2 Funktionentheorie im Gebiet

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1 2 Funktionentheorie im Gebiet Die von uns betrachteten Funktionen leben immer auf einem Gebiet G (das ist eine offene zusammenhängende Teilmenge) der komplexen Ebene oder der Riemannschen Zahlenkugel C. Oft handelt es sich dabei um Standardgebiete: die komplexe Einheitskreisscheibe D oder die obere (manchmal auch die rechte) Halbebene C +. Ein Gebiet G heißt einfach zusammenhängend, wenn sein Rand G eine zusammenhängende Teilmenge von C ist. Ein Gebiet G heißt n fach zusammenhängend, sein Rand G aus genau n paarweise disjunkten abgeschlossenen zusammenhängenden Teilmengen von C besteht.

2 2.1 Holomorphe und harmonische Funktionen Definition 2.1 Eine Funktion f : G C heißt im Gebiet G holomorph (oder analytisch), wenn sie in jedem Punkt von G (komplex) differenzierbar ist, d.h. für jedes z 0 G existiert die Ableitung f (z 0 ) := lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0. (1) Mit z = x + iy und Trennung in Real- und Imaginärteil erhält man die Darstellung f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) mit reellen Funktionen u und v. Satz 2.1 (Cauchy-Riemann-Gleichungen) Die Funktion f = u + iv ist genau dann im Gebiet G holomorph, wenn u und v in G einmal (und dann beliebig oft) stetig differenzierbar sind und dort die Differentialgleichungen erfüllen. x u = y v, y u = x v (2)

3 Mit den komplexen Differentialoperatoren (Wirtinger-Kalkül) z := 1 2 ( x i y ), z := 1 2 ( x + i y ) nehmen die C.-R.-Gleichungen die einfache Gestalt z f = 0 an. Der Operator z wird deshalb auch Cauchy-Riemann-Operator genannt. Ist f holomorph, gilt f = z f. Funktionen mit der komplementären Eigenschaft z f = 0 heißen auch antiholomorph.

4 Definition 2.2 Eine zweimal stetig differenzierbare (reell oder komplexwertige) Funktion f heißt im Gebiet G harmonisch, wenn dort gilt f := ( 2 x + 2 y) f = 0. Harmonische Funktionen sind der Untersuchungsgegenstand der Potentialtheorie. Der Differentialoperator heißt Laplace-Operator. Die Gleichung u = 0 wird Laplacegleichung genannt, ihre inhomogene Spielart u = f wird als Poissongleichung bezeichnet.

5 Aus der Darstellung f = 4 z z f = 4 z z f des Laplace-Operators folgt Satz 2.2 Jede in G holomorphe Funktion ist dort auch harmonisch. Insbesondere sind Real- und Imaginärteil jeder holomorphen Funktion (reell) harmonische Funktionen. Jedoch erzeugt nicht jedes Paar harmonischer Funktionen u und v eine holomorphe Funktion f = u + iv. Definition 2.3 Gelten für die stetig differenzierbaren reellen (harmonischen) Funktionen u und v die C.-R.-Differentialgleichungen, so heißt v zu u konjugiert harmonisch. Satz 2.3 Jede in einem einfach zusammenhängenden Gebiet G harmonischen Funktion u besitzt eine konjugiert harmonische Funktion v. Diese ist bis auf eine addititive Konstante eindeutig bestimmt. Der Satz gilt nicht in mehrfach zusammenhängenden Gebieten. Dort ist die konjugiert harmonische Funktion im allgemeinen mehrdeutig.

6 Eine praktische Bedeutung konjugiert harmonischer Funktion liegt in folgendem Resultat (Ü). Satz 2.4 Die Niveaulinien konjugiert harmonischer Funktionen sind zueinander orthogonal. Mit Hilfe konjugiert harmonischer Funktionen (oder holomorpher Funktionen) kann man also Scharen orthogonaler Kurven konstruieren. Sind z.b. in der Elektrostatik die Potentiallinien (Niveaulinien einer harmonischer Funktion) bekannt, so ergeben sich die Feldlinien als Niveaulinien der konjugiert harmonischen Funktion.

