09 / 00 A zu a) Gozinto - Graph Aufbau der Gozinto - Graph besteht wie eder Graph aus einer Menge von Punkten bzw. Knoten, die teilweise durch Linien bzw. Kanten oder auch Pfeile miteinander verbunden sind. Knoten stehen für Erzeugnisse und Rohstoffe der Mehrstufenfertigung Pfeile stellen die Mengenbeziehung zwischen den Gütern dar. Die Zahlenangaben kennzeichnen die Input - Output - Relationen (Produktionskoeffizienten) Ein Pfeil ist zwischen zwei Knoten angeordnet. Gozinto - Graphen lassen sich mit Primär- als auch Gesamtbedarfsangaben aufstellen Gozinto Graphen stellen die direkten Mengenbeziehung zwischen Rohstoffen, Zwischen- und Endprodukten dar. Einsatzvoraussetzungen Gozinto - Graphen sind bei linearer Erzeugnisstruktur verwendbar. Gozinto - Graphen sind bei vernetzter Erzeugnisstruktur verwendbar. Sind die vernetzten Erzeugnisstrukturen sehr komplex mit vielen Produkten und verschiedenen Produktionskoeffizienten, so werden Gozinto - Graphen schnell unübersichtlich. Gozinto - Graphen sind untauglich, wenn Schleifen innerhalb der Erzeugnisstruktur dadurch auftreten, dass während des Fertigungsvorgangs Produktmengen höherer Produktionsstufen zu niedrigen Stufen zurückfließen, die dann wieder in die Erzeugnisse nachgelagerter Stufen eingehen. Hier muss die Lösung mit einem linearen Gleichungssystem gesucht werden. Tom Bohn / Rolf Baumanns SS 007 Seite 1
b) Vorgehensweise: Aus der Tabelle in der Aufgabenstellung ist normalerweise schnell zu ersehen, wie viel Güter in den Gozintographen einzutragen sind: hier 7. des weiteren kann man sofort erkennen, wie viele davon Rohstoffe sind, nämlich die mit Beschaffungskosten: hier 3 der erste Satz der Aufgabenstellung sagt, wie viele Endprodukte hergestellt werden: hier Mit diesen Informationen kann man normalerweise relativ einfach sofort einen sauberen Graphen zeichnen, weil man weiß, wie viele Knoten in welcher Ebene zu zeichnen sind: hier drei Ebenen, in der unteren 3 Rohstoffknoten, in der mittleren zwei Zwischenproduktknoten und in der oberen zwei Endproduktknoten. Die Knoten sind entsprechend durchzunummerieren. Endprodukte 6 7 Zwischenprodukte 5 Rohstoffe 1 3 Diese Knoten werden nun so mit Pfeilen verbunden, wie die Beziehungen in der Aufgabenstellung genannt sind. Darüber hinaus ist es sinnvoll, Abgänge (beispielsweise Mengen an Endprodukten oder Zwischenprodukten für besondere Verwendungen) sowie Eingänge (beispielsweise Lagerbestände oder Rohstoffrestriktionen) mit Pfeilen an die entsprechenden Knoten zu zeichnen (siehe dazu Lösung Aufgabe 3 aus 9/97): Hier nur Abgänge an Endprodukten. Im Skript und in Teil a) steht, man soll die Mengen in die Knoten schreiben. Laut Aussage von Frau Fistek, die eben diese Aufgabe auch vorgestellt hat, ist das nur notwendig, wenn es explizit in der Aufgabenstellung steht. Ich habe es nicht so gemacht, weil ich so einen besseren Überblick habe. Es empfiehlt sich, die bereits eingezeichneten Beziehungen in der Aufgabenstellung durchzustreichen oder sonst wie kenntlich zu machen. So vergisst man nichts. Die fertige Lösung zu b) sieht demzufolge so aus: 00 00 6 7 3 5 8 10 6 1 3 Tom Bohn / Rolf Baumanns SS 007 Seite
