4. Kapitel. Summen aus Quadraten und höheren Potenzen. 4.. Def. und Satz. ( Ein Tripel (x, y, z N 3 heißt pythagoräisches Tripel, wenn es die Gleichung x + y = z erfüllt. (Pythagoras, ca. 580 500 vor ZR. ( Man erhält alle pythagoräischen Tripel (x, y, z mit (x, y =, x durch wobei x = ab, y = a b, z = a + b, (a, b =, a > b > 0 und a + b mod. Beweis. Die Einschränkungen (x, y = und x sind unerheblich, denn a aus < d x, y folgt d z, also d z, b sind x und y beide ungerade, dann hat x + y die Gestalt 4c +. Dies kann kein Quadrat sein. Sei nun ( x + y = z mit den obigen Bedingungen an x und y. Dann ist z ungerade, also z y und z + y ganz ( z y und, z + y =. Denn wenn ein p beiden Zahlen teilt, dann auch y und z, und somit x. Aus ( folgt ( x z + y = z y. Wegen der Teilerfremdheit sind nach Satz.4 beide Zahlen selbst Quadrate. z + y = a z y, = b, x = ab. wobei a > b > 0, (a, b =, a + b a + b = z (. Sind umgekehrt a und b wie angegeben, dann gilt x + y = 4a b + (a b = (a + b = z, x, y, z > 0, x. Aus (x, y = d folgt d z = a + b, d y = a b, also d a, d b. Wegen (a, b = bedeutet das d = oder d =. d = ist auf Grund von d z und z ( ausgeschlossen. Die zulässigen Tripel (x, y, z und Paare (a, b sind einander bijektiv zugeordnet. Die ersten (a, b ergeben folgende Tripel a b x y z 4 3 5 3 5 3 4 8 5 7 4 3 4 7 5 34
35 Zu den ganz großen Problemen der Mathematik gehört die 4.. Fermat Vermutung (Pierre de F., 60 655. Für n > besitzt die Gleichung x n + y n = z n keine Lösung (x, y, z N 3. In den etwa 350 Jahren seiner Geschichte haben sich fast alle namhaften Mathematiker ernsthaft damit befaßt. Insbesondere die algebraische Zahlentheorie wurde durch die Arbeit am Fermatschen Problem entscheidend vorangetrieben. 995 gelang Andrew Wiles der vollständige Beweis der Vermutung. Falls die Unlösbarkeit der Fermatschen Gleichung für ein n > bewiesen ist, dann folgt sie wegen a mn = (a m n für jedes Vielfache von n. Es ist somit für die Unlösbarkeit ausreichend, die Exponenten n = 4 und n = p 3 zu untersuchen. Der Fall n = 4 ist nach Fermat elementar zugänglich, während p 3 algebraische Hilfsmittel erfordert. Ein Hinweis: Sei ξ = exp ( πi p ( π = cos p ( π + i sin p, dann gilt x p + y p = (x + y(x + ξy(x + ξ y (x + ξ p y. Es wird daher nützlich sein, den Kreisteilungskörper Q(ξ zu untersuchen. 4.3. Satz (Fermat. Die Gleichung x 4 + y 4 = z 4 besitzt keine Lösung (x, y, z N 3. Beweis:. Es reicht, die Unlösbarkeit der Gleichung ( x 4 + y 4 = z in x, y, z N zu zeigen. Annahme, es gebe Lösungen. Sei z 0 die kleinste Zahl, zu der es x und y mit ( gibt. Ein solches Paar (x, y werde festgehalten. Es muß (x, y = gelten, da sonst in ( gekürzt werden könnte. Insbesondere ist x oder y ungerade, also z 0 (4 tritt nicht ein. Bleibt z 0 = x 4 + y 4 oder mod 4. z 0 ( und obda x 0, y (.. Auf ( kann Satz 4.. angewandt werden. ( x = ab, y = a b, z 0 = a + b mit a, b > 0, (a, b =, a + b ( Aus a 0(, b ( folgte y (4, was nicht sein kann. Also bleibt 3. Aus. ergibt sich a (, b = c. ( x = ac, (a, c =, also a = z, c = d, z > 0, d > 0, (z, d =, y = a b = z 4 4d 4, und daher mit ( (3 (d + y = (z,
36 wobei d, y und z paarweise teilerfremd sind. 4. Auf (3 wird erneut Satz 4.. angewandt d = a b, z = a + b, a > 0, b > 0, (a, b =. Wegen d = a b, (a, b = folgt a = x, b = y, x > 0, y > 0 und (4 x 4 + y 4 = z. Aber 0 < z z = a a < a + b = z 0. Mit z ist somit eine kleinere Zahl als z 0 gefunden, die ( löst. Dies bedeutet einen Widerspruch. Die hier benutzte Methode, zu einer angenommenen Lösung eine kleinere zu konstruieren, geht auf Fermat zurück und wird nach ihm descendente infinie genannt. Das Prinzip wird hier noch zweimal angewandt werden. Als nächstes soll untersucht werden, welche Zahlen sich als Summe von zwei, drei oder mehr Quadraten schreiben lassen. 4.4. Satz von Euler. Für n N sind die folgenden Aussagen äquivalent n = x + y mit x, y N 0, in der Primfaktorzerlegung von n treten alle Primteiler p von n mit p 3 mod 4 in gerader Potenz auf. Beweis.. Falls ein p mit p 3(4 die Zahl n teilt, gibt es keine Zerlegung n = x + y mit (x, y =. Falls es eine solche gibt, dann können wegen n 3 x und y gewählt werden. Wegen p n gilt x, y 0(p. Nach Satz 3.. existiert ein z mit y zx (p, also ( x ( + z = x + y 0(p und somit + z 0(p. Damit ist =, also nach p dem ersten Ergänzungsgesetz p (4, was einen Widerspruch bedeutet.. Sei p 3(4, p a n, p a+ n, a, ungerade. Dann besitzt n keine Darstellung n = x + y. Angenommen, es existieren x und y mit n = x + y. Sei d = (x, y, x = dx, y = dy, (x, y =, also ( n = d (x + y = d n. n besitzt somit eine Darstellung n = x + y mit (x, y =. Sei b der Exponent von p in der kanonischen Zerlegung von d. p kann nach. nicht in n aufgehen. Dann teilt p nach ( die Zahl n in genau b ter Potenz, im Widerspruch zur Annahme.
