Studiengang Bachelor Betriebswirtschaft Modul Wirtschaftsstatistik Art der Leistung Prüfungsleistung Klausur-Knz. BB-WST-P11-081129 Datum 29.11.2008 Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich: Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden. Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht. Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet. Bei numerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist. Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet. Bearbeitungszeit: 120 Minuten Hilfsmittel: Studienbriefe Anzahl Aufgaben: - 5 - HFH-Taschenrechner Höchstpunktzahl: - 100 - Bewertungsschlüssel Aufgabe 1 2 3 4 5 max. Punktzahl 20 20 20 20 20 Notenspiegel Note 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0 notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5-0 BB-WST-P11-081129-AUFGABEN Seite 1
Aufgabe 1: In nachstehender Tabelle sind die Forderungen einer Glaserei einer Kleinstadt am 30.06.2008 klassifiziert festgehalten. Forderungen in Euro von x i u bis unter x i o Anzahl f i der Forderungen 100 150 6 150 180 10 180 200 20 200 240 10 240 300 8 300 400 6 a) Berechnen Sie anhand einer geeigneten Arbeitstabelle für die vorstehenden klassifizierten Daten das arithmetische Mittel, die Varianz und die auf 4 Dezimalstellen gerundete Standardabweichung. b) Erweitern Sie Ihre Tabelle so, dass Sie durch Feinberechnung das 1. Quartil, den Median und das 3. Quartil bestimmen können. Nennen Sie den Interquartilsabstand. c) Bestimmen Sie anhand Ihrer Tabelle zu b) durch Feinberechnung das 4., 6. und 8. Dezil. In folgender Tabelle sind Ihnen für einen Elektrokonzern eines Landes die Gewinnindizes vor Steuern in der Reihe 1 für die Jahre 1999 bis 2003 mit dem Basisjahr 1998 und in der Reihe 2 für die Jahre 2003 bis 2007 mit dem Basisjahr 2003 gegeben. 5,5 P 6,5 P 4 P Jahr 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Reihe 1 101,4 102 108 111 120 Reihe 2 100 105 103,5 97,5 95 d) Verketten Sie die beiden Reihen durch Fortschreibung zu einer Reihe mit dem Basisjahr 1998. e) Verketten Sie die beiden Reihen durch Rückrechnung zu einer Reihe mit dem Basisjahr 2003. BB-WST-P11-081129-AUFGABEN Seite 2
Aufgabe 2: Ein Jäger trifft sein Ziel bei einem Schuss mit der Wahrscheinlichkeit 0,6. Er schießt insgesamt 14-mal, wobei die einzelnen Schüsse unabhängig vom Ergebnis vorheriger Schüsse sind. Es beschreibe x die Anzahl der Treffer bei den 14 unabhängigen Schüssen. a) Welche und wie viele Werte kann die Zufallsvariable x real annehmen? b) Wie ist x verteilt? Nennen Sie alle zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten notwendigen Parameter. c) Wie lauten der Mittelwert (1 Dezimalstelle), die Varianz (2 Dezimalstellen) und die auf 3 Dezimalstellen gerundete Standardabweichung? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Jäger bei den 14 Schüssen genau 11- mal trifft? (6 Dezimalstellen) e) Sind 8 Treffer wahrscheinlicher, gleich wahrscheinlich oder weniger wahrscheinlich als 9 Treffer bei den 14 Schüssen? (6 Dezimalstellen) f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 14 Schüssen mindestens 8 und höchstens 11 Treffer erzielt werden? (Zwischenergebnisse mit 6 Dezimalstellen, das Ergebnis mit 5 Dezimalstellen) g) Ist es wahrscheinlicher bei 14 Schüssen genau 7-mal oder genau 10-mal zu treffen? (6 Dezimalstellen) 4 P 5 P Aufgabe 3: In der folgenden Tabelle sind die Mengen- und Preisentwicklungen eines fiktiven Warenkorbes mit den Gütern A, B, C, D, E und F für die Jahre 2005, 2006 und 2007 festgehalten. Waren- 2005 2006 2007 korb Menge Preis ( ) Menge Preis ( ) Menge Preis ( ) A 14,0 10,00 14,0 10,20 11,6 12,00 B 9,0 12,00 10,0 12,00 10,0 12,00 C 12,0 8,00 13,0 8,15 12,0 8,50 D 18,0 9,00 17,0 9,50 18,0 9,50 E 31,0 14,00 28,5 14,50 28,0 15,00 F 10,0 6,00 14,0 5,25 9,0 7,00 a) Bestimmen Sie die Preisindizes nach Laspeyres für die Berichtsjahre 2006 und 2007 mit dem Basisjahr 2005. (bis zu 2 Dezimalstellen) b) Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse zu a). 5 P c) Berechnen Sie die Preisindizes nach Paasche für die Berichtsjahre 2006 und 2007 mit dem Basisjahr 2005. d) Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse zu c). 5 P 5 P 5 P BB-WST-P11-081129-AUFGABEN Seite 3