7 2.2 Anwendung: Ebene Potentialströmungen Es gibt verschiedene Probleme der mathematischen Physik, bei denen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen eine Rolle spielen. Wir geben eine Anwendung auf Probleme der ebenen Strömungslehre. Wir betrachten eine stationäre quellen- und wirbelfreie Strömung eines inkompressiblen und reibungsfreien Mediums. Die Geschwindigkeitskomponenten bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems (x, y, z) seien u, v, w. Ferner soll die Strömung parallel zur x-y-ebene verlaufen und von z unabhängig sein: u = u(x, y), v = v(x, y), w = 0. Eine solche Strömung wird ebene Potentialströmung genannt (z.b. Umströmung eines unendlich langen Zylinders quer zu seiner Achse). Ist D der von der Flüssigkeit ausgefüllte Bereich der x-y-ebene, so lauten die Bedingungen der Quell- und Wirbelfreiheit (Divergenz und Rotation) x u + y v = 0, y u x v = 0. Die komplexwertige Funktion f := u iv erfüllt also in D die C.-R.- Differentialgleichungen. Diese im Strömungsbereich holomorphe Funktion wird komplexe Geschwindigkeit genannt.

8 Speziell für die im Gebiet C \ {0} holomorphen Funktion f(z) = 1 z, f(z) = i z besitzen die Strömungsfelder folgenden Verlauf:

9 Ein anderer Zugang zu ebenen Strömungsproblemen führt über das Geschwindigkeitspotential. In einem einfach zusammenhängenden Gebiet besitzt das Geschwindigkeitsfeld (u, v) wegen der Rotationsfreiheit ein Potential (s. Analysis II), d.h. es gibt eine Funktion Φ mit u = x Φ, v = y Φ. Weiter gilt wegen der Divergenzfreiheit Φ = 2 xφ + 2 yφ = x u + y v = 0, d.h. Φ ist harmonisch. Die Funktion Φ wird (reelles) Geschwindigkeitspotential genannt. Die (bis auf eine Konstante bestimmte) zu Φ konjugiert harmonische Funktion Ψ ist die sogenannte Stromfunktion. Ihre Niveaulinien sind die Stromlinien. Die holomorphe Funktion Φ + iψ heißt komplexes Geschwindigkeitspotential. Der Zusammenhang zwischen komplexer Geschwindigkeit und komplexem Potential ist u iv = (Φ + iψ).

10 Beispiel 2.1 (Umströmung eines Kreiszylinders) Die holomorphe Funktion w = f(z) = Φ + iψ = 1 2 ( z + 1 ) z ( z > 1) wird als Joukovskiabbildung bezeichnet. Diese Funktion bildet das äußere des Einheitskreises auf die längs der Strecke [ 1, 1] aufgeschlitzte komplexe Ebene ab. Die Urbildkurven horizontaler Geraden sind die Niveaulinen des Imaginärteils und Stromlinien einer (von verschiedenen möglichen) ebenen Potentialströmung um einen (unendlich) langen Kreiszylinder. Der Imaginärteil Ψ ist dann die Stromfunktion und der Realteil Φ ist die Potentialfunktion der Strömung. Hieraus kann man das Geschwindigkeitsfeld der Strömung bestimmen.

11 Zylinderumströmung ohne Zirkulation und Parallelströmung flow around circular cylinder, circulation = 0 parallel flow, angle = 0 Das linke Bild entsteht aus dem rechten durch Zurückziehen mit der Joukovski-Abbildung w = f(z) = Φ + iψ = 1 2 ( z + 1 ) z ( z > 1) Die Stromlinien links sind die Niveaulinien des Imaginärteils von f.

12 Durch Überlagerung einer reinen Wirbelströmung können weitere Zylinderumströmungen (mit Zirkulation) berechnet werden. flow around circular cylinder, circulation = 0.3 flow around circular cylinder, circulation = 1 Ist die Zirkulation groß, so entsteht ein Staupunkt der Strömung. Die Zirkulation ist verantwortlich für den Auftrieb des Zylinders.

13 2.3 Integralsätze und Integralformeln Eine komplexwertige Funktion f : G C kann längs einer (differenzierbaren) orientierten Kurve Γ integriert werden. Ist γ : [α, β] G eine Parameterdarstellung der Kurve (man nennt γ auch einen Weg), so definiert man β f(z) dz := f(γ(t)) dγ (t) dt. dt γ α Weil der Wert dieses Integrals von der konkreten Parameterdarstellung unabhängig ist, setzt man f(z) dz := f(z) dz. Γ γ

14 Satz 2.5 (Cauchyscher Integralsatz) Ist die Funktion f im einfach zusammenhängenden Gebiet G holomorph, so hängt der Wert des Integrals nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges (in G) ab. Für geschlossene Wege γ gilt dann f(z) dz = 0. γ In mehrfach zusammenhängenden Gebieten gilt dies i.a. nicht. Sind aber zwei Wege γ 1 und γ 2 in G homotop, d.h. besitzen sie gleiche Anfangsund Endpunkte und können (unter Erhalt der Anfangs- und Endpunkte) in G stetig ineinander deformiert werden, so gilt wiederum für jede in G holomorphe Funktion f f(z) dz = f(z) dz. γ 1 γ 2