3. Mit n und n ist auch n n darstellbar, wie die Identität (x + y (x + y = (x x + y y + (x y x y zeigt. Für die Richtung von nach reicht es danach aus, für jedes p (4 die Lösbarkeit von p = x + y nachzuweisen. Denn = + und für p 3(4 ist p = 0 + p. 4. Sei p (4. 4.. Es gibt x, y, m mit p x, p y, 0 < m < p und 37 (4. x + y = mp. Denn wegen p (4 ist ( =, also existiert ein x mit 0 < x p p x + = mp. Wegen 0 < + x < p ist 0 < m < p. und 4.. Sei m 0 (0, p das kleinste m, für das (4. lösbar ist. Es kommt darauf an, m = zu zeigen. Nach der Fermatschen Idee wird im Fall m 0 > ein kleineres m mit (4. konstruiert. Werde also m 0 > angenommen. Es gilt in (4. (4. m 0 x m 0 y. Denn aus m 0 x und m 0 y folgt m 0 x + y = m 0 p, m 0 p, was wegen < m 0 < p nicht eintreten kann. 4.3 Da m 0 >, lassen sich ganze a und b finden, so daß für x, y m 0 gilt. Also ist 0 < x + y x = x a m 0, y = y b m 0 ( m0 (4.3 x + y = m m 0 mit 0 < m < m 0 4.4. 3. (4. und (4.3 ergeben Wegen folgt daraus < m 0 und x + y x + y 0(m 0, m 0m p = (x + y (x + y = (xx + yy + (xy x y. xx + yy = x(x a m 0 + y(y b m 0 = m 0 x xy x y = x(y b m 0 y(x a m 0 = m 0 y m p = x + y. Wegen 0 < m < m 0 steht dies im Widerspruch zur Minimalität von m 0.
38 Der Fall dreier Summanden ist wesentlich schwieriger und kann hier nur knapp diskutiert werden. Der Hauptgrund dafür ist, daß keine Multiplikationsformel der Art (x + y + z (x + y + z = L (x,..., z + + L 3(x,..., z (L, L, L 3 Polynome zweiten Grades in den sechs Variablen existiert. Adolf Hurwitz (859 99 hat gezeigt, daß es solche Formeln nur für,,4 oder 8 Summanden gibt. Satz 4.5. (Legendre Für n N sind folgende Aussagen äquivalent n = x + x + x 3 mit x, x, x 3 N 0, n hat nicht die Gestalt n = 4 a (8b + 7 (a, b N 0. Die Richtung von nach erfordert einiges aus der Theorie der ternären quadratischen Formen 3 Q(x, x, x 3 = a jk x j x k (a jk Z j,k= sowie den Satz von Dirichlet (805 859, daß in jeder reduzierten Restklasse a + kz ( (a, k = unendlich viele Primzahlen liegen. Die Richtung ist einfach. Sei ( n = 4 a (8b + 7, a, b N 0 und n = x + x + x 3, ( x j = a j y j, y j, a a a 3. Es ist y j (8. Dann folgt (3 0 a = a a a 3. Denn aus a < a ergibt sich mit ( n 4 a = 4a a (8b + 7 = y + (a a y + (a 3 a y 3. Die linke Seite ist 0 oder 4 mod 8. Der zweite und dritte Summand rechts sind 0, oder 4 mod 8, die rechte Seite also,, 3, 5 oder 6 mod 8, was nicht zusammenpaßt. Die Annahme a > a ergibt unmittelbar einen Widerspruch zu (. Aus (, ( und (3 erhält man n = 8b + 7 = y + b y + b 3 y 3 mit y, y, y 3 und 0 b b 3. Man überzeugt sich durch Verfolgen aller Möglichkeiten, daß die rechte Seite nicht 7 mod 8 sein kann.
Am Beispiel 3 5 = ( + + ( + + 0 = 5 = 8 + 7 sieht man, daß die Eigenschaft, Summe dreier Quadrate zu sein, nicht multiplikativ ist. Das Problem mit vier oder mehr Summanden hat eine einfache Lösung. 4.6. Satz von Lagrange. Jedes n N besitzt eine Darstellung n = x + x + x 3 + x 4 (x,..., x 4 N 0. Beweis.. Die wichtige Multiplikationsformel (Lagrangesche Identität lautet hier (x + + x 4(y + + y4 = (x y + + x 4 y 4 + (x y x y + x 3 y 4 x 4 y 3 + (x y 3 x 3 y + x 4 y x y 4 + (x y 4 x 4 y + x y 3 x 3 y. 39 Wegen = + + 0 + 0 reicht es aus, den Beweis für ungerade p zu führen.. Für p > sind die Zahlen ( a 0 a p und ( b 0 b p ( jeweils paarweise inkongruent mod p. Es muß also, da insgesamt + p > p Zahlen zur Verfügung stehen, eine aus der ersten zu einer aus der zweiten Menge mod p kongruent sein (Schubfachschluß! ( p + a + b = mp mit 0 < mp + < p, also 0 < m < p. Es existieren demnach m (0, p, so daß ( x + + x 4 = mp, nicht alle x j 0(p lösbar ist. Sei wieder m 0 das kleinste solche m. Es werde m 0 > angenommen. x,..., x 4 werden gemäß ( zu m 0 gewählt. 3. Angenommen, m 0 sei gerade. Dann sind a alle x j gerade oder b obda x, x gerade und x 3, x 4 ungerade oder c alle x j ungerade. Im Fall b sind y = x + x, y = x x, y 3 = x 3 + x 4, y 4 = x 3 x 4