c) Das Aufstellen des linearen Gleichungssystems erfolgt nach der Regel 1 Mengeneinheit des Knotens = Summe der nachfolgenden (!) Produkte multipliziert mit dem entsprechenden Produktionskoeffizienten + Abgänge (wie bspw. Verkaufsmenge oder Ersatzteile) - Eingänge (wie bspw. Lagerbestände) Gestartet wird am sinnvollsten mit den Rohstoffen. Die Lösung zu c) sieht also folgendermaßen aus: x 1 = x 6 x = 8 x x 3 = 10 x + 6 x 5 x = x 5 + x 6 x 5 = 3 x 7 x 6 = 00 x 7 = 00 und es ergibt sich nach Einsetzen: x 5 = 3 x 00 = 600 x = x 600 + x 00 = 3.00 x 3 = 10 x 3.00 + 6 x 600 = 35.600 x = 8 x 3.00 = 5.600 x 1 = x 00 = 1.600 d) Die Schwierigkeit liegt in der richtigen Zuordnung der Indizes. Es ist auch nützlich, die Einheiten zu überprüfen und gegebenenfalls anzupassen. Die Stückkosten der Herstellung sind die Summe der Materialkosten und Fertigungskosten behaftet mit den Ausschusskoeffizienten k ( x ) = ( Materialkosten + Fertigungskosten) Auschusskoeffizient D.h. bezogen auf die Tabelle in der Aufgabenstellung ( x ) = ( ( qm PK M ) + ( ai ki )) d k mit den einzusetzenden Variablen Tom Bohn / Rolf Baumanns SS 007 Seite 3
q als Preis des eingehenden Produkts, PK als dessen Produktionskoeffizient (aus dem Gozintograph(!!) abzulesen), M als Index für alles Material, aus dem das Produkt besteht, a als Produktionskoeffizient (der Fertigung auf der Maschine (!!), aus der Tabelle), k als Fertigungskostensatz, als Index des zu berechnenden Zwischenprodukts (siehe Tabelle) und i als Index der Maschine, auf der es gefertigt wird (siehe ebenfalls Tabelle). Es ist sinnvoll, mit den Zwischenprodukten, die nur aus Rohstoffen gefertigt werden, zu beginnen und mit den Endprodukten zu enden. Zugänge vom Lager werden nicht berücksichtigt. Laut Aussage von Frau Fistek. Argument ist bspw., dass die auch irgendwann mal produziert worden sind. Lösung zu d) Die Einheiten sind [ /ME] resp. [ZE/ME] x [ /ZE] = [ /ZE], also i.o. Zwischenprodukt => = ; i = 3 es werden verwendet Rohstoff (q, PK - ) und 3 (q 3, PK 3- ) k = ( x 8 + 3 x 10 + 1 x 7) x 1, = 63,6 [ /ME] Zwischenprodukt 5 => = 5, i = 3 es werden verwendet Rohstoff 3 (q 3, PK 3-5 ) und Zwischenprodukt (k, PK -5 ) k 5 = (3 x 6 + 63,6 x + x 7) x 1,1 = 315,0 [ /ME] Endprodukt 6 => = 6, i = 1 es werden verwendet Rohstoff 1 (q 1, PK 1-6 ) und Zwischenprodukt (k, PK -6 ) k 6 = ( x + 63,6 x + 3 x 5) x 1,1 = 17,0 [ /ME] Endprodukt 7 => = 7; i = es wird nur Zwischenprodukt 5 verwendet (k 5, PK 5-7 ) k 7 = (315,0 x 3 + 3 x 6) x 1,05 = 1.011,8 [ /ME] e) Diese Aufgabenstellung macht nur Sinn, wenn sich ein Engpass ergibt. Stellt man bei der Prüfung fest, dass es keinen oder mehr als einen gibt, hat man sich irgendwo verrechnet. Zugänge vom Lager werden nicht berücksichtigt. Argument des Lehrstuhls: Es geht um eine kontinuierliche Fertigung und irgendwann ist edes Lager mal leer. Die Prüfung auf einen Engpass erfordert ein gegebenes Produktionsprogramm. Die geforderten Mengen werden mit den Produktionskoeffizienten und den Ausschusskoeffizienten aller (!) an der Produktion für das Produkt beteiligten Maschinen, also auch der Zwischenprodukte, bewertet und den Restriktionen gegenübergestellt. Tom Bohn / Rolf Baumanns SS 007 Seite