15 Multipliziert man die gegebene Funktion f vor der Integration mit der Cauchyschen Kernfunktion K(z, z 0 ) := 1 2πi 1 z z 0, so besitzt der Integrand im allgemeinen (falls f(z 0 ) 0 ist) im Punkt z 0 eine Polstelle, ist also nur im mehrfach zusammenhängenden ( punktierten ) Gebiet G \ {z 0 } holomorph. Die Bedeutung der Integrale dieses Typs ist aus dem folgenden Satz ersichtlich. Satz 2.6 (Cauchysche Integralformel) Sei f im einfach zusammenhängenden Gebiet G holomorph und γ G \ {z 0 } ein (stetig differenzierbarer) geschlossener Weg der z 0 einmal in mathematisch positiver Richtung umläuft. Dann gilt f(z 0 ) = 1 2πi γ f(z) z z 0 dz.

16 Eine wichtige Folgerung ist: Satz 2.7 (Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen) Ist f in G harmonisch und liegt die abgeschlossene Kreisscheibe K := {z C: z z 0 r} in G, so gilt die Mittelwertformel f(z 0 ) = 1 2π 2π 0 f(z 0 + re it ) dt. Für holomorphe Funktionen folgt die Aussage aus der Cauchyschen Integralformel. Harmonische Funktionen ergänzt man durch eine konjugiert harmonische Funktion zu einer holomorphen Funktion und trennt dann wieder Real- und Imaginärteil.

17 Aus der Mittelwertformel folgen weitere Resultate: Satz 2.8 (Maximumprinzip für harmonische Funktionen) Sei u eine reellwertige harmonische Funktion im Gebiet G. Wenn u in G ein Maximum (oder ein Minimum) annimmt, so ist u in G konstant. Satz 2.9 (Maximumprinzip für holomorphe Funktionen) Sei f im Gebiet G holomorph. Wenn f in G ein Maximum annimmt, so ist f in G konstant. Aus der Tatsache, daß f in G ein Minimum annimmt, folgt i.a. nicht die Konstanz von f. Ist dieses Minimum f(z 0 ) jedoch positiv, so ist f wiederum konstant. Zum Beweis betrachte man die in G holomorphe Funktion g(z) = 1/f(z).

18 Differentiation der Cauchyschen Integralformel nach z 0 ergibt eine Darstellung der Ableitungen holomorpher Funktionen durch ein Integral. Satz 2.10 (Cauchysche Integralformel II) Sei f im einfach zusammenhängenden Gebiet G holomorph und γ G \ {z 0 } ein (stetig differenzierbarer) geschlossener Weg der z 0 einmal in mathematisch positiver Richtung umläuft. Dann gilt für k = 0, 1, 2,... f (k) (z 0 ) = k! 2πi Γ f(z) dz (z z 0 ) k+1 Man kann ein Analogon der Cauchyschen Integralformel für Funktionen angeben, die reell differenzierbar aber nicht notwendig holomorph sind. Satz 2.11 (Borel-Pompeiu) Sei f im Gebiet G stetig differenzierbar nach x und y und G 0 ein einfach zusammenhängendes Teilgebiet mit G 0 G und positiv orientierter Randkurve Γ. Dann gilt für alle z 0 G 0 f(z 0 ) = 1 f(z) dz 1 z f(z) dx dy, 2πi z z 0 π z z 0 wobei z = x + iy. Γ G 0

19 2.4 Reihenentwicklungen Ein alternativer Zugang (Weierstrass) zu holomorphen Funktionen verwendet Darstellungen als Potenzreihen. Satz 2.12 (Taylorreihe) Eine Funktion ist f ist genau dann in der Kreisscheibe K = {z C : z z 0 < R} holomorph, wenn sie als in K konvergente Potenzreihe darstellbar ist, f(z) = c k (z z 0 ) k. k=0 In diesem Fall gilt für die Koeffizienten c k = f (k) (z 0 ) = 1 f(z) dz k! 2πi (z z 0 ) k+1 γ wobei γ ein in K verlaufender Weg ist, der z 0 einmal in positiver Richtung umläuft.