40 sämtlich gerade, desgleichen bei a und c. Aus ( folgt ( m y ( y4, 0 p = + + im Widerspruch zur Minimalität von m 0. Also ist m 0 ungerade und 3. 4. Nicht alle x j sind durch m 0 teilbar, denn andernfalls folgte aus ( m 0 p. Zur Konstruktion eines kleineren m mit der Eigenschaft ( werde wie im Beweis zu 4.3. y j = x j a j m 0, y j < m 0 gesetzt (das strenge < ist wegen m ( möglich. Aus ( ergibt sich 0 < y + + y 4 < 4 ( m0 = m 0. (4 y + + y 4 = m 0 m mit 0 < m < m 0. 5. Multiplikation von ( und (4 gemäß. führt zu (5 m 0m p = z + + z 4, wobei die z j wie angegeben aus den x j und y j berechnet werden. Zum Beispiel z = x j y j = x j (x j a j m j j 4 j 4 j 4 x j 0(m 0. Ebenso für z, z 3, z 4, d.h. z j = m 0 c j. In (5 eingesetzt, ergibt das m p = c + + c 4, was der Minimalität von m 0 widerspricht. Der Satz von Lagrange kann als Spezialfall eines allgemeineren Problems aufgefaßt werden. 4.7. Waringsches Problem (Edmund W., 734 798. Existiert zu jedem k ein l N, so daß jedes n als Summe von l k ten Potenzen x k (x N 0 dargestellt werden kann? Der erste allgemeine Beweis wurde 909 von David Hilbert (86 943 gegeben. Unter den verschiedenen, sämtlich nicht elementaren Lösungswegen hat sich folgender als
4 ergiebigsten erwiesen. Sei für n N und α R S k (α = e(α m k, e(β = e πiβ. m n /k Dann gilt R l,k (n = # { (m,..., m l N l, m k + + m k l = n } = 0 ( Sk (α l e( αn dα. Eine genaue Analyse des Integrals führt für hinreichend großes l l 0 (k zu einer Näherungsformel für R l,k (n, und damit zur Lösung des Waringschen Problems. 5. Kapitel. Zahlentheoretische Funktionen. 5.. Def. ( Eine Abbildung f : N C heißt zahlentheoretische Funktion (zf. ( Eine zf heißt multiplikativ, wenn a f( = und b m, n : (m, n = f(mn = f(mf(n. f heißt vollständig multiplikativ, wenn stets f(mn = f(mf(n gilt. (3 Eine zf heißt additiv, wenn Analog vollständig additiv. m, n : (m, n = f(mn = f(m + f(n. Bemerkungen. ( Bedingung ( a kann auch durch a n 0 : f(n 0 0 ersetzt werden. Denn mit b folgt daraus f(n 0 = f(n 0 = f(n 0 f(, also f( =. Während es sich bei der Multiplikativität als günstig erweist, die Null Funktion auszuschließen, ist dies bei der Additivität nicht nötig. ( Multiplikative Funktionen sind wegen f ( ( p a p a k k = f p a ( f p a k k (p < < p k durch ihre Werte auf den Primzahlpotenzen vollständig bestimmt, vollständig multiplikative durch ihre Werte an den Primzahlen. (3 Ist g additiv, dann ist f = e g multiplikativ.
4 5.. Beispiel. Für α R wird σ α (n = d n d α als Teilersummen Funktion bezeichnet. d n bedeutet Summation über alle natürlichen Teiler d von n. Insbesondere σ(n = σ (n = d n d, d(n = σ 0 (n = d n. Folgerung. σ α ist multiplikativ. Dies ergibt sich unmittelbar aus dem späteren Satz 5.8. Zur Übung werde der Beweis hier ausgeführt. Sei (m, n =. Dann sind die Paare (d, k mit d m, k n und die Teiler l = dk von mn einander bijektiv zugeordnet. σ α (mn = l α = (dk α l mn d m k n Es ist Wegen = d m d α k n k α = σ α (mσ α (n. σ α (p k = + p α + p α + + p kα 0. σ α (p = + p α + p α und σ α (p σ α (p = ( + p α ( + p α = + p α + p α sieht man, daß σ α nicht vollständig multiplikativ ist. Die folgenden Bezeichnungen gehen auf die alten Griechen zurück. 5.3. Def. ( n heißt vollkommen (oder perfekt, wenn σ(n = d n d = n. ( Zwei verschiedene natürliche Zahlen n und m heißen befreundet, wenn σ(n n = m und σ(m m = n. 5.4. Satz. ( (Euler Euklid Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent (a n ist gerade und vollkommen, (b n = k ( k+ und k+ ist Primzahl.
( (Marin Mersenne, 588 648. Falls m Primzahl, ist m prim. Die Zahlen M p = p heißen Mersenne Zahlen. Bemerkung. Für p =, 3, 5, 7, 3, 7, 9, 3, 6, 89, 07, 7 sind die M p prim, für die übrigen p < 500 ist M p zusammengesetzt. Man kennt bis heute 33 prime M p und damit gerade vollkommene Zahlen. Das größte solche M p ist 756 839. Man vermutet, daß es unendlich viele prime und zusammengesetzte M p gibt. Ob ungerade vollkommene Zahlen existieren, ist ein offenes Problem. Falls es welche gibt, müssen sie größer als 0 50 sein. Ebenso ist unbekannt, ob es unendlich viele Paare befreundeter Zahlen gibt. Beweis zu 5.4.. zu (, (b (a. Im Fall k+ = p sieht man σ(n = σ ( k ( k+ = + + + k + ( + + + k p Die ist die Euklidsche Feststellung. = ( k+ (p + = p k+ = n.. zu (, (a (b. Eine Zweierpotenz n = k ist wegen σ(n = + + k = k+ nicht vollkommen. Sei also n = k u, k, u 3, u vollkommen. Dann folgt mit der Multiplikativität von σ also k+ u = n = σ(n = σ( k σ(u = ( k+ σ(u, ( σ(u = k+ u( k+ = u + u k+. Da u und σ(u ganz sind, ist es auch u( k+, das heißt k+ und u( k+ sind Teiler von u. Aus der Identität ( entnimmt man, daß u und u( k+ die einzigen Teiler von u sind. Also ist u Primzahl und u( k+ =. 43 3. Zu (. Sei m = kl mit k, l >. Dann ist kl = ( k ( k(l + k(l + + k + zusammengesetzt. 5.5. Definition. ( r, falls n = p... p r, µ(n = p < < p r, r 0 0 sonst. Möbius Funktion (August Ferdinand M., 790 868. Diese merkwürdige Funktion, deren fundamentale Bedeutung bald klar sein wird, ist multiplikativ, aber nicht vollständig multiplikativ. Zahlen, in deren kanonischer Zerlegung
