TechnischeUniversitatMunchen ZentrumMathematik Uberlebenszeitanalyse Anwendungender inderpegeversicherung Diplomarbeit FlorianRudolph von Abgabetermin: Betreuerin: Themenstellerin:ProfDrCzado 25Januar2000

Quellenverwendethabe Hiermiterklareich,daichdieDiplomarbeitselbstandigangefertigtundnurdieangegebenen Munchen,25Januar2000

Danksagung AndieserStellemochteichallenmeinenDankaussprechen,dieihrenTeilzurEntstehungdieser DesweiterengebuhrtmeinDankHerrnGerdHolznerfurdieDurchsichtderArbeit,HerrnZachariasunddenKollegenausderAbteilungLeben-MathematischerServiceZuletztmochteich undtatzurseitestanden,danken diekonstruktivekritikunddiegeduld,mitdersiemirubermanchehurdehinweghalf Arbeitbeigetragenhaben,inersterLinieFrauProfessorCzadofurdiehervorragendeBetreuung, nochbeiallenanderenmitarbeiternamlehrstuhlfurmathematischestatistik,diemirmitrat

Inhaltsverzeichnis 2TheoretischeGrundlagen 1Einleitung 21StochastischeProzesse 1 22Martingaltheorie 5 24Grenzwerttheorie22 23Zahlprozetheorie179 3MathematischeGrundlagenderVerweildaueranalyse 25Markovketten24 31DieUberlebensfunktion27 32DieHazardfunktion28 34AufbaueinerStudie31 33FunktionaleDarstellungderHazardfunktion29 35Likelihood-TechnikenfurUberlebenszeitmodelle32 36SchatzenderUberlebensfunktion36 352PartialLikelihood34 351Likelihood-KonstruktionfurModellemitunabhangigerZensierung32 37DasProportional-Hazard-Modell45 362DerNelson-Aalen-Schatzer39 361DerProdukt-Limit-Schatzer(KaplanundMeier)36 371Modellierung45 374AsymptotischeEigenschaften48 373SchatzungdesBasis-Hazards(Breslow)48 372PartialLikelihoodmit\ties"47 375HypothesentestsimProportional-Hazard-Modell59 378Residuenanalyse62 377ModellbildungmitdemAIC62 376LokaleTests60 38ParametrischeModelle67 379GraphischeMethodenzurUberprufungdesProportional-Hazard66 5

64DatenanalysezurgesetzlichenPegeversicherung 42BeschreibungderDaten71 41UberblickuberdiegesetzlichePegeversicherung69 43Proportional-Hazard-Modell73 44TestaufProportionalHazard80 432ProportionalHazard(mitDiagnosen)79 431Modellbildung(ohneDiagnosen)73 45ModellierungderZustandsubergange94 441Residuenanalyse80 451ModellierungderZustandsubergangezwischenambulanterundstationarer 442GraphischeTestsdesPropotionalHazard85 452ModellierungderZustandsubergangezwischendenverschiedenenPegestufen99 Pege94 5EntwicklungeinesVersicherungsmodells 51VersicherungalsMarkov-Proze103 511Zahlungsfunktionen104 103 513AktuarielleWerte106 514BeitrageundReserven107 512BerechnungvonBarwertenundErwartungswerten105 52BerechnungvonBeitragenfurPegeversicherungs-Modelle108 521VersicherungsmodellmitZustandsubergangenzwischenambulanterund 53BeschreibungdesProgrammszurBeitragsberechnung118 522VersicherungsmodellmitZustandsubergangenzwischenPegestufen115 stationarerpege109 6ZusammenfassungundAusblicke 531BeschreibungdesTarifsPET118 532BeschreibungdesProgrammesundErgebnisderBeitragsberechnung119 ARoutinenzurgraphischenAnalyse 123 121 CTabellen BFunktionenzurMaximierungdesLog-Likelihood C1PegefalleintrittswahrscheinlichkeitenderCustodial 126 C2EinjahrigeSterbewahrscheinlichkeitenBayernfurx-jahrigeFrauenundManner Insurance,Japan128 (1986bis1988)130

Kapitel1 Einleitung indermedizinmithilfeverweildaueranalytischermethodenaussagenuberdiewirksamkeit Statistik,dasinvielenGebietenderWissenschaftaufgroesInteressestotZumBeispielkonnen DieUberlebenszeit-,oderVerweildaueranalyse(engl:SurvivalAnalysis)isteinTeilgebietder neuermedikamente,bzwbehandlungsmethodengetroenwerdenindergeologoiewerden anhandderzerfallseigenschaften(\uberleben")bestimmtermolekulediealtervongesteinsschichtenbestimmt AuchinderPersonenversicherungistdieVerweildaueranlyseeinwichtigerBestandteilDie andereversuchten,eineanalytischeapproximationfurdieuberlebensfunktioneinesmenschen StadtBreslau)entwickeltwurdeDeMoivre(1724),Gompertz(1827)undWeibull(1936)und AnfangegehenzuruckaufdasJahr1693,indemdieersteSterbetafel(Absterbeordnungder rendestebetafelninkombinationmitmedizinischemknow-howbildendabeidiebasisfureine werden,risikenabgeschatztundneueprodukteentwickeltwerdenaufvolkszahlungenbasie- zugebenheutekonnenmithilfeverweildaueranalytischermethodensicherebeitragekalkuliert sonen,dieaufgrundvonkrankheiten,bzwinfolgeihrerkrankenhistorieeinemhoherenster- berisikoausgesetztsind)lebensversicherungspolicenanzubietendiemathematischegrundlage Kalkulation,dieesheuteermoglicht,sogarfursogenanntemedizinischeRisikogruppen(dhPer- zurbestimmungeineslebensversicherungsbeitragessindeinjahrigeuberlebenswahrscheinlichkeitenqx wobeihiermitxdaslebensalterinjahrenundmittdiezufallsvariablelebenszeitbezeichnet istmitqxistalsodiewahrscheinlichkeitbezeichnet,daeinepersondaslebensalterx+1 qx=p(xt<x+1jtx); wirdentypischenverlaufdiesereinjahrigensterbewahrscheinlichkeitenambeispielbayerischer MannerundFrauen(ermitteltimZeitraumzwischen1986und1988)HierfalleneinigeBesonderheitenauf:Zunachsterkenntman,dafurMannerdieSterbewahrscheinlichkeitinallen AltersbereichenhoheristalsfurFrauenZudembemerktmanbeiMannernimAlterumca 20Jahreeine\Uberhohung"derSterblichkeit,dieausMotorrad-undAutounfallenresultiert nichterreicht,unterdervoraussetzung,dadasalterxerreichtwurdeinabbildung11sehen 1

2 KAPITEL1EINLEITUNG qx Sauglingssterblichkeit Maenner Frauen \Motorradbuckel" # Lebensalterx ern1986-1988 Abbildung11:EinjahrigeSterbewahrscheinlichkeitenfurx-jahrigeFrauenundMannerinBay- 0 10 20 30 40 50 60 lichkeitbeineugeborenen(q010q1),sowiedasleichte(inderabbildungkaumerkennbare) unddaherauch\motorradbuckel"genanntwirddieauergewohnlichhohesterbewahrschein- einemeekt,derinenglischsprachigerliteraturoftmit\bathtub-shape"(badewannen-form) AbnehmendereinjahrigenSterbewahrlichkeitenbiszueinemAltervonca10Jahren,fuhrtzu deskurvenverlaufsbezeichnetwird EinrelativjungesProduktinderPersonenversicherungistdiePegeversicherung,diedemVersichertenLeistungenbietet,fallsdiesernichtmehrinderLageistdiegrundliegendenVerrichtungendestaglichenLebens,wiezBKorperwasche,Nahrungsaufnahme,etcselbstandigzu bewerkstelligendieseartderversicherungistimvergangenenjahrzehnteinimmeraktuelleres rektnachdemkrieg,sowieeineniedrigegeburtenrateindenletztenjahren)zueinemanstieg dessogenanntenabhangigkeitskoezienten(imwesentlichendasverhaltnisvonarbeitenderzu ThemagewordenZumeinenfuhrtederWandelinderSozialstruktur(hoheGeburtenratedi- immermehrpegebedurftigegibt,furderenpegeteurefachkrafteengagiertwerdenmussen, LebenserwartungunddieAnderungfamiliarerStrukturenindenIndustrielanderndazu,daes nicht-arbeitenderbevolkerung,sieheabbildung12),zumanderenfuhrtauchdiewachsende SohatsichdieseArbeitzumZielgesetzt,mitHilfevonDatenausdergesetzlichenPegeversicherung,dieseit141995inKraftist,mittelsmodernerverweildaueranalytischerMethodendas fehltdasnanziellerisikodafurtragtindiesemfalldiepegeversicherung dainimmermehrfamiliendiemoglichkeitoderbereitschaftfureinepegedurchangehorige 00 0005 0010 0015 0020

3 1910und1989 Abbildung12:VerteilungderBevolkerunginDeutschlandaufAltersgruppenindenJahren anzuwenden EinenzentralenPunktderArbeitstelltdasvonDavidCox1972[9]vorgeschlagenesemiparametrischeRegressionsmodellzurBestimmungderAbhangigkeitderUberlebensfunktionvon UberlebenvonPegebedurftigenzuuntersuchenunddieErgebnisseaufeinVersicherungsmodell verschiedenenkovariablen(dasuberlebenbeeinussendefaktoren,inunserembeispielwaren dasalter,geschlecht,pegeverursachendekrankheiten,pegeart)diegrundideediesesverfahrensist,dasichdiesogenanntehazardfunktion(sterbeintensitat),diefurdiezufallsvariable LebenszeitTfolgendermaenalsDichtevonT,gegebenUberlebenbist,deniertist (t)=p(tt<t+dtjtt) undeinemfurjedekovariablezunterschiedlichenmultiplikator formulierenlatalsproduktauseiner,furallebeobachtungengleichen,\basis-hazardfunktion" ; Verfahrenheitsemiparametrisch,dadieresultierendeUberlebensfunktion wobeieinendlich-dimensionalerregressionskoezientundzderkovariablenvektoristdieses (tjz)=0(t)exp(tz); einerseitsvondemendlichenparameter,zumanderenaberauchvoneiner\basis-uberlebensfuntion"s0(t)abhangt,dieineinemunendlich-dimensionalenraumgeschatztwird S(t)=P(T>t)

4DieArbeitistwiefolgtuntergliedert:InKapitel2werdenwesentlicheResultateausderTheorie stochastischerprozessedargestellt,diezumeinendazubenotigtwerden,asymptotischekon- KAPITEL1EINLEITUNG zeptlokalersubmartingaleundderenkompensatoren,insbesonderederenanwendungaufzahl- vergenzaussagenfurdascox-regressions-modellzutreen,zumanderen,umeinaufmarkov- prozesse,vorgestelltwerdeneinwichtigesresultatisthierderzentralegrenzwertsatzfurmar- tingalevonrebolledo[33],dereinhilfsmittelfurdenbeweisderasymptotischennormalitat desproportional-hazard-modellaufzahlproze-basisist EineDarstellungwichtigerKonzeptederUberlebenszeitanalyseistdieZielsetzungvonKapitel ProzessenbasiertesVersicherungsmodellzuentwickelnIndiesemZusammenhangsolldasKon- AnalysediesesModellsdetailliertherausgearbeitetwerdenAnderewichtigeResultatederUberlebenszeitanalyse,wiezumBeispieldasnicht-parametrischeSchatzverfahrenvonKaplanund furdieuberlebensfunktion,dasregressionsmodellvoncox,sowieverschiedeneverfahrenzur 3DabeisollenderspaterinderArbeitbenotigtenicht-parametrischeNelson-Aalen-Schatzer Meier(1958)[22],sowieparametrischeRegressionsansatzewerdeninknapperFormdargestellt schlecht,alter,schwereundartderpege,sowiediagnostiziertepegeverursachendekrankhei- ten)vonpegebedurftigenindergesetzlichenpegeversicherung,dieimzeitraumvom141995 anwendenderdatensatzbeinhaltetuberlebensdaten,sowiezusatzlicheinformationen(ge- InKapitel4werdenwirdievorhererarbeitetenKonzeptesystematischaufeinenDatensatz biszum31121998beobachtetwurdenhieranalysierenwirzumeinennaturlichdasuberleben vonpegebedurftigen,untersuchenaberauchveranderungen(bzglpegeartundpegestufe) modellsanwendendietheoretischebasishierfurbildenmarkov-prozessemitendlichemzu- SchlielichwerdenwirinKapitel5dieResultateausKapitel4imRahmeneinesVersicherungs- impegeverlaufundderenauswirkungenaufdasuberlebenvonpegebedurftigen tembeschreibenmodellierenwirdanndasversicherungsprinzipdiesesbesagtimwesentlichen, standsraum,diedieentwicklungeinesversichertenrisikosbeschreibenmithilfevonzustands- dajederversichertefurseinenerwartetenschadenselbstaufkommtschlielichwerdenwirfur abhangigen(zufalligen)funktionen,diedenzahlungsstromzwischenversichererundversicher- vonbeitragsberechnungenschaen zweiverschiedeneversicherungsmodellediebasisfureinepraktischeanwendunginderform

Kapitel2 TheoretischeGrundlagen UmAussagenuberasymptotischeKonvergenzvonSchatzerninderVerweildaueranalysetreen MartingalenundZahlprozessengegebenNahereshierzundetsichinAndersenua(1993)[1] zukonnen,bedientmansichhaugmittelnausdertheoriederzahlprozesseindiesemabschnittwirdeinknapperabriuberstochastischeprozesseunddiewesentlichenkonzeptevon (1979und1987)[34],[35]EinengutenUberblickuberZahlprozessegibtBremaud(1981)[7] LetztendlichbenotigenwirnocheinigeelementareAussagenuberzeitstetigeMarkov-Prozesse DiewesentlichenKonzeptederstochastischenIntegrationsindorientiertanRogersundWilliams SatzundDenition21(bedingteErwartung)Sei(;F;P)einWahrscheinlichkeitsraum StochastischeProzesse gibteseinezufallsvariableymit undxeinezufallsvariablemite(jxj)<1seinungfeinesub--algebravonfdann (ii)e(jyj)<1, (i)yistg-mebar, fastsicherdiesodeniertezufallsvariabley=e(xjg)heitbedingteerwartungvonx, Falls~YeineweitereZufallsvariableist,diedieEigenschaften(i)-(iii)erfullt,sogilt:~Y=Y (iii)8g2ggilte(yi(g))=e(xi(g)),(i(g)(x)=1,fallsx2gund0sonst) gegebeng Beweis: DerBeweisndetsichzumBeispielinRogersundWilliams(1979)[34] DerfolgendeSatzenthalteineAuistungeinigerfundamentalerEigenschaftenbedingterErwartungen 5

6Satz22(EigenschaftenderbedingtenErwartung)Seien(;F;P)einWahrscheinlich- keitsraum,gundhsub--algebrenvonfzudemseifuralleauf(;f;p)deniertenzu- fallsvariablenxdererwartungswerte(jxj)<1danngeltenfolgendeaussagen AFallsXG-mebarist,danngilt:E(XjG)=Xfastsicher KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN CFallsHGF,danngilt: B(Linearitat)E(aX1+bX2jG)=aE(X1jG):+bE(X2jG) DFallsZG-mebarundbeschranktist,danngilt: E[E(XjG)jH]=E[XjH]fastsicher: ZumBeweissiehezumBeispielStirzaker(1994)[38]Seite143 E[ZXjG]=ZE[XjG]fastsicher: Denition23(Filtration)SeiTeinzeitstetigesIntervall Filtrationwennfurallestgilt: und(;f;p)einwahrscheinlichkeitsraumdannheiteinefamilievon-algebrenft:t2t T=[0;)oderT=[0;]mit0<1 EineFiltrationheitrechtsstetigwennfurallet2Tgilt: FsFt: (21) undvollstandigfalls AB2F;P(B)=0;)A2F0: lim s#tfs=ft (22) Bemerkung:DieBedingungen(21)-(23)heienauchdie\gewohnlichenBedingungen" (23) MitX(t;!)!2wirddieRealisierungeinesstochastischenProzesseszumZeitpunkttbezeichnet DieAbbildungt7!X(t;!)!2heitPfadeinesstochastischenProzesses MengevonZufallsvariablen(X(t):t2T) Denition24(stochastischerProze)EinstochastischerProzeisteinezeitindizierte EinstochastischerProzeheitadaptiert(gegenuberderFiltrationFt),wennX(t)Ftmebar EinstochastischerProzeheitcadlag(continuadroite,limiteagauche),wennfurfastalle istfurallet2t:!2diepfadex(t;!):t2trechtsstetigsindundderlinksseitigegrenzwertlims"tx(s;!) existiert

21STOCHASTISCHEPROZESSE Bemerkungen: 7 NormalerweisewirdbeiderDenitioneinesstochastischenProzesseszwischenzeitstetigen DenitioneineszeitstetigenstochastischenProzesses,dahierderIndext2IRunddamit undzeitdiskretenstochastischenprozessenunterschiedendiedenition24entsprichtder DieFiltrationFtwirdauchHistoriegenanntMankannFtalsInformationsstandzum mitabzahlbarerindizierung(zbxnn2in) uberabzahlbaristimzeitdiskretenfallbetrachtetmaneinefolgevonzufallsvariablen HaugwirdFt:=fX(s):stggesetzt,mansprichtdannvondernaturlichenFiltrationMitFt :=fx(s):s<tgwirddiehistorievordemzeitpunkttbezeichnet ZeitpunkttbetrachtenDie-AlgebraFwirdmitwachsendemtimmerfeiner Denition25(Version,Ununterscheidbarkeit)SeienXundYzweistochastischeProzesseauf(;F;P)YnenntmaneineVersionvonXfalls XundYheienununterscheidbarfalls P(f!jX(t;!)6=Y(t;!)g)=08t: wasbedeutet,dadiebeidenprozessefastsicher(bisaufp-nullmengen)dieselbenpfadehaben P(f!jX(t;!)6=Y(t;!)8tg)=0; soda Denition26(Stopzeit)EineStopzeitTisteineZufallsvariable,dieWerteinTannimmt, fttg2ft furallet2t: Beispiel27WennXcadlagundadaptiertist,dannistinfft:jX(t)jcgeineStopzeit interpretiertwerdendabeikannzujedemzeitpunkttfestgestelltwerden,obdasereignisschon eingetretenistodernochnicht Bemerkung:IntuitivkanndieStopzeitalsdiezufalligeZeitbiszueinembestimmtenEreignis zeittdannistdergestoppteprozextdeniertdurch: Denition28(gestoppterProze)GegebenisteinstochastischerProzeXundeineStop- XT(t):=X(t^T)mitt^T=min(t;T):

heitlokalisierend,wenngilt:p(tnt)!1furn!1: 8Denition29(lokaleEigenschaften)EinemonotonwachsendeFolgevonStopzeitenTn KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN EinstochastischerProzebesitzteinebestimmteEigenschaftlokal,wenneinelokalisierende FolgevonStopzeitenTnexistiert,sodaderProze dieentsprechendeeigenschaftbesitzteinprozeheitlokalbeschrankt,wenneinelokalisierendefolgevonstopzeitentn,sowiekonstantencnexistieren,sodafurallengilt: I(Tn>0)XTn ttnjx(t)jcnfastsicherfurtn>0: sup Denition210(Variation)Istf:[a;b]7!IReineFunktion,soheit dietotalvariationvonfuber[a;b]fallsgilt V(f;[a;b])=supfnXk=1jf(xk) f(xk 1)j:a=x0<x1<<xn=b;n2INg dannnenntmanfvonbeschranktervariationeinefunktionf:t7!ir(mitt=[0;), odert2[0;],0<1),heitvonlokalbeschranktervariation,wennffurallet2t V(f;[a;b])<1; AnforderungenderArbeitgenugt vonbeschranktervariationist Denition211(stochastischeIntegration)Fur2stochastischeProzesseX;Ydenieren MitdiesenDenitionenkonnenwirnuneinstochastischesIntegraleinfuhren,dasdenspateren dieabbildung deniertfuralle(t;!)2(t;),furdiegilt0x(s)dy(s); wirstochastischeintegrationalspfadweiseslebesgue-stiltjes-integralrxdystehthierfur Zt t7!zt furdiealsodaspfadweiselebesgue-stiltjes-integralexisistiert 0jX(s)jjdY(s)j<1; VariationalsIntegratorenbeschranken,konnenwirYalsmaerzeugendeFunktionverwenden, Bemerkung:DawirunsimfolgendenTextaufstochastischeProzesseYmitlokalbeschrankter meinertenstochastischenintegrationsbegrivon^ito(siehezumbeispielinrogersundwilliams [35](Kapitel4))angewiesensind sodadieexistenzdeslebesgue-stiltjes-integralsgesichertistundwirnichtaufdenverallg-

Denition212(gleichmaigeIntegrierbarkeit)EinaufdemWahrscheinlichkeitsraum 22MARTINGALTHEORIE (;F;P)denierterstochastischerProzeX(t)heitgleichmaigintegrierbar,fallsder 9 Grenzwert EinKriteriumfurgleichmaigeIntegrierbarkeitliefertfolgenderSatz c!1zjx(t)>cjjx(t)jdp=0gleichmaigint2t: lim Satz213DeraufdemWahrscheinlichkeitsraum(;F;P)deniertestochastischeProzeX(t) t2tmite(jx(t)j)<18t2tistgenaudanngleichmaigintegrierbar,wenngilt undesfuralle>0ein">0gibt,soda sup t2te(jx(t)j)<1 DenBeweisdiesesSatzeskannmaninBauer[4]Seite106nachlesen A2F;P[A])ZAjX(t)jdP<"8t2T: zexistdielinksstetigemodikationx deniertdurch Denition214(LinksstetigeModikationundSprungproze)FureinencadlagPro- undseinsprungprozex(t)durch X (t)=lim s"t=x(s) Bemerkung:DielinksstetigeModikationX (t)wirdimtextauchmitx(t )bezeichnet X(t)=X(t) X (t): 22 Denition215(Martingal)Einadaptiertercadlag-ProzeheitMartingal,wennerfolgendeEigenschaftenerfullt: Martingaltheorie (ii)e(m(t)jfs)=m(s)furallest(martingaleigenschaft), (i)e(jm(t)j)<1furallet2t, Giltin(ii)""anstatt"=",sosprichtmanvoneinemSupermartingal,gilt"",sohandelt EinMartingalheitquadratintegrierbar,fallsfurallet2T essichumeinsubmartingal E(M(t)2)<1:

10 DaderfurquadratintegierbareMartingaleMderGrenzwert KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN existiert,konnendiesedurchgrenzwertbildungaufterweitertwerden t!m(t) lim Beispiel216(StandardBrownscheBewegung)DieStandardBrown'scheBewegungist einstochastischerprozexmitstetigenpfadenundx(0)=0furalle!2diezuwachse sindunabhangignormalverteilt,dh DersodeniertestochastischeProzeisteinMartingal(Abbildung21) X(s) X(t)N(0;s t)ts: Beweis: Zunachstmumanzeigen,daderErwartungswertE(jX(t)j)<18texistiertX(t)istjedoch verteiltnachn(0;t),sodagilt: E(jX(t)j)=2Z1 = 2t 0s1 p2te s2 p2te s2 2t10=2t 2tds= Nunmumannochzeigen,da8stgilt: p2t<18t: DajedochX(t) X(s)normalverteiltmitErwartungswert0sind,erhaltman,da E[X(t)jFs]=Xs()E[X(t)jFs] X(s)Satz2:2A,B = E[X(t) X(s)jFs]: SomitistdieAussagegezeigt E[X(t) X(s)jFs]=0: predictable),fallsh(!;t)hinsichtlichderdurchdieklassederlinksstetigen,adaptiertenprozesseerzeuten AlgebraaufTmebarist Denition217(Vorhersehbarkeit)EinstochastischerProzeHheitvorhersehbar(engl: 2 Bemerkung:NachdieserDenitionsindallelinksstetigen,adaptiertenProzessevorhersehbar JedemebareFunktionaufTist,alsstochastischerProzebetrachtet,naturlichauchvorhersehbar ZufallvariablenX(T)(TbeliebigeStopzeit)gleichmaigintegrierbarsind Denition218(KlasseD)EinSubmartingalXheitvonderKlasseD(Doob),wenndie

22MARTINGALTHEORIE 11-2 -1 0 1 2 Satz219(Doob-Meyer-Zerlegung)SeiXeinSubmartingalderKlasseDDannexistiert Abbildung21:SimuliertePfadeeinerBrown'schenBewegung 00 05 10 15 20 ein(bisaufununterscheidbarkeit)eindeutigervorhersehbarercadlagproze~x,soda eingleichmaigintegrierbaresmartingalmitm(0)=0ist M:=X ~X Bemerkung:DerProze~XheitKompensator-Proze Beweis:EinenBeweisdesSatzesndetmaninRogersundWilliams[34]Seiten153-154 annehmen,dh Beispiel220(Poisson-Proze)SeiNeinstochastischerProze,dessenPfadeWerteinIN0 FtdievonNerzeugte Algebraund>0FurdenProzeNgeltenfolgendeEigenschaften (i) N:T7!IN0; P(N(t)=k)=8<:e t(t)k 0k! furt<1 sonst ;

