Übungen zur Physik der Materie 1 Lösungsvorschlag Blatt 11 - Atomphysik Sommersemester 018 Vorlesung: Boris Bergues ausgegeben am 1.06.018 Übung: Nils Haag (Nils.Haag@lmu.de) besprochen am 6.06.018 Aufgabe 8: Kurzfragen zur Atomphysik Teil A. Drehimpulskopplung und Spin (ohne Magnetfeld) Lösungsvorschlag: ) Drehimpulskopplung und Spin (ohne Magnetfeld): k) Welche Werte nehmen s und m s beim Elektron an. s = 1 und m s = ± 1 l) Welche möglichen Werte für j gibt es für die folgenden Orbitale: 1s, f, 3d, p, 1d, 4s, 5g? Geben Sie die Notationen nl j für die Kombinationen an. Mit j = l ± s folgt: j(1s) = j(4s) = 1 4s 1 j(3d) = 3 oder 5 j(p) = 1 oder 3 j(5g) = 7 oder 9 Die Orbitale f und 1d existieren nicht. m) Welche Werte kann m j jeweils annehmen? Alle ganzen Zahlen zwischen j und j 3d 3 p 1 5g 7 und 3d 5 und p 3 und 5g 9 n) Erklären Sie das Zustandekommen der Feinstrukturaufspaltung im Wasserstoffatom. Es koppeln der Bahndrehimpuls und der Spin zum Gesamtdrehimpuls: L + S = J. Das magnetische Moment des Spins (mit zwei Einstellmöglichkeiten) koppelt an das Magnetfeld, das durch die Bewegung des e um den Kern entsteht (Kreisstrom). o) In wieviele Niveaus spaltet jedes Orbital nl auf? Jedes Orbital spaltet in zwei Niveaus auf, da j = l ± 1. p) Von welchen Quantenzahlen hängt die Energie eines Orbitals unter Berücksichtigung der Spin-Bahn-Kopplung ab? Die Aufspaltung ist nur von n und j abhängig.
q) Wie groß ist die Aufspaltung der Niveaus verschiedener j im Vergleich zur Energiedifferenz der einzelnen Schalen? Sie ist etwa 4 bis 5 Größenordnungen kleiner. r) Nennen sie einen Grund, warum die Vorstellung des Spins beim Elektron als Drehimpuls einer rotierenden Kugel nicht korrekt sein kann? Das Elektron ist ein Elementarteilchen und gilt als punktförmig. Da es keine Ausdehnung hat, kann es klassisch auch keinen Drehimpuls tragen. 3) Zeeman Effekt: s) Erklären Sie, weswegen ein äußeres Magnetfeld Einfluss auf die Energieniveaus im Atom hat. Der Drehimpuls der Elektronen erzeugt ein magnetisches Moment, welches dann an das Magnetfeld koppelt und so zu einer Energieauspaltung der Zustände unterschiedlichen Drehimpulses führt. t) Was ist der Unterschied zwischen dem normalen und dem anormalen Zeeman Effekt? Beim Zeeman-Effekt vernachlässigt man den Spin. Er gilt also nur für Systeme mit S = 0. Im Gegensatz dazu wird beim anomalen Zeeman-Effekt die Kopplung an den Gesamtdrehimpuls (also Bahndrehimpuls und Spin) beschrieben. u) Was sagt der g-faktor (Landè-Faktor) aus? Er hat den Wert g = und beschreibt, dass ein innerer Drehimpuls (Spin) doppelt so stark an ein Magnetfeld koppelt, wie ein äußerer Bahndrehimpuls. v) Von welcher Quantenzahl hängt die Aufspaltung der Energieniveaus beim normalen Zeeman Effekt ab? m l w) Welche energetischen Abstand haben die Niveaus beim normalen Zeeman Effekt? Wie hängt dieser von n oder l ab? Der Abstand der Niveaus ist E = µ B B und somit unabhängig von n und l. x) Die Kopplung welcher Größen muss beim anormalen Zeeman Effekt betrachtet werden? Das magnetische Moment resultierend aus dem Gesamtdrehimpuls J = L + S koppelt an ein externes Magnetfeld. y) Wieviele verschiedene Energieniveaus existieren für die folgenden Orbitale aufgrund des anomalen Zeeman Effektes: 1s, p, 3p, 3d? Geben Sie hierbei die korrekte Notation der Atomniveaus an. Die Notation ist nl j und jedes Niveaus spaltet in j + 1 Niveaus auf - beschrieben durch m j : 1s 1 p 1 p 3 3p 1 3p 3 3d 3 3d 5 : Niveaus : Niveaus : 4 Niveaus : Niveaus : 4 Niveaus : 4 Niveaus : 6 Niveaus