44 keine Primzahlen in zweiter oder höherer Potenz auftreten, heißen quadratfrei (squarefree. n quadratfrei µ(n = µ (n =. n quadrathaltig (d.h. p : p n µ(n = 0. Sei (n, m =. Falls beide quadratfrei sind, ist es auch nm und µ(nm = µ(p... p a q... q b = ( a+b = ( a ( b = µ(nµ(m. Falls nm quadrathaltig ist, dann wegen der Teilerfremdheit auch n oder m, also 0 = µ(nm = µ(nµ(m. Wegen µ(p = 0, aber µ(pµ(p = liegt keine vollständige Multiplikativität vor. 5.6. Definition. n > habe die kanonische Zerlegung p a... p a k. Dann wird gesetzt. ω(n = k Ω(n = a + + a k ω( = Ω( = (Primteiler Anzahl (Primfaktoren Anzahl ω ist additiv, aber nicht vollständig, Ω ist vollständig additiv. Die folgende Funktion spielt in der Primzahltheorie eine wichtige Rolle. 5.7. Definition. Λ(n = { ln p, falls n = p k 0 sonst. von Mangoldt Funktion (Hans Karl Friedrich von M., 854 95. Λ ist weder additiv noch multiplikativ. Folgerung. Λ(d = ln n. d n Die Aussage ist richtig für n =. Sei n = p a... p a k k >. Nach Definition von Λ tragen zur Teilersumme nur die d etwas bei, die die Gestalt p bν ν ( ν k, b ν a ν haben. Λ(d = ln p ν ν k b ν a ν d n = ν k ln(p aν ν = ln(p a... p a k = ln n. k k
5.8. Definition und Satz. ( Für zwei zahlentheoretische Funktionen f und g wird das Falt Produkt f g definiert durch (f g(n = ( n f(d g. d d n 45 ( Falls f und g multiplikativ sind, ist auch f g multiplikativ. Bemerkung. Die vollständige Multiplikativität bleibt bei der Faltung nicht immer erhalten, wie das Beispiel ( d = (n = n zeigt. Beweis zu (. Ist (n, n = und durchlaufen d und d unabhängig voneinander alle Teiler von n und n, so durchläuft d = d d alle Teiler von n = n n. Umgekehrt läßt sich jeder Teiler d von ( n eindeutig als d d (d j n j schreiben. Für d j n j ist wegen n (n, n = (d, d =, n =, also d d (f g(n n = Die Folgerung zu 5.. ist hierin wegen d n,d n f(d d g ( n = d n f(d g ( n d d n d d n f(d g = (f g(n (f g(n. ( n d σ α = P α ( Pα (n = n α offenbar enthalten. 5.9. Satz. ( Die Menge der zahlentheoretischen Funktionen f mit f( 0, versehen mit als Verknüpfung, bildet eine abelsche Gruppe. Neutrales Element ist die Funktion ε, {, n = ε(n = 0, n > = [ n]. ( Die Möbius Funktion ist das Faltungs Inverse der Funktion ((n = n. (3 Die Menge der multiplikativen Funktionen bildet eine Untergruppe. Beweis.. Daß auf Z = {f, f zf} eine Verknüpfung bildet, ist klar. Daß nicht aus M = {f, f multiplikative zf} hinausführt, wurde gerade gezeigt.
46. Zur Assoziativität. Es kann (f g(n auch als also ( f (f f 3 (n = d,d n d d =n = = d,d n d d =n d,d n d d =n f (d (f f 3 (d f (d d,d,d 3 n,d d d 3 =n Denselben Ausdruck erhält man für ( (f f f 3 (n. 3. Die Kommutativität sieht man ähnlich und einfacher. f(d g(d geschrieben werden, f (d f 3 (d 3 d,d 3 d d d 3 =d f (d f (d f 3 (d 3. 4. Die ε Funktion ist ersichtlich multiplikativ, und es gilt für beliebiges f Z (f ε(n = (ε f(n = ( n ε(df d d n ( n = f + ( n 0 f = f(n. d d n,d> 5. Zum Nachweis des Inversen zur f Z mit f( 0 wird die Gleichung (I g f = ε rekursiv nach g aufgelöst. a Für n = lautet (I g(f( =, also g( = ( f(. b Für n seien g(,..., g(n so bestimmt, daß (I für die Werte m =,..., n erfüllt ist. Die Gültigkeit für n + besagt 0 = ε(n + = g(n + f( + Dies kann nach g(n + aufgelöst werden. d n+,d<n+ ( n + g(d f. d 6. Zur Untergruppen Eigenschaft von M ist zu zeigen, daß mit f auch das durch g f = ε eindeutig festgelegte g multiplikativ ist. Für n > sei schon gezeigt, daß für alle d, d mit (d, d = und d d < n g(d d = g(d g(d erfüllt ist. Nach 5. ist, wegen f( =, g(n = ( n g(d f. d d n,d<n
Sei n = n n, (n, n =, < n, n < n. Dann ergibt sich mit der Induktionsvoraussetzung ( n n g(n n = g(d f d d n n,d<n n ( n n = g(d d f d d n,d n d d <n d <n = ( n ( n g(d g(d f f + g(n g(n f( f( d d d n d n = (g f(n (g f(n + g(n g(n = ε(n ε(n + g(n g(n = g(n g(n. 47 7. Zu (. Mit und µ ist auch µ multiplikativ. Für Primzahlpotenzen gilt jedoch ( µ(p k = (µ (p k = ( p k µ(d d d p k = µ(d = µ( + µ(p = 0, d p k also ( µ(n = 0 für n >. 5.0. Möbiussche Umkehrformel. Für zwei zahlentheoretische Funktionen f und F sind äquivalent a F = f und b f = F µ. Ausgeschrieben: a b n : F (n = d n n : f(n = d n f(d und ( n F (dµ. d Die Umkehrformel erlaubt es also, eine Teilersummen Identität F (n = d n f(d nach f hin aufzulösen. Der Beweis ist mit den Rechenregeln in (Z, unmittelbar klar. Die Einschränkung f( 0 ist hier nicht nötig, da kein Inverses zu f erforderlich ist.