12(ii)DieZuwachsesindunabhangigPoisson-verteiltaufT,dhfurs<t<1gilt KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN dannnenntmanneinenhomogenenpoissonprozefur=1heitnstandardpoissonprozederhomogenepoissonprozebesitztfolgendenerwartungswert E(N(t))=1Xk=0ke t(t)k k! =te t1xk=1(t)k 1 P(N(t) N(s)=k)=e (t s)((t s))k k! ; AnaloggiltfurdenerwartetenZuwachsfurs<t<1(k 1)!=te tet=t: MitdiesenVorbereitungenkonnenwirnunzeigen,datdervorhersehbareKompensatorproze deshomogenenpoissonprozeistdievorhersehbarkeitistklar,dateinedeterministische E(N(t) N(s))=(t s): FunktionistJetztbleibtnochzuzeigen,daderProzeM(t)=N(t) teinmartingalist bereitsgezeigt)furs<t<1gilt: DazumussenwirdieMartingaleigenschaftzeigen(dieExistenzdesErwartungswerteshabenwir E(M(t)jFs)=E(N(t) tjfs)=e(n(t)jfs) E(tjFs)Satz2:2 =N(s)+(t s) t=m(s): KommenwirnunzumKonzeptderoptionalenundvorhersehbarenVariation,letzterestelltein MafurdassystematischeWachsendesProzessesM2(MlokalquadratintegrierbaresMartingal) 2 Denition221(vorhersehbareundoptionaleVariation)SeienMundM0lokalequadratintegrierbareMartingale,dannistM2einlokalesSubmartingalundMM0dieDierenz dar(sieheauchrogersundwilliams[35]seiten42-51) zweiersubmartingale,dennmm0=14(m+m0)2 14(M M0)2: prozefalls werden,heienvorhersehbarervariationsproze,bzwvorhersehbarerkovariations- DiezugehorigenKompensatorenfurM2undMM0,diemithM;MibzwhM;M0ibezeichnet heienmundm0orthogonaldenvorhersehbarenvariationsprozehm;mi(t)erhaltman, indemmandengrenzwert hm;m0i=0; hmi=hm;mi(t)=lim n!1nxi=1var(m(ti) M(ti 1)jFti 1)

uberdiepartitionen0=t1<t2<<tn=tbildetdieprozesse[m;m]und[m;m0],die 22MARTINGALTHEORIE durch 13 [M](t)=[M;M](t)=XstM(s)2bzw [M;M0](t)=XstM(s)M0(s) (24) deniertsind,heienoptionaler(ko)variationsproze (25) tegrandenundlokalen(bzwlokalquadratintegrierbaren)martingalenalsintegratorenverwen- dungnden,werdenimfolgendenabschnitteinigeergebnissezurstochastischenintegration solcherprozessesowiederenvorhersehbareundoptionale(ko)variationsprozesssebehandelt, DainderspaterenAnwendungoftstochastischeIntegralemitvorhersehbarenProzessenalsIn- mitsemimartingalbezeichnet)werfen zunachstwollenwirabernocheinenkurzenblickaufdiestochastischeintegrationvorhersehbarerprozessehinsichtlichzeitdiskreterbzwzeitstetigersub-bzwsupermartingale(imfolgenden Denition222(stochastischeIntegrationbzglzeitdiskretemSemimartingal) SeiMnn2INeinadaptierterProze,derdiedie(Sub-,oderSuper-)MartingalEigenschaf- tenerfullt,sowiehneinvorhersehbarerproze(imdiskretenfallbedeutetdieshnistfn 1- BetrachtenwirdenmiteinerFiltrationFnn2INversehenenWahrscheinlichkeitsraum(;F;P) mebar)dannistdasstochastischeintegral(rhdm)ndeniertals UmeineanalogeDenitiondesstochastischenIntegralsbezuglichzeitstetigeSemimartingalezu ZHdMn=nXk=1Hk(Mk Mk 1): einltrierterwahrscheinlichkeitsraumseiena;b2t,c2fadannnenntmandenstochastischenproze Denition223(elementarervorhersehbarerProze)Sei(;F;P)mitderFiltrationFt erhalten,mussenwirzunachstdenbegrideselementarenvorhersehbarenprozessesdenieren einenelementarenvorhersehbarenproze FurelementareProzesseistdasstochastischeIntegralwiefolgtdeniert H(s;!):=I(a<sb)C(w) sodenierenwirmit I(a<sb)C(!)einelementarerstochastischerProzeundMeinlokalescadlagMartingal, Denition224(IntegrationeineselementarenvorhersehbarenProzesses)SeiH(s;!)= sowiemit Zt ZH(s)dM(s)=C(!)(M(b;!) M(a;!)); dasstochastischeintegraldeselementarenprozesseshinsichtlichdesmartingals 0H(s)dM(s)=Zt 0H(s)I(0st)dM(s)

14 DasfolgendeKorollarzeigt,dabeiderIntegrationbeschrankterelementarerProzessehinsichtlichlokalerMartingaledieMartingaleigenschafterhaltenbleibt KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN Korollar225SeiH(s;!)=C(!)I(a<sb)einelementarerstochastischerProzemit undmeinmartingal,dannist supjh(s;!)j<1 ebenfallseinmartingal Zt Beweis: 0H(s)dM(s) Zt 0H(s)dM(s)=8><>:0 C(M(t) M(a))at<b C(M(b) M(a))bt<1: 0t<a NachdemM(t)2FtistundC2Fa,siehtmansofort,daRt0H(s)dM(s)2FtAusder BeschranktheitvonHfolgt,daEZt BetrachtenwirzunachstdendenFallas<tb NunmussenwirnurnochdieMartingal-EigenschaftE(M(t)jFs) M(s)=0zubeweisen 0H(s)dM(s)<1: Satz2:2A EZt 0H(u)dM(u) Zs 0H(u)dM(u)Fs Zs E(C(M(t) M(s))jFs)0H(u)dM(u)Fs Satz2:2C einltrierterwahrscheinlichkeitsraum,dannnennenwirdieendlichesummeelementarerprozesse H(s;!)=nXi=1Hi(s;!)n2IN Denition226(einfachervorhersehbarerProze)Sei(;F;P)mitderFiltrationFt = CE(M(t) M(s)jFs)=0: eineneinfachenvorhersehbarenprozess sodenierenwirmit Denition227(IntegrationeineseinfachenvorhersehbarenProzesse) FurH=H1++HneineinfacherstochastischerProzessundMeinlokalescadlagMartingal, sowiemit Zt ZH(s)dM(s)=nXi=1ZHi(s)dM(s); dasstochastischeintegralfurdenprozessh 0H(s)dM(s)=nXi=1Zt 0Hi(s)dM(s)

Bemerkung:AlsendlichSummelokalerMartingaleistdasstochastischeIntegral 22MARTINGALTHEORIEZH(s)dM(s)=nXi=1ZHi(s)dM(s); 15 Prozesse,dhjedervorhersehbareProzessHistdurch wiedereinmartingal DieKlassedervorhersehbarenProzesseerhaltmannunalsGrenzwerte(furn!1)einfacher darstellbar(siehedurrett[11]seiten57-58) H=lim n!1nxi=1hi FallswirandieserStellezusatzlichvoraussetzen,daderIntegratorMvonlokalbeschrankterVariationist,konnenwirdasstochastischeIntegral,analogzumLebesgue-Stiltjes-Integral erweitern (vergleicheelstrodt[13]),durchgrenzwertbildungaufdieklassedervorhersehbarenprozesse arbeiten MitHilfederstochastischenIntegrationkonnenwirnuneinigewichtigenZusammenhangezwi- Korollar228Furdenoptionalen(Ko)variationsprozegilt: schensemimartingalenundderenoptionalen-,bzwvorhersehbarenvariationsprozessenheraus- (ii) (i) [M;M0](t)=M(t)M0(t) Zt [M](t)=M(t)2 2Zt 0M(s )dm0(s) Zt 0M(s )dm(s); 0M0(s )dm(s): (27) (26) DenBeweishierzundetmaninRogersundWilliams[35]Seite59 Satz229(Fundamentaltheorem)WennHeinlokalbeschrankter,vorhersehbarerProze istundmeinlokalesmartingal,dannexistiertrhdmundisteinlokalesmartingal Beweis: Sei(;Fn;P)einltrierterWahrscheinlichkeitsraumundHeinbeschrankter,vorhersehbarer ndetsichderbeweisinrogersundwilliams(1987)[35] DerfolgendeBeweisistfurdaszeitdiskreteAnalogondurchgefuhrt,furdenzeitstetigenFall Proze(Hn2Fn 1furn2IN)Dannist: ZHdMn=nXk=1Hk(Mk Mk 1)

16 mit(rhdm)0=0einlokalesmartingaldazumumanzeigen,da KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN DaaberHnFn 1mebaristgilt: EZHdMnjFn 1=ZHdMn 1()E"ZHdMn ZHdMn 1jFn 1#=0: E"ZHdMn ZHdMn 1jFn 1#=E[Hn(Mn Mn 1)jFn 1] unddamitistdieaussagegezeigt =HnE[Mn Mn 1jFn 1]=0; MitHilfevonKorollar228undSatz229sehenwir,daderstochastischeProze 2 einlokalesmartingalist,dennesgiltfuralles<t M2 [M] (28) E[M2(t) [M](t)jFs] Kor2:28 E[M2(t) (M2(t) 2Zt E[M2(t) XstM(s)2jFs] E[M2(t) M2(t)jFs] {z 0 } +2E[Zt 0M(u )dm(u))jfs] Satz2:29 2Zs 0M(u )dm(u) vorhersehbdm(u)jfs] {z} Kor2:28 nalen(ko)variationsprozessesbeistochastischerintegration DerfolgendeSatzenthalteinwichtigesResultatzumVerhaltendesvorhersehbaren,bzwoptio- = M2(s) [M](s): rerprozeundrh2d[m]lokalintegrierbar,oderrh2dhmilokalendlich(automatischgegeben, wennhlokalbeschrankt)dannistrhdmeinquadratintegrierbaresmartingalund Satz230SeiMeinlokalintegrierbaresMartingalvonendlicherVariation,Heinvorhersehba- ZHdM=ZH2dhMi: ZHdM=ZH2d[M] DieserSatzwirdzumBeispielinDurett(1984)[11]Seiten57-59bewiesen

23ZAHLPROZESSTHEORIE Zahlprozetheorie 17 IndiesemKapitelwerdendiewesentlichenEigenschaftenvonZahlprozessenundderenKompensatorenbeschriebenDieDarstellungistanBremaud(1981)[7]Seite18-48orientiert gewohnlichenbedingungenbisauf(23)(ftmunichtunbedingtvollstandigsein)versehener Denition231(univariaterZahlproze)GegebenseieinmiteinerFiltrationFt,diedie Wahrscheinlichkeitraum(;F;P)EinaufdiesemltriertenWahrscheinlichkeitsraumdenierterstachastischerProzeNheitunivariaterZahlproze,fallserfolgendeEigenschaftenbesitzt (ii)nistcadlagundadaptiertbezuglichderfiltrationft, (i)n(0)=0, (iii)niststuckweisekonstantundandensprungengilt Denition232(multivariaterZahlproze)Sei(;F;P)einWahrscheinlichkeitsraumund FteineFiltrationdie(21)und(22)erfulltDannheitderVektorvonadaptiertercadlag N(t)=+1: ProzessenN=(N1;;Nk)k-variaterZahlproze,fallsjedeKompenentevonNkeinunivariaterZahlprozeist,wobeikeine2KomponentenzurgleichenZeitspringen,dh mit P(NiNj(1 ij)=1)=0i;j2f1;;kg; ij=(1fallsi=j AufgrundderTatsache,daeskeinegleichzeitigenSprungegibt,istderProze 0sonst : aucheinzahlprozenunkannmanfurneinefolgevonzufallsvariablen N=kXi=1Ni mitwertenaust,sowie 0<T1T2T3 diewerteaus1;2;;k[0annehmenkann,sodafurnn()gilt: J1;J2;; Tn2T=[0;); Tn>Tn 1; Jn6=0;

18 sowie N(Tn)=nundNJn(Tn)=1: KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN derzahlprozenaufdenwertnspringtunddiezufallsvariablejnalsindexderzumzeitpunkt StopzeitenAuchJnistFTn-mebarMankanndieZufallsvariablenTnalsZeitpunkt,zudem Furn>N()seiTn=undJn=0DafTntgFTn-mebarist,istTneineFolgevon nspringendenkomponenteinterpretierendafurjedekomponentenh,h2f1;;kgdes ZahlprozessesNgilt:0NTn allepfadevonnhmonotonwachsendsindgilt E(Nh(s)jFt)=E(Nh(t)+Nh(s) Nh(t)jFt) hn,isttneinelokalisierendefolgevonstopzeitenfurnhda NhistalsoeinlokalesSubmartingalundfuralleStopzeitenTgleichmaigintegrierbar,dhNh =Nh(t)+E(Nh(s) Nh(t) 0 {z } jft)nh(t)8ts: eindeutigenvorhersehbarenkompensatorprozeh,sodaderproze einsubmartingalderklassednachsatz219besitztnheinen(bisaufununterscheidbarkeit) einlokalesmartingalist Mh=Nh h EinigewichtigeEigenschaftendiesesKompensatorprozessesh,wollenwirnungenauerbetrachtenDazusindjedochnocheinigevorbereitendeDenitionennotwendig SatzundDenition233(IntensitateinesZahlprozesses)SeiN(t)einZahlprozeEin vorhersehbarernichtnegativerproze(t),furdengilt (i) Zt (ii)furallevorhersehbarenprozesseh(t)istdiegleichung 0(s)ds<18tP-fastsicher: erfullt EZ1 0H(s)dN(s)=EZ1 0H(s)(s)ds Bemerkungen: heitintensitatsprozeundist,bisaufununterscheidbarkeit,eindeutigdeniert BremaudverzichtetinseinerDenitionfurdenIntensitatsprozeaufdieVorhersehbarkeitundzeigtdann,damanzujedemsodeniertenIntensitatsproze(t)einebisauf UnunterscheidbarkeiteindeutigevorhersehbareVersion~(t)ndenkann

0 10 20 30 40 23ZAHLPROZESSTHEORIE EineaquivalenteDenitionkanngegebenwerdendurch 19 Aven(1982)[3]beweist,daunterbestimmtenVoraussetzungenmitdiesemsodenierten (t)=lim dt!0e[n(t+dt) N(t)jFt] (t)derprozessn(t) Rt0(s)dseinMartingalist,dhwirkonnendenvorhersehbaren : KompensatorprozeeinesZahlprozessesangebendurch AusderExistenzeinesIntensitatsprozessesfolgt,dadieZuwachseineinemZahlproze (t)=zt unabhangigsind,derbeweisndetsichinbremaud[7](seite25)imfolgendentextwerdenwirimmerzahlprozessemitexistierendemvorhersehbaremintensitatsproze,dhmit 0(s)ds: unabhangigenzuwachsenbetrachten ZensierungsintensitatZ(t)=0:15t,sowiezugehorigerMartingalpfad Abbildung22:SimulierterPfadfurZahlprozevon50ObjektenmitHazard(t)=tund 00 05 10 15 20 25 00 05 10 15 20 25 Beispiel234(simulierterZahlproze)IndiesemBeispielsollderZusammenhangzwischen dannausderrisikomenger(t)(=anzahlderpersonenunterbeobachtung)ausscheidenzudemseiindembestandeinezensierungsintensitatvonz(t)=0:15tgegeben,dasbedeutet,da ZahlprozessenundderenKompensatorenveranschaulichtwerdenIneinerSimulationbetrachten wir50individuen,diemiteinerintensitatvon(t)=teinterminierendesereigniserlebenund -4-2 0 2 4

20 miteinerintensitatvon0:15tindividuenausdembestandausscheiden,ohnedaeinereignis stattndetderzahlprozen(t)istnunfolgendermaendeniert KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN DersodenierteProzehatfolgendenKompensatorproze(t): (t)=ezt N(t)=AnzahlderEreignissebiszumZeitpunktt: 0(s)E[R(s)]ds 0(s)R(s)ds 0(s)50exp Zs =50Zt =Zt 050sexp Zs 01:15ududs 0((u)+Z(u))duds = 1:151 e 1:15 0sexp( 1:15 2t2: 2s2)ds werte[r(t)]gilt Bemerkung:IndiesemBeispielwirdeinErgebnisausKapitel3verwendet,furdenErwartungs- E[R(t)] Satz3:3 = 50P(PersonzumZeitpunkttunterBeobachtung) 50S(t) Da(t)derKompensatorprozevonN(t)ist,istM(t)=N(t) (t)einmartingalinabbildung 50exp Zs 22isteinsimulierterPfadvonN(t)unddessenKompensatorproze(t)(links),sowiedas 0((u)+Z(u))du: zugehorigemartingalm(t)(rechts)dargestellt tensitatsprozessen Satz235GegebenseiderZahlprozeN(t)mitIntensitatsproze(t)SeiM(t)=N(t) DerfolgendeSatzzeigteinenwichtigenZusammenhangzwischenZahlprozessenundderenIn- Rt0(s)dsundHlokalbeschranktundvorhersehbarDanngilt: ZHdM(t)=Zt hmi(t)=zt [M](t)=N(t); 0(s)ds; 0H2(s)(s)ds; (211) (210) (29) ZHdM(t)=Zt 0H2(s)dN(s): (212)

23ZAHLPROZESSTHEORIE Beweis: 21 UmdieAussagezubeweisen,zeigenwirzuachstdieGultigkeitvon(210)Esgilt: Da(t)=Rt0(s)dseinstetigerProzessist,hatM(t)SprungederHohe+1andenStellen,an [M(t)]=X 0<st(M(t))2=X 0<st(N(s) Zs 0(u)du)2: denenn(t)springtausdiesemzusammenhangerhaltenwir [M(t)]=X 0<st(N(s) Zs 0<st(N(s))20(u)du)2 UmdieGultigkeitvon(210)zuzeigen,benutzenwirdieTatsache,da =X 0<stN(s)=N(t): einmartingalist(siehe(28))dervorhersehbarekompensatorprozevon[m](t)=n(t)ist gegebendurch(t)=rt0(s)ds,sodam2(t) [M](t) alssummezweiermartingalewiederumeinmartingalistundesgilt M2(t) [M](t)+N(t) Zt M2(t) [M](t)+N(t) Zt 0(s)ds =M2(t) [M](t)+[M](t) Zt =M2(t) Zt 0(s)ds 0(s)ds: 0(s)ds DaRt0(s)dsvorhersehbarist,istdiessomitder(bisaufUnunterscheidbarkeit)eindeutigevorhersehbareKompensatorprozevonM2unddamitgilt (211)und(212)erhaltenwirnundirektausSatz230Danachgilt: hmi=zt ZH2dM(t)=Zt 0(s)ds: =Zt 0H2(s)dhMi(s) 0H2(s)d(Zs 0H2(s)(s)ds; 0(u)du)

22 sowie ZH2dM(t)=Zt KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN =Zt 0H2(s)d[M(s)] DamitistderSatzbewiesen 0H2(s)dN(s): Bemerkung:Fureinenk-variatenZahlprozeN=(N1;;Nk)mitIntensitatsproze= (1;;k)undeinepk-MatrixlokalbeschranktervorhersehbarerProzesseHgeltenanalogzu29bis212dieentsprechendenZusammenhangefurdievorhersehbarebzwoptionale 2 Kovariationsmatrix ZHdM(t)=Zt hmi(t)=diagzt [M](t)=diag(N(t)); 0H(s)diag((s))Ht(s)ds; 0(s)ds; ZHdM(t)=Zt aufderdiagonalen,dhvij=ijvidervorhersehbare,bzwoptionalekovarationsprozeeines wobeimitdiag(v),v2irpeinematrixv2irppdeniertistmitdemvektorvalseintrag 0H(s)H(s)td(diagN(s)); k-variatenzahlprozessesistalsoeinekk-matrixmitfolgendeneintragen *XhZHjhdMh;XlZHj0ldMl+(t)=XhZt hmh;mli(t)=hlzt [M]hl(t)=ijNh(t); 0h(s)ds; "XhZHjhdMh;XlZHj0ldMl#(t)=XhZt 0Hjh(s)Hj0h(s)h(s)ds; 24 Grenzwerttheorie 0Hjh(s)Hj0h(s)dNh(s): (213) gale(mitjeweilskkomponenten)undm(n) ErklarungennotigSeiM(n)=(M(n) galenundderenkompensatorenvorgestelltdazusindaberzunachstnocheinigevorbereitende ImdiesemAbschnittwerden2wichtigeResultateuberasymptotischeEigenschaftenvonMartin- 1;;M(n) "=(M(n) k)n2ineinefolgequadratintegrierbarermartin- "1;;M(n) derdenitionvonm(n) Martingale,diealleSprungevonM(n)enhalt,derenAbsolutbetraggroerals"istMitM(n) "istauchdiedierenzm(n) M(n) "gilt,dajm(n) h M(n) "einlokalquadratintegrierbaresmartingalundnach "k)einefolgequadratintegrierbarer SeinunM(1)einMartingalmitvorhersehbaremundoptionalem(Ko)variationsproze[M(1)]= hm1i=v(v:t7!irpp),zudemseiendiezuwachsevonmp-variatnormalverteiltdh "hj"8h2f1;;kg

M(1)(t) M(1)(s)Np(0;V(t) V(s))Wirbezeichnenmit!PdieKonvergenzinWahrscheinlichkeit,sowiemit!DdieKonvergenzinVerteilungMitdiesemVorbereitungenkann 23 24GRENZWERTTHEORIE gen: Satz236(SatzvonRebolledo)SeiT0TundgelteeinederbeidenfolgendenBedingun- mannuneinengrenzwertsatzfurmartingaleformulieren sowie hm(n)i(t)!pv(t)furallet2t0furn!1; hm(n) "hi(t)!p0furallet2t0;hund">0furn!1: [M(n)](t)!PV(t)furallet2T0furn!1; (214) Danngilt: (M(n)(t1);;M(n)(tl))!D(M(1)(t1);;M(1)(tl)): (215) FallszusatzlichT0dichtinTliegtundenthaltfalls2T,sogiltmitdenselbenVoraussetzungen: undhm(n)isowie[m(n)]konvergierengleichmaigaufkompaktenteilmengenvontgegenv DieserSatzwurdevonRebolledo(1980)[33]bewiesen M(n)!DM(1)furn!1 (n)seih(n)einekknmatrixlokalbeschranktervorhersehbarerprozesse,denierenwirnun toreinzahlprozeistfurjedesn2insein(n)einkn-variaterzahlprozemitintensitatsproze FormulierenwirnundieBedingungen(214)und(215)furstochastischeIntegrale,derenIntegra- furj=f1;;kgdielokalenmartingale sowiemit M(n) j(t)=knxh=1zt 0H(n) jh(s)(dn(n) h(s) (n) M(n) j"(t)=knxh=1zt 0H(n) jh(s)i(jh(n) jh(s)j>")(dn(n) h (n) h(s)ds); einlokalesmartingal,dasallesprungevonmjenthaltmitjmjj>"dannerhaltenwirmit HilfevonSatz235furdieBedingungen(214)und(215)ausSatz236 h(s)ds) (216) hm(n) [M(n) j;m(n) j;m(n) j0i(t)=knxh=1zt j0](t)=knxh=1zt 0H(n) jh(s)h(n) j0h(s)(n) j0h(s)dn(n) h(s)ds; sowie hm(n) j";m(n) j"i(t)=knxh=1zt 0(H(n) jh(s))2i(jh(n) jh(s)j>")(n) h(s); (217) EineweiterewichtigeAussageistdieUngleichungvonLenglartMitihrerHilfeistesmoglich, einenstochastischenprozemithilfeseineskompensatorprozessesabzuschatzen h(s)ds: (218)

[0;]und~XderzugehorigeKompensatorprozenachSatz219Danngilt8;>0 24 Satz237(UngleichungvonLenglart)SeiXeinlokalesMartingalaufT=[0;]oderT= KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN leichtmodizierteversionvon(219)anwendungfureinlokalquadratintegrierbaresmartingal DerSatzwurdevonLenglart(1977)[27]bewiesenImfolgendenTextndetjedochmeisteine P(sup TX>)+P(~X()>): (219) M(dhM2hatdenKompensatorhMi)giltnamlichnachSatz237fur;2>0 waswiederumaquivalentistzutm2>2)2+p(hm()i>); P(sup 25 MarkovkettenP(sup TjMj>)2+P(hM()i>): (220) standsraumsheitzeitstetigemarkovkette,wennfurallenundjedeendlichemengevon Denition238(Markov-Kette)EinzeitstetigerProzeX(t);t0mitabzahlbaremZu- Zeitpunkten0t0<<tn<umit diefolgendeeigenschaft(markov-eigenschaft) P(X(t0)=i0^^X(tn)=in^X(u)=j)>0; erfulltist P(X(u)=jjX(t0)=i0^^X(tn)=in)=P(X(u)=jjX(tn)=in) (221) Denition239(Ubergangswahrscheinlichkeit)DiebedingtenWahrscheinlichkeiten heienubergangswahrscheinlichkeiten,mit Pij(t;u):=P(X(u)=jjX(t)=i) DieZustandekannmaninfolgende3Gruppenunterteilen: istdiewahrscheinlichkeitbezeichnetimgesamtenintervall[t,u]imzustandizuverbleiben Pii(t;u):=P(X(z)=ifurallez2[t;u]) EinZustandiheitabsorbierend,falls Pii(t;u)=1(0tu):

25MARKOVKETTEN EinZustandiheittransient,falls 25 EinZustandheitstrikttransient,falls Pii(t;1)=0(t0): EinabsorbierenderZustandistalsoeinZustand,dernichtmehrverlassenwird,fallsereinmal Pii(t;u)=Pii(t;u)<1(0tu): heit,nachdemderzustandeinmalverlassenwurde,istesunmoglichwiedereinzutreten) undeinstrikttransienterzustandisteinzustand,dergenaueinmalerreichtwerdenkann(das eingetretenist,eintransienterzustandisteinzustand,derauchwiederverlassenwerdenkann Denition240(Ubergangsintensitaten)DieUbergangsintensitatensinddeniertals: ZudemdenierenalsGesamtintensitatfurdasVerlassendesZustandsi ij(t)=lim dt!0pij(t;t+dt) i(t)=x : j:j6=ij(t): Lemma241(Chapman-Kolmogorov)FurzeitstetigeMarkovkettenerfullendieUbergangswahrscheinlichkeitendiesogenanntenChapman-Kolmogorov-Gleichungen: Beweis: Pij(t;u)=Xk2SPik(t;w)Pkj(w;u)(twu): (222) Pij(t;u) P(X(u)=jjX(t)=i) Xk2SP(X(u)=jjX(t)=i^X(w)=k)P(X(w)=kjX(t)=i)(twu) Xk2SP(X(u)=j^X(w)=kjX(t)=i)(twu) (2:21) = Xk2SP(X(u)=jjX(w)=k)P(X(w)=kjX(t)=i)(twu) Xk2SPik(t;w)Pkj(w;u)(twu): DamitistdasLemmagezeigt DieGleichungenvonChapman-KolmogrovsindeinwichtigesHilfsmittelbeiderHerleitungder Kolomogorov-Dierentialgleichungen 2

26 Satz242(Kolmogrov-Dierentialgleichungen)FurzeitstetigeMarkovkettengilt: KAPITEL2THEORETISCHEGRUNDLAGEN (i) (ii) ddtpij(z;t)=x ddzpij(z;t)=pij(z;t)i(z) X k:k6=jpik(z;t)kj(t) Pij(z;t)j(t); (223) Beweis: k:k6=ipkj(z;t)ik(z): (224) (i)nach(222)gilt: Damiterhaltman: Pij(z;t+dt)=X k:k6=jpik(z;t)pkj(t+dt)+pij(z;t)pjj(t+dt): AusdemZusammenhang,da: Pij(z;t+dt) Pij(z;t) =X k:k6=jpik(z;t)pkj(t+dt) +Pij(z;t)Pjj(t;t+dt) 1 : folgtda: Pjj(t;t+dt)=1 Xk6=jPjk(t;t+dt) DurchGrenzwertbildungdt!0folgtschlielichdieAussage Pij(z;t+dt) Pij(z;t) =X k:k6=jpik(z;t)pkj(t+dt) +Pij(z;t)X k:k6=jpjk(t+dt) : (ii)analog 2

Kapitel3 Verweildaueranalyse MathematischeGrundlagender IndiesemKapitelwerdendiegrundlegendenKonzeptederVerweildaueranalysevorgestelltDies Likelihood-MethodenfurUberlebensdatenWichtigeStandardwerkehierzusinddieBuchervon rametrische,semiparametrischeundparametrischemethoden),diemodellierungvonmaximum- beinhaltetunteranderemverschiedeneansatzezurschatzungderuberlebensfunktion(nichtpa- KalbeischundPrentice(1980)[21],sowievonKleinundMoeschberger(1997)[25]Einesehr detaillierteredarstellungmitausfuhrlichenbeweisenvonkonvergenzaussagenaufbasisvon ZahlprozessenndetmaninAndersenua(1993)[1]EineanwenderorientierteBeschreibung verweildaueranalytischermethodenistindembuchvonle(1997)[26]enthalten DiederUberlebenszeitzugrundeliegendeGroeistdiezufalligeLebensdauer,oderdiezufallige 31 DauerbiszueinemgenauspeziziertenterminierendenEreignis DieUberlebensfunktion Beispiele: DauervonBeginneinerKrankheitbiszurGenesung, DauerdesZeitraumsvonGeburtbiszumTod, Denition31(Uberlebensfunktion)GegebenseidieZufallsvariableTmitmitVerteilungsfunktionF(t)undDichtef(t)DannistdieUberlebensfunktion(engl:SurvivalFunction) S(t):=P(T>t): 27 deniertals (31)