20 Mit Hilfe des Identitätssatzes für Potenzreihen kann man zeigen, dass zwei holomorphe Funktionen bereits dann übereinstimmen müssen, wenn sie auf einer genügend grossen Punktmenge die gleichen Werte annehmen. Satz 2.13 (Eindeutigkeitssatz für holomorphe Funktionen) Sind f und g im Gebiet G holomorph, gilt f(z k ) = g(z k ) für k = 1, 2, 3,... und besitzt die Punktmenge {z k } einen Häufungspunkt in G, so ist f = g. Die Aussage gilt nicht, wenn der Häufungspunkt auf dem Rand von G liegt. Harmonische Funktionen können durchaus auf größeren Mengen (z.b. auf Linien) übereinstimmen, ohne identisch zu sein, man braucht also stärkere Voraussetzungen. Satz 2.14 (Eindeutigkeitssatz für harmonische Funktionen) Sind f und g im Gebiet G holomorph und gilt f(z) = g(z) auf einer offenen Teilmenge von G, so ist f = g.

21 2.5 Das Argumentprinzip Das Argument arg z (der Polarwinkel) einer komplexen Zahl z 0 ist nur bis auf Vielfache von 2π definiert. Ist γ : [α, β] C \ {0} ein Weg, so kann man für den Anfangspunkt γ(α) einen Wert des Argumentes festlegen und dann für jedes t [α, β] das Argument von γ(t) so wählen, daß die Abbildung ϕ: [α, β] R, t arg(γ(t)) stetig wird. Ist γ ein geschlossener Weg, so unterscheiden sich ϕ(α) und ϕ(β) (höchstens) um Vielfache von 2π. Die ganze Zahl wind γ := 1 2π (ϕ(β) ϕ(α)) wird dann Windungszahl des Weges γ genannt. Die Windungszahl einer geschlossenen orientierten Kurve ist gleich der Windungszahl einer (jeder) ihrer Parameterdarstellungen. Analog kann man die Windungszahl um einen Punkt z 0 definieren, wenn dieser nicht auf dem Weg (der Kurve) liegt.

22 Satz 2.15 (Argumentprinzip) Ist f im einfach zusammenhängenden Gebiet G holomorph und liegen auf der einfachen geschlossenen positiv orientierten Kurve Γ G keine Nullstellen von f, so ist die Anzahl der Nullstellen von f im Inneren von Γ gleich der Windungszahl der Bildkurve f(γ) um den Nullpunkt. Der Satz ist geeignet, um die Anzahl der Nullstellen in einem bestimmten Gebiet festzustellen. Insbesondere kann man damit auch zeigen, daß keine Nullstellen in einem bestimmten Gebiet liegen. z.b. ist es für Stabilitätsuntersuchungen von dynamischen Systemen wichtig, daß eine zugeordnete holomorphe Funktion keine Nullstellen in der rechten Halbebene hat.

23 2.6 Die kolorierte analytische Landschaft Das Argument einer Funktion spielt auch bei Visualisierungen eine wichtige Rolle. Reellwertige Funktionen eines reellen Arguments lassen sich durch ihren Graph veranschaulichen. Der Graph einer holomorphen Funktion f lebt jedoch im vierdimensionalen Raum. Die beste Möglichkeit zur Veranschaulichung solcher Funktionen ist die kolorierte analytische Landschaft, das ist der Graph von f, dessen Fläche entsprechend dem Argument von f eingefärbt wird. Zur Festlegung der Farbe bedient man sich des üblichen Farbkreises. Farbdarstellung des Arguments des Einheitskreises

24 Die Bilder zeigen die analytische Landschaft und das Phasendiagramm der Funktion f(z) = z. 2 Phasenplot von z Im z Re z In vielen Fällen ist das Phasendiagramm viel aussagekräftiger, als die (ungefärbte) analytische Landschaft.

25 Die gefärbte analytische Landschaft enthält die komplette Information über die Funktion. Kolorierte analytische Landschaft von z Im z Re z Wenn die Funktionswerte sehr groß sind, empfiehlt sich die Verwendung des Graphen von log f.

26 Mit Hilfe des Argumentprinzips kann man aus dem Phasendiagramm die Ordnungen von Null- und Polstellen bequem ablesen. Kolorierte analytische Landschaft von (z 1)./(z. 2 +1) Phasenplot von (z 1)./(z. 2 +1) Im z Re z Im z 1 Re z

27 Das Bild zeigt das Phasendiagramm der Funktion f(z) = e 1/z, die eine wesentliche Singularität bei z = 0 hat.

28 Hier sehen wir das Phasendiagramm der Funktion f(z) = 1/(1 z) und der 100-ten Partialsumme ihrer Taylorreihe bei z 0 = 0. Wie erklärt sich das rechte Bild?