48 5... Beispiel zur Umkehrformel. ( n : ϕ(d = n (ϕ = Id d n ( n : ϕ(n = d n µ(d n d (ϕ = µ Id. Beweis zu (. Mit d durchläuft n/d alle Teiler von n. Zu d n sei { k d = a n, (a, n = n } d Hierdurch wird die n elementige Menge {,,..., n} in disjunkte Klassen eingeteilt, insbesondere n = d n # k d. Wegen k d = { a n (a d n, n d, n = n } d = { a d, (a, d = } gilt #k d = ϕ(d, also die Behauptung. ( folgt aus ( mit der Umkehrformel. Damit ist erneut die Multiplikativität von ϕ gezeigt. ( ergibt obendrein für n = p a p a k k ϕ(n n = µ(d ( = + µ(p +... d p d n = (... ( = p p k p n (... + µ(p k (. p +... p k 5... Beispiel zur Umkehrformel. Λ(n = d n µ(d ln n d = d n µ(d ln d. Die erste Aussage entsteht durch Umkehrung der Folgerung zu Def. 5.7., und daraus Λ(n = ln n d n µ(d d n µ(d ln d = ln n ε(n d n µ(d ln d = d n µ(d ln d.
5.3. Legendresche Formel. Sei A N, #A <, k N, und f eine zahlentheoretische Funktion. Dann gilt µ(d f(n. n A,(n,k= f(n = d k n A,n 0(d Die Aussage ist klar, wenn man bedenkt, daß die Summationsbedingung (n, k = ersetzt werden kann durch den Faktor ε ( (n, k = µ(d in der Summe. d n,d k 5.3. entspricht dem Inklusion Exklusion Prinzip in der Kombinatorik. Sei M eine endliche Menge, seien E,..., E L Eigenschaften oder Merkmale, die die Elemente von M besitzen können. Für r und ν < < ν r L sei M ν,..., ν r die Teilmenge der Elemente von M, die die Eigenschaften E ν,..., E r haben. Bezeichne M die Menge aller Elemente von M, die keine der Eigenschaften E j haben. Dann gilt (IE #M = #M #M ν + #M ν ν + + ( L #M,...,L. Im Hinblick auf 5.3. sei E j bedeutet: ν L ν <ν L f =, k = p a... p a L L (OBdA L. p j n. Dann ergibt (IE mit M = A = #M n A,(n,k= = #A = d k ν L + ν <ν L #{n A, n 0(p ν } #{n A, n 0(p ν, n 0(p ν } +... µ(d#{n A, n 0(d}. Die gängigen zahlentheoretischen Funktionen wie σ α, ϕ und µ weisen ein sehr sprunghaftes Verhalten auf. Insbesondere ist es unmöglich, sie durch vertraute stetige Funktionen zu approximieren, so wie es beispielsweise in der Stirlingschen Formel mit f(n = n! geschieht. Betrachtet man hingegen die Summenfunktion F (x = f(n (x R,, so läßt sich in vielen Fällen ein Verhalten der Art F (x = H(x + R(x feststellen. Dabei bedeutet H (= Hauptglied eine glatte Funktion, während das im allgemeinen nicht genau angebbare R (= Restglied von geringerer Größenordnung ist als H. Hierzu hat sich eine - nicht auf die Zahlentheorie beschränkte - Schreibweise als 49
50 sehr nützlich erwiesen. 5.4. Bachmann Landau Symbolik (Paul B., 837 90; Edmund L., 877 938. f, f, f : [, C, g : [, R + = {t R, t > 0} (Statt des Definitionsbereiches [, kann auch [x 0, mit einem x 0 > vorliegen. ( f = O(g C > 0 x : f(x C g(x (bzw. f /g ist beschränkt. Gesprochen: f gleich Groß O von g. Oder: f höchstens von der Ordnung g. ( f = o(g lim x f(x g(x f = f + O(g f f = O(g. existiert und ist = 0 (bzw. f(x = ε(x g(x, wobei ε(x 0 für x Gesprochen: f gleich klein o von g. Oder: f ist von kleinerer Ordnung als g. Beispiele und Bemerkungen. f = f + o(g f f = o(g. ln x = O(x ε für jedes ε > 0 (wobei die O Konstante C von ε abhängt. x nicht = O(ln x, kurz: x O(ln x. 3 sin x = O(, aber o(. f(x = O( besagt nicht, daß f konstant ist, sondern nur, daß es beschränkt ist. 4 Eine asymptotische Formel F (x = H(x + O ( R(x macht nur Sinn, wenn R von geringerer Ordnung als H ist. Z.B. ist F (x = x+o(x nicht aussagekräftiger als F (x = O(x. 5 Bei konkurrierenden O Termen reicht es, den größten zu behalten. O(x + O(x + O(e x = O(e x. 6 Aus f(x = o(x folgt f(x = O(x. Die Umkehrung gilt i.a. nicht. 7 [x] = x + O(, aber nicht [x] = x + o(. 8 d(n = O(n ε für jedes ε > 0, aber d(n o(ln n, da d( k = k + > k = ln( k / ln. 9 ϕ(n = O(n, aber ϕ(n o(n, da ϕ(p = p p/. 5.5. Hilfssatz (Partielle oder abelsche Summation; Niels Henrik A., 80 9. Sei f : N C, F (x = f(n; g : [, C, g stetig differenzierbar.
5 Dann gilt für x f(n g(n = F (x g(x x F (t g (t dt. Beweis. x F (t g (t dt = = x f(n n x ( n t f(n g (t dt g (t dt = F (x g(x f(n g(n. 5.6. Hilfssatz. ( ( n = ln x + γ + O x ( ln n = x ln x + O(x (γ = 0, 577..., Euler Konstante. Beweis zu (. Es wird 5.5. auf f(n = und g(t = t angewandt. F (x = [x] = x {x} = x + O(, also n = x {x} x ( + t {t} t dt x ( = + O + ln x x x {t} t dt. Das letzte Integral konvergiert. Der Rest bis läßt sich im Betrag abschätzen durch x t dt = x. Setzt man γ = {t} t dt, ergibt sich die Behauptung.