28 Bemerkung:DieUberlebensfunktionkannalsAnteilderUberlebendenzumZeitpunkttgedeutetwerdenDieUberlebensfunktionS(t)latsichwiefolgtalsFunktionderDichteund KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE VerteilungsfunktionvonTdarstellen: S(t)=P(T>t)=1 P(Tt)=1 F(t)=1 Zt f(t)= ds(t) dt: 0f(x)dx; (32) 32 DieHazardfunktion (33) lebenszeitanalysediehazardfunktion,indeutschsprachigerliteraturoftalssterbeintensitat bezeichnet,istdiebedingtedichtevont,gegebenuberlebenbist NebenderUberlebensfunktionS(t)istdieHazardfunktion(t)einewichtigeGroeinderUber- Denition32DieHazard-,oderIntensitatsfunktionistdeniertals DiekumulativeHazardfunktiondeniertmanals (t)=lim dt!0p(tt<t+dtjtt) (t)=zt : (34) ZwischenUberlebens-undHazardfunktionbestehtfolgenderZusammenhang: 0(x)dx: (35) Satz33SeienS(t)Uberlebensfunktionund(t)HazardfunktionzuLebensdauerTDanngilt (ii) (i) S(t)=exp( Zt :=E(T)=Z1 0(x)dx); 0S(t)dt: (36) Beweis: (37) (i) (t)=lim dt!0p(tt<t+dtjtt) =f(t) dt!0p(tt<t+dt) S(t)= dts(t) dtp(tt) S(t)= ddtlog(s(t)):

33FUNKTIONALEDARSTELLUNGDERHAZARDFUNKTION MittelsIntegrationerhaltman: 29 (ii) ln(s(t))= Zt 0(x)dx()S(t)= exp(zt 0(x)dx): =E(T)=Z1 0tdF(t)=Z1 0Zt 0dxdF(t)=Z1 0Z1 xdf(t)dx=z1 Bemerkung:NachSatz33istalsodieVerteilungderZufallsvariableTeindeutigdurch(t) 0S(x)dx:2 bestimmtfallsteinediskretezufallsvariableistmitwertenx1<x2<und DannistdieUberlebensfunktioneineStufenfunktionmit f(xi)=p(t=xi): Miti:=f(xi)=S(xi)erhaltmaneinfacheAusdruckefurf(xi) S(t)=1 Xxi<tf(xi)=Xxitf(xi): f(xi)=ii 1 S(xi)=i 1 Yj=1(1 j): Yj=1(1 j); (38) 33 FunktionaleDarstellungderHazardfunktion (39) wichtigefunktionalemodelleinderuberlebenszeitanalysevorgestelltwerden ExponentiellesModell ObwohlinderArbeitsemiparametrischeModelleimVordergrundstehen,sollenhiereinige furdasexponentiellemodellistkonstantfurallet DasexponentielleModellistwohldasbekannntesteUberlebenszeitmodellDieHazardfunktion DiezugehorigeUberlebensfunktionS(t)istdemnach S(t)=exp Zt (t)=>0: DasbedeutetfurdieVerteilungsfunktionF(t)derZufallsvariableT 0ds=1 e t: F(t)=1 S(t)=e t:

folgtsofortfolgendewichtigeeigenschaft 30 DieUberlebenszeitTistalsoexponentialverteiltmitParameterAusdemkonstantenHazard KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE Weibull-Modelle P(Tt+sjTt)=S(t+s) S(t)=exp((t+s t)=p(ts): EineVerallgemeinerungderexponentiellenModellesindWeibull-verteilteLebensdauernTmit Hazardfunktion notonfallende(1)hazardfunktionenmodelliertwerdenfurdieuberlebensfunktions(t) MitdieserfunktionalenDarstellungkonnensowohlmonotonwachsende(1)alsauchmo- (t)=t 1;>0: gilt S(t)=exp Zt sinddemnachgegebendurchf(t)=1 S(t)=1 exp[ t]; DieVerteilungsfunktionF(t)unddieDichtefunktionf(t)furWeibull-verteilteLebensdauern 0(u)du=exp[ t]: f(t)=ddtf(t)=t 1exp( t): DieZufallsvariableLebensdauerTheitlog-logistischverteilt,fallsdieTransformation: Log-LogistischeModelle logistischverteiltistmitdichtefunktiony=log(t) fy(y)= h1+expy exp y undverteilungsfunktionfy(y)= i2 DieUberlebens-undHazardfunktionlog-logistischverteilterUberlebenszeitenhabendieForm 1+exp y 1 fur2ir;>0: sowie S(t)=1 FY(log(t))= (t)=t 11+t; 1 1+t;

mit=1=>0und=exp( =)Mitlog-logistischerVerteilungkannmanmit1 monotonfallendehazardfunktionenmodellieren,fur>1erhaltmanhazardfunktionen,die 34AUFBAUEINERSTUDIE 31 biszumzeitpunktt=[( 1)=()]1=monotonwachsenunddannmonotonfallenmitGrenzwert in0 ProbandenubereinenlangerenZeitraumDazuwerdenimwesentlichen2TypenvonStudien UmdasUberlebensverhalteneinesBestandeszuuntersuchen,betrachtetmaneineGruppevon 34 AufbaueinerStudie unterschieden RetrospektiveStudien RetrospektiveStudienbetrachtenDatenausderVergangenheiteinerKohorte(MengebeobachteterObjekte)undversuchenanhanddieserDatenAussagenuberdasUberlebensverhalten ProspektiveStudien Volkszahlungresultieren,benutzt,umAussagenuberdieSterblichkeitdieserPopulationtreen SterbetafelfureinebestimmtePopulationzunennenHierwerdenDaten,diemeistauseiner derentsprechendenkohortezutreenalsbeispielwarehierzumbeispieldieerstellungeiner zukonneneinvorteildieserretrospektivenstudienist,dasierelativkostengunstigsind,die stimmtenzeitraum(0;1)rekrutiertunddannubereinenweiterenzeitraum(1;2)weiter ImGegensatzdazuwirdfurprospektiveStudieneineKohortevonProbandenubereinenbe- Datensindjabereitserhoben,undzuschnellenResultatenfuhren prospektivestudiensindtestreihenfureinneuesmedikament,indenenpatientenubereinen beobachtet(sieheabbildung)naturlichistauch1=2moglich(wasbedeutet,dauber bestimmtenzeitraumeinneuentwickeltesmedikament,bzweinplazeboeinnehmenindiesem diegesamtestudiendauerneueprobandenrekrutiertwerdenkonneneintypischesbeispielfur benszeitanzusetzen EinbesonderesProbleminderVerweildaueranalysestellensogenanntezensierteBeobachtungendarEinezensierteBeobachtungisteinObjekt,dasdasterminierendeEreignisnichterlebt, FallwarezBderZeitraumvonBeginnderMedikationbiszurGenesungalszufalligeUberle- BeobachtungentziehtInAbbildung31sinddierechtszensiertenBeobachtungendurchden daesdengesamtenbeobachtungszeitraum(0;2)uberlebt,odersichausanderengrundender MankannverschiedeneArtenderZensierungundTrunkierungunterscheiden: nichtausgefulltenpunktangedeutet Rechtszensierung:EineBeobachtungheitrechtszensiert,wennaufgrundBeendigungdes Zensierung BeobachtungszeitraumskeineAussagedarubergemachtwerdenkann,obdasinteressierendeEreignisbereitsstattgefundenhatodernichtDiesistwohldiebekanntesteArtder

32 KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE Abbildung31:SchematischeDarstellungeinerUberlebensstudie 0 Studienbeginn 1 Studienende 2 t Linkszensierung:EinelinkszensierteBeobachtungisteineBeobachtung,derenBeginnzeit- untersuchenmochteindenwenigstenfallenwerdenhierdieprobandendengenauen nischestudieanfuhren,diedenzeitraumvonhiv-infektionbiszumausbruchvonaids punktunbekanntistalstypischesbeispielhierfurkonntemanzumbeispieleinemedizi- Linkstrunkierung:EinelinkstrunkierteBeochtungisteineBeobachtung,derenBeginnzeitpunktvorStudienbeginn1liegt,aber,imGegensatzzulinkszensiertenBeobachtungen, Infektionszeitpunktwissen einervolkszahlunghieristderbeginnzeitpunkt(geburt)inallenfallenbekannt,aber bekanntisteinbeispielfurlinkstrunkierungistdieerstellungeinersterbetafelaufbasis 35derStudienbeginnistderBeginnderVolkszahlung tungvonlikelihood-schatzerninuberlebenszeitmodellendargestelltwerden(siehekalbeisch IndiesemAbschnittsolleneinigeimmerwiederinderArbeitverwendeteTechnikenzurHerlei- Likelihood-TechnikenfurUberlebenszeitmodelle BestimmungderUberlebensfunktion,sowiedersogenanntePartial-LikelihoodimZentrumder undprentice(1980)[21]seiten119bis142)dabeistehenmaximum-likelihood-ansatzezur Betrachtung werdenundderenuberlebendurchdiehazardfunktion(t;z;)bzwdurchdiedichtefunktionf(t;z;)beschriebenwird,wobeihierz2irpeindasuberlebengenauerspezizierender WirgehenausvoneinerStudiemitinsgesamtnIndividuen,dievomZeitpunkt0anbeobachtet 351Likelihood-KonstruktionfurModellemitunabhangigerZensierung

Kovariablenvektoristund2IRpeinParametervektorDiebeobachtetenDatenfurdasi-te 35LIKELIHOOD-TECHNIKENFURUBERLEBENSZEITMODELLE Individuumsindti;i;Zi,hieristtiderZeitpunktdesBeobachtungsendes,idersogenannte 33 Zensierungsindikator,dh undziderbeobachtetekovariablenvektorimfolgendenwerdenwirimmerdavonausgehen, i=(1ereigniszumzeitpunktti daeinunabhangigerzensierungsmechanismusvorliegt(nachdenitionvonkalbeischund 0ZensieruungzumZeitpunktti als festenzeitpunkt(zbstudienende)stattndetwirerhaltendielikelihoodfunktionallgemein Prentice[21]Seite120),derinsbesonderedanngegebenist,wenndieZensierungzueinem (T=ti),dieDichtefunktiondafuristf(ti;Zi;),fallsi=0erhaltenwirdieInformation, (310)kannmanfolgendermaenerklaren:Fallsi=1wissenwir,daeinEreignispassiert L=nYi=1[f(ti;Zi;)iS(ti;Zi;)1 i]: dadasbeobachteteindividuummindestensbiszumzeitpunkttigelebthat(dhtti), zuerhalten,stellenwirdieuberlebensfunktioninabhangigkeitvonderhazardfunktiondar derhazardfunktion(t;z;)(beigegebenem),bzwfurdenparameter(beigegebenem) diewahrscheinlichkeitdafurists(ti;zi;)umnunlikelihood-technikenfurdieschatzung ZunachsthabenwirinSatz(33)gezeigt,dafurdieUberlebensfunktionderZusammenhang giltzumanderenkannmaneineabsolutstetigeuberlebensfunktions(t)inabhangigkeitvon S(t)=exp Zt 0(s;Z;)ds (t)durchfolgendengrenzwertdarstellen: S(t)=lim r!1r 1 Yk=0(1 (ur)ur); mitur=ur+1 urund(ur)ur=p(urt<ur+urjtur) wobeihierdergrenzwertuberallepartitionen0=u0<u1<<ur=tzubildenistund (311) [1]Seiten91-92(311)nenntmanauchProdukt-Integral-DarstellungderUberlebensfunktion gegebenuberlebenbisurderbeweisdergleichung(311)ndetsichinandersenua(1993) diewahrscheinlichkeit,daimintervallvonurbisur+1dasterminierendeereignisstattndet, Dementsprechenderhaltman2verschiedeneDarstellungenfurdieLikelihood-Funktion L f(t)=(t)s(t) = nyi=1[(ti;zi;)is(ti;zi;)is(ti;zi;)1 i] nyi=1[f(ti;zi;)is(ti;zi;)1 i]

34 KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE nyi=1(ti;zi;)iexp Zti 0(u;Zi;)du = "nyi=1(ti;zi;)i#exp0@ Z1 HieristR(t)diesogenannteRisikomengezumZeitpunktt 0k2R(u)(u;Zk;)du1A: X InderRisikomengeR(t)sindalsoauchalleObjekteenthalten,diezumZeitpunktteinEreignis erlebendiesefeststellungistsehrwichtig,dadierisikomengesoalslinksstetigerstochastischer R(t)=fBeobachtungenmittitg: ProzemitrechtsseitigemGrenzwertbetrachtetwerdenkann(Ristalsovorhersehbar)Analog giltfurdieprodukt-integral-darstellung ImAbschnitt36werdenwirjeeinennichtparametrischenSchatzeraufBasiseinerDarstellung L=nYi=1[(ti;Zi;)ilim r!1r 1 Xk=1(1 (ur)ur)]: Aalen-Schatzer)herleiten deruberlebensfunktionwiein(311)(kaplan-meier-schatzer)sowienachsatz33(nelson- AndieserStellewollenwirdasPrinzipdesPartialLikelihooderlautern,dasspaterbeider SchatzungvonKoezientenimRahmendesProportional-Hazard-ModellseinewesentlicheRollespielenwird Nehmenwiran,dieVerteilungsdichteeinerZufallsvariableXseigegebendurchf(x;;),wobei meistsehrhoch,odersogar,wiespaterimproportional-hazard-modell,unendlichistaufbasis hierderinteressierendeparameterundeinunbekannterstorparameter,dessendimension 352PartialLikelihood A1;B1;A2;B2;;Am;BmundseiA(j)=(A1;;Aj),sowieB(j)=(B1;;Bj) menwirnunan,diebeobachtetendatenywerdennuntransformiertinzweivariablenmengen einerbeobachtungywollenwirnunaussagenuberdieverteilungdesparameterstreenneh- Angenommen,diegemeinsameDichtevonA(m)undB(m)latsichdarstellenals myj=1f(bjjb(j 1);a(j 1);;)mYj=1f(ajjb(j);a(j 1);): Dannnenntmanden(vonunabhangigen)zweitenTermPartialLikelihoodbasierendauf alswahrscheinlichkeitinterpretiertwerdendiefunktionsweisedespartiallikelihoodsollmit ADieserTermistkeineLikelihoodfunktionimherkommlichenSinn,dherkannnichtdirekt HilfedesfolgendenBeispielserlautertwerden

undjsp2j=melementenwirbeobachten(nachstichprobenunterteilt)wievieleereignissein Beispiel34IndiesemBeispielbetrachtenwir2Stichproben,SP1undSP2,mitjSP1j=n 35LIKELIHOOD-TECHNIKENFURUBERLEBENSZEITMODELLE 35 sierendiesebeobachtungenkonnenwirmitdemdatensatza1;b1;a2;b2;a3;b3beschreiben (sieheabbildung31),wobei jeeinemder3disjunktenintervalleni1=[c0=0;c1),i2=[c1;c2),sowiei3=[c2;c3=1)pas- Gehenwirdavonaus,dafurinSP1furdieWahrscheinlichkeit,dainIntervallIkk= Bk=#EreignisseinIntervallIkgesamt Ak=#EreignisseinIntervallIkStichprobe1 f1;2;3gdasereignispassiert,gegebenuberlebenbisck, gilt p1=p(ckt<ck+1jtck;sp1);k2f1;2;3g; undinsp2fur p2=p(ckt<ck+1jtck;sp2)k=f1;2;3g 1 p1=ke gilt derzusammenhang 1 p2=k StichprobeGesEreigUberlbisc1GesEreigUberlbisc2 1 I1 I2 Ges I3 2 mn a1 r1 n-a1 n-a2 a2 n-a1-a2 n-a1-a2ereig b1 m-r1 m-r1 r2 b2 m-r1-r2 m-r1-r2 a3 r3 Tabelle31:BeobachteteUberlebenszeiteninBeispiel34 b3 despartial-likelihooderhaltmandannalsbedingtewahrscheinlichkeit,daimintervalli1a1 EreignisseinSP1beobachtetwerdenkonnen,unterderBedingung,dainsgesamtb1Ereignisse HieristderinteressierendeParameterundkk=1;2;3derStorparameterDenerstenFaktor passieren P(A1=a1jB1=b1)=P(A1=a1;B1=b1) = na1pa1 P(B1=b1) = na1p11 Pl nlpl11(1 p11)n l m 11(1 p11)n a1 m 1 p11a1(1 p11)n m b1 a1pb1 a1 b1 lpb1 l b1 a1p12 1212(1 p12)m (b1 l) (1 p12)m (b1 a1) Pl nlp11 1 p11l(1 p11)n m b1 lp12 1 p12b1 a1(1 p12)m 1 p12b1 l(1 p12)m

36 KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE = na1a1 = na1 m Pl nllkel m 1ea1 m b1 a1b1 a1 P nl m b1 a1ea1 b1 lel: b1 lb1 l 1k Mansieht,daderStorparameter1indiesemTermgekurztwerdenkannFurdenzweiten FaktorerhaltenwirP(A2=a2jB1=b1;A1=a1;B2=b2)= n a1 undschlielichp(a3=n a1 a2jb1=b1;a1=a1;b2=b2;a2=a2;b3=b3)=1: P n a1b2 a2ea2 a2 m r1 l m r1 b2 lel Proportional-Hazard-ModellRegressionskoezientenfurdieHazardfunktionschatzen MiteinerahnlichenKonstruktionwieinBeispiel34werdenwirspaterimsemiparametrischen SchatzungderUberlebensfunktionDieSchatzmethodenleitenwirmitdenimvorherigenAb- IndiesemAbschnittbetrachtenwir2unterschiedliche,nichtparametrischeAnsatzefurdie 36 SchatzenderUberlebensfunktion tentodeszeitpunkte,sowiediemengedergeordnetenendzeitpunktederbeobachtungen(mit moglichenzensierungen)benotigen,treenwirnunfolgendekonvention:mitt1<t2<<tk schnittdargestelltenlikelihood-technikenherdawirimfolgendenoftdiemengedergeordne- bezeichnenwirdiemengedergeordnetenzeitpunkte,andeneneinereignispassiert,mitt1 tndiemengederendzeitpunktederbeobachtungenineinergeordnetenstichprobeder 361DerProdukt-Limit-Schatzer(KaplanundMeier) Indexn Langen,dhimerstenFallindizierenwirdieZeitpunktebiszumIndexk,imzweitenbiszum DerProdukt-Limit-Schatzer(KaplanundMeier,1958)[22]istwohlderbekanntesteundam haugsteneingesetzteschatzerfurdieuberlebensfunktionmitdiesemschatzerwerdenan denzeitpunktenti,i=1;;k,andeneneinereignisstattndet,diezugehorigenhazards i=(ti);i=1;;k,geschatztausderdiskretenapproximation desprodukt-integrals(311)resultiertdanndieprodukt-limit-schatzungfurdieuberlebensfunktionnunmussenwirnochi;i=1;;k,schatzen tit(1 i) S(t)=lim r!1r 1 Yk=0(1 (ur)ur)y Seiennunt1<t2<<tkdieZeitpunkte,andeneneinterminierendesEreignisstattndet und Ri:=fbeobachteteObjektemitTtigi=1;;k;

36SCHATZENDERUBERLEBENSFUNKTION sowie Di:=fbeobachteteObjektemitT=tigi=1;;k; 37 Wahrscheinlichkeit,dadivonniObjektendasterminierendeEreignisamZeitpunkttierleben, AlsLikelihoodfunktion(inAbhangigkeitvondemdiskretenHazardizumZeitpunktti)furdie mitdi=jdijundni=jrij erhaltman Seinun Li(i)=[f(ti)]di[S(ti)]ni di L()=kYi=1Li(i)=kYi=1di [S(ti)]ni =di i(1 i)ni di i(1 i)ni di: derzugehorigelog-likelihoodmitableitungnachi und LL()=log(L())=kXi=1(dilog(i)+(ni di)log(1 i)) DieserTermwird0fur^i=di=ni,sodadieProdukt-Limit-SchatzungfurdieUberlebensfunktiongegebenistdurch 1 i: @ill()=di @ i+di ni Varianzvon^SKMkannmanmitderFormelvonGreenwood(1926)[18] ImfolgendenbetrachtenwirnochkurzeinigeEigenschaftendesKaplan-Meier-SchatzerDie ^SKM(tk)=kYi=1(1 ^i) (312) bestimmenaufbasisasymptotischernormalitat,diewirabschnitt362furdennelson-aalen- dvar[^s(t)km]=^skm(t)xtitri(ri di) zintervallefur^s(t)angebendazubenotigenwirnochfolgendenotation Schatzernochgenaueruntersuchenwerden,kannmannunpunktweise100(1 )%-Konden- Damiterhaltenwirals100(1 )%KondenzintervallzumZeitpunktt0 2s(t)=dVar[^S(t)] ^S2(t): wobeic1 =2das1-=2-QuantilderStandardnormalverteilungist [untereschranke;obereschranke]=[^s(t0) c1 =2S(t0)^S(t0)+c1 =2S(t0)^S(t0)];(313) (313)deniertezufalligeIntervallzujedemZeitpunktt0mit(1 =)100%-igerWahrscheinlichkeitden(wahren)WertderUberlebensfunktionSanderStellet0beinhaltet Bemerkung:PunktweisesKondenzintervallbedeutetimdiesemZusammenhang,dadasin

38 KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE Anteil Ueberlebende 00 02 04 06 08 10 Abbildung32:Kaplan-Meier-Schatzermitzugehorigen95%-Kondenzintervallen 0 2 4 6 8 10 Schatzerserlautertwerden(+stehtfurZensierung) Beispiel35MitfolgendemktivenZahlenbeispielsolldieFunktionsweisedesKaplan-Meier- Tage BeobachteteLebensdauern:2,2,3,5+,6,6,7+,7+,8,9,10,10,10+,10+,10+(Anzahlder aufgefuhrt InTabelle32sinddiegeschatztenKoezenten,sowiediegeschatzten95%Kondenzintervalle Beobachtungenn=15) ṫ 215 313 inidi 2 15=0:867 ^SKM(ti)untSchr(95%)obSchr(95%) 611 1 (1 215)(1 113)=0:800 0711 0621 8 7 2(1 2 15)(1 211)=0:655 15)(1 17)=0:561 0449 0346 1000 0954 109 65 1(1 2 2(1 2 15)(1 16)=0:468 15)(1 25)=0:281 0256 0110 0909 0853 Tabelle32:GeschatzteWertederUberlebensfunktion(Kaplan-Meier-Schatzer) 0714

36SCHATZENDERUBERLEBENSFUNKTION InAbbildung32erkenntman,daderKaplan-Meier-SchatzereineStufenfunktionmitSprungen andenbeobachtetentodeszeitpunktenistderkaplan-meier-schatzeristnachuntenverzerrt 39 S(t)EsgibtverschiedeneMoglichkeiten,diesenSchatzerherzuleiten,imfolgendensollhier, DerNelson-Aalen-SchatzeristeinalternativerAnsatzfurdieSchatzungderUberlebensfunktion 362DerNelson-Aalen-Schatzer vorgestelltwerdennelson(1972)[31]schlugdiesenschatzerimrahmeneinesartikelsuber graphischemethodenzurdarstellungderhazardfunktionvorseient1tndiegeordneten analogzumprodukt-limit-schatzer,dienichtparametrischemaximum-likelihood-herleitung DieWahrscheinlichkeitdafur,daeinIndividuumzumZeitpunkttidasterminierendeEreignis fallsbeobachtungzensiert,i=1sonst) EndzeitpunktederBeobachtungenundidiezugehorigenZensierungsindikatoren(dhi=0 erlebt,ist DamiterhaltmanalsLikelihoodfunktion f(ti)=(ti)s(ti)=(ti)exp[ (ti)]: UmdiesenLikelihoodzumaximieren,betrachtenwirdiediskretenHazardratenii=1;;k zudenzeitpunktent1<<tk,andeneneinereignispassiertseimitriwiederumdie L((t))=nYi=1(ti)iexp( (ti)): RisikomengezumZeitpunkttibezeichnetundseijRij=niDannreduziertsichderLikelihood mitzugehorigemlog-likelihood L((t))=kYi=1iexp( (ti))=kyi=1[iexp( X tjtij)]=kyi=1iexp( X j2rij); undableitung LL()= kxi=1log(i) X @ j2rij DieAbleitunghatdenWert0anderStelle^i=1ni; @ill(i)=1i ni: sodadernelson-aalen-schatzerfurdieuberlebensfunktiondeniertistals Bemerkung:FallsaneinemZeitpunktmehrereEreignissestattnden,wirdderSchatzerfurdie ^SNA(t)=exp( Xtit^i): (314) Hazardfunktionmodiziertzu:^i=di=ni,wobeididieAnzahlderEreignissezumZeitpunktti

40 zahlt KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE AsymptotischeEigenschaftendesNelson-Aalen-Schatzers UmasymptotischeEigenschaftendesNelson-AalenSchatzerszubeweisen,bedientmansich eineranderenherleitungbetrachtetmannamlichdenzahlproze (SummederTotenzumZeitpunktt),wobeijedesObjektmitderIntensitat(s)ausscheidet SeinunR(s)dieAnzahlderbebachtetenObjektezumZeitpunkts,soist N(t)=nXi=1I(Tit) M(t)=N(t) Zt sofort,damann(t)alssummenunivariaterzahlprozessedarstellenkann einmartingalbzglderkanonischen,dhdervonm(t)erzeugtenfiltrationftdiessiehtman 0(s)R(s)ds (315) mit Yi(t)=(1fallsObjektzumZeitpunkttunterBeobachtung N(t)=nXi=1Yi(t)Ni(t); und 0sonst NinimmtalsodieWerte0oder1anNachderDenitiondesvorhersehbarenIntensitatsprozesses furzahlprozesseist EZ1 Ni(t)=#EreignissedesObjektesi: furallevorhersehbarenprozessehundallei21;nerfulltinsbesonderealsoauchfurden 0H(u)(u)du=EZ1 0H(u)dNi(u) vorhersehbarenprozei(sut)nxi=1yi(u)=r(u)i(sut) undwirerhaltenfurs<t EN(t) Zt 0(u)R(u)dujFs (316) Satz2:2 EN(t) N(s)+N(s) Zs EN(t) N(s) Zt s(u)r(u)dujfs+n(s) Zs 0(u)R(u)du+Zt s(u)r(u)dujfs E"nXi=1Zt syi(u)dni(u) Zt syi(u)(u)dujfs#+n(s) Zs 0R(u)(u)du (3:16) = N(s) Zs 0R(u)(u)du; 0R(u)(u)du

