Mathematische Methoden der Optik und Bildverarbeitung Übungsaufgaben und Lösungshinweise Joachim Ohser 9. Oktober 7
Inhaltsverzeichnis A Übungsaufgaben 5 A. Übungsaufgaben Serie.................................. 5 A. Übungsaufgaben Serie.................................. 6 A. Übungsaufgaben Serie.................................. 8 A.4 Übungsaufgaben Serie 4.................................. A.5 Übungsaufgaben Serie 5.................................. A.6 Übungsaufgaben Serie 6.................................. A.7 Übungsaufgaben Serie 7 (Wiederholung......................... B Lösungshinweise 7 B. Lösungshinweise Serie.................................. 7 B. Lösungshinweise Serie.................................. 8 B. Lösungshinweise Serie.................................. 9 B.4 Lösungshinweise Serie 4.................................. B.5 Lösungshinweise Serie 5.................................. B.6 Lösungshinweise Serie 6.................................. B.7 Lösungshinweise Serie 7 (Wiederholung.........................
4 INHALTSVERZEICHNIS
Anhang A Übungsaufgaben A. Übungsaufgaben Serie. Bestimmen ( Sie die Eigenwerte ( und Eigenvektoren ( der folgenden ( Matrizen: a, b, c, d 5 ( ( e, f.,. Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen: a 4, b, c. Geben Sie die Eigenvektoren in normierter Form an.. Bestimmen Sie die Eigenwerte der folgenden Matrizen: a, b, c. 4. Für welche Werte ϕ R sind die Eigenwerte der Matrix A = reellwerig? ( cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ 5. Gegeben sei die Matrix A = (. 5
6 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Bildet der Ausdruck x A Ax eine quadratische Form? Ist die Menge E = {x R : x A Ax } eine Ellipse? A. Übungsaufgaben Serie. Bestimmen Sie die Eigenwerte und ein maximales System linear unabhängiger Eigenvektoren der folgenden Matrizen: ( ( ( i i a, b +i 5+i, c i 4, d i. 5+i +i i. Welche( der folgenden Matrizen ( sind orthogonal? 4 a 5, b d 4, e 4 (, c 5 5 5. Für welche Werte ϑ,ϕ [,π sind die Matrizen A = orthogonal? cosϑ sinϑ sinϑ cosϑ, B =, f 6 cosϑ sinϑ sinϑ cosϑ, cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ 4. Bestimmen Sie die Menge aller (, -Matrizen, die sowohl orthogonal als auch symmetrisch sind. 5. Welche der folgenden Matrizen sind positiv definit bzw. positiv semidefinit? ( ( ( 5 a 5, b, c, d e 5 4 4 9, f 6. Gegeben sei eine beliebige (, -Matrix A = ( a b c d, g mit (beliebigen reellwertigen Koeffizienten, a,b,c,d R. Zeigen Sie, dass die Matrix A A positiv semidefinit ist..,
A.. ÜBUNGSAUFGABEN SERIE 7 7. Bestimmen Sie die Längen und Richtungen (d. h. die Winkel der Halbachsen der durch die Ungleichungen a x ( x, b x ( x beschriebenen Ellipsen. Berechnen Sie jeweils die Ellipsenfläche. 8. Bestimmen Sie die Längen und Richtungen (d. h. die Richtungsvektoren der Halbachsen des durch die Ungleichung x x beschriebenen Ellipsoids. Berechnen Sie das Volumen des Ellipsoids. 9. Gegeben sei eine Matrix A durch A = ( cosϑ sinϑ sinϑ cosϑ ( s t mit ϑ [,π und s,t >, s t. Bestimmen Sie die Längen und die Richtungen der Halbachsen der Ellipse E = {x R : x A Ax }.. Bestimmen Sie die Hauptrichtung der in Abbildung A. dargestellten Zusammenhangskomponente (Objekt eines Binärbildes. Abbildung A.: Binärbild mit einer Zusammenhangskomponente (Objekt, Bildvordergrund.. Berechnen Sie für die Daten in Tabelle A. den Winkel zwischen der x-achse und der Richtung des zum größten Eigenwert gehörenden Eigenvektor. Interpretieren Sie dabei den Fernsehkonsum als x-wert und die Arbeitslosigkeit als y-wert.
