Institut für Kryptographie und Sicherheit Prof. Dr. Jörn Müller-Quade Nachklausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2012/13 Vorname Nachname Matrikelnummer Hinweise Für die Bearbeitung stehen Ihnen 60 Minuten zur Verfügung. Zum Bestehen der Klausur sind 20 der 60 möglichen Punkte hinreichend. Es sind keine Hilfsmittel zugelassen. Schreiben Sie Ihre Lösungen auf Aufgabenblätter und Rückseiten. Zusätzliches Papier erhalten Sie bei Bedarf von der Aufsicht. Aufgabe mögliche Punkte erreichte Punkte a b c Σ a b c Σ 1 4 4 2 10 2 4 6-10 - 3 5 5-10 - 4 5 5-10 - 5 5 5-10 - 6 10x1 10 Σ 60
Seite 1 Aufgabe 1 (4+4+2 = 10 Punkte) a) Gegeben sei der folgende deterministische endliche Automat (DEA) mit dem Eingabealphabet Σ = {0, 1}. 0 1 0 q 1 0 q 1 q 2 Geben Sie einen deterministischen endlichen Automaten (DEA) an, der die gespiegelte Sprache akzeptiert. Das heißt, Ihre Lösung soll ein Wort w {0, 1} genau dann akzeptieren, wenn es rückwärts gelesen von dem oben gegebenen Automaten akzeptiert würde. Beispielsweise wird w = 01011 von dem obigen Automaten akzeptiert, Ihr Automat soll w = 11010 akzeptieren. Ist Ihre Lösung minimal? Hinweis: Es ist eventuell hilfreich, als Zwischenschritt zunächst einen nichtdeterministischen endlichen Automaten (NEA) für die gespiegelte Sprache anzugeben. 0,1
Seite 2 b) Geben Sie einen deterministischen endlichen Automaten (DEA) an, der genau die durch den folgenden regulären Ausdruck definierte Sprache über dem Alphabet Σ = {0, 1, 2} akzeptiert: 0 1 2 ( 0 (0 1 2) 0 ) ( 1 (0 1 2) 1 ) ( 2 (0 1 2) 2 )
Seite 3 c) Geben Sie einen endlichen Automaten (NEA oder DEA) an, der genau die Sprache aller durch 25 teilbaren Dezimalzahlen akzeptiert. Unter Dezimalzahlen verstehen wir hier alle Worte über dem Alphabet Σ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, führende Nullen sind also erlaubt. Das leere Wort kann als Darstellung der Null gehandhabt werden. Gehen Sie davon aus, dass Zahlen immer beginnend mit der höchstwertigen Ziffer eingelesen werden.
Seite 4 Aufgabe 2 (4 (2+2) + 6 (5+1) = 10 Punkte) a) Gegeben sei die Sprache L 1 = {a n b 2n n N}. 1. Geben Sie einen Kellerautomaten an, der L 1 akzeptiert. Der Automat soll mit leerem Keller akzeptieren. 2. Sei nun ein Kellerautomat M gegeben, der L 1 akzeptiert. Konstruieren Sie daraus einen Kellerautomaten, der die Sprache L 11 = {a n b 2n a m b 2m n, m N} akzeptiert.
Seite 5 b) Gegeben sei die Sprache L 2 = {a n b n c 2n n N}. 1. Zeigen Sie mit dem Pumping Lemma für kontextfreie Sprachen, dass L 2 nicht kontextfrei ist. 2. Ist L 2 regulär?
Seite 6 Aufgabe 3 (5 (2+3) + 5 = 10 Punkte) a) Gegeben seien zwei Sprachen L 1, L 2 Σ mit den folgenden Eigenschaften: L 1 ist entscheidbar. L 2 ist semi-entscheidbar, aber nicht entscheidbar. L 1 L 2 =. Es sei L 3 := L 1 L 2. Zeigen Sie (jeweils mit Begründung): (1) L 3 ist semi-entscheidbar. (2) L 3 ist nicht entscheidbar.
Seite 7 b) Gegeben sei die Sprache L = { M M hält auf allen Eingaben}, also die Sprache der Gödelnummern aller Turingmaschinen, die auf allen Eingaben halten. Ist L entscheidbar? Beweisen Sie Ihre Behauptung.