36SCHATZENDERUBERLEBENSFUNKTION womitdiemartingaleigenschaftgezeigtware 41 Mit wobeidm(t)alszufalligesrauschenzubetrachtenist,erhaltmanalsschatzerfur(t) dm(t)=dn(t) (s)r(s); sodamanfurdenkumulativenhazard(t)denschatzer ^(t)=dn(t) R(t); angebenkannseiennunwiederumt1<<tkdiegeordnetentodeszeitpunkte,danngilt ^(t)=zt 0R(s)dN(s) 1 (317) sodasich(317)reduziertzu dn(t)=(1furt=tii=1;;k 0sonst ^(t)=x i:tit1 ; SchlielichseinochdieZufallsvariableJ(t)=I(R(t)>0)eingefuhrt,sowie R(ti): (318) (t)=zt lentenotationbenutzen: DaderZahlprozeN(t)nurdannspringt,wennR(t)>0kannmanfur(317)folgendeaquiva- 0(s)J(s)ds: AusderTatsache,daR(t)einvorhersehbarerProzeist,folgtmitSatz229,da ^(t)=zt 0J(s) R(s)dN(s): ^(t) (t)=zt 0J(s) R(s)dN(s) Zt R(s)d(N(s) Zs 0(s)J(s)ds einlokalesmartingalistnachsatz235hat^ denvorhersehbarenvariationsproze 0(u)R(u)du)=Zt 0J(s) R(s)dM(s) DadervorhersehbareKompensatorprozevon^ist,giltfurdenErwartungswert h^(t) (t)i=zt 0J(s) R(s)2(s)R(s)dsJ2(s)=J(s) = Zt 0J(s) R(s)(s)ds: E(^(t))=E((t))=Zt 0(s)P(R(s)>0)ds:

42 KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE Anteil Ueberlebende 00 02 04 06 08 10 Kaplan-Meier Nelson-Aalen Darausfolgt,dadieVerzerrungb(^(t))desSchatzergegebenistdurch Abbildung33:VergleichvonKaplan-MeierundNelson-Aalen-Schatzer 0 2 4 6 8 10 b(^(t))=e(^(t)) (t)=zt 0(s)P(R(s)>0)ds Zt Tage =Zt 0(s)[P(R(s)>0) 1] = P(R(s)=0) {z } ds= Zt 0(s)P(R(s)=0)ds0 0(s)ds= Meier-Schatzer^SKM(t)(312)nachobenverzerrtistundesgilt dadernelson-aalen-schatzer^sna(t)furdieuberlebensfunktionimgegensatzzumkaplan- DadieUberlebensfunktioneinemonotonfallendeFunktioninAbhangigkeitvon(t)ist,folgt denn ^SNA(t)=exp( Xtit^i)=Y ^SKM^SNAfurallet =Y tit(1 ^i+^2i ^3i+ tite ^i Y tit(1 ^i)=^skm(t): 0 {z }) InderPraxiserweistsichjedochfurgroeDatensatzedieVerzerrungalsvernachlassigbargering, inabbildung33wirderkenntlich,daschonfurdasktivebeispielzumkaplan-meier-schatzer

36SCHATZENDERUBERLEBENSFUNKTION dieabweichungenrelativgeringsind 43 onsprozevon^ MitHilfevonSatz235erhaltman: AlsSchatzerfurdieVarianzderkumulativenHazardfunktion(t)dientderoptionaleVariati- mit ^2(t)=[^(t) (t)]=zt M(s)=N(s) Zs 0J(s) R(s)dM(s)=Zt 0J(s) 0(u)R(u)du: (R(s))2dN(s); (319) R(n)diezugehorigeFolgederRisikomengen,mitJ(n)(t)dieFolgederProzesseI(R(n)(t)>0) zeigendazubetrachtenwireinefolgevonzahlprozessenn(n)desweiterenbezeichnenwirmit MitHilfedieserVorbereitungenkannmannundieKonvergenzdesNelson-AalenSchatzers undmit^(n)und(n)dieprozesse (n)(t)=zt ^(n)(t)=zt 0(s)J(n)(s)ds: R(n)(s)dN(n)(s); 1 Satz36(Konsistenzvon^)Seit2Tundgeltefurn!1 sowie Zt Zt 0J(n)(s) 0(1 J(s)(n))(s)ds!P0furn!1 R(n)(s)(s)ds!P0furn!1 (320) danngiltfurn!1 s2[0;t]j^(n)(s) (s)j!p0: sup (321) Beweis: MitHilfederZerlegungvonsups2[0;t]j^(n)(s) (s)jin s2[0;t]j^(n)(s) (s)j=sup sup s2[0;t]j^(n)(s) (n)(s)+(n)(s) (s)j zeigtmanzunachstmithilfederungleichungvonlenglart,dagilt s2[0;t]j^(n)(s) (n)(s)j+sup s2[0;t]j(n)(s) (s)j; P(sup s2[0;t]j^(s)(n) (n)(s)j>)2+p 8 ><>: Z!0nachVor(320)> 0J(n)(s) tr(n)(s)(s)ds {z } 9 >=>; =)sup s2[0;t]j^(n)(s) (n)(s)j!p0:

44 Mit(321)erhaltmandirekt KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE sodadieaussagegezeigtist s2[0;t]j(n)(s) (s)j=zt sup 0(1 J(n)(s))(s)ds!P0; furn!1 Bemerkung:DieBedingungen(320)und(321)sindoensichtlicherfullt,wennR(n)(t)!12 MitfolgendemSatzwirddieasymptotischeNormalitatdesNelson-Aalen-Schatzersgezeigt neny(),soda() Satz37(AsymptotischeNormalitat)Seit2Tundangenommen,esgibteinemonoton wachsendefolgepositiverkonstantenan,mitan!1furn!1undnicht-negativefunktio- y()inganz[0,t]integrierbaristsei undseienfolgendebedingungenerfullt 2(s)=Zs 0(u) y(u)du AFurjedess2[0;t]gilt BFuralle">0gilt a 2nZs 0J(n)(u) a2nzt 0J(n)(u) R(n)(u)(u)du!P2(s)furn!1: C anztr(n)(u)(u)du!p0furn!1: Danngilt 0(1 J(n)(u))(u)du!P0furn!1: Zudemgilt wobeiueinmartingalist,dessenzuwachseunabhangign(0;2(t s))verteiltsindfurs<t an(^(n) )!DUfurn!1; 192 Beweis:DieasymptotischeNormalitatwirdbewieseninAndersenua(1993)[1]Seiten191und s2[0;t]ja2n^2(s) 2(s)j!P0furn!1: sup intervallefurdiekumulativehazardfunktionangeben(bieundborgan(1987)[5])zunachst AusderasymptotischenNormalitatdesNelson-Aalen-Schatzers^(t)kannmannunKondenz- KondenzintervallefurdenNelson-Aalen-Schatzer

solleinpunktweiseskondenzintervallfurzueinemfestenzeitpunktt0bestimmtwerden 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 45 vallfurdenkumulativenhazard(t0)^(t0)c=2^(t0); AusderasymptotischenNormalitatdesNelson-Aalen-SchatzerserhaltmanalsKondenzinter- wobeihierc=2das1-=2-quantilderstandardnormalverteilungund^(t0)dienach(319) geschatztevarianzdesnelson-aalen-schatzerseszeigtsichjedoch,dafurkleinestichprobengrossendersodenierteschatzereinerelativungenaueapproximationdeskondenzintervallesliefertdaherwurdenmithilfederfunktionalen-methode(siehezbgill(1989)[17]tenfurkleinestichprobengroenhabennachderfunktionalen-methodegiltfureineineiner TranformationenfurdesKondenzintervallentwickelt,diebessereasymptotischeEigenschaf- Umgebungvon(t0)dierenzierbareFunktiong(x)mitg(x)6=0furx=(t0)da Als100(1 )%KondenzintervallfurdietransformierteHazardfunktiong((t0))erhaltman g(^(t0)) g((t0)) jg0(^(t0))j^(t0)!dn(0;1): daher FurdielogarithmischeTransformationmitg(x)=log(x)erhaltmanalsKondenzintervallfur dentransformiertenkumulativenhazardlog((t0)) g(^(t0))c=2jg0(^(t0))j(t0): sodadaskodenzintervallfurdiekumulativehazardfunktion(t0)gegebenistdurch log(^(t0))c=2^(t0) ^(t0); EineweiterewichtigeTransformationistdiearcsin-TransformationGenauereshierzukannman ^(t0)exp c=2^(t0) ^(t0)!: in[5]nachlesensimulationenhabengezeigt,dasowohldielogarithmische,alsauchdiearcsin- TransformationdeutlichbessereEigenschaftenfurkleineStichprobengroenhaben(Borganund Liestl(1990)[6]) 371Modellierung DasProportional-Hazard-Modell BisjetztwurdennurnichtparametrischeSchatzerderUberlebensfunktionbetrachtetImfolgendensolleinsemiparametrischesRegressionsmodellvorgestelltwerden,dassogenannteProportional-Hazard-ModellDasProportional-Hazard-Modellgehtdavonaus,dadieHazardfunktion

46 einesindividuumsabhangigistvoneinerallenindivuduenzugrundeliegendenbasis-hazard- Funktion0(t)undeinemeventuellzeitabhangigenKovariablenvektor KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE DasProportional-Hazard-Modellistdanngegebendurch: Z(t)=(Z1(t);;Zp(t))t2IRp: wobei=(1;;p)2irpdenvektorderzuschatzendenregressionskoezientendarstellt (tjz(t))=0(t)exp(pxi=1izi(t)); DieSchatzungderKoezientenerfolgtdurchdensogenanntenPartial-LikelihoodDieseTechnik wurdevoncox(1975)[10]furdasproportional-hazard-modellvorgeschlagenundermoglichtes deliegendenbasis-hazardbenotigt denregressionskoezientenzuschatzen,ohnedamandazuinformationenuberdenzugrun- beobachtetepersonstirbtunterderbedingung,daeinereignisandiesemzeitpunktpassiert wiranjedemzeitpunkt,andemeinereignispassiert,diebedingtewahrscheinlichkeit,dadie DieHerleitungdesPartial-LikelihooderfolgtnunahnlichwieinBeispiel34Dazubetrachten Seient1<<tkdiegeordnetenTodeszeitpunkteundRidieRisikomengezumZeitpunktti, FurjedenbeobachtetenTodeszeitpunktistdieWahrscheinlichkeit,dadieausgeschiedenePersonzumZeitpunkttistirbt,gegebeneinToterzumZeitpunktti: P(PersonstirbtzumZeitpunkttijeinToterzumZeitpunktti)= P(PersonstirbtzumZeitpunkttijuberlebtbisti ) P(EinToterzumZeitpunkttijuberlebtbisti )= ModellierungbeobachtenwirfastsichergenaueinEreignisproZeitpunkttii=1;;k sowiezi(ti)=(zi1(ti);;zip(ti))derzugehorigekovariablenvektoraufgrundderzeitstetigen DerPartialLikelihoodistnunalsProduktdieserWahrscheinlichkeitendeniert: Pj2Ri0(ti)exp[tZj(ti)]= 0(ti)exp[tZi(ti)] Pj2Riexp[tZj(ti)]: exp[tzi(ti)] und L()=kYi=1Pj2Riexp[tZj(ti)] exp[tzi(ti)] LL()=log(L())=kXi=1tZi(ti) kxi=1[log(x densogenanntenscore-vektor: derzugehorigelog-likelihoodumdielikelihood-funktionzumaximierenbenotigtmannoch j2r(ti)tzj(ti))] (322) U()=(@ @1LL();;@ @pll())t2irp; (323)

sowiediematrixderzweitenableitungen: 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 47 @U()= I()=0B@ @ @1@1LL() @1@pLL() Bemerkung:DieMatrixIheitInformationsmatrix @p@1ll() @2 @p@pll() @2 1 CA2IRpp: NunkannmittelsnumerischerVerfahren(zumBeispielVerfahrenvonNewton-Raphson)die EigenschaftendesSchatzerseingehenwerdenwirgenauerinAbschnitt374eingehen schreibungdiesesverfahrenskannmaninklein(1997)[25]anhanganachlesenaufwichtige NullstellevonU()bestimmtwerden,dhderPartial-LikelihoodmaximiertwerdenEineBe- 372PartialLikelihoodmit\ties" ObwohldieWahrscheinlichkeitdafur,dazweiodermehrEreignisse(\ties")zumselbenZeitpunktpassieren,Nullist,wirdmaninderPraxis,aufgrundbegrenzterGenauigkeitinderZeitmessung,oftmitDatensatzenkonfrontiert,indenenmehrereEreignisseaneinunddemselben Fall,dagenaueinEreignisproZeitpunktpassiert,vorgenommenwurde,beschaftigtsichdieser ZeitpunktpassierenWahrendinKapitel371dieHerleitungdesPartialLikelihoodfurden prozeitpunkt Seiennunwiederumt1;;tkdiegeordnetenZeitpunkte,andeneneinEreignispassiert,Didie TeilmitverschiedenenTechnikenzurBestimmungdesPartialLikelihoodfurmehrereEreignisse MengederTotenzumZeitpunkttimitdi=jDijundRidieRisikomengezumZeitpunkttiSei nunzusatzlich: (q1;;qdi)tausqiseinun diemengeallerteilmengenderrisikomengemitgenaudielementenfurjedeselementq= Qi=fMRijjMj=dig diesummederkovariablenvektorenuberalleelementeausqfurdiemengedidenierenwir sq(ti):=di Xj=1Zqj(ti) mit diezugehorigesummederkovariablenallerobjekte(insgesamtdi),diezumzeitpunkttisterbenmankannanalogzu(322)dendiskretenpartial-likelihood,dhdiewahrscheinlichkeit, sterben,herleiten L1()=kYi=1Pq2Qiexp(tsq(ti)): exp(ts(ti)) s(ti):=x j2dizj(ti) dazujedemzeitpunkttigenaudiebeobachtetenpersonensterben,gegebendadipersonen (324)

48 Furgroe\ties"erweistsichdieMaximierungvon324alsnumerischzuaufwendig,daQi jrij KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE wurdenverschiedeneapproximationenentwickeltdieerste,hiermitl2()bezeichnet,wurde ElementeenthaltUmdenPartialLikelihoodzumindestnaherungsweisebestimmenzukonnen, jdij vonbreslow(1974)[8]vorgeschlagen DieApproximationvonEfron(1977)[12]furdendiskretenPartialLikelihood(L3())istgegeben L2()=kYi=1[Pj2Riexp(tZj(ti))]di: exp(ts(ti)) (325) durch 373SchatzungdesBasis-Hazards(Breslow) L3()=kYi=1Qdi j=1[pr2riexp(tzr(ti)) j 1 exp(ts(ti)) dipr2diexp(tzr(ti))]: (326) KoezientenschatztNunsolldiezugrundeliegendeHazard-FunktiongeschatztwerdenDie GrundlagehierfuristeinLog-Likelihood-Ansatz,ahnlichdemzurBestimmungdesNelson- InAbschnitt371wurdenTechnikengezeigt,wiemanohneKenntnisdesBasis-Hazardsden bachtetendaten(t1;1);;(tn;n),wobeihierwiederumtidasbeobachtungsendeundider Aalen-Schatzers(314) UmdenSchatzerzuerhalten,maximiertmandenLikelihoodinAbhangigkeitvondenbe- Zensierungsindikatorist Gehenwirnundavonaus,dadieSchatzung^desKoezientenvektorsbereitsmitdem L(0(t))=nYi=1[0(ti)exptZi(ti))]iexp[ 0(ti)exp(tZi)]: Partial-Likelihood-AnsatzdurchgefuhrtwurdeAnalogzurHerleitungvon(314)erhaltman durchmaximierungdeslog-likelihood(unterverwendungdesschongeschatztenparameters ^)densogenanntenbreslow-schatzerfurdenkumulativenbasis-hazard0(t)=rt00(s)ds Hiersindt1<<tkdiegeordnetenZeitpunkte,andeneneinEreignispassiert,didieAnzahl ^0(t)=XtitPj2Riexp(^tZj(ti)): di (327) 374AsymptotischeEigenschaften derereignissezumzeitpunktti,sowieridierisikomengezumzeitpunktti denwahrenwert0,sowieasymptotischeaussagenuberdieverteilungvon^schlielichzeigen wirnochdiekonvergenzdesbreslow-schatzersfurdenbasis-hazardderbeweisfolgtder IndiesemAbschnittbeweisenwirdieKonvergenzdesgeschatztenRegressionsparameter^gegen ausdermartingaltheorie,wobeiwiederumdergrenzwertsatzfurmartingalevonrebolledo(satz DarstellungvonAndersenundGill(1982)[2]DabeibedientmansicherneuteinigerAussagen

37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 49 236)unddieUngleichungvonLenglart(Satz237)einezentraleRollespielenUmasymptotische Eigenschaftenzubeweisen,betrachtenwireineFolgemultivariaterZahlprozesseN(n) i(t)der ZeitparametertnimmtWerteauseinemkompaktenIntervallan,dhoEt2T=[0;1],wobei N(n) i(t)diebeobachtetenereignissefurindividuumizumzeitpunkttzahltjedekomponente dessodeniertenzahlprozesseshatdenintensitatsproze(n)(t)=((n) 1(t);(n) 2(t);;(n) n(t)), mit (n) i(t)=y(n) i(t)0(t)exp(t0z(n) i(t)); (328) wobeiz(n) i(t)derkovariablenvektorfurindividuumiist,02irpderzuschatzenderegressionskoezientundy(n) i(t)einvorhersehbarerindikatorprozemit Y(n) i(t)=(1i-tesobjektzumzeipunkttunterbeobachtung 0sonst : InsbesonderespringtderZahlprozeN(n) i(t)nurdann,wenny(n) i(t)=1dieseformulierung isteineerweiterungdesursprunglichenmodellsvoncox,dahiermehrereereignisseproobjektbeobachtetwerdenkonnenfurdiemodellierungdesubergangs\lebendig-tot"nimmtder ZahlprozenurWerteausf0;1gan DaRt0(n) i(s)dsdervorhersehbarekompensatordeszahlprozessesn(n) i(t)ist,kannmannun einefolgelokalquadratintegrierbarermartingalem(n)(t)=(m(n) 1(t);M(n) 2(t);;M(n) n(t))auf demintervall[0;1]denierenm(n) i(t)=n(n) i(t) Zt 0(n) i(u)du; (329) dienachsatz235dievorhersehbaren(ko)variationsprozesse hm(n) i;m(n) ji(t)=ijzt 0(n) i(u)du besitzen,dhdiemartingalem(n) i(t)undm(n) j(t)sindorthogonalfuri6=j ImFolgendenwerdendiehochgestelltenIndizes(n)weggelassenMitdiesemZahlprozemodell latsichjetztderpartial-likelihood(322)verallgemeinern LL(;t)=nXi=1Zt 0tZi(s)dNi(s) Zt 0logfnXi=1Yi(s)exp(tZi(s))gdN(s); (330) wobei N(s)=nXi=1Ni(s): Manerkennt,dadasModell(322)LL(;1)nachdemZahlprozemodellentsprichtDergeschatzteParameter^istdanndieLosungderGleichungU(;1)=(@=@)LL(;1)=0,wobei U(;t)=nXi=1Zt 0Zi(s)dNi(s) Zt 0Pni=1Yi(s)Zi(s)exp(tZi(s)) Pni=1Yi(s)exp(tZi(s))dN(s):

unterzuhilfenahmedernegativsemidenitenmatrixderzweitenableitungen 50 DieGleichungU(;1)=(@=@)LL(;1)=0kannmanmitdemVerfahrenvonNewton-Raphson KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE @U(;t)= I(;t) @ Pni=1Yi(s)Zi(s)Zi(s)texp(tZi(s)) =Zt 024 Pni=1Yi(s)Zi(s)exp(tZi(s)) Pni=1Yi(s)exp(tZi(s))! Pni=1Yi(s)Zi(s)exp(tZi(s)) Pni=1Yi(s)exp(tZi(s))!t Pni=1Yi(s)exp(tZi(s)) #dn(s) numerischlosenkann (331) Korollar38FurdenwahrenRegressionskoezienten0hat(@=@)LL(;t)folgendeDarstellung: MartingalalsIntegratorhergeleitet ImfolgendenKorollarwirdfurdenParameter0U(0;1)alsstochastischesIntegralmitlokalem mit U(0;t)=nXi=1Zt 0Zi(s)dMi(s) Zt Mi(t)=Ni(t) Zt 0Pni=1Yi(s)Zi(s)exp(t0Zi(s)) Pni=1Yi(s)exp(t0Zi(s))dM(s); (332) und M(t)=nXi=1Mi(t): 0i(s)ds Beweis: Umzuzeigen,da(332)gilt,mumanU(0;t)folgendermaendarstellenkonnen: U(0;t)=nXi=1Zt Zt 0Pni=1Yi(s)Zi(s)exp(t0Zi(s)) 0Zi(s)d(Ni(s) Zs Pni=1Yi(s)exp(t0Zi(s))d(N(s) nxi=1zs 0i(u)du) MitdenZusammenhangaus(328)zeigtmannun,da 0i(u)du): nxi=1zt 0Zi(s)di(s)=Zt 0Pni=1Yi(s)Zi(s)exp(tZi(s)) Pni=1Yi(s)exp(t0Zi(s))d(nXi=1Zs Zt 0nXi=10(s)Yi(s)exp(t0Zi(s))ds=Zt () 0i(u)du) 0Pni=1Yi(s)Zi(s)exp(tZi(s)) Pni=1Yi(s)exp(t0Zi(s)) nxi=10(s)exp(t0zi(s))yi(s)ds:

DieIntegraleaufderrechtenundlinkenSeitesindgenaudanngleich,wennderIntegrandfur alletgleichist,sodazuzeigenbleibt,da 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 51 DiesistoensichtlichderFall,sodadieAussagegezeigtist nxi=10(s)yi(s)zi(s)exp(t0zi(s))=pni=1yi(s)zi(s)exp(tzi(s)) Pni=1Yi(s)exp(t0Zi(s)) nxi=10(s)exp(t0zi(s))yi(s): HerleitungderasymptotischenAussagenoftbenotigtwerden ImfolgendenseiennunnocheinigewichtigeDenitionenundBedingungendeniert,diebeider 2 sinddienormenkak=supi;jjai;jj,kak=supijaij,sowiejaj=patadeniertweiterewichtige Denition39FureineMatrixAmitElementenai;jsowiefureinenVektora=a1;;an Denitionensind: S(0)(;t)=1nnXi=1Yi(t)exp(tZi(t))2T7!IR; S(1)(;t)=1nnXi=1Zi(t)Yi(t)exp(tZi(t))2T7!IRp; S(2)(;t)=1nnXi=1Zi(t)Zi(t)tYi(t)exp(tZi(t))2T7!IRpp; V(;t)=S(2)(;t) E(;t)=S(1)(;t) S(0)(;t) E(;t)E(;t)t 2T7!IRp; Bemerkung:S(0)istalsoeinstochastischerProze,der,daYi(t)undZi(t)vorhersehbarsind, 2T7!IRpp: Bedingungen: MatrixmitvorhersehbarenProzessenalsEintragen ebenfallsvorhersehbarists(1)isteinp-variatervorhersehbarerprozeunds(2)einepp- A(EndlichesIntervall)R100(t)dt<1 B(AsymptotischeStabilitat)EsgibteineNachbarschaftBvon0undFolgenskalar-, matrix-undvektorwertigerfunktionens(0);s(1);s(2),deniertaufb[0;1],sodafur j=0;1;2gilt C(Lindeberg-Bedingung)Esgibtein>0,soda t2[0;1];2bks(j)(;t) s(j)(;t)k!p0: sup pnsup 1i;tjZi(t)jYi(t)Ift0Zi(t)> jzi(t)jg!p0:

52D(AsymptotischeRegularitats-Bedingungen)SeienB,s(0),s(1)unds(2)gegebenwiein KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE undt2[0;1]gelte:s(1)(;t)=@ BedingungBunde=s(1)=s(0),sowiee=s(1)=s(0)undv=s(2)=s(0) eetfuralle2b @s(0)(;t);s(2)=@2 s(0);s(1);s(2)seienbeschranktinb[0;1];s(0)6=0aufb[0;1]unddiematrix DieFunktionens(0)(;t),s(1)(;t)unds(2)(;t)seienstetigin2B,gleichmaigint2[0;1], @2s(0)(;t): seipositivdenit =Z1 0v(0;t)s(0)(0;t)0(t)dt konkaverfunktionenaufb,soda8x2b;fn(x)!pf(x)furn!1,wobeif(x)einebeliebige Korollar310SeiBeineoenekonvexeMengeimIRpandF1;F2;;eineFolgezufalliger ZuletztwirdnocheinKorollarausderkonvexenAnalysisbenotigt: reellwertigefunktionist,dannistfauchkonkavundfurallekompaktenmengenabgilt: FallsfgenaueinMaximumin^x2BhatunddieZufallsvariable^XndieFunktionFnmaximiert, x2ajfn(x) f(x)j!p0furn!1: sup Beweis: danngilt: ^Xn!P^xfurn!1: Satz311(Konsistenzvon^)FallsdieBedingungenA,BundDgelten,dannkonvergiert^ inwahrscheinlichkeitgegen0furn!1 DerBeweisndetsichzumBeispielinAndersenundGill(1982)[2]Seite1116 2 Beweis: BetrachtediefolgendermaendeniertenProzesseXundA: X(;t):=1n(LL(;t) LL(0;t)) =1n"nXi=1Zt 0( 0)tZi(s)dNi(s) Zt 0log S(0)(0;u)!dN(s)#; S(0)(;u) A(;t):=1n"nXi=1Zt =Zt 0"( 0)tS(1)(0;u) log(s(0)(;u) 0( 0)tZi(u)i(u)du Zt 0log(S(0)(;u) S(0)(0;u))(u)du# S(0)(0;u))S(0)(0;u)#0(u)du;

mit 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 53 (u)=nxi=1i(u)=0(u)nxi=1yi(u)exp(t0zi(t)) FurjedesistnachDenition=0(u)nS(0)(0;u): X(;t) A(;t)=1nnXi=1"Zt 0"( 0)tZi(u) log(s(0)(;u) S(0)(0;u))#d(Ni(u) Zu 0i(s)ds)# einstochastischesintegralmitvorhersehbaremprozealsintegrandunddemlokalenmartingal undhatnachsatz235folgendenvorhersehbarenvariationsproze: Ni() R0i(s)dsalsIntegratorNachSatz229istX AdemnachselbsteinlokalesMartingal hx(;t) A(;t)i=1n2nXi=1Zt =1nZt 0[( 0)tZi(u) log(s(0)(;u) S(0)(0;u))]2d(Zu 0( 0)tS(2)(0;u)( 0) 0i(s)ds) i(u) {z } du 2( 0)tS(1)(0;u)log +"log S(0)(0;u)!#S(0)(0;u)0(u)du S(0)(;u) S(0)(;u) NachdenVoraussetzungenA,BundDgiltfuralle2B,da (333) Auerdemgilt,daderProzenhX AiaufBgegeneinevonabhangigeKonstantec() A(;1)!PZt 0"( 0)ts(1)(0;u) log(s(0)(;u) s(0)(0;u))s(0)(0;u)#0(u)du konvergiert VoraussetzungBgegens(0)(;u),s(1)(;u),sowies(2)(;u)ZudemistderWerts(0)(0;u)6=0 Diessiehtmanaus(333),dennS(0)(;u),S(1)(;u)undS(2)(;u)konvergierenfur2Bnach nhx Ai!Pc()<18t2[0;1];2B: genwertnachdemdasintegralr10(t)dt<1konvergiertdergesamteterm AusVersion(220)derUngleichungvonLenglartundnhX Ai!Pc()folgt: nachbedingungddemzufolgekonvergiertderintegrandvon(333)gegeneinenvonabhangi- P(sup t2[0;1]jx(t;) A(t;)j>)2+P(hX Ai(1;)!P0furn!1>)8;>0; {z }