z) Diskutieren Sie mit Ihrer Gruppe und dem Dozenten alle noch offenen Fragen. Alles klar, oder? Aufgabe 9: Röntgenstrahlung a) Skizzieren Sie einen experimentellen Aufbau einer Röntgenröhre. Benennen Sie hierbei alle relevanten Komponenten. b) Erklären Sie, durch welche beiden Prozesse in einer Röntgenröhre Röntgenstrahlung generiert wird. Zeichnen Sie hierzu das Spektrum der Strahlung in untenstehende Grafik ein und erklären Sie die auftretenden Strukturen. c) Markieren Sie in obiger Grafik die sogenannte Grenzwellenlänge λ G der Röntgenstrahlung und erklären Sie das Zustandekommen dieser scharfen Kante im Spektrum. d) Damit Elektronen durch den Photoeffekt aus einer bestimmten Metalloberfläche herausgeschlagen werden können, sei eine Austrittsarbeit von 4 ev notwendig. Welche Beschleunigungsspannung muss in einer Röntgenröhre mindestens eingestellt werden, damit die entstehende Röntgenstrahlung Elektronen aus diesem Metall auslösen kann? e) Welche Wellenlänge müssen einfallende Photonen haben, damit Elektronen nach der Photoemission aus oben genannter Metalloberfläche eine Geschwindigkeit von 3 Promille der Lichtgeschwindigkeit haben (nicht-relativistische Rechnung)?
Lösungsvorschlag A9 a) Anhand folgender Zeichnung kann man die Funktionsweise einer Röntgenröhre sehen: Elektronen, die z.b. aus einer Heizspule (Kathode K, Heizspannung U h ) emittiert werden, werden in einem evakuierten System durch eine Beschleunigungsspannung U a (typischerweise von mehreren 10 kv) auf eine Anode beschleunigt. Diese wird normalerweise aufgrund der hohen Wärmeentwicklung gekühlt. b) Im unten dargestellten Bild sieht man beispielhaft das Röntgenspektrum einer Rhodiumanode. Die beschleunigten e treffen auf die Anode und erzeugen zum einen kontinuierliche Bremsstrahlung, die aufgrund der Abbremsung der Elektronen im Coulombfeld der Atomkerne entsteht. Dieses Bremsstrahlungsspektrum ist nicht anodenspezifisch und lässt sich durch Anlegen unterschiedlicher Beschleunigungsspannungen verändern. Zum anderen gibt es charakteristische strahlung, die vom Anodenmaterial abhängt und sich in den scharfen Peaks äußert. Diese kommen dadurch, dass Elektronen durch Stöße mit den einfallenden Elektronen aus den inneren Schalen der Anodenatome herausgeschlagen werden. Die anschließende Kaskade der Elektronen aus den höheren Schalen sorgt für die materialspezifischen Linien (Hier sieht man die sogenannten K-Linien, die entstehen, wenn Elektronen von höheren Schalen auf die erste fallen.) c) Gibt ein Elektron seine gesamte kinetische Energie an ein Photon ab, erhält dieses die volle Energie. Diese Maximalenergie entspricht einer minimalen Wellenlänge, die also als Abbruchkante im Spektrum zu sehen ist.