Anschließend wird ein engpassbezogener Deckungsbeitrag ermittelt, um das optimale Produktionsprogramm bestimmen zu können. Mit dem optimalen Programm wird der Gewinn ermittelt. Die Ermittlung des Engpasses ist die Schwierigkeit der Aufgabe. Die (Gesamt-)Belegung b einer Maschine i ist die Summe aller Belegungen durch auf dieser Maschine gefertigten Zwischen- und Endprodukte. Diese Belegungen errechnen sich aus der tatsächlich benötigten Menge des Produkts multipliziert mit dem Produktionskoeffizienten aus der Tabelle in der Aufgabenstellung. b i = Σ [(x x d ) x a i ] Diese Formel ist für Endprodukte ohne weitere Überlegung benutzbar, da die Menge x aus den Berechnungen des Gozintographen bekannt ist. Für Zwischenprodukte muss beachtet werden, dass die tatsächlich benötigte Menge abhängig ist von den tatsächlich benötigten Mengen der nachfolgenden Produktionsschritte. Die für das Zwischenprodukt tatsächlich benötigte Menge x, welche dann in die obige Formel eingesetzt werden muss, errechnet sich aus dem Produktionskoeffizienten (siehe Relation zwischen den zu betrachtenden Produkten im Gozintograph) multipliziert mit der aus der Berechnung des Gozintographen bekannten Menge und deren Ausschusskoeffizienten (!). Mathematisch ausgedrückt: x = PK NP x (x NP x d NP ) Der Index NP steht dabei für Nachfolgendes Produkt Es ist auf eden Fall sinnvoll, die Berechnung mit den Endprodukten zu starten, da diese definitiv keine Nachfolgeprodukte haben. Sind die Maschinenbelegungen b i auf diese Weise errechnet, vergleicht man sie mit den gegebenen (Maximal-)Kapazitäten b i aus der Aufgabenstellung und ermittelt so die Engpassmaschine. b i [< > (?)] b i Das optimale Produktionsprogramm ergibt sich aus der Rangfolge der engpassbezogenen Deckungsbeiträge der Produkte auf der Engpassmaschine. Der engpass(maschinen-)bezogene Deckungsbeitrag ergibt sich aus rel DB = (Preis Stückkosten) x Bearbeitungszeit/Menge rel DB = (p k ) x b /x Tom Bohn / Rolf Baumanns SS 007 Seite 5
Lösung zu e) gefordertes Programm x 6 = 00 x 7 = 100 Restriktionen: Maschine 1: b 1 = 700 Maschine : b = 500 Maschine 3: b 3 =.000 Engpassermittlung: Maschine 1 wird nur von Produkt 6 belegt (keine nachfolgenden Produktionsschritte) x 6 = X P6 x d 6 x a 61 x 6 = 00 x 3 x 1,1 = 660 < 700 kein Engpass Maschine wird nur von Produkt 7 belegt (keine nachfolgenden Produktionsschritte) x 7 = X P7 x d 7 x a 7 x 7 = 100 x 3 x 1,05 =315 < 500 kein Engpass Maschine 3 wird von den Zwischenprodukten und 5 belegt (nachfolgenden Produktionsschritte!!) Ich habe ab hier Indizes in Kursiv und Fett benutzt. Sie besagen, in welches nachfolgende (End- )Produkt das benannte eingeht, bspw x 6 für x in Produkt 6 Aus dem Gozintographen ersieht man, dass x 6 = x 6 für das Endprodukt 6 benötigt werden, unter Berücksichtigung des Ausschusses auch der nachfolgenden Produktionsschritte (!) also eine Menge von x 6 = (x 6 x d 6 ) Für das Endprodukt 7 werden mit Ausschuss benötigt x 5 7 = 3 (x 7 x d 7 ) wobei das Zwischenprodukt 5 nochmals Zwischenprodukt beinhaltet! Es muss also eine Menge x 5 produziert werden. x 5 = (x 5 7 x d 5 ) => x 5 = x ((3 x 7 x d 7 ) x d 5 ) Demzufolge berechnet sich die Maschinenbelegung 3 mit x 6 x d x a 3 = ( x 00 x 1,1) x 1, x 1 = 58 x 5 7 x d 5 x a 35 = (3 x 100 x 1,05) x 1,1 x = 693 x 7 x d x a 3 = (x (3 x 100 x 1,05) x 1,1) x 1, x 1 =1.663,.88, > 000 Maschine 3 ist also der Engpass! Berechnung des engpassbezogenen Deckungsbeitrages rel DB 6 = (00 17,0) x [58/00] = 9,8 [ /ZE] rel DB 7 = (1.100 1.011,8) x [(693 + 1663,)/100] = 3,77 [ /ZE] rel DB 6 > rel DB 7 => Es wird das maximalmögliche an Endprodukt 6 produziert. Tom Bohn / Rolf Baumanns SS 007 Seite 6