5 Zu (. Da ln monoton wächst, gilt für n x die Ungleichung ln x n n ln x t dt, also für x ln x [x] n x = x ln x t dt v ln v dv < x x ln x t dt v ln v dv = O(x. n Damit hat man ( ln x = O(x für x n und offensichtlich auch für x <. Hiermit ist ( sofort einzusehen ln n = ln x ln x n = ( x + O( ln x + O(x = x ln x + O(x. Den Abschluß des Kapitels bilden einige Beispiele von asypmtotischen Formeln für Summen über multiplikative Funktionen. 5.7. Satz von Dirichlet. d(n = x ln x + (γ x + O(x /. Beweis.. Eine schwächere Aussage kann mit 5.6 ( hergeleitet werden. d(n = = d,k,dk x d x k x/d = [ x = x d] ( d + O d x d x d x = x ( ln x + γ + O(x + O(x = x ln x + O(x.. Ist n keine Quadratzahl, so ist für d n eine der Zahlen d und n d kleiner als n / und die andere größer, also { O, falls n m d(n = +, O(, sonst. d n,d< n
53 Somit folgt d(n = = d< x = d< x = d< x = x d< x = x d x d n,d< n d < n 0(d d<m x/d + O(x / + O(x / + O(x / ([ x d + O(x d] / d + O(x/ d d [ x] d< x d + O(x / d + O(x / = x ( ln x / + γ + O(x / [x / ] ( [x / ] + + O(x / = x(ln x + γ + O(x /. 5.8. Satz. ( ( µ (n = 6x π + O(x/. ϕ(n = 3x + O(x ln x + π Bemerkungen.. Da mit Hilfe von µ die quadratfreien Zahlen gezählt werden, kann ( auch so gelesen werden. Für x = N N wird N #{n N, n quadratfrei} = 6 π + O(N / 6 π für N. Dies heißt, daß die relative Häufigkeit der quadratfreien unter den natürlichen Zahlen N mit N gegen 6/π strebt. Grob: Etwa zwei Drittel aller natürlichen Zahlen sind quadratfrei.
54. Man betrachte die Paare natürlicher m, n N. (Um Verwechslungen mit dem ggt zu vermeiden, wird auf die Paar Klammern verzichtet. Wieviele davon sind relativ prim? T (N = #{m, n N, (m, n = } = #{m, n N, m n, (m, n = } + #{m, n N, n m, (m, n = } = n N #{m N, (m, m = } ϕ(n + m N ϕ(m = 6 π N + O(N ln N + (Die Eins im Fehler soll nur die Positivität der Funktion in der O Klammer bewirken. Daraus erhält man das heißt grob: Etwa 3 N #{m, n N, (m, n = } 6 π für N, Beweis zu (. Es besteht die Identität (. aller Paare natürlicher Zahlen sind relativ prim. µ (n = d,d /n µ(d. Mit der linken ist auch die rechte Seite multiplikativ. Sie ist für n = p a (a N 0 gleich, falls a = 0 oder =, und gleich 0 für a. Das stimmt mit µ (p a überein. Damit folgt µ(d (. µ (n = d x /,d /n = µ(d d x /,n 0(d = ( x µ(d d + O( d x / = = x d= d= µ(d d + O (x + O(x / d d>x / µ(d d + O(x /. Zur Berechnung der letzten Reihe benutzt man die Eulersche Formel k= k = π 6. Da beide Reihen absolut konvergieren, kann ausmultipliziert und beliebig angeordnet
55 werden. d= µ(d d π 6 = = d,k N n= µ(d (dk n µ(d =, d n das heißt, die Reihe in (. hat den Wert 6/π.. Beweis zu (. Mit 5.( sieht man ϕ(n = n µ(d = µ(d n d d d n d x n 0(d = µ(d md = µ(d [ x ]([ x d d d] d x m x/d d x = ( x ( x µ(d d + O = x µ(d d d = x d x d= µ(d d d x + O(x ln x = 3 π x + O(x ln x. + ( + O x d x d Das Verhalten der Summe µ(n, also insbesondere die Häufigkeit quadratfreier Zahlen mit geradzahlig bzw. ungeradzahlig vielen Primfaktoren, ist wesentlich schwieriger zu studieren. Jedenfalls ist das hier mehrfach benutzte Prinzip, eine zahlentheoretische Funktion f als Faltung zu schreiben, und in der entstehenden Doppelsumme die Reihenfolge richtig zu wählen, bei µ nicht ohne weiteres anwendbar. 6. Kapitel. Elementare Primzahltheorie. x bezeichnet eine reelle Zahl (evtl. auch x 0 > In diesem Abschnitt soll die Verteilung der Primzahlen, insbesondere ihre Häufigkeit innerhalb der natürlichen Zahlen, näher untersucht werden. 6.. Def. π(x = #{p x}, ψ(x = Λ(n = p k x ln p.