Seite 8 Aufgabe 4 (5+5 = 10 Punkte) a) Das Entscheidungsproblem SET-COVER ist folgendermaßen definiert. Gegeben: Eine endliche Menge M = {1,..., n}, Zahlen k, m N und eine Menge S = {S 1,..., S m } P(M) von Teilmengen von M. Frage: Gibt es k Indizes i 1,..., i k sodass j=1,...,k S i j = M? Zeigen Sie: SET-COVER ist NP-vollständig. Erinnerung: Das Entscheidungsproblem VERTEX-COVER wurde in der Vorlesung folgendermaßen definiert. Gegeben: Ein Graph G = (V, E) und eine Zahl k N. Frage: Gibt es k Kanten e i1,..., e ik (für j = 1,..., k) inzident ist? E sodass jedes v V an einem e ij
Seite 9 b) Wir definieren nun das Suchproblem SEARCH-SET-COVER. Gegeben: Eine endliche Menge M = {1,..., n}, eine Zahl k N und eine Menge S = {S 1,..., S m } P(M) von Teilmengen von M. = M gilt, falls sie existie- Gesucht: k Indizes i 1,..., i k sodass j=1,...,k S i j ren. Nehmen Sie nun an, dass Sie über ein Orakel verfügen, welches beliebige Instanzen des Entscheidungsproblems SET-COVER entscheidet. Geben Sie einen Polynomialzeit-Algorithmus an, welcher gegeben ein solches Orakel, das Suchproblem SEARCH-SET-COVER löst.
Seite 10 Aufgabe 5 (6 (3+3) + 4 (2+2) = 10 Punkte) a) 1. Gegeben sei der folgende [7,4]-Hamming-Code C mit Generatormatrix G und Prüfmatrix H. 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 G = 0 1 1 1, H = 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 Finden Sie mittels Syndromdecodierung ein Codewort c C, welches Hamming-Abstand 1 zu dem Wort c = (1 1 0 0 1 0 1) T besitzt. Welches Informationswort m gehört zu c? 2. Zeigen Sie: Die folgende Generatormatrix G erzeugt keinen gültigen [7,4]- Hamming-Code mit Minimaldistanz 3. 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 G = 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0
Seite 11 b) 1. Geben Sie eine binäre Huffman-Codierung für das Wort ananas an. Gehen Sie dabei davon aus, dass eine Quelle die Zeichen unabhängig voneinander ausgegeben hat. 2. Zeigen Sie, dass eine Kodierung von den Blättern eines Huffman-Baums ausgehend zur Wurzel keinen gültigen Huffman-Code erzeugt. Hinweis. Betrachten Sie den folgenden Huffman-Baum: 1 0,x 1 0 c 1 a 0 b
Seite 12 Aufgabe 6 (10 Punkte) Bei dieser Multiple-Choice-Aufgabe gibt jede richtige Antwort 1 Punkt; für jede e Antwort wird 1 Punkt abgezogen, die Gesamtpunktzahl der Aufgabe kann jedoch nicht negativ werden. Für nicht beantwortete Fragen (kein Kreuz) werden keine Punkte abgezogen. Sei L 0 die Menge der Sprachen vom Chomsky-Typ 0 über einem Alphabet A. Es gilt L 0 = 2 A. Wenn L a und L b kontextfreie Sprachen sind, dann ist immer auch L a L b kontextfrei. Ist eine Sprache L rekursiv aufzählbar, so ist auch ihr Komplement L rekursiv aufzählbar. Gilt NP conp, so ist P NP. Gilt P = NP, so ist jede Sprache L P NP-vollständig (mit Ausnahme der leeren Sprache und der Sprache, welche alle Wörter enthält). Es gilt P RP NP PP. Gegeben sei ein Kanal mit Eingangsverteilung X und Ausgabeverteilung Y. Die Äquivokation ist durch x X,y Y p(x, y) log 1 2( ) p(y x) gegeben. Huffman-Codes sind Kanalcodierungen. Für eine Funktion f : D B ist die Menge {y x D : f(x) = y} immer entscheidbar, falls f berechenbar, und D und B endlich sind. Das Eulerkreisproblem aus der Vorlesung ist auf SAT in Polynomialzeit reduzierbar.