54 worausmit=!0folgt,da KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE dhxundakonvergiereninwahrscheinlichkeitgegendenselbengrenzwertnachvoraussetzungdkannmannundieersteundzweiteableitungdesprozessesaberechnenunderhalt: kx(;t) A(;t)k!P0furn!1und2B; sowie @A(;1)=Z1 @ @2A(;1)= Z1 @2 0"s(1)(0;u) s(1)(;u)s(0)(0;u) s(0)(;u)#0(u)du; DieersteAbleitungwird0in0unddiezweiteistkleiner0fur0DaherkonvergiertX(;1) negdenitfur0nachvord: 0v(;u)s(0)(;u)0(u)du inwahrscheinlichkeit82bgegeneinekonkavezufallsfunktionmitgenaueinemmaximum {z } in=0da^diekonkavezufallsfunktionx(;1)maximiert,folgtauskorollar310,da KommenwirnunzurasymptotischenNormalverteilungvon0SiebildetdieGrundlagezur HerleitungasymptotischerTestsundzurBestimmungvonKondenzintervallen ^!P0 2 sind,giltfurdiefolge^(n)(mit^(n)!p0furn!1) Satz312(AsymptotischeNormalitatvon^)FallsdieVoraussetzungenAbisDerfullt Bemerkung:DanachdemvorhergehendenSatzderSchatzer^furkonsistentist,istdemnach pn(^ 0)!DN(0; 1): Beweis: ^asymptotischnormalverteilt Zunachststellenwirfest,dawirineinerUmgebungum0,inderd U(0;1)folgendeTaylor-Entwicklungerhalten U(0;1)=U(;1) d du(;1)( 0)+TermehohererOrdnung; du(;1)existiertfur wasaquivalentistzu Ableitungen(hinsichtlich)desLog-LikelihoodanderStellet=1und=einsetzenvon wobeiaufdemliniensegmentzwischenund0liegtund I(;1)dieMatrixderzweiten U(;1) U(0;1)= I(;1)( 0); (334) ^in(334)ergibt pnu(0;1)=1ni(;1)pn(^ 0): 1

UmnundieasymptotischeNormalitatvonpn(^ 0)zubeweisen,reichteszuzeigen,da derproze(1=pn)u(0;)inverteilunggegeneinenstochastischenprozekonvergiert,dessen 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 55 DasweitereVorgehenistdemnachin2AbschnitteuntergliedertZunachstzeigenwir,da Wahrscheinlichkeitgegenkonvergiert Zuwachsep-variatnormalverteiltsindmitKovarianzmatrix 1unddann,da(1=n)I(^;1)in unddann,da pnu(0;1)!dn(0;) 1 Furirgendeinezufalliges=(n)mit(n)!P1furn!1 1nI;1)!P FurdenerstenTeilnutzenwirdieTatsache,dawirnach(332)gilt pnu(0;t)= 1 =nxi=1zt pnnxi=1zt 1 01 pn[zi(u) E(0;u)] 0Zi(u)dMi(u) 1 pnzt 0E(0;u)dM(u) Hi(u) {z } dmi(u): MartingalenMi(t);i2f1;;ngalsIntegratorenSomithat(1=pn)U(0;1)einenvorhersehbarenVariationsproze,aufdenwirnundenSatzvonRebolledo(Satz236)anwendensehbarenProzessenHi(t);i2f1;;ngalsIntegrandenunddenlokalquadratintegrierbaren (1=pn)U(0;t)latsichalsodarstellenalsSummestochastischerIntegralemitdenvorherhersehbareVariationsprozeh(1=pn)U(0;t)inachSatz235folgendeDarstellungbesitzt: UmdieBedingung(214)desSatzes236zuverizieren,stellenwirzunachstfest,dadervor- Bemerkung:h1 pnu(0;t)iistalsoeinepp-matrixmitlokalessubmartingalenalseintragen h1 pnu(0;t)i=nxi=1zt 0Hi(u)Hi(u)tdhMi(u)i: hmi(u)iistnachsatz235gegebendurch sodawir i(u)=zu 00(s)Yi(s)exp(t0Zi(s))ds; h1 pnu(0;1)i=z1=z1 0nXi=11n[Zi(u) E(0)][Zi(u) E(0)]texp(tZi(u))0(u)du 0"S(2)(0;u) S(1)(0;u)S(1)(0;u)t S(0)(0;u) #0(u)du

56 erhaltennachbedingungena,bunddkonvergiertdieserterminwahrscheinlichkeit KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE Z1 0"S(2)(0;u) S(1)(0;u)S(1)(0;u)t S(0)(0;u) #0(u)du!PZt UmdieBedingung(215)zuverizieren,zeigenwirzunachstdieGultigkeitderfolgendenUngleichung,diefurzweireelleZahlena,bgilt 0v(0;u)s(0)(0;u)0(u)du: Denndamitja bj>"muentwederjaj>"2oderjbj>"2seinwarennamlichsowohljaj"2, alsauchjbj"2,dannware ja bj2i(ja bj>")4jaj2i(jaj>"2)+4jbj2i(jbj>"2) (335) waseinenwiderspruchzuja bj>"darstelltdasfuhrtdannzu ja bjjaj+jbj2"2="; ja bj2i(ja bj>")ja bj2max[i(jaj>"2);i(jbj>"2)] ja bj2[i(jaj>"2+i(jbj>"2)] jaj2[i(jaj>"2)+i(jbj>"2)]+jbj2[i(jaj>"2)+i(jbj>"2)] vonh UmdieBedingung(218)zuzeigen,bildenwirmitHilfederkomponentenweisenDarstellung 4jaj2I(jaj>"2)+4jbj2I(jbj>"2): Hjh=1 (1=pn)U(0;t)enthalt,derenAbsolutbetraggroeristals": Analogzu(216)konstruierenwirunsnuneinlokalesMartingalMj",dasalleSprungevon pn(zh(t) Eh(0;t))jj2f1;;pgh2f1;;ng: DieZuhilfenahmevon(335)fuhrtzufolgenderAbschatzungdesvorhersehbarenKompensatorprozesseshMj";Mj"ianderStelle1: hmj";mj"i(1) = Z1 0nXh=1[Hjh(s)]2I(jHjh(s)j>")h(s)ds Mj"(t)=nXh=1Zt 0Hjh(s)I(jHjh(s)j>")(dNh h(s)ds): (3:35) 4(Z1 0nXh=11n[(Zh(s) E(0;s))j]2I(n 1=2j(Zh(s) E(0;s))jj>")h(s)ds +Z1 0nXh=11n[(Zh(s))j]2I(n 1=2j(Zh(s))jj>"2)h(s)ds) 0nXh=11n[(E(0;s))j]2I(n 1=2j(E(0;s))jj>"2)h(s)ds

37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL = 4(Z1 0nXh=11n[(E(s))j]2I(n 1=2j(E(s))jj>"2)exp(t0Zh(s))0(s)ds(336) 57 t0zl(s) j(zh(s))jj)exp(t0zh(s))0(s)ds +Z1 +Z1 0nXh=11n[(Zh(s))j]2I(n 1=2j(Zh(s))jj>"2; 0nXh=11n[(Zh(s))j]2I(n 1=2j(Zh(s))jj>"2; (337) DieKonvergenzvon(336)siehtmansofort,dennmitdenBedingungenA,BundDgilt Z1 t0zh(s)> j(zh(s))jj)exp(t0zh(s))0(s)ds): (338) =Z1 0nXh=11n[(E(0;s))j]2I(jn 1=2(E(0;s))jj>"2)h(s)ds nxh=1n 1Yh(s)exp(t0Zh(s)) 0[(E(0;s))j!(e(0;s))2j<1]2I( {z }!0furn!1dae(0;s)beschrankt) n 1=2j(E(0;s))jj>"2 {z }!s(0)(;s) {z } 0(s)ds!P0furn!1: NachBedingungCgiltfurIfn 1=2j(Zh(s))jj>"2;t0Zh(s) j(zh(s))jjgin(338),da sowienachbedingungenbunddda 1n1Xl=1[(Zh(s))j]2Yl(s)exp(t0Zh(s))=S(2) P[n 1=2j(Zh(s))jj>"2;t0Zl(s) j(zh(s))jj]!p0furn!1; sodazusammenmitr10(s)ds<1nachbedingungaauchterm(338)gegen0konvergiert j(0;s)!ps(2) j(0;s)<1furn!1; SchlielichkonnenwirTerm(337)abschatzenmit Z1 0nXh=11n[(Zh(s))j]2I(n 1=2j(Zh(s))jj>"2;t0Zh(s) j(zh(s))jj)exp(t0zh(s))0(s)ds Z1 Dalimx!1x2e x=0folgt,da[(zh(s))j]2exp( jzhj)beschranktdurcheinenwert,soda 01nnXh=1[(Zh(s))j]2exp( j(zh(s))jj) <1 {z } 0(s)I(n 1=2j(Zh(s))jj>"2!0fur!1 {z })ds: auchdieserterminwahrscheinlichkeitgegen0konvergiertfurn!1damitistderersteteil bewiesen FurdenzweitenTeildesBeweisesI(;1) n!pfurirgendeinzufalligesmitbildenwirmit

58 Hilfevon KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE und 1nI(;1)=1nZ1 =Z1 0v(0;t)s(0)(0;t)0(t)dt 0V(~;t)dN(t)(vergl(3:31)) folgendeabschatzung k1ni(;1) kz1 +Z1 01n[v(;t) v(0;t)]dn(t)+z1 01n[V(;t) v(;t)]dn(t) 0v(0;t)[S(0)(0;t) s(0)(0;t)]0(t)dt: 01nv(0;t)(dN(t) (t)dt) Zunachstzeigenwir,da!1lim n!1p"n(1) n>#=0: (340) (339) DaN(t)denvorhersehbarenKompensatorproze hat,giltnachsatz237(ungleichungvonlenglart) Zt 0nXk=1Yi(s)0(s)exp(t0Zi(s))ds=nZt 0S(0;t)0(s)ds P"sup t2[0;1]n(t) n>#=p"n(1) n>#+p264z1 Mit!1und=p,sowieR100(t)<1erhaltmanschlielich(340)AusderBedingung 0S(0)(0;t) {z}!s(0)(0;t)0(t)dt>375: BundderBeschranktheitvons(0),s(1)unds(2)ineinerUmgebungBvon0,sowieauss(0)6=0 inbfolgt,da 0DendrittenTermaus(339)konnenwirdirektmitderUngleichung(220)abschatzen Da!P0,konvergiertderersteTermderAbschatzung(339)inWahrscheinlichkeitgegen t2[0;1];2bkv(;t) v(;t)k!p0: sup P"Z1 0vij(0;t)dMn(t)>#=2+P2641nZ1 DieBedingungB,sowieR100(t)dt<1(ausBedingungA),sowiedieBeschrankungsbedingungenausDhabenzurFolge,daderrechteTermaus(341)gegen0konvergiertfurn!1Damit 0[vij(0;t)]2S(0)(0;t)0(t) <1nachBedA,B,D {z } dt>375:(341) derviertetermgegen0konvergiertdiesistjedocheindirektesresultatausbedingungena,b istgezeigt,daauchderdrittesummandaus(339)gegen0lauftesbleibtnochzuzeigen,da istdieasymptotischenormalitatvon^bewiesen undd(vistbeschrankt,r100(t)dtistbeschranktundks(0)(0;t) s(0)(0;t)k!p0)damit 2

375HypothesentestsimProportional-Hazard-Modell 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 59 manverschiedenestatistikenanfuhrenimfolgendensollen3verschiedeneteststatistikenfur HypotthesentestsfurdieNullhypothese:H0:=0 FurdenTest,obderKovariablenvektor2IRpeinenbestimmtenWert02IRpannimmt,kann gegen vorgestelltwerdenzumbeispielistmanoftinteressiertanderfrage,obeinproportional- Hazard-Modellvorliegt,dieNullhypothesewareindiesemFallH0:0=0Eineausfuhrlichere H1:6=0 DarstellungdieserThematikndetmaninFahrmeier(1994)[15]Seiten45bis48 LikelihoodderQuotientL(^)=L(0)verhaltIndiesemFalllehntmandieNullhypothesefur groewerteab,dhwennderzahlerwesentlichgroeristalsdernennerdielikelihood- DerLikelihood-Ratio-TeststatistikistimwesentlicheneinMadafur,wiesichfurdenpartiellen Ratio-StatistikbetrachtetdielogarithmischeTransformationdiesesQuotienten: Mankannzeigen,da(342)asymptotisch2verteiltistmitpFreiheitsgraden 2LR=2[logL(^) L(0]=2[LL(^) LL(0)]: (342) gilt,da: DerWald-TestbasiertaufderasymptotischenNormalverteilungdesParameters^Furgroen i()istdiefisher-informations-matrix: ^Np(;i 1()): i()=e[ @ @U()]=E[0B@ @1@1LL() @1@pLL() DadieInformationsmatrixi()oftschwierigzuberechnenist,benutztmandiebeobachtete @p@1ll() @2 @p@pll() @2 1 CA]: InformationsmatrixI(^)alsSchatzungDamitkannmanzeigen,dadiequadratischeForm: asymptotisch2verteiltmitpfreiheitsgraden(343)heitwald-test 2W=(^ 0)tI(^)(^ 0) (343) Score-Test

60 DerScore-oderRao-TestbasiertaufderezientenScore-StatistikFurdenFall,da=0ist derscore-vektoru(0)asymptotischverteiltnachnp(0;i(0))mitdernaherungi 1furi 1 KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE DerScore-Testistauchasymptotisch2-verteiltmitnFreiheitsgraden erhaltmandenscore-test 2S=U(0)tI 1(0)U(0): (344) InRao(1965)[32]ndensichinKapitel6dieBeweisederasymptotischenNormalitatder Teststatistiken(342)-(344)InAbbildung34istderZusammenhangzwischenLikelihood- 122LR122W Abbildung34:ZusammenhangzwischenLikelihood-Ratio-undWald-Test( Likelihood- 0 ^ FunktionanderStelle^mitHilfederMatrixderzweitenAbleitungenquadratischapproximiert RatioundWald-StatistikerlautertUmdieWald-StatistikzuerhaltenwirddieLikelihood- Funktion,---quadratischeApproximation) ImeindimensionalenFallerhaltmanalsApproximationeineParabel,dieimBildmiteiner gestricheltenliniedargestelltist OftistmannichtnuranHypothesentestsfurallei;i=1;;psondernanTeilmengen(man 376LokaleTests NullhypotheseistindiesemFall: Dasheit:WirunterteilendenVektorint=(t1;t2)mit12IRqund22IRp qdie istzumbeispieloftinteressiertdaran,obeineeinzelnekovariableeinuaufdenhazardhat) womit2nurnochalsstorparameterindasmodelleingehtdieimkapitel375beschriebenen TestslassensichwiefolgtfurlokaleTestsmodizieren: H0:1=10;

Bestimme^2(10),sodaderpartielleLog-LikelihoodinAbhangigkeitvon10 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 61 fur^2(10)maximalwirdzerlegedieinformationsmatrixunddereninversein LL(10;2) I= I21I22!undI 1= I11I12 ~I21~I22!; ~I11~I12 miti112irqq,i222ir(p q)(p q)dieteststatistikenaus375furdienullhypothese (345) H0:1=10sinddann: Wald-Test: Likelihood-Ratio: 2W(10)=(^1 0)t[~I11(^)] 1(^1 0): 2LR(10)=2(LL(^) LL(10;^2(10)): (347) (346) Score-Test: spieltvorallemderwald-testeinerolle,dafurdieseteststatistikkeinneuesproportional SamtlicheTeststatistikensindasyptotisch2-verteiltmitqFreiheitsgradenInderAnwendung 2S(10)=U(10;^2(10))t~I11(10;^2(10))U(10;^2(10)): (348) HazardModellgettetwerdenmu Diez-Statistik MitHilfederz-StatistikkannmandieProportional-Hazard-AnnahmefureineneinzelnenParametertestenDieNullhypotheselautethierfureinenKoezientenkk21;;p: DieseTeststatistikistfurkwiefolgtdeniert H0:k=0: wobei2kdask-tediagonalelementdermatrixiistwiemanleichtsieht,ist z=^k p^2; einspezialfalldeswald-testsfurdienullhypotheseh0:k=0undsomit2verteiltmiteinem Freiheitsgrad z2=2w(k0)k0=0

62 377ModellbildungmitdemAIC KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE sollhiernuneinemethodegezeigtwerden,wiemandiekovariablenimproportional-hazard NachdemimvorherigenAbschnittVerfahrenzumTestenvonHypothesenvorgestelltwurden, modelliertundwiemanentscheidet,obeinekovariablestarkeneinuaufdenbetrachteten istdassogenannteaic(akaike'sinformationcriterion) EineMoglichkeitzurExaminierung,welcheKovariablenwesentlichenEinuimModellhaben Uberlebensprozehatodernicht HieristLL(^)derPartialLikelihoodfurdengeschatztenKoezienten^,pdieAnzahlder FreiheitsgradeimModellundneineKonstante,aufdiespaternochnahereingegangenwird AIC= 2LL(^)+np: DerGrundgedankeistnunFolgender:FallseineKovariablewesentlichenEinuaufdasModell hat,wirdsichdiesimlikelihoodausdrucken(derlikelihoodwirdgrosser,damitderneuen AIC-WertfureinengroenLikelihoodsinktImGegensatzdazunimmtderSummand2npzu, wachst)daderlog-likelihoodstetsnegativewerteannimmtbedeutetdasjedoch,dader KovariablendieWahrscheinlichkeitdafur,dadasgewahlteModellderRealitatentspricht, umdasoptimalemodellzuerhaltendiekonstantenistdemzufolgedafurverantwortlich,wie BestrafungfurjedeneuhinzugefugteKovariableistDasZielistnundieMinimierungdesAIC furjedekovariabledieneuhinzugefugtwirddasbedeutet,daderzweitetermeineart KovariablenbeinhaltenwirdalseinModell,dasmithohemngewahltwurde HinzunahmevonneuenVariablenweniger,sodadasendgultigeModellindiesemFallmehr starkdieneuehinzunahmevonkovariablenbestraftwerdensolleinniedrigesnbestraftdie 378Residuenanalyse MitHilfevonResiduenkanndieProportional-Harzard-Annahmeuberpruftwerden,bzwdie funktionaleformeinerkovariablenbestimmtwerdendiehiervorgestelltenresiduenwerdenmithilfederzahlprozetheoriehergeleiteteineherleitungverschiedenerresiduenauf Martingal-BasiskannmanindemArtikelvonTherneauua(1990)[39]nachlesen fallspersonigestorben,ni(t)=0sonst)und^0(t)dermitdemschatzervonbreslowbestimmte Martingal-Residuen SeiNi(t)i=1;;nderZahlprozederbeobachtetenEreignissefurPersoni(dhNi(t)=1 kumulativebasishazard,sowieyi(t)dieindikatorfunktion: DannsinddieMartingal-Residuen^M(t)wiefolgtdeniert: Yi(t)=(1PersoniwirdzumZeitpunkttbeobachtet ^Mi(t):=Ni(t) Zt 0sonst : 0Yi(s)exp(^tZi(s))d^0(s)und^Mi=^Mi(1): (349)

Bemerkungen: 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 63 DieMartingal-ResiduenlassensichalsDierenzausbeobachtetenTotenunddennach DerNamederMartingal-ResiduenbasiertaufderTatsache,daderProzeN(t) (t) demproportionalhazard-modellerwartetentoteninterpretieren dhgenaudannistderproze: einmartingalistfurdenfall,dadasproportional-hazard-modellgilt,ist Mi(t):=Ni(t) Zt (t)=zt 0exp(tZi(s))d0(s); DurchPlottenderMartingalresiduengegeneinequalitativeKovariablelatsichdieProportional- einmartingal 0Yi(s)exp(tZi(s))d0(s) Hazard-AnnahmeuberprufenFallsnamlichdieProportional-Hazard-Annahmegilt,istfurjeden WertderKovariablenderErwartungswertE(^MjF0)=0,dhfallsmaneinenSchatzungdes ErwartungswertesE(^MjF0)(zBdurchGlattung)durchdenPlotlegt,solltedieseungefahr gleich0sein EinweitererwichtigerAnwendungsbereichvonMartingal-ResiduenistdieBestimmungder bestimmtenfunktionalenform(zbz21,log(z1))indasproportional-hazard-modelleingeht funktionalenformeinerkovariablenfurdenkovariablenvektorz=(z1;z 1)2IRp(mit Z 1=(Z2;;Zp))istmandaraninteressiert,obdie(quantitative)KomponenteZ1ineiner wobeihierh(z1)diegesuchtefunktionaleformistund DhmanmochtedieHazardfunktionfolgendermaendarstellen (tjz)=h(z1)exp(tz 1)0(t)=exp(f(Z1)+tZ 1)0(t); Therneau,GrambschundFleming(1990)[39]zeigenfurh,einerFunktion,diemitHilfegewichteterMitteluberZeitunderwarteteteZusammensetzungderRisikomengedeniertwird(siehe f(z1)=log(h(z1)): [39])undfurunabhangigeZ1;Z 1ungefahrkonstantist,da undmanfurt!1folgendeapproximationenannehmenkann E[^ M(t)jZ1] 1 h E(^MjZ1)c(h(Z1) h) h(z1)!e[n(t)jz1] mitf=log(h)durchdenplotderkovariablengegendiegeglattetenmartingalresiduenerhalt oder mandiefunktionaledarstellungderkovariablen E(^MjZ1)c(f(Z1) f)

64DevianzResiduen KAPITEL3MATHEMATISCHEGRUNDLAGENDERVERWEILDAUERANALYSE EineSchwachederMartingal-ResiduenistdieweiteStreuung(dieResiduenkonnenWerte Martingal-Residuenfolgendermaen: zwischen[1; 1)annehmen)DahersindsienichtdazugeeigneteinzelneBeobachtungen,die nichtindasmodellpassen,herauszulternumsolcheausreierfestzustellen,skaliertmandie zbmccullaghundnelder(1983)[28])diedevianzeinesmodellsisthiernachdeniertals DieDevianz-ResiduenstammenausderTheoriedergeneralisiertenlinearenModelle(siehe ^di=sign(^mi)[ 2f^Mi+Ni(1)log(Ni(1) ^Mi)g]1=2: (350) (1990)[39]istdieHerleitungdieserResiduenausfuhrlichbeschrieben dell,indenfurjedebeobachtungeineinzelnerparametergeschatztwirdintherneauua 2[LL(gesattigtesModell) LL(berechnetesModell)]Hieristdas\gesattigteModell"einMotungmoglichist),erhaltmanfurdieDevianz-Residuen FurUberlebenszeitmodelle(dhfurZahlprozesse,indenenmaximaleinSprungproBeobach- dieskalierung:furpositivemartingalresiduengilti=1furmartingalresiduen,dieinder HieristiwieublichderZensierungsindikatoristWerfenwirnunnocheinmaleinenBlickauf ^di=sign(^mi)[ 2f^Mi+ilog(i ^Mi)g]1=2: Nahevon1liegen,bewirktderLogarithmus eineweiterestreuung,zumanderensorgtdiewurzeldafur,dastarknegativemartingal- log(i ^Mi {z} nahe0) Residuen\gestaucht"werden tativen)kovariablenfallsallebeobachtungendurchdasmodellerklarbarsind,solltederplot hergesagtendateneinsetzenmanplottetdiedevianz-residuengegendenwerteiner(quanti- DieDevianz-ResiduenlassensichnunfolgendermaenfurdieHerauslterungvonschlechtvor- aussehen,wiediezufalligerealisationeinern(0;1)verteiltenzufallsvariable entnichtfuralletkonstantist,sondernsichmitzunehmenderlebensdauerverandertim OftkannmanineinemProportional-Hazard-Modellerkennen,daderRegressionskoezi- Partielle-oderSchoenfeldResiduen sionskoezientenerhalten Regressions-Modellbedeutetdas,dawirfurdieHazardfunktioneinenzeitabhangigenRegres- wobei (tjz(t))=0(t)exp((t)z(t)); :T7!IR

genannt)latsichzeitlichevariationimkoezientenfeststellenschoenfeld(1982)[37]schlug nuneinereelwertigefunktionistmithilfevonpartiellenresiduen(auchschoenfeld-residuen 37DASPROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 65 dieseresiduenvor,diefolgendermaendeniertsind: BetrachtenwireinenachEndzeitpunktengeordneteBeobachtungderGroenmitt1tn undzugehorigenzensierungsindikatorenii2f1;;ng,sowie ^rij=i24zij(ti) Pk2R(ti)exp(^tZk(ti))Zkj(ti) 35i2f1;;ng;j2f1;;pg: (351) umfurdiekomponentejdurch^rijgegebenmitfolgendemvorgehenkonnenwirnunaussagen zurfunktionalenformtreenwiederumschatzenwirmiteinemglattungsschatzerdenerwartungswertderpartiellenresiduen(prokomponentej)inabhangigkeitvonderzeit,dhwir DannistfuralleBeobachtungeni,andeneneinEreignispassiert(i=1),daspartielleResidu- gegendiezeiterhaltenwireinenindikatorfurdiezeitlicheabhangigkeitdesjeweiligenkoezienten(prokomponente)siert,diedierenzausderbebachtetenkompenentejdeskovariablenvektorundeinerarsemzeitpunktunterrisikobenden gewichtetemmitteluberdiej-tekomponenteallerkovariablenvonindividuen,diesichzudie- glattenfti;^rijg,i=1;;n,j=1;;pdurcheinenplotdergeglattetenpartiellenresiduen Bemerkung:DiepartiellenResiduenbildenalsofurjedeBeobachtung,andereinEreignispas- DiesogenannenScoreResiduenwerdenverwendet,umdenEinueinereinzelnenBeobachtungiaufdengeschatztenKoezienten^zuermittelnEineoptimaleMethodedieszu BeobachtungnurgeringenEinuhat,ist^ ^(i)0: erreichen,warediebeobachtungiausdemdatensatzzuentfernenundfurdieverbeibenden BeobachtungendenKoezienten^(i)miteinemCox-RegressionsmodellzuschatzenFallsdie praktizierbarist tional-hazard-modelleberechnetwerden,einvorgehen,dasfurgroewertevonnnichtmehr UmdieszurealisierenmussenalsofureinModellmitnBeobachtungeningesamtn+1Propor- Score-Residuen^Sij,diefurdieBeobachtungi2f1;;ngunddieKomponentej2f1;;pg deskovariablenvektorswiefolgtdeniertwerden AlsNaherungvon^ ^(i)(siehezbkleinundmoeschberger(1997)[25])benutztmanhierdie ^Sij(t)=Zt 0[Zij(s) Zj(s)]d^Mi(s);