56 6.. Hilfssatz. Sei n! = p n p kp,n. Dann gilt k p,n = m N [ n p m ]. Bemerkung. Die Summe wird nur formal bis unendlich erstreckt, da für p m > n der Summand = 0 ist. Beweis. Sei j 0. Ein r n, das p in genau j ter Potenz enthält, liefert zu k p,n Beitrag j. p j r heiße: p j r, p j+ r. Damit wird den k p,n = j 0 = j 0 = j 0 = j 0 = m j#{r n, p j r} j ( #{r n, p j r} #{r n, p j+ r} ([ n ] [ n ] j p j p j+ [ n ] j [ n ] p j (j j p j [ n p m ]. Numerische Untersuchungen brachten Mathematiker wie Euler, Legendre und Gauss zu der Vermutung, daß π(x sich näherungsweise wie x/ ln x verhält. Das erste in diese Richtung führende Ergebnis ist der 6.3. Satz von Tschebytschev (850, Pafnuti Lwowitsch T., 8 894. Es existieren C,..., C 4 > 0, so daß für x x ( C ln x π(x C x ln x, ( C 3 x ψ(x C 4 x gilt. Bemerkung. Auf die Werte der Konstanten wird hier nicht geachtet. Der angegebene Beweis führt beispielsweise zu C = 8, C =. Beweis.. Es wird sich als günstig erweisen, die Ungleichungen (. C 5 x ϑ(x = ln p C 6 x p x
57 herzuleiten. Aus (. folgt (. Denn mit der oberen Abschätzung in (. ergibt sich ( x π(x = π + ln p ln x ln p Und umgekehrt Analog folgt ( aus (.. (. x ln x + ln( x ln x x ln x <p x ln p x ln x <p x x ln x + C 7 ln x ϑ(x ( + C 6C 7 x ln x. π(x = p x ln p ln p ϑ(x ln x C 5 ψ(x ϑ(x C 5 x. ψ(x = ϑ(x + ln p. p k x,k In der letzten Summe treten nur p x / auf, also ln p ln p p k x,k p x / und somit k ln x ln p x ln x. p x / ln x x / ln x C 8 x, ψ(x (C 6 + C 8 x.. Die entscheidende Idee zum hier geschilderten Beweis von (. wurde 93 vom damals 9 jährigen Paul Erdös (93 997 gefunden. Es werde ( n B n = = (n! n (n! betrachtet. B n genügt den Ungleichungen n ( n (. B n < = ( + n = 4 n, ν (. ν=0 B n = n + n +... n n n. 3. Für n p n teilt p den Zähler (n! von B n, aber nicht den Nenner, also P = p teilt B n, d.h. P B n. n<p n
58 Wegen ergibt sich daraus mit (. (3. P = exp ( n<p n ln p = exp ( ϑ(n ϑ(n ϑ(n ϑ(n ln B n < n ln 4. Sei x < k x. (3., angewandt auf n = k, k,..., liefert ϑ(x ϑ( k = ( ϑ( k ϑ( k + ( ϑ( k ϑ( k +... < ln 4 ( k + k +... ln 4 k ln 6 x. 4. Bei der linken Ungleichung in (. muß man etwas sorgfältiger vorgehen. Sei B n = p kp. Hilfssatz 6. ergibt p n 0 k p = m ([ n ] [ n ]. p m p m Hier brauchen nur die m ln(n/ ln p berücksichtigt zu werden. Die Klammer hat die Gestalt n ( n p ξ m p ξ m (0 ξ ν < = ξ ξ, da der Wert ganzzahlig ist. Somit erhält man 0 k p [ln(n/ ln p] und ( ln B n = ln p kp [ ln(n ] ln p ln p p n p n = ln p = Λ(m = ψ(n. p n k,p k n m n Mit (. führt das zu ψ(n ln n. Wie in. sieht man hiermit ϑ(n C 9 n und daher ϑ(x C 5 x (x. 6.4. Satz. ( ( p x (3 p x Λ(n n ln p p = ln x + O(, = ln x + O(, ( p = ln ln x + C + O ln x für x 3 (C = 0, 65....
59 Beweis zu (. Mit der Folgerung zu 5.7. sieht man ln d = Λ(n = [ x Λ(n d] d x d x = x n d 6.3( und 5.6( ergeben die Behauptung. Λ(n n + O( ψ(x. Zu (. 0 Λ(n n Mit ( ergibt das Aussage (. p x ln p p = ln p p = ln p k p k x,k p x k ln p p = O(. p p x p k (3 folgt aus ( mit partieller Summation. Man nimmt { p f(n = ln p für n = p, n 0 sonst, Nach ( ist g(t = (ln t für t und stetig differenzierbar fortgesetzt bis t =. { 0 für x <, F (x = ln x + R(x mit R(x = O( für x. p = f(n g(n p x p x = ( ln x + R(x x ln x + = + R(x x ln x + dt t ln t + x ( ln t + R(t dt t ln t R(tdt t ln t. ( Da wegen R(t = O( das letzte Integral konvergiert, ist es = C + O, also ln x ( p = ln ln x + C + O. ln x
60 Hinweis. Die Divergenz der Summe p x p erfolgt außerordentlich langsam. Zum Beispiel wird der Wert 4 erst etwa bei, 79 0 8 erreicht. 6.5. Satz. Für x 3 gilt ( ω(n = x ln ln x + C + O ( x(ln x ( (3 Ω(n = x ln ln x + C + O ( x(ln x ( ω(n ln ln x = O(x ln ln x. Bemerkung. ( und ( besagen, daß die n x im Mittel etwa ln ln x Primteiler bzw. Primfaktoren besitzen. Wegen des langsamen Wachstums des iterierten Logarithmus ist dies eine überraschend niedrige Anzahl. Ein Mittelwert kann dadurch erreicht werden, daß viele Werte wesentlich darunter und viele wesentlich darüber liegen. So ist es bei multiplikativen Funktionen oft der Fall. Bei additiven Funktionen ist vielfach eine Versammlung der Werte nahe dem Mittelwert zu beobachten. (3 kann als Varianz Abschätzung gedeutet werden. Aus (3 folgt insbesondere für jedes ε > 0 #{n x, ω(n ln ln x > ε ln ln x} (ε ln ln x ( ω(n ln ln x = o(x, das heißt, für die meisten n x liegt ω(n sehr dicht beim Mittelwert ln ln x. Mit Methoden der analytischen Zahlentheorie und der Stochastik zeigten Erdös und Kac 940, daß ω dem zentralen Grenzwertsatz genügt: { x # n x, für jedes t R und x. ω(n ln ln x ln ln x } t π t e y / dy Ein so regelmäßiges Verhalten zeigen multiplikative Funktionen im allgemeinen nicht. Beweis zu (. [ x p ] ω(n = = p n p x = x p + O( π(x p x = x ( ln ln x + C + O ( (ln x + O ( x(ln x