8 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN A. Übungsaufgaben Serie. Führen Sie eine LU-Zerlegung der Matrix A gemäß A = LU (ohne Pivotisierung durch: a A = ( 4. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem 4, b A =, c A = 6 4. 4 4 x x + x x 4 = x + x x + x 4 = 4x x + x x 4 = x + x x + 4x 4 =, indem Sie zuvor eine LU-Zerlegung der Koeffizientenmatrix A durchführen (ohne Pivotisierung.. Bestimmen Sie die Lösungen der linearen Gleichungssysteme ( ( ( ( a x =, b x = mit und ohne Pivotisierung. Verwenden Sie bei der Rechnung eine Mantisse mit 6 Dezimalstellen. c Verwenden Sie zur Lösung von b zusätzlich eine Zeilenequilibrierung. 4. Gegeben sei die LU-Zerlegung eine Matrix A durch A = 4 4 7 6 4 = a Berechnen Sie die Determinante von A. b Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b mit b =. 5. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem 4. x + x x = x + x + x = x + x x =.
A.. ÜBUNGSAUFGABEN SERIE 9 Nutzen Sie dabei aus, dass die Faktorisierung der Koeffizientenmatrix A gemäß PA = LU mit P =, L =, U = 4 4 4 gegeben ist. 6. Lösen Sie das das lineare Gleichungssystem 7 x = indem Sie zunächst die Koeffizientenmatrix A gemäß P A = LU faktorisieren, d. h. bestimmen Sie zuerst die Matrizen P, L, U, und berechnen Sie dann x. 7. Berechnen Sie den linearen Zusammenhang zwischen der Arbeitslosigkeit und dem Fernsehkonsum auf der Grundlage der in Tabelle A. gegebenen Daten. Verwenden Sie dabei den linearen Ansatz y = a + bx, wobei Sie die Arbeitslosigkeit als x-wert und den Fernsehkonsum als y-wert interpretieren. i Bundesland Arbeitslosigkeit x i Fernsehkonsum y i [%] [min/tag] Schleswig-Holstein 9,8 9 Mecklemburg-Vorpommern,5 6 Hamburg 9,7 8 4 Bremen, 8 5 Berlin 7,6 7 6 Niedersachsen 9,6 98 7 Sachsen-Anhalt, 75 8 Brandenburg 8,7 9 Nordrhein-Westfalen, Thüringen 6,7 Sachsen 7,8 Hessen 8, 4 Rheinland-Pfalz 7,7 9 4 Saarland 9, 4 5 Bayern 6,9 8 6 Baden-Würtemberg 6, 98 Tabelle A.: Arbeitslosenquoten (Jahresdurchschnitt 4 und tägliche Fernsehdauer (4 in den Bundesländern, veröffentlicht in der FAZ am. Januar 5.
ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Berechnen Sie den Vektor x x A =.. x 6 ( a b als Lösung des Normalgleichungssystems A Ax = A y mit und y = 8. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem x = unter Verwendung der SVD der Matrix A, A =,788,87895,9544,5667,5667,9544,87895,788 9. Für die Hilbert-Matrix ( H = y y. y 6. (,689994,6657 (,557.8565.85 65, 55 7 sind die Spektralnormen H und H sowie die Konditionszahl condh zu berechnen.. A.4 Übungsaufgaben Serie 4. Die Ecken des in Abbildung A. gezeigten Prismas werden als Knoten eines ungerichteten Graphen Γ betrachtet; die Kanten entsprechen den Kanten von Γ. a Zeichnen Sie einen planaren Graphen, der isomorph zu Γ ist. b Geben Sie die Adjazenzmatrix A von Γ an. c Zeigen Sie mit Hilfe der Adjazenzmatrix, dass der kürzeste Weg zwischen zwei beliebigen Knoten von Γ kleiner als ist.. Die Ecken eines Tetraeders werden als Knoten eines Graphen Γ interpretiert, und die Kanten des Tetraeders bilden die Kanten von Γ. a Zeichnen Sie einen planaren Graphen, der isomorph zu Γ ist. b Geben Sie die Adjazenzmatrix A von Γ an. c Berechnen Sie mit Hilfe der Adjazenzmatrix den kürzesten Weg zwischen zwei beliebigen Knoten von Γ.