Aufgabe 4: Ein Betrieb möchte in Erfahrung bringen, ob zwischen dem Alter x einer Präzisionsmaschine in Jahren und den jährlichen Wartungskosten y in 1000 ein tendenziell linearer Zusammenhang besteht. In der folgenden Tabelle sind für diesen Zweck die nachstehenden Datenpaare aufgeführt. Alter x in Jahren 1 2 4 6 7 10 jährl. Wartungskosten y in 1000 3 4 10 15 16 24 a) Berechnen Sie mit Hilfe einer geeigneten Arbeitstabelle den auf 3 Dezimalstellen gerundeten Wert des Korrelationskoeffizienten, und interpretieren Sie Ihre Entscheidung in Bezug auf einen vermuteten tendenziell linearen Zusammenhang zwischen dem Alter x in Jahren und den jährlichen Wartungskosten y in 1000. b) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x. (3 Dezimalstellen) c) Welche jährlichen Wartungskosten in der Einheit 1000 sind bei einem Alter von 5 Jahren bzw. 9 Jahren der Maschine im Mittel zu erwarten? d) Zeigen Sie rechnerisch, dass beide Regressionsgeraden durch den Punkt ( x, y) verlaufen. 6,5 P 4,5 P 6 P Aufgabe 5: In einer Fabrik wird mit einer Abfüllanlage Weinsauerkraut in Konserven abgefüllt. Die Abtropfmasse x des Weinsauerkrautes sei normalverteilt mit dem Mittelwert µ x = 480 g und der Standardabweichung σ x = 1,25 g. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Abtropfmasse einer der umfangreichen Produktion zufällig entnommenen verkaufsfertigen Konserve a) höchstens 481,1 g beträgt? (3 Dezimalstellen) b) weniger als 478,1 g beträgt? (3 Dezimalstellen) c) mehr als 481,7 g beträgt? (3 Dezimalstellen) d) mindestens 479,2 g und maximal 483,7 g beträgt? (3 Dezimalstellen) 4 P e) genau 480 g beträgt? f) Ein zu µ x =480 symmetrisches Intervall [ µ x c ; µ x +c ] mit c>0 heißt für eine normalverteilte Zufallsvariable x ein zentrales Schwankungsintervall. Wie lautet für die Abtropfmasse x das zentrale Schwankungsintervall, in das die Werte von x mit der 5 P Wahrscheinlichkeit 0,94 fallen? (2 Dezimalstellen) Viel Erfolg! BB-WST-P11-081129-AUFGABEN Seite 4
Studiengang Bachelor Betriebswirtschaft Modul Wirtschaftsstatistik Art der Leistung Prüfungsleistung Klausur-Knz. BB-WST-P11-081129 Datum 29.11.2008 Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich vorgeschrieben: Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet. Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen. Stossen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor. Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung eines Teilschritts führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weiter gerechnet, erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug. Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor: Erstkorrektur in rot, evtl. Zweitkorrektur in grün. Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebene Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in die Ergebnisliste ein. Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Notenschema zu Grunde zu legen: Note 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0 notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5 0 Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 17. Dezember 2008 an Ihr Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich Ihrem Studienzentrumsleiter anzuzeigen. Bewertungsschlüssel Aufgabe 1 2 3 4 5 max. Punktzahl 20 20 20 20 20 BB-WST-P11-081129-KORREKTURRICHTLINIE Seite 1