66 mitkapitel3mathematischegrundlagenderverweildaueranalyse und ^Mj(s)=MartingalresiduumfurBeobachtungjzumZeitpunkts Zj(s)=Pnk=1Yk(s)exp(^tZk(s))Zkj(s) steht,odernichtmanerkennt,dazujedemzeitpunkt,andemeinereignisstattndet,der Yj(s)isthierwiederumderIndikator,obsicheinObjektzumZeitpunktsunterBeobachtung Pnk=1Yk(s)exp(^tZj(s)) 2IR: istschlielichdeniertals^sij=sij(1)=z1 Integratorvon^Sij(t)denWertdespartiellenResiduums^rijannimmtDasScore-Residuum^Sij variablenvektorfeststellenjenaher^sijan0,destogeringeristdereinuderbeobachtungi HiermitkannmannundirektdenEinueinerBeobachtungiaufdieKomponentejdesKo- 0[Zij(s) Zj(s)]d^Mj(s): 379GraphischeMethodenzurUberprufungdesProportional-Hazard aufdiekomponentej AnnahmevorgestelltDabeiistmanzunachstdaraninteressiert,obmanfureinebestimmteKompenontedesKovariablenvektorsvoneinemProportional-Hazard-Modellausgehenkann IndiesemTeilwerdeneinigeTechnikenzurgraphischenUberprufungderProportional-Hazard- (Z1;Zt2)t,wobeihierZ2derVektorderverbleibendenp 1KompentenistAuerdemgeht SeinunohneEinschrankungZ1dieinteressierendeKomponentedesKovariablenvektorsZ= mandavonaus,dadiekovariablez1nurendlichvielewerteannimmt(diewerteseienohne Einschrankungf0;1;;Kg) UmnundieProportional-Hazard-AnnahmezutestenberechnetmaneinnachderKovariablen Z1stratiziertesModellundschatztmitHilfedesBreslow-Schatzersdenzugrundeliegendenku- Modellvorliegt,giltfurjedesi6=j: mulativenbasis-hazardfurjedesstratum0i(t);i=1;;kfallseinproportional-hazard- ()0i(t) exp(i1)= 0j(t)=exp((i j)1); exp(j1) 0j(t) dasbedeutet,dalog(0i(t)) log(0j(t))=1(i j)=konstantubert lelezurzeitachsedarstellenfurbinarekovariablen,wiezbgeschlecht,wurdendieplotsin Umnunzuuberprufen,obProportional-Hazardvorliegtplottetmantgegenlog(^0i(t)) log(^0j(t))diesergraphsolltefurdenfall,daproportionalhazardgiltungefahreineparal-

ders-plus-routinecumloghazard(sieheanhanga1)realisiert 38PARAMETRISCHEMODELLE 67 EinetwasmodizierterAnsatzsinddiesogenannten\Andersen-Plots"(1982)MitdenBezeichnungenwievorherplottetmanhierzujedemZeitpunktt1<<tk,andemeinEreignis mitsteigung ProportionalHazardausgehenkann,solltederPlotungefahreinerGeradedurchdenUrsprung passiert,diehazardraten0i(t)(x-wert)und0j(t)(y-wert)gegeneinanderfallsmanvon entsprechenfurbinarekovariablenwurdediesesgraphischehilfsmittelinderroutineandplot exp(1j)0(t) exp(1i)0(t)=exp(1j) (sieheanhang)programmiert metrischenmodelleneingeheneineausfuhrlichebeschreibungparametrischerschatzmethoden AmBeispielWeibull-verteilterZufallsvariablen,wollenwirhieraufSchatzmethodeninpara- 38 ParametrischeModelle enthaltdasbuchvonkalbeischundprentice[21] DieZufallsvariableUberlebenszeitseiimfolgendennachdemWeibull-Modellverteilt,dh mit;>0undzugehorigerhazardfunktion ST(t)=exp( t); unddichte T(t)=t 1 dermaen: UmnunSchatzerfurdieParameterundzuerhalten,transformierenwirdasModellfolgen- ft(t)=t 1exp( t): und W=Y+ Y=logT mit=1=und=exp(=) ; DieZufallsvariableWistverteiltnach mitdichte FW(w)=1 exp( ew); fw(w)=exp(w ew); (352) (353)

68 dennkapitel3mathematischegrundlagenderverweildaueranalyse FW(w)=P(Ww)=PY =1 ST e+w=1 exp e(+w) w=p Te+w =1 exp exp exp+w =1 exp( ew): Ybeschreibtdemnacheinlog-linearesModell (354) DieUberlebensfunktionvonYerhaltmanmitHilfevon(352) Y=logT=+W: SY(y)=1 FY(y)=1 P(Yy) DieDichtefunktionvonYistdemnach =1 P(Wx )=exp expx : Seiennunwiederumt1;;tndieBeobachtungszeitpunkteund fy(y)=1expy expy : j=(1fallstj=tj Funktion derzugehorigezensierungsindikator,danndenierenwirfury=log(ti)diefolgendelikelihood- 0sonst diemithilfenumerischermethodenmaximiertwerdenkann(siehekleinundmoeschberger[25] L(;)=nYi=1[fY(yi)]i[SY(yi)](1 i); Seiten375-377)

Kapitel4 Datenanalysezurgesetzlichen Pegeversicherung IndiesemKapitelwerdenmitHilfedervorherbeschriebenenverweildaueranalytischenMethodenUberlebensdatenfurLeistungsempfangerausdergesetzlichenPegeversicherunganalysiert AlleBerechnungenundgraphischenAnalysenwurdenmitdemProgrammS-Plusrealisiert(eine detaillierteeinfuhrungins-plusgebenvenablesundripley(1994)[40])insbesonderefanden wendung,furschatzungenderuberlebensfunktionwurdendiefunktionsurvfitverwendet,zur Residuen-AnalysebesitztdieS-Plus-FunktionresidualseigeneStandardmethodefurcoxph- furschatzungendesproportionalhazarddies-plus-funktionencoxphundcoxphdetailan- ObjekteFureinigegraphischeAnalysenmutennocheigeneS-Plus-Routinenentwickeltwerden MitdiesemPaketkonneninKapitel3vorgestelltenTechnikeninS-Plusangewendetwerden 41 PegeversicherunginderSozialversicherungAlsTragerwurdendiegesetzlichenKrankenversichererbestimmtDieKrankenversichererwurdenverpichtet,samtlicheKrankenversicherte Am26Mai1994beschloderdeutscheBundestagdieEinfuhrungeinerallgemeinengesetzlichen UberblickuberdiegesetzlichePegeversicherung Am01April1995tratdiePegeversicherunginKraft,aberzunachstwurdennurLeistungen ohneerneutegesundheitsuberprufungindergesetzlichenpegeversicherungzuubernehmen stationarepegeausgedehnt DiePegebedurftigenwerdennachSchweredesPegefallsin3Kategorien(sogenanntePegestufen)unterteiltDieStufenunterteilungwirdnachfolgenderDenitionunternommen: imfallstationarerpegegewahrt,ab1juli1996wurdedasleistungsspektrumdannauchauf Stufe1:DerPegebedurftigebenotigtmindestens90MinutenHilfeproTagbeiVerrichtungendestaglichenLebens(erheblichPegebedurftig) 69

70Stufe2:DerPegebedurftigebenotigtmindestens180MinutenHilfeproTagbeiVerrich- tungendestaglichenlebens(schwerpegebedurftig) KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG Stufe3:DerPegebedurftigebenotigtmindestens300MinutenHilfeproTagbeiVerrichtungendestaglichenLebens(schwerstpegebedurftig) An-undAuskleiden,Waschen,Kammen,Rasieren,uswZubeachtenisthierbei,daHilfebei DieseVerrichtungendestaglichenLebensbeinhaltenzumBeispielAufstehen/Zubettgehen, wirdvoneinemunabhangigenmedizinischengutachtervorgenommenleistungshoheund-art hauswirtschaftlicherversorgungindieserdenitionnichtenthaltenistdiestufeneinteilung sindabhangigvonderjeweiligenpegestufeundartderpegeindergesetzlichenpegeversicherungwerdendempegebedurftigekostenfurhauslichepegehilfe,teil-undvollstationare ZusatzlichzurgesetzlichenPegeversicherungwirdinDeutschlandvonLebens-undKranken- Pege,technischeHilfsmittel,wiezumBeispielRollstuhl,sowieKostenzurVerbesserungdes Wohnumfeldes(EinbaueinesTreppenlifts,VerbreiterungdesWohnungseingangs,etc)erstattet Pflegeversicherung gesetzliche Pflegeversicherung Zusatzversicherung privat öffentlich Krankenversicherer Lebensversicherer Tagegeld Kostenerstattung rente Pflegeindividuelle Leistungen versichererneineprivatepegeversicherungangebotendabeiunterscheidensichdietarifeder gesetzliche Krankenversicherervondenen,dievonLebensversicherernangebotenwerdeninderArtder Abbildung41:UbersichtuberprivateundgesetzlichePegeversicherunginDeutschland Leistungen LeistungWahrendKrankenversicherermeistErganzungsproduktezurgesetzlichenPegeversicherunganbieten,diemeistdasLeistungsspektrumdergesetzlichenVersicherungerweiternund somitauchdiedenitiondespegefallsausdergesetzlichenversicherungubernehmen,bietenlebensversicherermeistmonatlichepegerentenanauchfurdiedenitiondespegefalls

42BESCHREIBUNGDERDATEN 71 benutzenlebensversicherereinanderessystem,dassogenanntadl-system(adl=activities ofdailyliving)hierwirdanhandeinesfunfbissechspunktebeinhaltendenadl-katalogs bestimmt,wievieledieserverrichtungendestaglichenlebens,derpegebedurftigenichtmehr selbstandigverrichtenkanninabbildung41istdieuntergliederungderprivatenundgesetzlichenpegeversicherungschematischdargestellt 42 BeschreibungderDaten DieDatenwurdenzwischendem1April1995unddem31121998beiinsgesamt5603LeistungsempfangernausderprivatengesetzlichenPegeversicherungerhobenDieseunterteilten sichin3511frauenund2092mannerinabbildung42solldiestrukturderbeobachteten Datenanhandvon2BeobachtungenverdeutlichtwerdenMitdensenkrechtenLinienistder Zeitraummarkiert,indemwirdiePegefallebeobachtenkonntenBetrachtenwirnundenmit derdurchgezogenenliniedargestelltenpegefallgenauerderpegebeginnfalltindenbeobachtungszeitraum,zunachstbendetsichderpegebedurtigeinambulanterpegederstufe1 VondortwechselteerinambulantePegederStufe2,dhderZustandverschlechtertesichDer nachstezubeobachtendewechselwarvonambulanterzustationarerpege(jeweilsstufe2) HierwechseltederPegefallvonStufe2zuStufe3,woersichamEndedesBeobachtungszeitraumsbefandEshandeltsichhierbeialsooenbarumeinezensierteBeobachtung,dawirdas terminierendeereignis(\tododergenesungdespegebedurftigen")nichtobservierenkonnten DermitdergestricheltenLiniedargestelltePegefallstellteinelinkstrunkierteBeobachtung 00 11 00 11 01 00 11 0 0 1 1 0 0 1 1 00 00 11 11 0 0 1 1 0000000 1111111 0000000 1111111 0000 1111 t 1:4:1995 31:12:1998unbekannt Pegeart ambulant,stufe1 ambulant,stufe2 ambulant,stufe3 stationar,stufe1 stationar,stufe2 stationar,stufe3 & & Zensierung Tod Pegebeginn1 Pegebeginn2 Abbildung42:ZustandsubergangeimPegeprozeamBeispielvon2Pegefallen dardasbedeutet,derbeginnderpegebedurftigkeitistbekannt(immedizinischengutachten wirdnachdempegebeginngefragt),falltaberindenzeitraumvorbeginndergesetzlichen Pegeversicherungundkonntedemzufolgenichtbeobachtetwerden

72 KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG Amb2 Amb1zensierttotreaktAmb1Amb2Amb3Stat1Stat2Stat3 Amb3 1012279 877598 281 47 { 444{ 296 75 1189 208 71 34 Stat1 308632 2 20 { 0 4 59 Stat2 248 85 3 11 0 { 108 87 Stat3 451263 376437 20 1 61 16 72 { 9 116 26 Tabelle41:AnzahlderZustandsubergangeimDatensatz { Insgesamtwurden7372Stufenubergangebeobachtet,derenempirischeHaugkeitinTabelle41 dargestelltist Hierbeistehen"Ambi"und"Stati"jeweilsfurambulante,bzwstationarePegeinStufei DerUbergengzu"zensiert"bedeutet,daderjeweiligevorherigeZustandderletztebeobachtete Nicht-Pegebedurftig(=reaktiviert)werdenDieAbkurzung"gek"stehtfurPegebedurftige Zustandam31Dezember1998warDieAbkurzung\reakt"stehtfurPfegebedurftige,diewieder AufdenerstenBlickerkenntmanindenDatensofort,daUbergangezueiner\schlechteren" DieseUbergangewerdentechnischwiezensierteBeobachtungengehandhabt derenvertragegekundigtwurden(vonseitendesversicherersodervonseitendesversicherten) bedurftigevonambulanterpege,stufe1,inambulantepegestufe2,wahrendnur47pe- gebedurftigevonstufe2instufe1wechseltenauchdieniedrigeanzahlvonreaktivierungen PegestufeweitaushaugersindalszueinerbesserenSowechseltenzumBeispiel444Pegescheinlichsind (insgesamt36)isteinanzeichendafur,daverbesserungenimpegestatusrelativunwahr- stationarerpegegezahltdaeinindividuumaufgrundwechselderpegestufe,beziehungsweisederpegeartinmehrerenkategoriengezahltwerdenkann,entsprichtdiesummeuberdie getrennt,dieanzahlderpersonenindenverschiedenenpegestufenbzwinambulanteroder UmeinengenauerenUberblickuberdenDatensatzzubekommen,wurdennachGeschlechtern KategoriennichtderGesamtanzahlderIndividuenDieZahlensindinTabelle42dargestellt Wirsehenhier,da40:6%allerbeobachtetenFrauensichimLaufeihrerPegehistorieeinmal summierensichzumehrals100%,dasicheinigebeobachtetepersonensowohlinstationarer,als instationarerpegebefundenhatten,abernur22:2%allerbeobachtetenmannerdiewerte einzelnendiagnosensindintabelle43zusammengefat 3176Frauenund1868Manner)diepegeauslosendenDiagnosenerfatDieHaugkeitender auchinambulanterpegebefundenhattenzudemwurdennochbei5044pegefallen(davon

43PROPORTIONAL-HAZARD-MODELL FrauenMannerFrauenin%Mannerin% 73 Ambulant Stationar Stufe1 2526 1427 1798 464 720 406 860 Stufe2 1581 827 400 222 Stufe3 1711 1074 1011 719 487 306 395 483 Tabelle42:HaugkeitenfurPegeartundPegestufe,unterteiltnachGeschlecht 344 Demenzerkrankungen Schlaganfalle Diagnose FrauenMannerFrauenin%Mannerin% Psychosen 1469 497 694 549 463 156 372 Tumore 679 350 577 346 214 110 294 309 Knochenkrankheiten Blindheit 117 75 37 185 Arthrosen 865 433 152 103 272 136 40 81 Lungenerkrankungen Herzerkrankungen 1352 50 572 45 426 16 306 55 Nierenerkrankungen Geburtsschaden 17 2 20 3 01 05 24 02 Tabelle43:HaugkeitenderverschiedenenDiagnosenimDatensatz 11 KovariablenAlter,Geschlecht,ArtderPegeundPegestufeschatztDiepegeverursachenden 43 ZunachstsollhiereinModellentwickeltwerden,dasdieUberlebenszeitinAbhangigkeitvonden Proportional-Hazard-Modell Diagnosensindhiernochnichtberucksichtigt,dadashierermittelteModellspaterauchbeider EntwicklungeinesVersicherungsmodellsAnwendungndensoll Hazard-Modellgettet,beidemfolgendeKovariablenberucksichtigtwurden: UmeinenerstenUberblickuberdieStrukturderDatenzuerhaltenwurdeeinerstesProportional- 431Modellbildung(ohneDiagnosen) ZAlter(t)alszeitabhangigeKovariable,diedasAltereinesPegebedurftigenbeiEintrittineine anallenstufenubergangeninterpretiertwerden)zgeschlecht,zstufe2(t)undzstufe3(t)sindals neuepegestufeenthalt(dhzalterkannalssprungfunktionmitwerteninirundsprungen und0sonst,zstufe2(t)=1bzwzstufe3(t)=1fallssichdiepegebedurftigepersonzumzeit- binarekovariablendeniert,wobeizgeschlecht=1fallsdiepegebedurftigepersonweiblichist

74 punkttinderpegestufe1bzw2bendetundzstat(t)=1fallssichdiebeobachteteperson zumzeitpunkttinstationarerpegebendet KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG FurdieHazardfunktionwurdeeinadditivesModellgewahlt: lieren,daesuberhauptkeineinteraktionenzwischenkovariablenberucksichtigt,essollandie- DassogewahlteModellistsicherlichnochnichtgeeignet,dieRealitatausreichendzumodel- Z(t)=0(t)exp[1ZAlter(t)+2ZGeschlecht+3ZStat(t)+4ZStufe2(t)+5ZStufe3(t)]:(41) ApproximationfurdenpartiellenLikelihoodfuhrtdasModell41zudeninTabelle44dargestelltenResultatenserStelletrotzdemerwahntwerden,daesrelativeinfachzuinterpretierenistMitderEfron- ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik -03495 00244 1025 0705 000179 004580 136056-76320 2:310 14 <10 15 p-wert ZStufe2 ZStufe3 ZArt -00022 07610 15577 0998 2140 4748 004778 006313 006358 120536 244998-00459 <10 15 0:96 uderkovariablenaufdenhazardfestgestelltdiewertekonnenfolgendermaeninterpretiert ImerstenFitwirdfurdieKovariablenZAlter,ZStufe2,ZStufe3undZGeschlechteinsignikaterEin- Tabelle44:GeschatzteKoezientenimModell41 HazardsvomGeschlechtuberraschthiernichtsonderlich,dennnichtnurinderGesamtbevolkerung,sondernauchinderPegeversicherungkannmaneinehohereSterblichkeitvonMannern auchdiesterbeintensitatzunimmt,waszuerwartenwarauchdiesignikanteabhangigkeitdes werden:derpositivekoezientfurdiekovariablealterbelegt,damitzunehmendemalter furmanner)diekovariablenfurstufe2undstufe3stelleneinerstesmadafurdar,inwieweit beobachten(dererstenschatzungzufolgeliegtderhazardfurfrauenbeica70%deshazards bei96%),dasheitdadienullhypothese\diekovariablehatkeineneinuaufdenhazard" furstationarepegekeinensignikanteneinuaufdiepegebedurftigkeit(derp-wertliegt sichdieschwerederpegeaufdiesterbeintensitatauswirktinteressanterweisehatkovariable VariablentrotzdemeinenEinuaufdasModellhabenkann Kovariable\Pegeart"nichteinfachunberucksichtigtlassen,dasieinInteraktionmitanderen nichtabgelehntwerdenkanndadiesesmodelljedochnochsehrgrobgewahltist,kannmandie UmdenZusammenhangzwischenstationarerundambulanterPegebedurftigkeitgenauerzu obz(t)=0(t)exp(tz(t))furallet)mudurchweiteretestsbegrundetwerden InwieweitmanwirklichvoneinemporportionalenEinuaufdenHazardausgehenkann(dh SchatzersfurdenBasis-HazardberechnetenKurvengegeneinandergeplottetInAbbildung43 untersuchen,wurdeeinnachstationarerpegestratiziertes(dhfurstationareundambulante Pegeseparatberechnetes)Proportional-Hazard-ModellgettetunddiemittelsdesBreslow-

43PROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 75 Anteil Ueberlebende 00 02 04 06 08 10 ambulant stationaer Abbildung43:MitBreslow-SchatzergeschatzteUberlebensfunktionenfurambulanteundstationarePege PegeineinemPegeheimdeutlichunterderentsprechendenFunktionfurambulantePege liegt,wasdafurspricht,dainteraktionenzwischendenkovariablenbestehen,diebislangnoch nichtberucksichtigtwurden ModellierungderInteraktionen DieErkennungundModellierungeventuellbestehenderInteraktionensollnunmitHilfedesAIC durchgefuhrtwerdendasvorgehenwirddabeiin2schritteunterteilt: BestimmungzwischenwievielenFaktorenInteraktionmodelliertwerdenkann(2-Faktor, Bestimmung,welcheInteraktionenschlielichsignikantenEinuaufdasModellhaben 3-Faktor,4Faktor-Interaktion,oderuberhauptkeine) 0 2000 4000 6000 8000 erkenntman,dabeilangenpegedauern(groerals3000tage),dieuberlebensfunktionfur mitalleninteraktionen,diebiszu3faktorenenthaltenundletztendlicheinmodellmitsamtlicheninteraktionensolangeinteraktioneneinuaufdasmodellhaben,wirdsichdiesereinudenemodellegettetundzwarjeweilseinesohneinteraktion,mitallen2-faktor-interaktionen, FurdenerstenSchrittwirdfolgendesVorgehengewahlt:FurdenDatensatzwerden4verschie- durcheinwachsenderlikelihoodfunktionunddamitauchdeslog-likelihoodbemerkbarmachenfallsinteraktionenhinzugefugtwerden,diekeinen,oderkaumeinuhaben,sowirdsich

76 KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG ohneinteraktion 2Faktoren Modell Log-LikelihooddfAIC(n=2) -159092-158782 14 5 318284 alleinteraktionen 3Faktoren -158758-158746 21 23 317844 317936 Tabelle45:AIC-KriteriumfurModellemitInteraktionen 317952 derlog-likelihoodnurunwesentlichandern,derwertdesaicwirdjedochgroer,dadasneue einenrelativhohenlikelihoodhat,dersichauchiminformations-kriteriumbemerkbarmacht kennt,dadasmodellohneinteraktionen(imvergleichzummodellmit2-faktor-interaktionen) ModellmehrFreiheitsgradebeinhaltetDieErgebnissesindinTabelle431dargestelltManer- Auerdemerkenntman,dasichderLog-Likelihoodnurunwesentlichandert,wennman3- (23-14)Freiheitsgrademehr!) scheidetsichvomlikelihoodfuralleinteraktionennurum36,dasvollemodellenthaltaber9 Faktor-,bzwalleInteraktionenbetrachtet(DerLikelihoodfur2-Faktor-Interaktionenunter- ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik 00272 01401 1028 1150 00050 03013 5483 0465 4:210 8 6:410 1 p-wert ZStufe2 ZStat -05948 10679 0552 2909 04114 04326-1446 2469 1:510 1 ZAlterZGeschlecht ZStufe3-00064 18610 6430 0994 04219 00035-1829 4411 1:410 2 1:010 5 ZAlterZStufe2 ZAlterZStat 00161 1016 00047 3407 6:710 2 ZAlterZStufe3-00048 -00027 0995 0997 00054 00053-0894 -0510 6:610 4 3:710 1 ZGeschlechtZStufe2 ZGeschlechtZStat -04515 0637 00995-4537 6:110 1 ZGeschlechtZStufe3 02275 1255 01321 1721 5:710 6 ZStatZStufe2 01842 1202 01292 1425 8:510 2 ZStatZStufe3-03210 -06737 0725 0510 01470 01416-2184 -4758 1:510 1 2:910 2 Tabelle46:GeschatzteKoezientenimModellmitallen2-Faktor-Interaktionen 2:010 6 Daherdeutetallesdaraufhin,daim\optimalen"Modellnur2-Faktor-InteraktionenvorkommenDahersollnunineinemzweitenSchrittdasModellmitallenInteraktionenzwischen2 FaktorengenauerbetrachtetwerdenunddurchEntfernenvoneventuellnichtsignikantenInteraktionennochverbessertwerdenDasModellmitallen2-Faktor-InteraktionenistinTabelle 46dargestellt

kanteneinuaufdasmodellhaben,vorhandensindimfallederinteraktionzwischenalter Tabelle46legtdieVermutungnahe,daimmernochzuvieleKovariablen,diekeinensigni- 43PROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 77 dieinteraktionzalterzstufe3dafur,danochzuvielekovariablenberucksichtigtwerdender undstufe,sprechenderp-wertvon037furdieinteraktionzalterzstufe2,bzwvon061fur immodellhatumdiesevermutungzubelegensollnundurchiterativesentfernenvoninteraktioneneineweitereverbesserungdesaicerzieltwerdenintabelle47sinddieergebnissefur dasentfernenvonjeweilseinerinteraktion(ausdemmodellmitalleninteraktionen)dargestellt lokalelikelihood-ratio-testfureineinteraktionzwischenalterundpegestufeergibteinenp- Wertvon085,dhmankannnichtdavonausgehen,dadieseInteraktionsignikantenEinu AlterGeschlecht Entfernenvon Log-LikelihooddfAIC(n=2) AlterPegestufe AlterPegeart -158798-158843 -158787 317856 317946 GeschlechtPegestufe GeschlechtPegeart -158882 13 317814 PegeartPegestufe -158797-158913 12 318024 317834 Tabelle47:EntwicklungdesAICbeiEntfernenvonInteraktionen 318066 InTabelle47ndetsichdieVermutungbestatigt,dasichdurchEntfernenderInteraktion jedochauch,damanfurdasmodellohneinteraktiongeschlechtpegestufeeineleichte Wertbetragt317814imVergleichzu317844furModellmitallenInteraktionen)Manerkennt zwischenalterundpegestufeeineverbesserungdesinformationskriteriumserreichenlat(der ErklarungdesModellsbeitragen,bestehen(Tabelle48) aktionzwischenalterundpegestufegetestetwerden,obweitereinteraktionen,dienichtzur VerbesserungdesAICerzieltDahersollendurchanalogesVorgehenfurdasModellohneInter- NachdiesemSchrittsiehtmaneineVerbesserungdesAICbeiHerausnahmederInteraktion AlterGeschlecht AlterPegeart Entfernenvon Log-LikelihooddfAIC(n=2) -158805-158851 317830 GeschlechtPegestufe GeschlechtPegeart -158886 11 317922 PegeartPegestufe -158799-158922 10 317992 317798 Tabelle48:EntwicklungdesAICbeiEnfernenweitererInteraktionen(ausgehendvonModell 318044 ohneinteraktionzwischenalterundpegestufe)

