Kursprüfung Methoden der VWL Klausurteil Dynamische Methoden der VWL (Prof. Dr. Lutz Arnold) Sommtersemester 2013 6.8.2013 Bitte gut leserlich ausfüllen: Name: Vorname: Matr.-nr.: Wird vom Prüfer ausgefüllt: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 Punkte Wichtige Hinweise: Bearbeiten Sie 6 der 8 Aufgaben nach Ihrer Wahl. In jeder der Aufgaben sind maximal je 10 Punkte erreichbar. Machen Sie bei Ihren Antworten von allen Zahlenangaben Gebrauch (keine allgemeinen Lösungen oder Zwischenschritte!). Notation und Symbole sind aus der Vorlesung übernommen. Die Bearbeitungszeit beträgt für die Klausurteile Dynamische Methoden und Quantitative Methoden zusammen 90 Minuten. Zugelassenes Hilfsmittel: nicht-programmierbarer Taschenrechner. Bitte überprüfen Sie vor Beginn der Bearbeitung, ob Ihr Aufgabenteil alle Seiten enthält. Er beginnt mit Seite 1 und endet mit Seite 9. 1
Aufgabe 1: Sparen Geld kann zum festen Zins von r = 10% pro Jahr angelegt werden. Formulieren Sie die DGL, die den Zusammenhang zwischen den Vermögensniveaus x t 1 und x t in aufeinander folgenden Jahren angibt (wenn das gesamte Vermögen stets komplett wieder angelegt wird). Leiten Sie die allgemeine Lösung der DGL aus Aufgabenteil mittels des Versuchs mit x t = Aλ t her. Wie lautet die Lösung für gegebenes x 0? Wie viele Jahre dauert es, bis aus einem Anfangsvermögen von e 100.000 ein Vermögen von e 1 Mio. wird? Wie entwickelt sich das Vermögen, wenn die Zinserträge nicht wieder angelegt, sondern komplett abgehoben werden? 2
Aufgabe 2: Stabilität eines Marktes Nachfrage und Angebot in einem Markt lauten: D t = 100 4 p t S t = 50 + p t. Die Preisanpassung erfolgt, ausgehend vom Startwert p 0 = 8, gemäß p t+1 p t = 1 10 (D t S t ). Berechnen Sie den Preis p t, der den Markt räumt (d.h. zu D t = S t führt). Leiten Sie aus den Formeln für D t, S t und die Preisanpassung eine DGL in p t her. Eliminieren Sie die Konstante aus der DGL in Aufgabenteil. Wie hoch ist der Mittelwert von p t, der die DGL aus Aufgabenteil erfüllt? Was lässt sich aus der DGL aus Aufgabenteil über das dynamische Verhalten des Preises (Stabilität, Monotonität) ablesen? Berechnen Sie p t und p t für t = 1, 2, 3. 3
Aufgabe 3: Logistische Gleichung Betrachten Sie die logistische Gleichung: x t = 3,99x t 1 (1 x t 1 ). Bei welchem Wert erreicht die Funktion auf der rechten Seite der Gleichung ein Maximum? Überprüfen Sie die Bedingung zweiter Ordnung. Wie hoch ist der Funktionswert beim Maximum? Welche Ober- und Untergrenzen für x t ergeben bei gegebenem Startwert x 0 mit 0 < x 0 < 1 aus Ihrer Antwort zu Aufgabenteil? Warum? Wie hoch ist die Steigung der Funktion auf der rechten Seite der logistischen Gleichung im Ursprung? Bei welchem positiven x-wert schneidet die Funktion die 45-Grad-Linie? Wie hoch ist die Steigung in diesem Punkt? Illustrieren Sie den Verlauf der Funktion anhand der üblichen Grafik mit x t 1 und x t auf den Achsen. Illustrieren Sie, dass x t nicht gegen den Schnittpunkt aus Aufgabenteil konvergiert, wenn es in der Nähe davon startet. 4
Aufgabe 4: Lineare DGL 2. Ordnung Wie lautet die lineare DGL 2. Ordnung ohne Konstante? Mit Lösungen welcher Form probiert man es? Leiten Sie die quadratische Gleichung her, die die Eigenwerte λ der DGL bestimmt. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit man zwei verschiedene reale Eigenwerte erhält? Wie lautet die allgemeine Lösung der DGL? (Kein Beweis nötig.) Berechnen Sie: Ist die Lösung aus Aufgabenteil für a 1 = 3 4 und a 2 = 5 64 stabil? 5
Aufgabe 5: Stochastische lineare DGL 1. Ordnung Betrachten Sie die stochastische lineare DGL 1. Ordnung x t = ax t 1 + ε t. Ermitteln Sie x 1, x 2 und x 3 durch iteratives Einsetzen. Welche Lösung der DGL lässt sich anhand Ihrer Antwort zu Aufgabenteil erkennen? Beweisen Sie die Richtigkeit der Formel aus Aufgabenteil durch vollständige Induktion. 6
Aufgabe 6: Aktienkurs und Fundamentalwert Seien x t und ε t der Kurs bzw. die Dividende einer Aktie und r der risikolose Zins. Was wird darüber angenommen, wann die Dividende ausgezahlt bzw. die Aktie gehandelt wird? Welches Vermögen resultiert aus dem Kauf einer Aktie und aus der festverzinslichen Anlage des dazu benötigten Geldes? Formulieren Sie die Gleichung, die besagt, dass ein jeweils gleiches erwartetes Vermögen aus Anlage resultiert. Nehmen Sie an, dass die Dividende konstant ist: ε t = ε. Welcher konstante Kurs x t (= x t+1 ) löst die DGL aus Aufgabenteil? Wie lautet die eindeutige beschränkte Lösung allgemein, d.h. wenn ε t nicht konstant ist (keine Herleitung notwendig)? 7
Aufgabe 7: Cake eating Betrachten Sie das folgende dynamische Optimierungsproblem (ohne Diskontierung): mit gegebenem x 0. max {c t+i,x t+i } 11 i=0 11 i=0 ln c t+i u.d.n.: x t+1 = x t c t Stellen Sie die Bellman-Gleichung für dieses Problem auf. Leiten Sie aus der Bellman-Gleichung die beiden notwendigen Optimalitätsbedingungen her. Leiten Sie aus den notwendigen Bedingungen aus Aufgabenteil eine DGL in c t her. Wie hoch ist c t für t = 0,..., 11? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe des Ergebnisses aus Aufgabenteil. Interpretieren Sie das Problem als Cake-eating -Problem. Was besagt in dieser Interpretation die Lösung aus Aufgabenteil? 8
Aufgabe 8: Differentialgleichung Betrachten Sie die Differentialgleichung dx(t) dt = ax(t). Mit welchem Versuch löst man die Differentialgleichung? Zeigen Sie, dass der Versuch zu einem Ergebnis führt. Welcher Eigenwert ergibt sich dabei? Zeigen Sie, wie sich die Konstante in der Lösung durch einen Startwert x(0) bestimmen lässt. Wie entwickelt sich die Lösung x(t) für x(0) > 0 und a > 1? Um welchen Faktor wächst x(t) zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten t und t + 1? 9