A.4. ÜBUNGSAUFGABEN SERIE 4 Abbildung A.: Prisma mit dreieckiger Grundfläche. Abbildung A.: Gerichteter Graph.. Die Ecken eines Würfels werden als Knoten eines Graphen Γ interpretiert, und die Kanten des Würfels bilden die Kanten von Γ. a Zeichnen Sie einen planaren Graphen, der isomorph zu Γ ist. b Geben Sie die Adjazenzmatrix A von Γ an. c Berechnen Sie mit Hilfe der Adjazenzmatrix den kürzesten Weg zwischen zwei beliebigen Knoten von Γ. 4. a Geben Sie die Adjazenzmatrix A des in Abbildung A. dargestellten gerichteten Graphen Γ an. b Zeigen Sie mit Hilfe der Adjazenzmatrix, dass Γ azyklisch ist. 5. Gegeben sei der in Abbildung A.4 gezeigte Graph Γ. a Zeichnen Sie einen planaren Graphen, der isomorph zu Γ ist. b Geben Sie die Adjazenzmatrix A von Γ an. c Zeigen Sie mit Hilfe der Adjazenzmatrix, dass der kürzeste Weg zwischen zwei beliebigen Knoten von Γ kleiner als 4 ist.
ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN Abbildung A.4: Graph Γ mit 6 Knoten und 8 Kanten. A.5 Übungsaufgaben Serie 5. Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen: a y (+x = xy, b x y = 4 x +y, c y +y 4y = x 6x, d y +6y +y = 5sin(x+x 7, e tẏ (t+y t +t =, f ẏ = (t+y +.. Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme: a (+e x yy = e x, y( =, b y +4y +5y =, y( = π, y ( =, c y y +4y = 4 ex, y( = 4, y ( =, y ( = 4.. Ein biegsames Seil der Länge l und der Masse m gleite reibungsfrei über eine Tischkante. Ist x = x(t die Länge des überhängenden Seiles zur Zeit t, so ist die auf das Seil einwirkende Kraft gleich dem Gewicht des überhängenden Seiles, also (x/lmg (g: Erdbeschleunigung. Die Differentialgleichung der Bewegung lautet somit: mẍ = x l mg, also ẍ = x l g. a Lösen Sie diese Differentialgleichung für ein,5m langes Seil, das zu Beginn (t = zur Hälfte überhängt und sich aus der Ruhe heraus in Bewegung setzt. b Nach welcher Zeit ist das Seil abgerutscht? 4. Ermitteln Sie die Funktion y(x, die folgenden Bedingungen genügt: y +4y 5y =, y( =, lim x y(x =.