78 zwischenalterundpegestufefallsmandiesevorgehensweisenunnochmalsanwendet,ndet keineverbesserungmehrstatt(siehetabelle49),sodadasoptimalemodellalleinteraktionen KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG bisalterpegestufeundgeschlechtpegeartbeinhaltet AlterGeschlecht Entfernenvon Log-LikelihooddfAIC(n=2) GeschlechtPegeart AlterPegeart -158817-158862 -158896 9 317922 317972 317814 Tabelle49:EntwicklungdesAICbeiEnfernenweitererInteraktionen(ausgehendvonModell PegeartPegestufe -158936 8 318032 DieHazardfunktionbesitztnachdiesemModellfolgendeDarstellung: ohneinteraktionen:alterpegestufe,geschlechtpegestufe) (t)=0(t)exp[1zalter(t)+2zgeschlecht+3zstat(t)+4zstufe2(t) +5ZStufe3(t)+6ZAlter(t)ZGeschlecht+7ZAlter(t)ZStat(t) MitderEfron-ApproximationfurdenPartial-LikelihooderhaltmanfurdasModell42diein +10ZStat(t)ZStufe3(t)]: +8ZGeschlechtZStat(t)+9ZStat(t)ZStufe2(t) Tabelle410dargestelltenKoezientenDurchdievielenInteraktionenisteineInterpretation (42) ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik 002421 03202 1025 1377 00025 02811-147 978 2:510 1 <10 15 p-wert ZStufe2 ZStat -05969 08180 0551 2266 04063 00729 1122 114 1:410 1 ZAlterZGeschlecht ZStufe3 17553 5785 00734 2391 ZAlterZStat -00065 00162 0993 1016 00035 00047-189 345 5:910 2 5:710 4 <10 15 ZGeschlechtZStat ZStatZStufe2 ZStatZStufe3-04405 -03320-06753 0644 0717 0509 00989 01446 01391-446 -230-486 8:410 6 2:210 2 Tabelle410:GeschatzteKoezientenimModell(42) 1:210 6 derkoezientenkaummehrmoglichzumbeispielerstaunt,derpositivekoezientfurdie geradefurhohealterwiederkompensiertintabelle411istdaherfurdasdurchschnittliche KoezientenfurdieInteraktionzwischenAlterundGeschlechtnegativsind,wirddieserEekt KovariableZGeschlecht(inModell(41)hattederKoezientdenWert-03495)Dajedochdie

exp(tz)furverschiedenekovariablenwertezentwickelt AlterimDatensatzvon7872Jahrendargestellt,wiesichderMultiplikatorfurdenBasis-Hazard 43PROPORTIONAL-HAZARD-MODELL 79 ambulant,stufe1 ambulant,stufe212573 FrauenManner ambulant,stufe332100 5548 15227 38874 6720 stationar,stufe112786 stationar,stufe220787 stationar,stufe337649 13242 21529 Tabelle411:Multiplikatorexp(tZ)furverschiedeneKovariablenkombinationen(beixiertem 38993 Alterv7872Jahren) Proportional-Hazard-ModelleventuellnochzuverbessernNaturlichliegtdieVermutungnahe, IndiesemAbschnittsollversuchtwerden,mitHilfederpegeverursachendenDiagnosendas 432ProportionalHazard(mitDiagnosen) signikanteneinuaufdasmodellhaben,herausgeltertwerdendanichtfurallepegefalle funktionhabenauchhiersollenmitinformationskriteriumvonakaikediagnosen,dieeinen dadiefestgestelltenpegeauslosendenkrankheiteneinenmassiveneinuaufdieuberlebens- Diagnosenerfatwurden,berechnenwirzunachstnochdasInformationskriteriumfurModell (42)aufBasisallerDaten,furdieDiagnosenerfatwurden,umsoeinVergleichskriteriumzu speziziertenkovariablenfurjedediagnoseeineweiterekovariableberucksichtigtineinzelnen bedeutetdies erhaltenineinemzweitenfitbetrachtenwirdanneinmodell,daszusatzlichzudenin(42) DerLog-LikelihoodunddasAICfurdieseModellesindinTabelle412dargestelltWieerwartet ZDiagnose=(1entsprechendeDiagnosewurdebeiderPersonfestgestellt 0sonst : mitallendiagnosen ohnediagnosen Log-LikelihooddfAIC(n=2) -144671-142701 10 21 285820 289542 chendendiagnosen habenalsodiepegeverursachendenkrankheiteneinenentscheidendeneinuaufdasuberlebenindergesetzlichenpegeversicherungintabelle413sinddiemitderefron-approximation Tabelle412:AIC-KriteriumfurModellemit,bzwohneBerucksichtigungderpegeverursa- furdenproportionalenhazardgeschatztenkoezientendargestellt

80 KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG ZDemenz Variable ZSchlag Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik -01351-02067 0874 0813 00483 00573-280 -361 5:110 3 3:110 4 p-wert ZPsychose ZTumore -02056 10504 0814 2859 00549 00570 1843-374 1:810 4 ZKnochenk ZBlindheit -01071-00818 0898 0921 01133 00583-095 -140 3:410 1 1:610 1 <10 15 ZArthrosen ZLungen ZHerz -00798-00784 03391 0923 1082 1404 00746 00460 01393-107 170 243 2:910 1 8:810 2 ZGeburt ZNieren -09219 04271 1533 0398 07152 08846-104 060 1:510 2 5:510 1 Tabelle413:GeschatzteKoezientenimModell(42) 3:010 1 BeigenaurerBetrachtungdergeschatztenKoezientenfalltvorallemderhoheWertdesKoef- zientenunddiehohesignikanz(p-wert<10 15)derKovariableZTumoreaufHierhandeltes Nieren),alleweiterenKoezientensindnegativAufeinedetailliertereBetrachtungderDiagnosenhinsichtlichInteraktionmitanderenKovariablen,bzwInteraktionmitanderenDiagnosen nurdiekovariablenfuralter,geschlecht,pegeartundpegestufeeingehendergrunddafur liegtdarin,daindenmeistenversicherungsvertragenartundhohederleistungenabhangig vonderschwerederpege,nichtabervonpegeverursachendendiagnosensind 441Residuenanalyse TestaufProportionalHazard erkenntmanpositivekoezientenbeierkrankungenlebenswichtigerorgane(herz,lungeund sichwohlmeistumkrebspatientenimendstadium,derenheilungschancengeringsindzudem mochteichinderarbeitverzichten,daindasspaterimtextformulierteversicherungsmodell ZunachstwirdhiernunmitHilfederMartingal-Residuenuntersucht,obimModell(42)die undinteraktionenaus(42),dienichtvomalterabhangen quantitativekovariablealterbereitsgutmodelliertist,oderobeventuelleineanderefunktionale FormfurdieKovariablegefundenwerdenkannDazuttenwireinModell,mitdenKovariablen (t)=0(t)exp[1zgeschlecht+2zstat(t)+3zstufe2(t)+4zstufe3(t) +7ZStat(t)ZStufe3(t)]: +5ZGeschlechtZStat(t)+6ZStat(t)ZStufe2(t) (43)

44TESTAUFPROPORTIONALHAZARD 81 Furdasnach(43)berechneteModellplottetmandanndieMartingal-ResiduengegendieKovariableAlterundschatztmiteinemGlattungsoperatordenErwartungswertdieserResiduen E(^MjZAlter)(Abbildung44,linkeSeite)DerPlotsolltedannungefahrdiefunktionaleForm darstellen,inderdiekovariableindasmodelleingeht(sieheabschnitt378) Alter Martingal-Residuen 0 20 40 60 80 100-20 -15-10 -05 00 05 10 Alter Martingal-Residuen 60 70 80 90 100-20 -15-10 -05 00 05 10 Abbildung44:Martingal-ResiduenzurBestimmungderfunktionalenFormderKovariablen ZAlterinModell(42) Manerkennthier,dasichdieFunktionstuckweiselinearverhalt,miteinemKnickimAltersbereichvonca80JahrenUmdiesenKnickgenauerzulokalisierenwurdedieResiduennochmals furdenalterbereichzwischen60und100geplottet(abbildung44,rechteseite),indieser Graphiksehenwir,dasichfureinAltervonca85JahrendieSteigungderKurveerhoht DerPloterlaubtnunfolgendeInterpretation:DieKovariableAltergehtlinearindasModell ein,abeinembestimmtenalter(imbereichvonca85)andertsichjedochderregressionskoezientfurdiekovariablealter UmdiesesAlterzundenkannmannunfolgendermaenvorgehen(vglKleinundMoeschberger[25],Seiten334-336):ManerweitertdasModell(42)umeineweitereKovariable Z(t)=(1fallsZAlter(t) 0sonst ; sowieumdieinteraktionzalter(t)z(t)zu (t)=0(t)exp[1zalter(t)+2zgeschlecht+3zstat(t)+4zstufe2(t) +5ZStufe3(t)+6ZAlter(t)ZGeschlecht+7ZAlter(t)ZStat(t)

82 KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG ZielistnundieMaximierungdesPartial-LikelihoodfurverschiedeneAlterDafurwurden +10ZStat(t)ZStufe3(t)]+11Z(t)+12ZAlter(t)Z(t): +8ZGeschlechtZStat(t)+9ZStat(t)ZStufe2(t) furdenaltersbereich[80,925]furdiewerte=80+0:5ii2f1;;25gmitderefron- (44) ApproximationfurdenPartial-Likelihoodnach(44)berechnetunddieAuswirkungenaufden Log-Likelihoodbetrachtet(Abbildung45) Log-Likelihood -15879-15878 -15877-15876 Abbildung45:EntwicklungdesLog-LikelihoodfurverschiedeneWertevoninModell(44) 80 84 86 88 90 92 auchfur=91:5verbessertsichdasaicimvergleichzumodell(42)(317786bzw317762 Hierkonnenwirfolgendeserkennen:DieFunktionhateinglobalesMaximumfur=91;5, zudemfalltauf,daanderstelle825einlokalesmaximumliegtsowohlfur=82:5,als Alter wirklichsignikantistdas095-quantilder2-verteilungmit2freiheitsgradenliegtbei599, lokalenlikelihood-ratio-test(346)siehtman,dadieseanderungimpartiellenlog-likelihood imvergleichzu317798)derpartiellelog-likelihoodverbessertsichumca38mitdem diedoppeltedierenzimpartiellenlog-likelihoodliegtbeica23:8=7:6 Die2Maxima,diesichimPlotbeobachtenlassen,legendieVermutungnahe,dader\Knick" furmannerundfrauenzuverschiedenenzeitpunktenvorliegtumdieszuuntersuchenwurde jeweilseinmodellfurfrauenundeinmodellfurmannerberechnet,dessenhazardfunktionnach folgendemproportional-hazard-modellkonstruiertwurde unddiekorrespondierendenmartingal-residuenfurmannerundfrauengetrenntgegendie (t)=0(t)exp[1zstat(t)+2zstufe2(t)+3zstufe3(t) KovariableAltergeplottet(Abbildung46)WirerkennenhierfurFraueneinenrelativstark +4ZStat(t)ZStufe2(t)5ZStat(t)ZStufe3(t)] (45)

44TESTAUFPROPORTIONALHAZARD 83 Alter Martingal-Residuen 0 20 40 60 80 100-2 -1 0 1 Frauen Alter Martingal-Residuen 0 20 40 60 80 100-2 -1 0 1 Maenner Abbildung46:Martingal-Residuen(nachGeschlechtgetrennt)zurBestimmungderfunktionalen FormderKovariablenZAlterinModell(42) ausgepragtenknickimaltervonca90jahrenundfurmannereinenleichtenknickimaltersbereichzwischen70und80jahrendaherbetrachtenwirnuneinmodellmitfolgenden zusatzlichenkovariablen: Zw=(1fallsZAlterwundZGeschlecht=1 0sonst ; sowie Zm=(1fallsZAltermundZGeschlecht=0 0sonst undmaximierendenlog-likelihoodfurfolgendesproportional-hazard-modell (t)=0(t)exp[1zalter(t)+2zgeschlecht+3zstat(t)+4zstufe2(t) +5ZStufe3(t)+6ZAlter(t)ZGeschlecht+7ZAlter(t)ZStat(t) +8ZGeschlechtZStat(t)+9ZStat(t)ZStufe2(t) +10ZStat(t)ZStufe3(t)+11Zw(t)+12Zm(t) +13ZAlter(t)Zw(t)+14ZAlter(t)Zm(t)]: (46) Umzuerkennen,obsichmitModell(46)eineVerbesserungimAIC-Kriteriumergibtwurden wiederumfurverschiedenewertevonw=80+0:25ii2f0;;80gundm=70+0:25ii2 f0;;80gderlog-likelihoodberechnetdieserwurdemaximiertfurw=91undm=75:25,

84 derlog-likelihoodandieserstellehatdenwert157744manerkennteinevielstarkereauspragungdesmaximumsfurfrauenbeigenauereranalysedesmodellsfalltauf,dadieinteraktionenundzalter(t)zw(t)undzalter(t)zm(t)kaumsignikantsind(dielokalen KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG Wald-TestsgegendieNullypothesen:13=0bzw14=0fuhrenzup-Wertenvon092bzw schlechterungimvergleichzumodell(44) 037)AuchimAICerkenntfuhrtdiehoheAnzahlanFreiheitsgradenzueinerleichtenVer- ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik 00279 07637 1028 2146 00036 03202 239 768 1:610 14 1:710 2 p-wert ZStufe2 ZStufe3 ZStat -03724 08101 17521 0689 2248 5767 04035 00730 00734 1110 2387-092 3:610 1 Zm Zw -01401 02146 1239 0869 00737 01041-134 291 3:610 3 1:810 1 <10 15 ZAlterZGeschlecht ZGeschlechtZStat ZAlterZStat -00138 00134 0986 1014 00045 00047-308 287 2:110 3 ZStatZStufe2-04374 0646 00993-440 4:110 3 ZStatZStufe3-03254 -06733 0722 0510 01447 01391-225 -484 4:410 5 2:510 2 Tabelle414:GeschatzteKoezientenimModell(47) 1:310 6 mundwmittelsmaximierungdeslog-likelihoodbestimmen,dasbedeutet,dawirden schenm,wundalterunberucksichtigtlassenunddannwiederumdieoptimalenwertefur UmeineOptimierunginunseremModellzuerreichen,solltenwirdaherdieInteraktionenzwi- Log-LikelihoodfurModell (t)=0(t)exp[1zalter(t)+2zgeschlecht+3zstat(t)+4zstufe2(t) +10ZStat(t)ZStufe3(t)+11Zw(t)+12Zm(t)] +8ZGeschlechtZStat(t)+9ZStat(t)ZStufe2(t) +5ZStufe3(t)+6ZAlter(t)ZGeschlecht+7ZAlter(t)ZStat(t) inabhangigkeitvonwundmmaximieren =0(t)exp(tZ(t)) (47) dieanzahlderfreiheitsgradevon14auf12reduzierthabendarausresultierteineverbesserung Wertvon15874:79erhaltenwirsoeinenminimalhoherenWertalsfurModell(46),obwohlwir Wieauchin(46)wirdderLog-Likelihoodmaximalfurw=91undm=75:25Miteinem Modellkonzentrierenwollen desaic-wertesfurdiesesmodell(3177358),sodawirunsbeiweiterenanalysenaufdieses

44TESTAUFPROPORTIONALHAZARD 442GraphischeTestsdesPropotionalHazard 85 Stufe2,,MannerstationarStufe3)undschatzendannmitdesNelson-Aalen-Schatzerfurjede wirdendatensatzin12verschiedenegruppen(frauenambulantstufe1,frauenambulant UmfurModell(47)dieAbhangigkeitdesHazardvonKovariablenzuanalysieren,unterteilen Abschnitt379)FallsdieVerteilungderPegedauernnacheinemProportional-Hazard-Modell einzelnegruppediekumulativehazard-oderintensitatsfunktionmitdiesenintensitatsfunktionenplottenwirjeweilszweiinteressierendeuntergruppengegeneinander(andersen-plots,siehe gegebenist,solltederplotsungefahraufeinergeradenliegen,derensteigungdemrelativen RisikounterderProportional-Hazard-Annahme entsprichtumdasrelativeriskozuerhaltenberechnenwirdeshalbmitmodell(47)diezu- RRPH=0(t)exp(^tZGruppe1) 0(t)exp(^tZGruppe2)=exp(^tZGruppe1) gehorigenmultiplikatorenfurdiebasis-hazardfunktion(alswertefurdiekovariablealterver- wendenwirdasdurchschnittalterinderjeweiligenuntergruppe)dieverwendungdesmittel- WendenwirunszunachstderAnalysederKovariablenZGeschlechtzu(Abbildung47)Fur wertesf4urdiezeitabhangigekovariablezalterfuhrtapproximativzueinemlinearenzusam- menhangderjeweiligenrelativenrisikenindeneinzelnenuntergruppen tenkumulativenhazardfunktionenfurfrauen^w(t)(x-achse)undmanner^m(t)(y-achse) die6kategorien(ambulantstufe1,,stationarstufe3)wurdenhierjeweilsdiegeschatz- gegeneinandergeplottetdiegeradeimplotentsprichtdemnachdemproportional-hazardmetrischennelson-aalen-schatzerermitteltenkumulativenhazardfunktionenungefahrdenmit folgendes:instufe2undstufe3entsprechendiefurmannerundfrauenmitdemnichtpara- Modell(47)erwartetenVerhaltnisderkumulativenHazardfunktionenManerkenntzunachst gutdurcheinproportional-hazard-modellapproximiertwirdbeigenauererbetrachtungdes dasowohlimambulanten,alsauchimstationarenbereichdiehazardfunktionnichtbesonders demproportional-hazard-modellgeschatztenkumulativenhazardsinstufe1falltjedochauf, furfrauenzusterbenniedrigerist,alsnachdemproportionalhazard-modellerwartet(derplot PlotfurambulantePegefalltauf,dabiszueinembestimmtenZeitpunktt0dasrelativeRisiko Risikodarstellt)undabt0dannhoherZuwelchenZeitpunktt0sichdieserTrendumkehrt, enferntsichvondergeraden,diedasnachdemproportional-hazard-modellerwarteterelative kannmanmitdenandersen-plotsnichtfeststellenimbereichderstationarenpegeerkennt Frauen UmdiesenZeitpunktt0festzustellen,andemsichderTrendumkehrtplottenwirdieDierenz maneinenumgekehrtentrend,dhzunachstistfurmannerdasrelativerisikoniedrigeralsfur dermitdemnelson-aalen-schatzergeschatztenkumulativenhazardsvonmannernundfrauen gegeneinander,dhwirplottendiezeittgegenlog(^w(t)) log(^m(t))(abbildung48)dagilt (t)=ddt(t)

86 KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG 00 02 04 06 08 00 05 10 15 20 0 1 2 3 4 00 02 04 06 08 ambulant Stufe 1 00 05 10 15 20 ambulant Stufe 2 0 1 2 3 4 5 ambulant Stufe 3 00 05 10 15 20 00 05 10 15 20 25 30 unddielog-funktionechtmonotonwachsendist,kannmandenplotfolgendermaeninterpretie- Abbildung47:Andersen-PlotsunterteiltnachGeschlecht,x-Achse:Frauen,y-Achse:Manner renindenmonotonfallendenbereichenistdasimnichtparametrischenmodellbeobachteterela- tiverisikozwischenfrauenundmannerkleiner,alsdasnachdemproportional-hazard-modell 00 02 04 06 08 10 12 00 05 10 15 0 1 2 3 4 stationaer Stufe 1 stationaer Stufe 2 stationaer Stufe 3 Aalen-Verfahren(nichtparametrisch)geschatztenHazardfunktionen,danngilt Dierenzlogw logmdargestelltseienalsomit^w(t),bzw^m(t)diemitdemnelson- erwartetemitderhorizontalenlinieistdienachdemproportional-hazard-modellgeschatzte ZwundZmsinddiezugehorigenKovariablen-VektoreneinzelnenUntergruppe,zumBeispiel ^m(t)<exp(^tzw) ^w(t) exp(^tzm): hattederkovariablenvektorzwfurdiestationarpegebedurftigenderstufe1diewerte ZGeschlecht=1; ZStufe1=0; ZAlter=DurchschnittsalterstationarpegebedFrauen: ZStat=1; 0 1 2 3 4 5 6

44TESTAUFPROPORTIONALHAZARD 87 Loghazardw - Loghazardm -06-04 -02 00 02 Loghazardw - Loghazardm -08-06 -04-02 00 02 AuchbeidenPlotsfurdieKovariable\Pegeart"Abbildung49erkennenwir,dainPegestufe Abbildung48:DienrenzdesKumulativenHazardfurManner,bzwFrauen 1derAndersen-PlotnichtsehrgutderGeradendesnachModell(47)erwartetenrelativenRiskos 0 1000 2000 3000 0 1000 2000 3000 4000 ambulant Stufe 1 stationaer Stufe 1 TrendIndenStufen2und3folgendieAndersen-PlotsrelativgutdenGeraden,diedasnach sterben,zunachsthoheristundsichdanneinpendelt,beimannnernsiehtmandenumgekehrten folgthiersiehtman,dafurfraueninstufe1dasrelativerisikoinambulanterpegezu demproportional-hazard-modell(47)erwartetevehaltnisausdrucken HazardfunktionenfurStufe1(x-Achse)gegenStufe2(y,Achse,gestrichelteLinie),bzwStufe furdie4untergruppen(mannerambulant,,frauenstationar)diejeweiligenkumulativen ZuletztbetrachtenwirnochdieAndersen-PlotsfurdieKovariablePegestufe410Hierwurden 3(y-Achse,durchgezogeneLinie)geplottetWirerkennen,dadasVerhaltnisdeskumulativen HazardsfurStufe3zumkumulativenHazardfurStufe1nursehrunzureichenddurchdas Cox-RegressionsmodellbeschriebenwirdDieserkenntman,inunterschiedlicherAuspragung beiallen4plotsfurdhgeradezubeginnderpegezeitistzubeobachten mit^stufe3und^stufe1alsdenjeweiligennichtparametrischennelson-aalen-schatzernfurstufe ^Stufe3(t) ^Stufe1(t)>exp(^tZStufe3) exp(^tzstufe1)furkleinet 3,bzwStufe1dasheitalsogeradeinderZeitkurznachPegebeginnistinStufe3die SterbeintensitatniedrigeralsnachdemModellerwartetNachdergraphischenAnalysekann modelliertdiesesindimeinzelnen manzusammenfassendfolgendefeststellungtreen: FureinigeKovariablenistdasrelativeRisikomitdemProportional-HazardModellsehrgut RelativesRisikoFrauenzuMannern(inStufe2undStufe3)

88 KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG 00 02 04 06 08 10 12 00 02 04 06 08 Frauen Stufe 1 00 05 10 15 20 25 30 00 05 10 15 20 Frauen Stufe 2 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Frauen Stufe 3 00 05 10 15 20 00 05 10 15 20 25 30 Abbildung49:Andersen-PlotsunterteiltnachPegeart,x-Achse:ambulant,y-Achse:stationar RelativesRisikoambulantePegezustationarerPege(inStufe2undStufe3) 00 RelativesRisikoStufe2zuStufe1 02 04 06 08 10 00 05 10 15 0 1 2 3 4 Maenner 1 Maenner 2 Maenner 3 EineschlechteProportional-Hazard-Modellierungerhaltmanfur RelativesRisikoambulantePegezustationarerPege(inStufe1) RelativesRisikoFrauenzuMannern(inStufe1) Mansieht,dahiernocheineunzureichendeModellierungderRealitatvorliegt,allemAnschein nachverandernsichdieeinigekoezientenmitderpegedauer(vorallemfurdiekovariablestufe)diesezeitlicheveranderungvonkoezientenwolllenwirnunmitderhilfevon RelativesRisikoStufe3zuStufe1 Schoenfeld-Residuen(sieheAbschnitt379)genaueranalysieren gedauertzubekommen,plottenwirdendurchglattung(mitders-plusfunktioncoxphzph, UntersuchungderzeitlichenAbhangigkeitderRegressionskoezienten UmeinGefuhlfureventuellezeitlicheAbhangigkeitvonRegressionskoezientenvonderPe- 0 1 2 3 4 5 6

44TESTAUFPROPORTIONALHAZARD 89 0 1 2 3 4 00 02 04 06 08 Frauen ambulant 0 1 2 3 4 5 00 02 04 06 08 10 Maenner ambulant 00 10 20 30 Abbildung410:Andersen-PlotsunterteiltnachPegestufe,x-Achse:Stufe1,y-Achse:Stufe2 (durchgezogenelinie)bzwstufe3(gestricheltelinie) 00 02 04 06 08 10 12 00 05 10 15 20 Frauen stationaer Maenner stationaer 411)DiegestricheltenLiniensind95%-KondenzbanderfurdenErwartungswertDersoerhaltenePlotgibteinIndizfurdiequalitivenEntwicklungdesRegressionskoezientenin ErwartungswertvonskaliertenSchoenfeld-Residuen(351)gegendiePegedauert(Abbildung alsglatterverwendenwireinenkubischensplinemit40aquidistantenstutzstellen)geschatzten AbhangigkeitvonderPegedauer festzustellenist(vorallemindenzeitbereichenzwischen0und2000tagen,alsoindenbereichen,indenenvielebeobachtungenvorliegen)insbesondereerkenntmanindiesemzeitintervall Manerkennthier,dafurfastalleKovariablenimKoezienteneinestarkeZeitabhangigkeit eine\trendwende",dhvielederkurvenhabenimzeitbereichvonca1000tageneinlokales Maximum,bzwMinimumBetrachtetmanzumBeispieldiePlotsfurdieKovariablefurStufe ca1000tageneinlokalesminimumerreichtistdanacherkenntmannurnocheineleichte (imvergleichzustufe1)amanfangvielhoheristunddannfallt,bisbeieinemzeitpunktvon 2(rechts,oben)undStufe3(links,2vonoben),siehtman,dadasrelativeRisikozusterben VeranderungdesKoezientenMitfolgenden2SchrittenversuchenwirnundasModellnoch 0 1 2 3 4 5 6

90 KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG Beta(t) for Age -005 00 005 010 015 Beta(t) for Art -5 0 5 10 15 20 Beta(t) for Zsex -30-20 -10 0 Beta(t) for LevelStufe2-2 -1 0 1 2 0 2000 4000 6000 8000 0 2000 4000 6000 8000 0 2000 4000 6000 8000 0 2000 4000 6000 8000 Time Time Time Time Beta(t) for LevelStufe3-2 -1 0 1 2 3 4 Beta(t) for thetam -3-2 -1 0 1 2 Beta(t) for thetaw -2-1 0 1 2 Beta(t) for Age:Art -020-010 00 005 0 2000 4000 6000 8000 Time 0 2000 4000 6000 8000 Time 0 2000 4000 6000 8000 Time 0 2000 4000 6000 8000 Time Beta(t) for Age:Zsex 00 01 02 03 04 derregressionskoezienten Abbildung411:GeglatteteSchoenfeld-ResiduenzurBestimmungderfunktionalenAbhangigkeit zuverbessern: 0 2000 4000 6000 8000 0 2000 4000 6000 8000 0 2000 4000 6000 8000 0 2000 4000 6000 8000 Time Time Time Time UmdenZeitpunkteiner\globalenTrendwende"t0zunden,betrachtenwirzunachst einmodell,indemfurpegedauerntt0undt>t0separatregressionskoezienten geschatztwerdendiesesmodellkannfolgendermaendargestelltwerden: Hiersind (t)=0(t)exp[tz(t)+zt0(t)(tz(t))]: Zt0=(1tt0 Z(t)2IR12 0sonst; derkovariablenvektorausmodell(47)und ;2IR12 Beta(t) for Zsex:Art -2-1 0 1 2 3 Beta(t) for ArtLevelStufe2-4 -2 0 2 4 Beta(t) for ArtLevelStufe3-4 -2 0 2 4

