Gerade g 1 unterhalb der Geraden g verläuft. (also g 1 (x) < g (x). Intervalle Definition: 1. Die Menge {xœ a < x < b} = ]a; b[ heißt offenes Intervall von a bis b. Die Randwerte a und b gehören nicht zum Intervall.. Die Menge {xœ a x b} = [a; b] heißt geschlossenes Intervall von a bis b. Die Randwerte a und b gehören zum Intervall. Darstellung am Zahlenstrahl: offenes Intervall von -1 bis ]-1; [ geschlossenes Intervall von 1 bis 4 [1; 4] Betrag Gleichung Ungleichung Umgebung
Gr Mathematik Betrag Gleichung Ungleichung - Umgebung Seite 5 Definition: Der Betrag einer Zahl a ist der Abstand dieser Zahl zur Zahl 0. a,falls a 0 a = - a, falls a < 0 Beispiele: = ; - < 1. Mit der Gleichung x = zur Zahl 0 genau beträgt, also die Zahlen + und -. x = x = x = -. Mit der Unleichung x < zur Zahl 0 kleiner als ist, also die Zahlen, die zugleich größer als - und kleiner als + sind. x < x < Ÿ x > -. Mit der Unleichung x > zur Zahl 0 größer als ist, also die Zahlen, die kleiner als - oder größer als + sind. x > x > x < - 4. Mit der Unleichung x 5 = zur Zahl 5 genau beträgt, also die Zahlen und 8. x 5 = x 5 = x 5 = - x = 8 x = 5. Mit der Unleichung x 5 < zur Zahl 5 kleiner ald ist, also die Zahlen, die größer als und kleiner als 8 sind. x 5 < x 5 < Ÿ x 5 > - x < 8 Ÿ x > Definition: In diesem Fall spricht man von der Umgebung um 5 mit dem Radius 5 ist der Mittelpunkt des ofenen Intervalls ]; 8[, ist der Radius des Intervalls. U (5) = ]; 8[ = {xœ <x<8} und schreibt kurz U (5) = ]; 8[
Gr Mathematik Betrag Gleichung Ungleichung - Umgebung Seite 6 Aufgaben Aufgabe 1 (Ungleichungen) Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge. a) (4x 1) (x 5) 7 (x ) + b) - (4 x) + 5 (x ) > ( + 4x) c) (x +5) > (x 4) + (4x+) d) x (x 7) 1 > (x ) 4x e) (x 7) 5 (x 1) > 6 (x 6) +4 f) (x )(x+) < (x + 1)(x 1) + x g) 5 (x +) x > x 4(x+4 h) (x 4) + (x 6) (x ) + 9 i) (x +) (x 7) x < x 51 j) (x + ) > (x )(x + 4) + 1 k) 7 (x ) 4 (x +) 5( 6x) l) (x 5) + x > (x 1)(x + 7) 1 Aufgabe (Ungleichungen) Bestimmen Sie graphisch die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen und Ungleichungen: a) x < x + 5 x = x + 5 x > x + 5 b) 1 4 1 x + 1< x + x + 1 = x + 4 1 x + 1 > x + 4 7 7 7 c) 11 x + 1< x + 5 11 x + 1 = x + 5 11 x + 1 > x + 5 1 d) x + 4 < x 1 x + 4 = x 1 x + 4 > x
Gr Mathematik Betrag Gleichung Ungleichung - Umgebung Seite 7 Aufgaben Aufgabe (Betrag) Stellen Sie die Lösungsmenge jeweils auf dem Zahlenstrahl dar: a) x < b) x > 4 c) x- < 4 d) x +1 < e) x + 1 f) x 4 > Aufgabe 4 (Betrag) Geben Sie die Lösungsmenge auf verschiedene Arten an Beispiel: x + 5 < L = {xœ -8<x<-} = ]-8; -[ = U (-5) a) x + 1 < L = b) x - 1 L = c) x + 5 > L = d) x - L = e) x + L = f) -x < 1 L = g) x + 6 < L = Aufgabe 5 (Betrag) Was ist richtig, was ist falsch formuliert? Gegeben ist die Betragsungleichung x < Es entsteht eine wahre Aussage, wenn für x Zahlen eingesetzt werden, a) deren Abstand zur Zahl kleiner als ist. b) die größer als - und kleiner als sind. c) die von einen kleineren Abstand als haben. d) die zwischen 1 und 5 liegen. e) deren Abstand zu. kleiner als ist