A.6. ÜBUNGSAUFGABEN SERIE 6 A.6 Übungsaufgaben Serie 6. Berechnen Sie die Fourier-Transformierte F(ω für die Funktion +t : t < f(t = t : t <. : sonst Skizzieren Sie die Funktion zunächst und überprüfen Sie die Voraussetzung zur Durchführung der Fourier-Transformation. { iω : ω. Gegeben sei die Spektralfunktion F(ω =. Ermitteln Sie die zugehörige Zeitfunktion f(t durch inverse : sonst Fourier-Transformation.. Ermitteln Sie mit Hilfe der angegebenen Sätze die Bildfunktion bezüglich der Laplace-Transformation zu folgenden Originalfunktionen: { : t < a f(t = (t e (t (Verschiebungssatz : t b f(t = e δt cos(ωt (Dämpfungssatz. 4. Berechnen Sie zur Bildfunktion F(s = as (s +a mit Hilfe des Faltungssatzes die Original- funktion f(t. 5. Bestimmen Sie bezüglich der Laplace-Transformation die Originalfunktion zur Bildfunktion F(s = 6s 5s+ s s. 6. Lösen Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation die inhomogene lineare Differentialgleichung. Ordnung y +y +y = t+sint mit den Anfangswerten y( =, y ( =. 7. Ermitteln Sie mit Hilfe der Laplace-Transformation die Lösung des Anfangswertproblems y +9y = 6 e x, y( = 5, y ( =. (Zu Übungszwecken können Sie die Anfangswertprobleme der Aufgaben und auch ohne Laplace-Transformation lösen! 8. Lösen Sie die Differentialgleichung aus Aufgabe in Serie 5 mit Hilfe von Laplace-Transformation. A.7 Übungsaufgaben Serie 7 (Wiederholung. Gegeben sei ein Ellipsoid durch x x. 4 Bestimmen Sie die Längen a, b, c der Hauptachsen, ihre Richtungen x, x, x (als Punkte auf der Oberfläche der Einheitskugel sowie das Volumen V des Ellipsoids.
4 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN. a Gegeben sei eine lineare Abbildung ϕ : R R im kartesischen Korrdinatensystem durch ϕ(x = Ax mit A =. BestimmenSieeinezuϕgehörendelineareAbbildungψ : R R derformψ(y = Λy, für die die Matrix Λ Diagonalgestalt hat. b Geben Sie die Basisvektoren von ψ an.. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem x = 4 7 unter Verwendung der LU-Zerlegung der Koeffizientenmatrix A, A = 4. Gegeben sei die Matrix A =. a Bestimmen Sie die Inverse A der Matrix A unter Verwendung der LU-Zerlegung A =. b Berechnen Sie die Determinante von A. 5. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem 6 5 8 6 6 7 x = 9 6 5 unter Verwendung der Faktorisierung der Koeffizientenmatrix A der Form P A = LU mit P =, L =., U = 8 6 6 6 6.
A.7. ÜBUNGSAUFGABEN SERIE 7 (WIEDERHOLUNG 5 6. a Gegeben sei das überbestimmte lineare Gleichungssystem x =. Bestimmen Sie den Vektor x so, dass Ax b minimal ist. Verwenden Sie die Singulärwertzerlegung (SVD der Koeffizientenmatrix A. b Bestimmen Sie den Wert Ax b. 7. a Gegeben sei das überbestimmte lineare Gleichungssystem x =. Bestimmen Sie den Vektor x so, dass Ax b minimal ist. Verwenden Sie die Singulärwertzerlegung (SVD der Koeffizientenmatrix A. b Bestimmen Sie den Wert Ax b. 8. Gegeben sei die Adjazenzmatrix A =. a Zeichnen Sie einen planaren Graphen mit der Adjazenzmatrix A. b Bestimme mit Hilfe von A die Koordination, d.h. die mittlere Anzahl der Kanten pro Knoten. 9. Gegeben sei die Adjazenzmatrix A =. Zeigen Sie, dass der entsprechende gerichtete Graph azyklisch ist.
6 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN
Anhang B Lösungshinweise B. Lösungshinweise Serie. a Eigenwerte: λ = λ = (, ( Eigenvektoren: x =, x = b Eigenwerte: λ =, λ ( =, ( Eigenvektoren: x =, x = c Eigenwerte: λ = λ ( =, Eigenvektor: x =, d Eigenwerte: λ = 6, λ =, Eigenvektoren: x = ( e Eigenwerte: λ = +i, ( λ = i, ( i i Eigenvektoren: x =, x = f Eigenwerte: λ = +i, λ = i, Eigenvektoren: x = ( i,,, x = (, x = ( i,.,. a Eigenwerte: λ =, λ =, λ =, Eigenvektoren: x =, x = b Eigenwerte: λ =, λ = λ =, Eigenvektoren: x =, x = c Eigenwerte: λ =, λ =, λ =,, x = 4, x =,, 7
8 ANHANG B. LÖSUNGSHINWEISE Eigenvektoren: x =, x =, x = 6. a λ = +i, λ = i, λ =, b λ = +i, λ = i, λ = +i, λ 4 = i, c λ = +i, λ = i, λ = +i, λ 4 = i, λ 5 = +i, λ 6 = i.. 4. ϕ = kπ, k Z 5. Ja, ja! B. Lösungshinweise Serie. a λ =, λ =, x = ( i ( i, x =, b λ = 5 7 +, λ = 5 ( 7, x = 7, x = ( + 7, c λ = +4i, λ = i, x = ( 5 i, x = ( + 5 i, d λ =, λ / =, x = i, x = i.. a nein, b nein, c nein, d ja, e nein, f nein.. Für alle Werte ϑ und ϕ aus dem angegebenen Bereichen sind die Matrizen A und B orthogonal. 4. Die Menge besteht aus den Elementen ( c c A = c c, c [,], ( c c A = c c A = ( (, A =, c [,],.