6 nach 6.4(3 und 6.3(. ( ergibt sich analog mit Ω(n = [ x ] = p k p k x p x + x p k x,k ( p + O k p + O( π(x p k x,k Wie schon mehrfach ausgeführt, erweist sich der Beitrag der p k mit k als ( x p + O( + O ( x / k ln x p k,k. = C x + O ( x(ln x. Beweis zu (3. Sei y = x /4, Dann ist für n x ω(n = #{p n, p y}. 0 ω(n ω(n 3 da n höchstens drei Primteiler zwischen x /4 und x besitzt. Mit ln ln x ln ln y = ln 4 und der Ungleichung (a + b 4(a + b sieht man wenn ln ln y mit L abgekürzt wird ( S = ω(n ln ln x = ( ω(n L + O( (3. ω(n = 4 ( ω(n L + O(x ( = 4 ( ω(n L p,p y = p,p y p p = p,p y ( = x p y #{n x, p n, p n} [ x ] + [ x ] p p p p y [ x ] [ x ] + [ x ] p p p p p y p y p + O ( y x ω(n + L x + O(x. p y = x L + O(xL, mit 6.4.(3. p + O(y + x p y p + O(y
6 Wegen ω(n = xl + O(x wird aus (3. S 4 O(xL + O(x, also, da S 0, S = O(x ln ln x, wie behauptet. Mit zusätzlichem Aufwand kann man ( ω(n ln ln x = x ln ln x + O(x zeigen. Numerischer Vergleich von π(x und x legt die Vermutung nahe, daß π(x/(x/ ln x ln x für x gegen Eins konvergiert. Dies ist der Inhalt des berühmten Primzahlsatzes. Das Problem besteht hier darin, die Existenz des Limes zu zeigen. 6.6. Satz (Tschebytschev. Falls lim π(x/(x/ ln x existiert, hat er den Wert Eins. x Beweis. Sei A der angenommene Grenzwert, das heißt π(x = A x ln x + ε(x x ln x mit einer Funktion ε(x, für die lim ε(x = 0 gilt. Partielle Summation mit x {, falls n = p f(n = 0 sonst, F (x = π(x und g(t = t ergibt für x 3 p = f(n g(n = π(x x x + π(t dt t p x ( = O ( (ln x + A x dt t ln t + x ε(t t ln t dt. Sei δ > 0. Für x x 0 (δ ist ε(x δ und für x x 0 wird für x x 0 x x ε(t x 0 t ln t dt C dt t ln t + δ x 0 C ln ln x 0 + δ ln ln x dt t ln t δ ln ln x, falls x x (δ. gilt ε(x C. Also
63 Aus ( erhält man daher p x p = A ln ln x + o(ln ln x, was nach 6.4(3 nur für A = richtig sein kann. Den entscheidenden Anstoß zum Beweis des Primzahlsatzes gab 859 Bernhard Riemann (86 866 durch das Studium der nach ihm benannten Riemannschen Zeta Funktion ζ(s = n= n s (Res >. Ihre Bedeutung für die Primzahlverteilung wird sichtbar durch die im gleichen Bereich gültigen Formeln ζ(s = p ( p s, ζ ζ (s = n Λ(n n s. Nach der von Riemann vorgeschlagenen Methode konnten 896 erstmals Jaques Hadamard (866 963 und Charles de la Vallée Poussin (866-96 den Primzahlsatz beweisen. Einen elementaren Zugang, der ganz ohne komplexe Funktionentheorie auskommt, fanden 948 Paul Erdös und Atle Selberg. 6.7. Primzahlsatz. Es gelten die asymptotischen Formeln π(x = x ( x ( ln x + o, d.h. π(x/(x/ ln x für x, ln ( x ( ψ(x = x + o(x ψ(x/x, ( (3 M(x = µ(n = o(x, M(x/x o. Ein analytischer Beweis zu ( und ( deren Äquivalenz leicht einzusehen ist wird in der Fortsetzungsvorlesung gegeben. Der elementare erfordert zwar keine weitgehenden Hilfsmittel, ist aber extrem verwickelt. Als Beispiel für kunstvolle elementare Umformungen, insbesondere mit Hilfe der Möbius Funktion, soll hier die Implikation ( (3 gezeigt werden. Es sei also (a ψ(x = Λ(n = x + ε(x x mit lim x ε(x = 0
64 Mit Hilfssatz 5.6( sieht man M(x ln x = ( x µ(n ln + n µ(n ln n = ( µ(n ln n + O ln x n (b = µ(n ln n + O(x. Wegen d n ( n µ Λ(d = d d n = k n = k n = k n ( n µ µ(k ln k d k d µ(k ln k d n,d=k k ( n µ d ( n µ(k ln k µ kk k (n/k ( n µ(k ln k ε = µ(n ln n k erhält man (c µ(n ln n = = d n ( n µ Λ(d d µ(k ψ(x/k µ(k Λ(d = d,k,dk x k x = µ(k x k + ( x x µ(k ε k k k x k x = S (x + S (x. S (x = ([ x ] µ(k + O( = µ(k + O(x k k x k x d x (d = k,d,dk x µ(k + O(x = = + O(x = O(x k µ(k + O(x k n Nach (a existiert zu vorgegebenem δ > 0 ein x 0 = x 0 (δ, so daß für x x 0 erfüllt ist. Für x x 0 hat man ε(x C. Damit ergibt sich für x x 0 S (x x δ/k + x C /k. k x/x 0 x/x 0 <k x ε(x δ
65 Anwendung von Hilfssatz 5.6 ( führt zu S (x δx k + C x ( ln x ln(x/x 0 + O( k x δx ln x + C x mit C = C (δ. Faßt man das Vorige zusammen, dann ergibt sich für x x 0 (δ M(x µ(n ln n + C3 x/ ln x ln x x δx + C 4 ln x δx für x x (δ. Dies besagt aber M(x = o(x, wie behauptet. In ähnlicher Weise kann auch die Umkehrung (3 ( gezeigt werden. Insofern ist es gleichgültig, ob man (, ( oder (3 ansteuert. Dementsprechend gibt es elementare Beweise von vergleichbarem Schwierigkeitsgrad zu ( oder (3. ( wird seltener direkt gezeigt, da die Indikatorfunktion zur Menge der Primzahlen nicht so günstige Summationseigenschaften hat wie Λ.