Zur Untersuchung zweidimensionaler Strömungen treffen wir folgende Vereinbarungen: 1. Vereinfachung der Nomenklatur: x x 2. Einheitsbreite in 1 2 x y x 3 u u 1 2 u v 2 2 2 2 u u v q Zweidimensionale inkompressible Strömungen (nicht nur Potentialströmungen) können vollständig durch die Stromfunktion x,y beschrieben werden. Die Stromfunktion wird definiert durch: y u, v x (2.4) 1
Mit der Stromfunktion wird die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Strömungen exakt erfüllt: 2 2 u v u x y yx xy 0 Eigenschaften der Stromfunktion: x, y const 1. Linien sind Stromlinien dx dy x, yconst d0 dx dy 0 x y u v S S1 2 2. Die Differenz von auf zwei Stromlinien und entspricht dem Volumenfluß zwischen diesen Stromlinien. 2
Box 21: Stromfunktion 3
Linien mit konstanter Potentialfunktion bezeichnet man als Potentiallinien. x,y dx dy x, yconst d0 dx dy 0 x y v u Potential- und Stromlinien bilden orthogonale Kurvenscharen: uv uv x x y y Zwischen Potential und Stromfunktion gelten die sogenannten Cauchy-Riemann- Differentialgleichungen: u, v x y y x (2.5) 0 4
Oft ist eine Darstellung zweidimensionaler Potentialströmungen in Polarkoordinaten zweckmäßig. Für die Transformation der Geschwindigkeit zwischen kartesischen und polaren Koordinaten gilt folgende Vorschrift: u r, ur cos sin u u sin cos v r, (2.6) 5
Die Ableitungen der Potentialfunktion nach Polarkoordinaten lassen sich wie folgt ermitteln: x rcos y rsin Mi und erhält man x y u cos v sin u r x r y r x y ursinvrcosru x y Damit auch in Polarkoordinaten Strom- und Potentiallinien orthogonal sind, muß man also fordern 1 1 0 r r r r 1 ur u 0 r r r 6
In Polarkoordinaten gilt also folgender Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Potentialfunktion und Stromfunktion: u r u r 1 r 1 r r (2.7) 7
Zusammenfassung einiger für das Weitere wichtigen Fakten aus der komplexen Analysis (Funktionentheorie): Komplexe Zahlen sind nichts anderes als eine spezielle Platzhalternotation für eine zwei-komponentige Vektordarstellung. Es zeigt sich, daß mit dieser Platzhalternotation viele Operation aus der reellen Analysis direkt auf die komplexe Analysis übertragbar sind. Darstellung von komplexen Zahlen, wobei xiy x,y i 1 8
Darstellung in: Kartesischen Koordinaten x,y z x iy Re z x Im z y Polarkoordinaten r, z i r e 2 2 r z x y y atan arg z x Eulersche Relation: i e cos i sin i e 1 9
Das konjugiert Komplexe einer komplexen Zahl erhält man durch Spiegelung an der reellen Achse: -i z xiy r e Damit gilt für den Betrag einer komplexen Zahl und für das Inverse einer komplexen Zahl z i Eine Funktion R I ist analytisch, wenn und I stetig differenzierbar sind und die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen erfüllen: z 2 2 zz z r 1 1 1 z z z i 2 2 z re r z zz f z f x,y f x,y f R f x R f y R fi y fi x f 10
f z z 0 z z' f z Eine Funktion ist konform, wenn sie analytisch ist und außerdem f ist. Die Abbildung ist dann winkeltreu: Wichtige Elementarfunktionen: 1. Exponentialfunktion 2. Trigonometrische Funktionen 3. Logarithmus e e e e z xiy x iy cos z Hauptzweig:, k-ter Nebenzweig e e 2 iz -iz sin z i e e 2i iz -iz ln z ln re ln r i z iarg z i2k k 0 k 0 11
Komplexe Differentiation: Eine komplexe Funktion ist differenzierbar, wenn z z unabhängig vom Weg der Annäherung existiert. f z lim zz f z f z z z Verallgemeinerung der Taylorreihe: Jede auf einem Kreisring konvergente Laurentreihe eine analytische Funktion dar. f z anz n n stellt dort 12
Komplexe Integration: Ist analytisch auf einem Gebiet bis auf isolierte Singularitäten (Punkte z, in denen f znicht definiert ist) und trifft bzw. umläuft der Integrationsweg keine Singularität, dann ist das Integral wegunabhängig S wobei f z A f z dz f z dz f z dz... f z dz F b F a S S S a df Fz f z dz 1 2 b 13
Komplexe Integration: Umläuft oder trifft ein geschlossener Integrationsweg, der ganz in liegt, Singularitäten, dann ist Hierin ist: p s p : Index der Singularität in S 2is p f z dz p Resf z : Umlaufzahl dieser Singularität Res f z : Residuum von f in p p A p z S A 14
Box 22: Integration 15
Box 23: Integration 16
2. Potentialströmungen Welche Beziehung wird durch den Ansatz einer Stromfunktion exakt erfüllt? Wie kann man für 2D Strömungen den Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien durch die Stromfunktion ausdrücken? Welche Beziehung besteht zwischen Stromlinien und Potentiallinien? Was versteht man unter einer analytischen Funktion und was unter einer konformen Abbildung? 17