29 2.7 Konforme Abbildungen Der dritte Zugang (von Riemann) zur Funktionentheorie beginnt mit einer geometrischen Betrachtung. Eine Abbildung der Ebene heißt (eigentlich) winkeltreu oder konform, wenn sie die (orientierten) Schnittwinkel beliebiger glatter Kurven invariant läßt. Man betrachtet dann komplexwertige Funktionen w = f(z) als Abbildung der komplexen z-ebene auf die komplexe w-ebene und fragt, welche dieser Abbildungen winkeltreu sind. Satz 2.16 Eine (stetig reell differenzierbare) Abbildung f : D C C ist genau dann in D konform, wenn f : x + iy u + iv in D holomorph ist und dort f (z) 0 gilt. Holomorphe Funktionen f vermitteln lokale Ähnlichkeitstransformationen mit dem Streckungsfaktor f und dem Drehwinkel arg f.

30 Beispiel: Die Funktion w = f(z) = z i z + i wird Cayley-Abbildung genannt. Sie vermittelt eine umkehrbar eindeutige konforme Abbildung der (offenen) oberen Halbebene auf die (offene) Einheitskreisscheibe

31 Die Umkehrabbildung der Cayley-Abblidung ist z = i 1 + w 1 w

32 Beispiel: Die im Einheitskreis D definierte Funktion w = f(z) = e iα z z 0 1 z 0 z, z 0 D, α R heißt Blaschkefaktor. Sie vermittelt eine biholomorphe Abbildung des Einheitskreises D auf sich, wobei der Punkt z 0 in 0 abgebildet wird. Der Parameter α beschreibt einen Drehwinkel.

33 Eine zentrale Frage der Existenz von konformen Abbildungen lautet: Welche Gebiete G lassen sich konform und bijektiv (man sagt traditionell auch schlicht) auf die Einheitskreisscheibe abbilden? Aus rein topologischen Gründen können dies nur einfach zusammenhängende Gebiete sein. Das folgende Resultat zeigt, dass diese Bedingung auch (fast) hinreichend ist. Satz 2.17 (Riemannscher Abbildungssatz) Jedes einfach zusammenhängende Gebiet G C mit mindestens zwei Randpunkten läßt sich konform und bijektiv auf die Einheitskreisscheibe abbilden. Ist z 0 G beliebig gewählt, so ist diese Abbildung durch die Zusatzbedingungen f(z 0 ) = 0, f (z 0 ) > 0 eindeutig bestimmt.

34 Sind nun G 1 und G 2 zwei einfach zusammenhängende Gebiete und f 1, f 2 konforme Abbildungen von G j auf D, so kann eine konforme Abbildung von G 1 auf G 2 als Komposition f := f 1 2 f 1 gebildet werden. Wann kann eine konforme Abbildung bis auf die Ränder der Gebiete stetig fortgesetzt werden? Definition 2.4 Eine Abbildung ϕ: X Y heißt Homöomorphismus zwischen (metrischen Räumen) X und Y, wenn ϕ bijektiv ist und sowohl ϕ als auch ϕ 1 stetig sind. Definition 2.5 Ein Gebiet G heißt Jordangebiet, wenn sein Rand G homöomorph zur Einheitskreislinie ist. Satz 2.18 (Carathéodory-Osgood) Sei G ein Jordangebiet. Dann läßt sich jede bijektive ( schlichte ) konforme Abbildung f : G D zu einem Homöomorphismus zwischen G und D fortsetzen.

35 Eine wichtige Frage ist die Regularität von konformen Abbildungen auf der Abschließung des Gebiets, also insbesondere auf dem Rand (im Inneren des Gebiets sind konforme Abbildungen als holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar). Definition 2.6 Es sei k eine positive ganze Zahl. Ein Jordangebiet G gehört zur Glattheitsklasse C k wenn sein Rand Γ eine Parameterdarstellung γ : R Γ mit einer k-mal stetig differenzierbaren periodischen Funktion γ besitzt, deren Ableitung nirgends Null wird. Satz 2.19 (Warschawski) Ist G ein Jordangebiet der Glattheitsklasse C k mit k 1, so ist die Fortsetzung jeder konforme Abbildung f : G D auf G dort (k 1)-mal stetig differenzierbar, kurz f C k 1 (G). Dieser Satz läßt sich verschärfen. Z.B. gilt unter Verwendung von Hölder- Räumen f C k 1,α (G) für beliebiges α < 1. Man kann aber k 1 nicht durch k ersetzen, d.h. es gibt einen gewissen Glattheitsverlust.