d) Die Spannung muss mindestens 4 V betragen, da die Elektronen 4 ev Energie benötigen, um diese nach Teilaufgabe c) vollständig an ein Photon abgeben zu können (Sie dürfen auch mehr Energie haben). e) Es gilt: E kin = 1 mv = hc λ W A λ = hc W A + 1 = 197 nm m(0.003c) Hierbei ist λ die gesuchte Wellenlänge des Photons und W A die Austrittsarbeit des Metalls. Aufgabe 30: Spektroskopie von Natrium a) Benennen Sie die vier Quantenzahlen, die den Zustand eines Elektrons in einem Atom eindeutig festlegen. Nennen Sie außerdem die Werte, die diese Quantenzahlen jeweils annehmen dürfen. Vernachlässigen Sie für diesen Aufgabenteil die Spin-Bahn-Kopplung. Es liegt kein Magnetfeld an. b) Wieviele Elektronen hat ein neutrales Na-Atom? Zeichnen Sie die Belegung der Elektronen in den einzelnen Atomniveaus in ein Termschema ein. Betrachten Sie hierbei den Grundzustand des Atoms. c) Geben sie sowohl die Elektronenkonfiguration (Schreibweise z.b. 1s s...), als auch das Termsymbol S+1 L J des Na-Atoms im Grundzustand an. d) Weswegen bezeichnet man das Na-Atom als wasserstoffartiges Atom? Nennen Sie ein beliebiges anderes im elektrisch neutralen Zustand als wasserstoffähnlich zu bezeichnendes Atom, das schwerer ist als Natrium. Regt man das Natrium-Atom durch externe Energiezufuhr an, so kann das Valenzelektron (das ungepaarte Elektron in der obersten Schale) auf das 4p-Orbital verschoben werden. Das Elektron wird dann nach kurzer Zeit wieder in den Grundzustand zurückfallen und dabei Licht der Energie E γ aussenden (siehe folgendes, unvollständiges Termschema): Misst man die Energie dieser Spektrallinie mit hoher Auflösung, stellt man allerdings fest, dass eigentlich zwei eng benachbarte Linien mit einem Energieunterschied von weniger als 10 4 ev ausgesandt werden.
e) Erklären Sie qualitativ das Zustandekommen dieser Feinstruktur-Aufspaltung. Gehen Sie hierbei auch darauf ein, weswegen es genau zwei Linien sind und von welchen Quantenzahlen die Energie der Elektronenniveaus abhängt. f) Sie legen nun ein externes Magnetfeld an das Atom an. Müssen Sie für Natrium den normalen oder den anomalen Zeeman-Effekt berücksichtigen? Begründen Sie ihre Entscheidung kurz. g) Leiten Sie hieraus ab, in wieviele Niveaus verschiedener Energie das Orbital nl j = 4p 3 aufspaltet. Lösungsvorschlag A30 a) Hauptquantenzahl n mit n N Bahndrehimpulsquantenzahl l mit l [0; n 1] in ganzzahligen Schritten magnetische Quantenzahl, bzw. z-komponente des Bahndrehimpulses m l mit m l [ l; l] in ganzzahligen Schritten z-komponente des Spins m s = ± 1 b) Natrium hat 11 Elektronen. c) Die Elektronenkonfiguration ist 1s s p 6 3s 1 oder auch abgekürzt [Ne]3s 1. Da S = 1, L = 0 und J = 1, ist das Termsymbol S 1. d) Bis auf das äußere Valenzelektron im s-orbital sind alle Schalfen gefüllt. Dies ist z.b. auch bei Kalium so. e) Die Spin-Bahn-Kopplung führt zum Gesamtdrehimpuls J = L + S. Im semiklassischen Bild ist die Vorstelleung, dass das magnetische Moment des Spins an das Magnetfeld der Bahnbewegung des Elektrons koppelt. Es ergeben sich die Möglichkeiten für die Gesamtdrehimpulsquantenzahl j = l ± s = l ± 1 - also zwei Werte. Da die Energie nur von n und j abhängt und somit das p-orbital in Niveaus aufspaltet, das s-orbital aber nicht aufspaltet, ergeben sich zwei unterschiedliche Linien. f) Anomaler Zeeman Effekt, da Spin 0. g) Es gibt j + 1 = 4 verschiedene Energieniveaus - jeweils eines für m j = ± 1 ; ± 3