Lösung Aufgabe 1: a) von x u o 2 i bis unter x i x i f i x i f i (xi x) 2 (xi x) fi 100 150 125 6 750 7396 44376 150 180 165 10 1650 2116 21160 180 200 190 20 3800 441 8820 200 240 220 10 2200 81 810 240 300 270 8 2160 3481 27848 300 400 350 6 2100 19321 115926 60 12.660 218.940 12660 x = = 211 2 218940 s = = 3. 649 s = 3649 60, 4070 60 60 b) von x i u bis unter x i o f i f c i 100 150 6 6 150 180 10 16 180 200 20 36 200 240 10 46 240 300 8 54 300 400 6 60 0,25 60 = 15 0,50 60 = 30 0,75 60 = 45 15 6 Q1 = 150 + 30 = 177 10 30 16 Q2 = 180 + 20 = 194 20 45 36 Q3 = 200 + 40 = 236 10 IQ = Q Q = 236 177 = 59 3 1 c) 24 16 0,40 60 = 24 D4 = 180 + 20 = 188 20 0,60 60 = 36 D = 200 6 48 46 0,80 60 = 48 D8 = 240 + 60 = 255 8 1½ P 1½ P 1½ P 1½ P 1½ P Jahr 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 d) Reihe 1 101,4 102 108 111 120 126 124,2 117 114 e) Reihe 2 84,5 85 90 92,5 100 105 103,5 97,5 95 BB-WST-P11-081129-KORREKTURRICHTLINIE Seite 2
Lösung Aufgabe 2: a) x kann real nur die 15 Werte 0, 1, 2,, 14 annehmen. b) x ist binomialverteilt mit den Parametern n=14 und p=0,6. c) µ x = E(x) = n p = 14 0,6 = 8,4 2 σ x = n p (1 p) = 14 0,6 0,4 = 3,36 σ x = 3,36 1,833 d) 14 11 3 p(x = 11) = 0,6 0,4 0,084517 11 e) 14 8 6 p(x = 8) = 0,6 0,4 0,206598 8 14 9 5 p(x = 9) = 0,6 0,4 0,206598 9 f) g) 8 bzw. 9 Treffer sind gleich wahrscheinlich. (Ein exakter Nachweis wird nicht erwartet.) 14 10 4 p(x = 10) = 0,6 0,4 0,154948 10 p(8 x 11) 0,206598 + 0,206598 + 0,154948 + 0,084517 0,65266 14 7 7 7 p(x = 7) = 0,6 0,4 0,157408 Aus dem Zwischenergebnis zu f) folgt, dass 7 Treffer wahrscheinlicher als 10 Treffer sind. BB-WST-P11-081129-KORREKTURRICHTLINIE Seite 3
Lösung Aufgabe 3: a) 05/06 14 10,2 + 9 12 + 12 8,15 + 18 9,5 + 31 14,5 + 10 5,25 1021,6 PL = 100 = 100 = 14 10 + 9 12 + 12 8 + 18 9 + 31 14 + 10 6 1000 = 102,16 05/07 14 12 + 9 12 + 12 8,5 + 18 9,5 + 31 15 + 10 7 1084 PL = 100 = 100 = 108,4 14 10 + 9 12 + 12 8 + 18 9 + 31 14 + 10 6 1000 b) Die Preise sind 2006 unter Verwendung der Mengen des Basisjahres 2005 gegenüber 2005 im Durchschnitt um 2,16 % gestiegen. c) d) Die Preise sind 2007 unter Verwendung der Mengen des Basisjahres 2005 gegenüber 2005 im Durchschnitt um 8,4 % gestiegen. 05/06 14 10,2 + 10 12 + 13 8,15 + 17 9,5 + 28,5 14,5 + 14,5 5,25 1017 PP = 100 = 100 14 10 + 10 12 + 13 8 + 17 9 + 28,5 14 + 14 6 1000 = 101.7 05/07 11,6 12 + 10 12 + 12 8,5 + 18 9,5 + 28 15 + 9 7 1015,P = 100 = 100 108 11,6 10 + 10 12 + 12 8 + 18 9 + 28 14 + 9 6 940 = Die Preise sind 2006 unter Verwendung der Mengen des Berichtsjahres 2006 gegenüber 2005 im Durchschnitt um 1,7 % gestiegen. Die Preise sind 2007 unter Verwendung der Mengen des Berichtsjahres 2007 gegenüber 2005 im Durchschnitt um 8 % gestiegen. BB-WST-P11-081129-KORREKTURRICHTLINIE Seite 4
Lösung Aufgabe 4: a) x i y i x i 5 y i 12 (x i 5) 2 (y i 12) 2 (x i 5)( y i 12) 1 3 4 9 16 81 36 2 4 3 8 9 64 24 4 10 1 2 1 4 2 6 15 1 3 1 9 3 7 16 2 4 4 16 8 10 24 5 12 25 144 60 30 72 56 318 133 30 72 133 x = = 5 y = = 12 r = 6 6 56 318 0, 997 Da r sehr nahe an +1 liegt, kann von einem relativ sehr guten tendenziell linearen Zusammenhang gesprochen werden. b) 133 byx = = 2,375 56 ayx = y byx x = 12 2,375 5 = 0,125 Die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x lautet: ŷ = 0,125 + 2,375x c) ŷ(5) = 0,125 + 2,375 5 = 12 ŷ(9) = 0,125 + 2,375 9 = 21,5 d) 133 bxy = 318 133 1 axy = x bxy y = 5 12= 318 53 Die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von x auf y lautet: 1 133 ˆx = + y. 53 318 ŷ(5) = 12 siehe c) 1 133 ˆx(12) = + 12 = 5 53 318 BB-WST-P11-081129-KORREKTURRICHTLINIE Seite 5
Lösung Aufgabe 5: a) b) c) d) e) f) 481,1 480 p(x < 481,1) = p z = p(z 0,88) = = 0,5 + p(0 z 0,88) 0,5 + 0,311 0,811 478,1 480 p(x < 478,1) = p z = p(z 1,52) = = 0,5 p(0 z 1,52) 0,5 0,436 0,064 481,7 480 p(x > 481,7) = p z = p(z 1,36) = = 0,5 p(0 z 1,36) 0,5 0,413 0,087 479,2 480 483,7 480 p( 479,2 x 483,7) = p z = = p( 0,64 z 2,96) = p(0 z 0,64) + p(0 z 2,96) 0,239 + 0,498 0,737 p( x = 480) =0 480 c 480 480 + c 480 p(480 c x 480 + c) = p z = c c c = p z 2 p 0 z 0,94 = = c c p 0 z 0, 47 1, 88 c 1, 88 2, 35 = 4 P Das gesuchte zentrale Schwankungsintervall lautet: [ 480 2,35 ; 480 2,35] [ 477,65 ; 482,35] + BB-WST-P11-081129-KORREKTURRICHTLINIE Seite 6