Versuch 35: Speckle Norbert Lindlein nstitut für Optik, nformation und Photonik (Max-Planck-Forschungsgruppe) Universität Erlangen-Nürnberg Staudtstr. 7/B, D-958 Erlangen E-mail: norbert.lindlein@optik.uni-erlangen.de
Gliederung Beschreibung einer Welle und ntensitätsberechnung nterferenz zweier kohärenter Wellen Vielstrahlinterferenz Entstehung von Speckle Objektive Speckle Subjektive Speckle Anwendung von Speckle in der Augenoptik
Beschreibung einer Welle und ntensitätsberechnung Anmerkung: Die physikalische Messgröße an sich ist reell! Für die Rechnungen mit Wellen wird aber die komplexe Schreibweise vorgezogen! Lineare Operationen wie z.b. Addition, Subtraktion, ntegration der sogenannten komplexen Amplitude sind ohne Probleme erlaubt, da danach einfach der Realteil genommen werden kann. Aber Vorsicht bei nichtlinearen Operationen wie Betragsbildung! 3
Beschreibung einer Welle und ntensitätsberechnung Verallgemeinerte monochromatische Welle (d.h. eine definierte Wellenlänge bzw. Farbe ): u ( x, y, z, t) u( r, t) A() r cos( Φ() r ω t) Re A() r Re uˆ () r e iω t i e iφ r mit u ˆ Φ ( r) ω t () r A() r e ; Φ k L; L n() r π n Dabei muss gelten: Φ k L nk λ A: Amplitude (langsam veränderlich mit dem Ort), Φ: Phase, L: optische Weglänge, û: stationäre komplexe Amplitude Φ, L sind reelle Funktionen. A ist hier auch reell, kann aber im vektoriellen Fall (wenn Polarisation wichtig ist) auch komplex sein. C ds 4
Beschreibung einer Welle und ntensitätsberechnung Berechnung der ntensität einer Welle: Wellenlänge von sichtbarem Licht ist ca..5 µm (blau-grün) Frequenz νc/λ(3. 8 m/s)/(.5. -6 m)6 THz Selbst extrem schnelle Detektoren mit ntegrationszeiten von weniger als µs (normal ist z.b. ms für Videofrequenz) mitteln die ntensität über Millionen von Schwingungen des Lichts Zeitmittelwert der ntensität wird bei Licht detektiert! Die zeitabhängige ntensität wird hier als das Quadrat des Realteils von u definiert (streng genommen fehlt hier noch ein Proportionalitätsfaktor, den wir uns aber in u integriert denken). 5
Beschreibung einer Welle und ntensitätsberechnung Zeitmittelwert der ntensität: T T T T () r lim ( Re{ u( r, t) }) dt lim Re u() r ) T [( { ()}) ( { ()}) ] Re u r + m u r u() r ) ) T { } ) iω t e dt Der Zeitmittelwert der ntensität ist also proportional zum Betragsquadrat der stationären komplexen Amplitude! 6
nterferenz zweier kohärenter Wellen Wir betrachten zwei kohärente, monochromatische (d.h. gleiche Wellenlänge λ) Wellen mit den stationären komplexen Amplituden û und û : ) u ) u iφ () () ( r) r A r e iφ () () () r r A r e Bei der nterferenz von kohärentem Licht werden die komplexen Amplituden addiert. Die messbare ntensität (Zeitmittelwert der ntensität) ist proportional zum Betragsquadrat der Summe der komplexen Amplituden! 7
nterferenz zweier kohärenter Wellen ) ) u r + u r iφ iφ iφ iφ A e + Ae A e + Ae A + A + A A cos( Φ Φ ) + + cos( Φ Φ ) cos r r + V r cos ΔΦ r + () r () () ( + ) + ( Φ Φ ) () ( )[ ( ) ( ( ))] mit + (Summe der ntensitäten der beiden Einzelwellen) und ΔΦ Φ Φ V + (Phasendifferenz zwischen beiden Wellen) (Visibility oder Kontrast der nterferenzerscheinung) 8
9 nterferenz zweier kohärenter Wellen oder V V Kontrast V kann aufgrund seiner Definition nur zwischen und liegen: ( ) ( ) ( ) ( ) V V V V V V + + + + min max min max V gibt auch tatsächlich den Kontrast der nterferenzstreifen an:
nterferenz zweier kohärenter Wellen nterferenz zweier ebener Wellen (Zwischenwinkel.45 o, λ633 nm): mm mm mm mm V.5 V.94. V.57. V.
nterferenz zweier kohärenter Wellen Der Kontrast ist also auch bei stark unterschiedlichen ntensitäten der Einzelwellen noch relativ groß (z.b.. V.). Ein schwaches Signal kann mit Hilfe einer starken Referenzwelle detektiert werden. Andererseits heißt dies aber auch, dass eine schwache Störwelle (z.b. Streulicht an Kratzern) eine kontrastreiche Störung im nterferogramm liefern kann!