B.. LÖSUNGSHINWEISE SERIE 9 5. 6. a positiv definit b weder positiv definit noch positiv semidefinit c positiv semidefinit d positiv definit e positiv definit f positiv semidefinit g positiv semidefinit f positiv definit 7. a a = + 5, b = 5, ϕ a =,7, ϕ b =,7, F = π, b a =, b =, ϕ a = π 4, ϕ b = π 4, F = π. 8. a =,964, b = π, c =.67, V = ω a =,54774,54774,646, ω b =, ω c = (deta = 8,,4544,4544,76685. 9. a = s, b = t, ϕ a =, ϕ b = 9.. λ = 4, λ = 4, x = ( (, x = Die zum größten Eigenwert λ gehörende Richtung ist ϕ = 6,6. (,98466. λ = 89,, λ = 9,85, x =,746., x = Der zum größten Eigenvektor gehörende Anstieg ist a =.7746. (,746,98466. B. Lösungshinweise Serie. a b A = A = ( ( 4 4
ANHANG B. LÖSUNGSHINWEISE c A =. A =. a ohne Pivotisierung x = ( b ohne Pivotisierung x = ( 4, mit Pivotisierung x =, mit Pivotisierung x = c mit Pivotisierung und Zeilenequilibrierung x = 4. deta = 48, x = 5. x = 6. P = 7. ( a b =, x = ( ( ( 7, L = 7, U = 8 5 7 7 5 7 ( 69,4,8958, x = 8. (,6 x =,8 9. 9+8 H =, H 6 8+8, condh = 9+8 B.4 Lösungshinweise Serie 4 B.5 Lösungshinweise Serie 5. a y(x = c +x, c R 4 4
B.6. LÖSUNGSHINWEISE SERIE 6 b y(x = x x ln x +c, c y(x = c e x +c e x c R x + 7 x+ 59 864, c,c R d y(x = c +c e x cosx+c e x sinx+ x x,9sinx,cosx, c,c,c R e y(t = c te t +t, c R f y(t = tan(t+c t, c R. a c = ln(+e =,665 y(x = ± ln(+e x,665 b y(x = πe x (cosx+sinx c y(x = 8 (e x +e x. x(t =,75(e,557t +e,557t =,75cosh(,557t 4. y(x = e 5x B.6 Lösungshinweise Serie 6. F(ω = ω ( cosω. f(t = πt (sint tcost. a F(s = e s 6 (s+ 4 b F(s = s+δ (s+δ +ω 4. f(t = sin(at cos(at = tsin(at 5. F(s = s s + 4 s f(t = t+4e t 6. y(t = 7 e t + 5 te t +t cost 7. y(x = 4+cosx e x 8. y(x = πe x (cosx+sinx B.7 Lösungshinweise Serie 7 (Wiederholung. a = / 5, b = /, c =, V = π 5, x = 6. Λ = 5, x =, x =, x =, x = 6., x =.
ANHANG B. LÖSUNGSHINWEISE. x = 4. A = 5. x = 6. x = ( 7. x = 6. 5 4 9 4 4. 8. Koordination =, 4. 9. A 5 =., Ax b = 6. 7, Ax b =., deta =.