00 Mengeneinheiten von x 6 beanspruchen eine Kapazität von 58 < 000 => alle 00 x 6 werden produziert Restkapazität für x 7 : 000 58 = 1.7 1.7 / [(693 + 1.663)/100] = 6,7 Mengeneinheiten Das gewinnmaximale Produktionsprogramm unter Restriktionsbedingungen ist also x 6 = 00 x 7 = 6,7 Gewinn: (00 17,0) x 00 + (1.100 1.011,8) x 6,7 = 10.738,3 Tom Bohn / Rolf Baumanns SS 007 Seite 7
Lösung zu Aufgabe 3 aus 9/97 zu a) Tabelle => 7 Produkte, davon Rohstoffe. Erster Satz Aufgabenstellung => Endprodukte => 3 Zwischenprodukte => Gozintographknoten 1 3 5 6 7 dann Pfeile, Koeffizienten, Mengen (noch nicht die Lösung, da in Aufgabenstellung die Eintragung der Gesamtbedarfe in Gozintographen gefordert!!) 100 100 1 1 50 3 5 100 1 6 7 1 Mengeneinheit des Knotens = Summe der nachfolgenden (!) Produkte multipliziert mit dem entsprechenden Produktionskoeffizienten + Abgänge (wie bspw. Verkaufsmenge oder Ersatzteile) - Eingänge (wie bspw. Lagerbestände) => Lösung zu a) x 7 = 1x 3 + x + x 5 x 6 = x 3 + x + x 5 x 5 = x + 100 x = x 1 + x + x 3 x 3 = 1x 1 50 x = 100 x 1 = 100 => x 3 = 100 50 = 50 x = 00 + 00 + 100 = 700 Tom Bohn / Rolf Baumanns SS 007 Seite 8
x 5 = 100 + 00 = 300 x 6 = 100 + 100 + 600 = 100 x 7 = 50 + 100 100 = 650 1 1 100 100 3 50 1 700 300 6 100 7 650 zu b) Bedarfe können nicht negativ werden! Das würde Schlaraffenland bedeuten und den Annahmen für Technologie widersprechen. => Lösung zu b) x 3 = 1x 1 150 x 1 = 100 (aufgrund ansonsten unveränderter Situation) => x 3 = 100 150 = -50 (!) => x3 = 0 x 3 hat keinen Einfluss auf x und x 5 (aufgrund ansonsten unveränderter Situation) x = 100 x 5 = 300 x, x 6, x 7 müssen neu berechnet werden x = 00 + 00 + 0 = 600 x 6 = 0 + 100 + 600 = 1800 x 7 = 0 + 100 + 100 = 00 zu c) ( x ) = ( ( qm PK M ) + ( ai ki )) d k Anfangen mit Zwischenprodukten, die nur aus Rohstoffen bestehen. => Lösung zu c) k 5 = ( x + x + 3 x ) x 1,5 = 30 k = ( x + x + 1 x ) x 1,5 = 15 k 3 = ( x + 1 x + x 15 + x ) x 1,05 = 6, k = ( x 15 + x 30 + 3 x 3) x 1,1 = 11,9 k 1 = (1 x 6, + x 15 + x 3) x 1,05 = 86,3 Tom Bohn / Rolf Baumanns SS 007 Seite 9
zu d) b i = Σ [(x x d ) x a i ] mit x = PK NP x (x NP x d NP ) (für die Zwischenprodukte!!) b i [< > (?)] b i rel DB = (p k ) x b /x => Lösung zu d) Maschine 1: Produkt 1 und, keine Nachfolger (100 x 1,05) x = 10 (100 x 1,1) x 3 = 330 Σ 50 < 600 kein Engpass Maschine : Produkt 3 und, mit Nachfolgern (!!) 3 in 1 (1 x ( 100 x 1,05) x 1,05) x = 0,5 in 1 ( x (100 x 1,05) x 1,5) x 1 = 6,5 in 3 für 1 ( x (1 x (100 x 1,05) x1,05) x 1,5) x 1 = 75,65 in ( x (100 x 1,1) x 1,5) x 1 = 550 Σ1308,65 > 100 Engpass Maschine 3: Produkt 5, Nachfolger ( x (100 x 1,1) x 1,5) x 3 = 85 < 1000 kein Engpass reldb 1 = (95 86,31) / ((0,5 + 6,5 + 75,65) / 100) =1,15 reldb = (150 11,9) / (550/100) = 1,75 reldb 1 < reldb => Maximum Produkt : x = 100 mit benötigter Kapazität von 550 von 100 Rest 650 für Produkt 1 => x1 = 85,68 Tom Bohn / Rolf Baumanns SS 007 Seite 10