Vielstrahlinterferenz Werden viele kohärente Wellen überlagert, so müssen analog zur Zweistrahlinterferenz die stationären komplexen Amplituden der Einzelwellen addiert werden. Um die ntensität (d.h. genauer den Zeitmittelwert der ntensität) zu erhalten, muss am Schluss wieder das Betragsquadrat gebildet werden. ges () r uˆ () r A () r j j j j iφ e j r
Entstehung von Speckle Fällt kohärentes Licht auf eine optisch rauhe Oberfläche, so wird es dort gestreut und die gestreuten Wellen überlagern sich kohärent als Vielstrahlinterferenzmuster. Die Strahlen, die unter dem gleichen Winkel gestreut werden, haben trotzdem unterschiedliche Phase (und Amplitude)! 3
Entstehung von Speckle Random Walk erklärt, dass die wahrscheinlichste ntensität bei Null liegt. m Achtung: Hier symbolisieren die Pfeile nicht wie vorher die Strahlrichtungen, sondern die komplexen Amplituden der Einzelwellen! A i Φ i i û i Re 4
Objektive Speckle Objektive Speckle: Kohärentes Licht wird an einer rauhen Fläche gestreut und mit einem Detektor (z.b. Schirm/Wand) im Abstand z beobachtet. Der Durchmesser des beleuchteten Bereichs der streuenden Fläche sei a. x x P( x a/) z a Q( x) Q( x Δx) P( x - a/) 5
Objektive Speckle x x OPD OPD OPD OPD ( PQ ) ( PQ ) ( P Q ) ( P Q ) z z z z a + 4 + a + 4 + z + a + Δx z + a Δx a 8z a 8z z + z + a + Δx z a Δx z OPD OPD ( Q ) OPD( PQ ) OPD( P Q ) ( Q ) OPD( PQ ) OPD( P Q ) P( x a/) a P( x - a/) z Q( x) Q( x Δx) a Δx z a z ( Q ) ( Q ) Δx ΔOPD OPD OPD 6
Objektive Speckle Da die stochastische Phase der rauhen Oberfläche in beide Weglängendifferenzen gleichermaßen eingeht, ist ΔOPD wirklich die Weglängendifferenz zwischen den beiden Punkten Q und Q aufgrund ihrer Entfernung Δx. Annahme: n Q war konstruktive nterferenz. Damit nun in Q destruktive nterferenz ist (Grenze des Speckle-Korns), muss der Gangunterschied zwischen beiden Punkten gerade eine halbe Wellenlänge sein. a λ λ z ΔOPD OPD( Q ) OPD( Q ) Δx Δx z a Der Durchmesser des objektiven Speckle-Korns ist also λz/a. a: Durchmesser des beleuchteten Bereichs der streuenden Fläche z: Entfernung zwischen streuender Fläche und Detektor 7
Subjektive Speckle Subjektive Speckle: Die streuende Fläche wird mit einer Linse auf den Detektor abgebildet. P P a P P l l Radius der Airy-Disc eines Bildpunktes: r Airy.6 λ λ l'. NA a 8
Subjektive Speckle Bidlpunkte P und P überlappen und interferieren gerade dann noch, wenn Maximum des einen Bildpunkts mit. Minimum des Δx zweiten Bildpunkts zusammenfällt. Der maximale Durchmesser des subjektiven Speckle-Korns ist also: l' Δx rairy.44λ a Aufgrund der Abbildung entspricht dies in der Objektebene einem l Durchmesser von.44λ. st der ausgeleuchtete Bereich kleiner, sieht man kein Speckle. a ntensity (normalized)...3.4.5.6.7.8.9 -. -.6 -...6. x-axis (mm) 9
Subjektive Speckle Subjektive Speckle werden natürlich auch produziert, wenn man eine streuende Mattscheibe (z.b. Wand) mit einem aufgeweiteten Laser beleuchtet und mit dem bloßen Auge (Hornhaut und Augenlinse wirkt dann als effektive Linse) betrachtet. Je nach dem Durchmesser a der risblende des Auges haben die Speckle auf der Netzhaut unterschiedliche Größe: dunkler Raum risblende maximal offen kleine Speckle heller Raum risblende minimal große Speckle Bringt man eine kleinere künstliche Blende (z.b. durch zwei eng anliegende Finger blicken) von außen an, so können die Speckle noch größer werden.
Anwendung von Speckle in der Augenoptik Fehlsichtigkeit (Weitsichtigkeit, Kurzsichtigkeit, Astigmatismus) kann mit Hilfe des subjektiven Speckle detektiert werden, indem der Kopf horizontal oder vertikal bewegt wird. Wand Augenposition Augenposition scheinbare Position der Speckle-Körner bei Weitsichtigem scheinbare Position der Speckle-Körner bei Kurzsichtigem
Anwendung von Speckle in der Augenoptik Normalsichtiger: Bei einem vollkommen Normalsichtigen liegen die Wand und die scheinbare Position der Speckle-Körner in der gleichen Ebene, so dass bei einer Kopfbewegung keine Bewegung des Speckle-Musters relativ zur Wand resultiert. Kurzsichtiger: Ein Kurzsichtiger sieht nahe gelegene Objekte scharf. Deshalb liegen für ihn die Speckle-Körner scheinbar vor der Wand und bei einer Bewegung des Kopfes bewegt sich das Speckle-Muster relativ zur Wand in entgegen gesetzter Richtung zur Kopfbewegung. Weitsichtiger: Ein Weitsichtiger sieht ferne Objekte scharf. Deshalb liegen für ihn die Speckle-Körner scheinbar hinter der Wand und bei einer Bewegung des Kopfes bewegt sich das Speckle-Muster relativ zur Wand in gleicher Richtung wie der Kopf.
Anwendung von Speckle in der Augenoptik Astigmatismus: Bei Astigmatismus hat das Auge in unterschiedlichen Ebenen zwei senkrecht zueinander liegende Brennlinien. Deshalb liegen die Speckle entlang einer Linie senkrecht zur Blickrichtung scheinbar vor der Wand und entlang einer senkrecht dazu gelegenen Linie (wiederum senkrecht zur Blickrichtung) scheinbar hinter der Wand. Bei einer Kopfbewegung entlang dieser beiden Linien bewegt sich das Speckle-Muster also einmal in gleicher Richtung wie der Kopf und einmal entgegen der Richtung der Kopfbewegung. 3