44TESTAUFPROPORTIONALHAZARD 91 Log-Likelihood -15860-15850 -15840-15830 -15820-15810 vonseparatenkoezientenfurpegedauerntt0undt>t0 Abbildung412:EntwicklungdesLog-LikelihoodfurverschiedeneWertevont0beiSchatzung diezuschatzendenparameterfurdiesesmodellmaximierenwirdenpartiellenlog- 0 500 1000 1500 2000 2500 IneinemzweitenSchrittschatzenwirdierenziertfurjedeeinzelneKovariablenausModell LikelihoodinAbhangigkeitvont0 BeispielerhaltenwirfurdieKovariableAlterfolgendeDarstellungderHazardfunktion: (47)separateKoezientenfurPegedauernTt0undT>t0umdamitdieKoezientenzubestimmen,beidenendiegroteAbhangigkeitvonderPegedauervorliegtZum WiederumsindZ(t)derVektorausModell(47)und (t)=0(t)exp[zalter(t)zt0(t)+tz(t)]: diezuschatzendenparameter 2IR;2IR12 mitdempaketcoxphauss-plusnichtzurealisierenumdieszuermoglichenmusstediedesignmatrixanjedemzeitpunkt,andemeinereignisbeobachtetwird,neuberechnetwerdenfurenabhangigkeit(t)=0+1t)istmitdemproportional-hazard-schatzergenerellmoglich, Bemerkung:EinezeitstetigeModellierungvonRegressionskoezienten(zBinFormeinerlinea- jedembeobachtungspunkteinenneuenkovariablenvektorinabhangigkeitvonderbeobach- kleinedatensatzekannmandiesnocherreichen,indemmandendatensatzaufsplittetundan gestufeundpegeartmodelliert,hieristdiezeitabhangigkeitjedochinformeinerstuckweise tungszeitdeniert(mitdiesertechnikwurdenauchdiezeitabhangigenkovariablenfurpe- konstantensprungfunktionvorgelegen)

92 t0verhaltmanerkennteinglobalesmaximumfurt0=450tagederwertdeslog-likelihood InAbbildung412sehenwirzunachst,wiesichderLog-LikelihoodfurverschiedeneWertevon KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG Umzuerkennen,inwelcherKovariablendiestarkstezeitlicheVariationimKoezientenvorliegt, (47)(miteinemWertvon1587479)ist betragtandieserstelle-1580616,waseinewesentlicheverbesserungimvergleichzumodell wurdefurjedeneinzelenkoezientenausmodell(47)einseparaterkoezientfurpegedauern Tt0,sowieT>t0berechnetundgegent0geplottet(Abbildung413) Alter Art Geschlecht Stufe2 Log-likelihood -15870-15860-15850-15840-15830 Log-likelihood -15870-15860-15850-15840-15830 Log-likelihood -15870-15860-15850-15840-15830 Log-likelihood -15870-15860-15850-15840-15830 0 500 1000 1500 2000 2500 Pflegedauer Stufe3 0 500 1000 1500 2000 2500 Pflegedauer thetaw 0 500 1000 1500 2000 2500 Pflegedauer thetam 0 500 1000 1500 2000 2500 Pflegedauer Alter X Art Log-likelihood -15870-15860-15850-15840-15830 Log-likelihood -15870-15860-15850-15840-15830 Log-likelihood -15870-15860-15850-15840-15830 Log-likelihood -15870-15860-15850-15840-15830 0 500 1000 1500 2000 2500 Pflegedauer Alter X Geschlecht 0 500 1000 1500 2000 2500 Pflegedauer Art X Geschlecht 0 500 1000 1500 2000 2500 Pflegedauer Art X Stufe2 0 500 1000 1500 2000 2500 Pflegedauer Art X Stufe3 Log-likelihood -15870-15860-15850-15840-15830 Log-likelihood -15870-15860-15850-15840-15830 Log-likelihood -15870-15860-15850-15840-15830 Abbildung413:EntwicklungdesLog-LikelihoodfurverschiedeneWertevont0beiSchatzung InAbbildung413erkennenwirvorallemfurdieKovariableAlter,sowiefurPegestufe2und3 vonseparatenkoezientenfurpegedauerntt0undt>t0 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 2500 0 500 1000 1500 2000 2500 Pflegedauer Pflegedauer Pflegedauer Pflegedauer einestarkeverbesserungdeslog-likelihoodbeiderschatzungderjeweiligenkoezientenfur DahermodizierenwirdasModell(47)undschatzenfurdieKovariablenAlterundPegestufe imlog-likelihood(hinsichtlichdesp-wertfurdenlokalenlikelihood-ratio-test) Tt0undT>t0InTabelle415erkenntmanalle3KovariableneinesignikanteVerbesserung KoezientenseparatfurTt0undT>t0Technischwurdedieserreicht,indemwirzuden Log-likelihood -15870-15860-15850-15840-15830

44TESTAUFPROPORTIONALHAZARD Kovariable t0 LL(ModellfurTt0,T>t0)LL(Modell(47)) p-wert 93 ZStufe2 ZStufe3 ZAlter 400 125 75-1582959 -1586669-1584582 -1587479 2:710 14 5:610 5 <10 15 Tabelle415:MaximumdesLog-LikelihoodfurseparateSchatzungderKovariablenfurAlter, Koezientenin(47)dreiweitereKovariablenZ75,Z125,sowieZ400mit Stufe1undStufe2(unterteiltnachPegedauernTt0undT>t0) einfuhrtenunddereninteraktionmitdenjeweiligenvariablenfuralter,stufe2undstufe3 Zt0(t)=(1tt0 betrachtetenfurdiesesmodellverbessertsichderlog-likelihoodauf158014manerkennt 0sonst ZAlterZ400 Variable Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik -00327 00401 1041 0968 00041 00035-947 965 <10 15 p-wert ZGeschlecht ZStat -00531 07986 2222 0948 03214 04004-013 249 0:01 ZStufe2Z75-08080 08011 2228 0446 00733 04982 1093-162 0:89 ZStufe3Z125 16420 1135 5165 3113 00752 01828 2183 621 5:210 10 <10 15 0:10 ZAlterZGeschlecht Zm Zw -01206 01815 1199 0886 00743 01052 2443-115 0:02 ZAlterZStat -00141 00093 0986 1009 00045 00047-313 199 1:810 3 0:25 ZGeschlechtZStat ZStatZStufe2-04257 -03420 0653 0710 00996 01448-427 -236 1:910 5 005 ZStatZStufe3-06533 0520 01393-469 2:710 6 002 speziellfurpegestufe3,dageradedieersten400tage(alsoungefahrdaserstejahr)das T>t0furAlterundStufe Tabelle416:GeschatzteKoezientenimModellmitseparatenKoezientenfurTt0und wurdediemodellierungstetigvonderzeitabhangigerkoezienteneineverbesserungdesmodellsergebenausvorhergenanntengrundenwareineschatzungvonkoezientenfurdiese RisikozusterbenimVergleichzuPegestufe1extremhochistWieschonvorhererwahnt, ModellierungaufgrundderGroedesDatensatzesnichtzurealisierenDahermochteichandie-

94 serstellemitderanalysedersterbeintensitatenendenundspater,beiderentwicklungeines Versicherungsmodells,dieinTabelle416dargestelltenErgebnisseverwenden KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG AbhangigkeitvonverschiedenenEinufaktorenbeschaftigtIneinemweiterenSchrittwollen 45 BisjetzthabenwirunsnurintensivmitdemEreignis\ToddesPegebedurftigen"unddessen ModellierungderZustandsubergange wirnundieubergangezwischendenverschiedenenpegeartenund-stufengenaueruntersuchen MitHilfezweierverschiedenerModellesollenderDatensatzhinsichtlichfolgendeFragestellungen untersuchtwerden: FluktuationimBestandhinsichsichtlichPegeart(ambulant,stationar) sitaten,bzwwahrscheinlichkeitenhergeleitetwerden MitHilfederinAbschnitt25entwickeltenTheoriesollenfurdieseModelleUbergangsinten- FluktuationimBestandhinsichtlichPegestufe 451ModellierungderZustandsubergangezwischenambulanterundstationarerPege ImfolgendensollnunzunachstMarkov-Modellmitden3verschiedenenZustanden:ambulante Pege,stationarePegeundTod,betrachtetwerdenDieMarkoveigenschaftspiegeltsichinder indemsichdiepegebedurftigepersonzumzeitpunkttbendetundeinemkovariablenvektor Z(t)(Alter,Pegestufe,GeschlechtundeventuellInteraktionen)nichtjedochvonderbisherigen Annahmewieder,daUbergangsintensitaten(t)nurvonderPegedauertundvomZustand, PegehistorieabhangenEinBeispielfurdieModellierungeinesMarkov-ModellsfurKnochentransplantationsdatenndetmanzumBeipielindemdemArtikelvonKleinundKeiding(1994) [24] IneinemerstenSchrittsollendieUbergangsintensitatenij(t);i2f1;2;3g;j2f1;2;3gzu zweitenschrittwerdendannmithilfedergeschatztenintensitaten,dieubergangswahrscheinlichkeitenpij(z;t)ztberechnet deninabbildung414schematischdargestelltenzustandsubergangegeschatztwerdenineinem bzw23(t)eineausfuhrlicheuntersuchungimvorherigenabschnittdurchgefuhrthabeninsgesamtwurden590ubergangevonambulanterzustationarerpegeund28ubergangevositatenzwischenambulanterundstationarerpege,dawirfurdiesterbeintensitaten13(t), BeiderSchatzungderIntensitatenkonzentrierenwirunsvorallemaufdieUbergangsinten- stationarerzuambulanterpegebeobachtet MitHilfederZahlprozenotationfurdenProportional-HazardkonnenwirzurSchatzungdieser

45MODELLIERUNGDERZUSTANDSUBERGANGE 12(t) 95 13(t) 21(t) 23(t) IntensitateneinProportional-Hazard-ModellttenDabeiinteressierenunsfolgendeZahlprozesseN12(t)=#UbergangevonambulanterzustationarerPegebiszumZeitpunktt; furdiewirdiekompensator-,oderkumulativehazardfunktion N21(t)=#UbergangevonstationarerzuambulanterPegebiszumZeitpunktt; Abbildung414:SchematischeUbersichtderZustandsubergangeambulantstationar ineinemproportional-hazard-modellschatzenzunachstgehenwirdavonaus,daijfolgende ij(t)=zt Darstellunghatij(t)=ij0(t)exp[1ZAlter(t)+2ZGeschlecht+3ZStufe2(t) 0ij(u)dui;j2f1;2gi6=j onarerzuambulanterpegeerhaltmandieintabelle417dargestelltenkoezientenbeieinem miteinemunspeziziertenbasis-hazardij0(t)furdieubergangsintensitat12(t)vonstati- +4ZStufe3(t)]i;j21;2i6=j; (48) Signikanzniveauvon5%habenalleKovariablenbisaufZStufe3(derp-Wertliegthierbei019) InteraktionenzwischenKovariablenuntersuchenFurdieUbergangevonstationarerzuambu- signikanteneinuaufdasmodelldiesesmodellwerdenwirspaternochgenauerhinsichtlich ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik 00305 03842 103 147 00038 00956 799 402 1:210 15 5:910 5 p-wert ZStufe2 ZStufe3 03191 01661 138 118 00912 01279 350 130 4:610 4 Tabelle417:GeschatzteKoezientenfurdieUbergangsintensitat12 1:910 1 p-wertderlikelihood-ratio-statistikfurdengesamteinuderkovariablenvon0192(wert lanterpegekannmanfurkeinekovariableeinensignikanteneinufeststellenauchder 1: ambulante Pflege 3: tot 2: stationaere Pflege

dafur,dakeinsignikanterproportional-hazarderkennbarist,istwohldieextremniedrige 96 derteststatistikist609bei2verteilungmit4freiheitsgraden)istrelativhocheingrund KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG keitenherleitendieanwendungvon(223)fuhrtzufolgendemdierentialgleichungssystem: MitHilfederKolmogorov-DierentialgleichungenkonnenwirnundieUbergangswahrscheinlich- AnzahlanUbergangenvonstationarerzuambulanterPege ddtp11(z;t)=p12(z;t)21(t) P11(z;t)(12(t)+13(t)); ddtp12(z;t)=p11(z;t)12(t) P12(z;t)(21(t)+23(t)); ddtp13(z;t)=p11(z;t)13(t)+p12(z;t)23(t); ddtp22(z;t)=p21(z;t)12(t) P22(z;t)(21(t)+23(t)); ddtp21(z;t)=p22(z;t)21(t) P21(z;t)(12(t)+13(t)); DieDierentialgleichungenfurdieVerweilwahrscheinlichkeitenlauten: ddtp23(z;t)=p22(z;t)23(t)+p21(z;t)13(t): ddtp11(z;t)= P11(z;t)(12(t)+13(t)); (49) ddtp22(z;t)= P22(z;t)(21(t)+23(t)): gestellthaben,daeskaumstufenubergangevonstationarerzuambulanterpegegibt,wollen EineexpliziteLosungdesDientialgleichungssystems(49)istnichtmoglichDawirjedochfest- (410) gehendavonaus,da21(t)=0furallet)diedierentialgleichungen(49)vereinfachensich wirimfolgendendieubergangevonstationarerzuambulanterpegevernachlassigen(dhwir somitzu ddtp11(z;t)= P11(z;t)(12(t)+13(t)); ddtp13(z;t)=p11(z;t)13(t)+p12(z;t)23(t); ddtp12(z;t)=p11(z;t)12(t) P12(z;t)23(t); ddtp22(z;t)= P22(z;t)(21(t)+23(t)); InsbesonderewerdendieZustande2und3zustrikttransientenZustanden,dh ddtp23(z;t)=p22(z;t)23(t): (411) P11(z;t)=P11(z;t); P22(z;t)=P22(z;t):

DieseDierentialgleichungenlassensicheinfachlosenFurdieVerweilwahrscheinlichkeitenin 45MODELLIERUNGDERZUSTANDSUBERGANGE Stufe1erhaltmaneineLosungdurchIntegration 97 wasaquivalentistzulog(p11(z;t)) log(p11(z;z)) Zt zddtp11(z;s) P11(z;s)ds= Zt z [12(s)+13(s)]ds; sodamanmit =0 {z } = Zt P11(z;t)=exp Zt z[12(s)+13(s)]ds z[12(s)+13(s)]ds; einelosungerhaltanalogesvorgehenergibtfurdieverweilwahrscheinlichkeitinstufe2p22(z;t) UmdieUbergangswahrscheinlichkeitP12(z;t)zuerhalten,mussenwirdieDierentialgleichung P22(z;t)=exp Zt z23(s)ds: mittelsvariationderkonstanten(zbinkonigsberger(1992)[20]seite270)losenzuerstbestimmenwirdielosungeny(z;t)deshomogenensystems ddtp12(z;t)= 23P12(z;t)+P11(z;t)12(t) diegegebensinddurch ddty(z;t)= 23(t)y(z;t); EinepartikulareLosungderinhomogenenDierentialgleichungist y(z;t)=cexp Zt z23(s)ds c2ir: P12(z;t) Fubini = Zt zp11(z;s)12(s)expzt zp11(z;s)12(s)dsexpzt z23(u)duds sodawirnunallelosungenderdierentialgleichungangebenkonnen P12(z;t)=Zt zp11(z;s)12(s)dsexpzt z23(u)du+cexp Zt z23(u)du; UnterBerucksichtigungderRandbedingung z23(s)ds diefurc=0erfulltist,erhaltmanalslosung dz!0ddtp12(z;z+dz)=lim 0P11(z;z+dz)!1 {z } 12(z+dz) P12(z;z+dz)!0 {z } 23(z+dz)=12(z); P12(z;t)=Zt zp11(z;u)12(u)p22(u;t)du:

98 DieUbergangswahrscheinlichkeitenfurP23erhaltenwirdurchIntegration KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG P23(z;t)=Zt zp22(z;u)23(u)du zexp Zu = exp Zu Stammfunktion:exp( Ru z23(s)ds23(u) z23(s)ds 1=1 P22: {z z23(s)ds) } ZuletzterhaltendieverbleibendeUbergangswahrscheinlichkeitP13(z;t)alsDierenz KommenwirnunnocheinmalaufdieIntensitatenfurdenUbergangvonambulanterzustationarerPegezuruckAuchhierwollendurchweitereAnalysenunsereModellwahloptimieren P13(z;t)=1 P11(z;t) P12(z;t): bulanterzustationarerpegedaraninteresssiert,obsignikanteinteraktionenzwischenden ModellierungeventuellvorhandenerInteraktionen verbleibendenkovariablenzalter,zgeschlechtundzstufebestehendazuschauenwirunsdie WieauchbeiderHerleitungderSterbeintensitatensindwirauchbeidenUbergangenvonam- EntwicklungdesLog-Likelihood(bzwdasAIC)fureinModellmitallenInteraktionenimVergleichzumModellohneInteraktionenan(Tabelle451) alleinteraktionen ohneinteraktion Log-LikelihooddfAIC(n=2) -408010-407844 11 4 816820 Tabelle418:AIC-KriteriumfurModellohneInteraktionundModellmitallenInteraktionen 817888 betrachten (um174)erhoht,sodaeswohlnichtsinnvollisteinuminteraktionenerweitertesmodellzu Hiersiehtman,dadieHinzunahmevonInteraktionendenLog-Likelihoodnurminimal

452ModellierungderZustandsubergangezwischendenverschiedenenPegestufen 99 45MODELLIERUNGDERZUSTANDSUBERGANGE Insgesamtwurden1334Stufenubergangebeobachtet,derenempirscheHaugkeitinTabelle419 standsubergangefurdieverschiedenenpegestufenbeschreibt AnalogzumVorgeheninAbschnitt451betrachtenwirhiereinMarkovmodell,dasdieZu- 12(t) 13(t) 23(t) 14(t) 24(t) 34(t) Pegestufen dargestelltist Abbildung415:SchematischeUbersichtderZustandsubergangezwischendenverschiedenen Stufe1 Stufe2Stufe1Stufe2Stufe3 Stufe3 64 { 5 624 34 { 135 472 Tabelle419:AnzahlderStufenubergangeimDatensatz { erkenntalsoauchhiereinenwesentlichentrendzurverschlechterungdahersollenbeiunseremmodellwiederdievereinfachendeannahmegetroenwerden,dadieubergangintensitatedesanpegebedurftigkeit),nur103pegebedurftigewechseltenineinebesserepegestufeman Insgesamtkonntenwirbei1231UbergangeneineVerschlechterung(dheineErhohungdesGrasitatenRt012(s)ds,Rt013(s)dsundRt023(s)dsalsKompensatorenderZahlprozesse: 31(t)=21(t)=32(t)=0sindWiederumschatzenwirdiekumulativenUbergangsinten- N12(t)=#UbergangevonPegestufe1zuPegestufe2biszumZeitpunktt; N13(t)=#UbergangevonPegestufe1zuPegestufe3biszumZeitpunktt; N23(t)=#UbergangevonPegestufe2zuPegestufe3biszumZeitpunktt 1: Stufe 1 2: Stufe 2 4: tot 3: Stufe 3

100 einemproportional-hazard-modellan,dh undnehmenwiederumeineabhangigkeitindenkovariablenzgeschlecht,zalter,zstatnach KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG mit tz(t)=1zalter(t)+2zgeschlecht+3zstat(t): ij(t)=ij0exp(tz(t))i;j2f1;2;3gi<j; (412) MitdemAnsatz(412)erhaltenwirdieindenTabellen420-422aufgefuhrtenKoezienten ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik 00206 00007 102 100 00032 00909 6041 0007 1:510 9 p-wert ZStat 00363 104 01076 0338 0:99 Tabelle420:GeschatzteKoezientenfurdieUbergangsintesitat12 0:74 ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistikp-Wert ZStat 01452-0368 0035 104 070 116 00087 01873 02234-197 398 065 710 5 0:05 Tabelle421:GeschatzteKoezientenfurdieUbergangsintesitat13 0:52 ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik 00106 01735 101 084 00032 00996-174 333 8:810 4 p-wert ZStat 01271 088 01109-115 0:08 Tabelle422:GeschatzteKoezientenfurdieUbergangsintesitat23 0:25 jeweilseinzelnfurdieubergangsintensitaten12(t),13(t),23(t)dieentwicklungdeslog- ModellierungvonInteraktionen Umzuerkennen,obInteraktionensignikantenEinuaufdasModellhaben,betrachtenwir LikelihoodimModellDieErgebnissesindinTabelle423aufgefuhrt Wirerkennen,dasichnurbeiderSchatzungderUbergangangsintensitaten12(t)einesigni- denkanndaherttenwirnuneincox-regressionsmodellfur12(t)indemalleinteraktionen kanteverbesserungdeslog-likelihoodsunddamitauchdesaic-kriteriumbeobachtetwer-

45MODELLIERUNGDERZUSTANDSUBERGANGE Modell Log-LikelihooddfAIC(n=2) 101 12alleInteraktionen 13alleInteraktionen -39652-39547 8499 79364 79234 23alleInteraktionen ohneinteraktion -29751-8470 3 17058-29729 7 17080 59562 Tabelle423:AIC-KriteriumfurModellohneInteraktionundModellmitallenInteraktionenfur 59598 berucksichtigtsind,dh dieubergangsintensitaten12(t),13(t)und23(t) 12(t)=120(t)exp(1ZAlter(t)+2ZGeschlecht+3ZStat(t) +6ZGeschlechtZStat(t)+7ZAlter(t)ZGeschlechtZStat(t)) +4ZAlter(t)ZGeschlecht+5ZAlter(t)ZStat(t) (413) Hiersehenwireinestarke3-Faktor-InteraktionzwischenAlter,GeschlechtundPegeart(sieheTabelle424),sodawirspaterbeidenKalkulationenimVersicherungsmodellauf(413) zuruckgreifenwerden ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistikp-Wert -08544 00143 101 043 00047 05588-153 306 0:002 ZAlterZGeschlecht ZStat -107437 2:610 5 35743-301 0:130 ZAlterZStat 00099 01221 101 113 00069 00407 142 300 0:150 0:003 0:03 ZAlterZGeschlechtZStat ZGeschlechtZArt 117833-01323 1:31105 088 37654 00429-308 313 Tabelle424:GeschatzteKoezientenfurdieUbergangsintesitat12beiBerucksichtigungaller 0:002 Interaktionen AusTabelle423siehtman,dakeinesignikantenInteraktionseektefur13(t)und23(t)vorhandensindBeiBetrachtungderZustandsubergangevonZustand1inZustand3(13(t))sowie vonzustand2inzustand3(23(t))erkenntmankeinesignikanteabhangigkeitderubergangsintensitatvonderkovariablezstat(diekorrespondierendenp-wertebetragen052,bzw025), sodawirdiesekovariableimfolgendennichtberucksichtigenunddieintensitatsfunktionen

102 KAPITEL4DATENANALYSEZURGESETZLICHENPFLEGEVERSICHERUNG ZGeschlecht Variable ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistikp-Wert -0368 0035 104 070 00087 01873-197 398 710 5 Tabelle425:GeschatzteKoezientenfurdieUbergangsintesitat13 0:05 modellierenmit MitdenModellen(414)und(415)erhaltenwirdieTabellen425und426aufgefuhrtenKoef- 23(t)=230(t)exp[1ZAlter(t)+2ZGeschlecht]: 13(t)=130(t)exp[1ZAlter(t)+2ZGeschlecht;] (415) (414) zientenvariable ZGeschlecht ZAlter Koezientexp(Koe)SE(Koe)z-Statistik -0359 0035 104 070 00087 01865-192 406 4:810 5 p-wert Tabelle426:GeschatzteKoezientenfurdieUbergangsintesitat23 0:06 bestimmenmanerhalt DieUbergangswahrscheinlichkeitenkannmanwiederummitHilfederDierentialgleichungen P11(z;t)=exp Zt P22(z;t)=exp Zt P33(z;t)=exp Zt z[12(u)+13(u)+14(u)]du; z[23(u)+24(u)]du; P34(z;t)=1 P33(z;t); P23(z;t)=Zt zp22(z;u)23(u)p33(u;t)du; z34(u)du; P24(z;t)=1 P22(z;t) P23(z;t); P12(z;t)=Zt P13(z;t)=Zt zp11(z;u)12(u)p22(u;t)du; P14(z;t)=1 P11(z;t) P12(z;t) P13(z;t): z(p11(z;u)13+p12(z;u)23(u)p33(u;t); MitdiesenVorbereitungenkonnenwirunsnunderKonstruktioneinesVersicherungsmodells zuwenden (416)

Kapitel5 Versicherungsmodells Entwicklungeines MitHilfederin25hergeleitetenTheoriezuMarkov-Prozessenundderin45hergeleitetenUbergangsintensitatensollnuneinVersicherungsmodellzurPegeversicherungentwickeltwerden dargestelltsindeinesehrausfuhrlichedarstellungzuranwendungvonmulti-state-modellen inderpersonenversicherungndetmaninhaberman(1999)[19]aufgrundlagenderklassischenlebensversicherungwerdenwirindiesemabschnittnursoweitwienotigeingehen,eine DazusindabernocheinigevorbereitendeDenitionennotig,dieimfolgendenAbschnittkurz und-kalkulationinderpegeversicherung,sowiestatistischesrohmaterialzurgewinnungvon cherungdermunchenerruck(1992)[36]ndetmanausfuhrlichemodellezurproduktgestaltung DarstellungdiesesThemasistinGerber(1997)[16]gegebenIndemHandbuchzurPegeversi- Rechnungsgrundlagen ZustandsraumZ=f1;;ngbeschriebenwerden,dasheit DieEntwicklungeinesversichertenRisikoskannalszeitstetigerMarkov-ProzeSmitendlichem 51 VersicherungalsMarkov-Proze HieristT=[0;);<1dasIntervallvonVersicherungsbeginnbisVersicherungsendeDer VersicherungsprozewirdimMarkovprozealsein(zustandsabhangiger)ZahlungsstromzwischendemVersicherten,oderVersicherungsnehmer(kurz:VN)unddemVersicherer(kurz:VR) S:T7!f1;;ng: Dieeinmaligen,oderkontinuierlichenZahlungendesVersichertenandenVersichererheienBeitrageoderPramien,diedesVersicherersandenVersicherungsnehmerLeistungenFurdieUbergangswahrscheinlichkeitenund-intensitatenverwendenwirdieBezeichnungenausAbschnitt25 103

104 511Zahlungsfunktionen KAPITEL5ENTWICKLUNGEINESVERSICHERUNGSMODELLS Denition51(Zahlungsfunktionen)FurdenVersicherungsprozeS(t)sindfolgendeZahlungsfunktionendeniert ZustandabhangigeZahlungsfunktionen: UmdenZahlungsstrombeschreibenzukonnen,deniertmannunfolgendevonZeitpunktund (ii)bi(t):einestetigerente,dievomversichererbezahltwird,solangesichderversicherungsnehmerimzustandibendet (i)pi(t):einestetigepramie,diedervnbezahlt,solangeersichimzustandibendet (iii)cij(t):diezahlungeinerbestimmtensummefallsderversichertevomzustandiinden (iv)di(t0):diezahlungeinerbestimmtensumme,fallssichderversicherungsnehmerzum Zustandjwechselt Beispiel52(gemischteLebensversicherung) Zeitpunktt0imZustandibendet DerVersicherungsnehmerzahlthierbiszueinembestimmtenZeitpunktt0(zumBeispielbis zumalter65jahre)einenstetigenbeitragderhohepfallsderversicherungsnehmerstirbt, DiegemischteLebensversicherungistinDeutschlanddiehaugsteArtderLebensversicherung BeiderModellierungalsMarkov-ModellinteressierenbeidiesemModellnurdieZustandetot spatestensaberzumzeitpunktt0zahltderversicherereineeinmaligeleistungderhohec undlebendig(abbildung51)derzahlungsstromfurdieseversicherungsiehtwiefolgtaus c12(t)=(ct<t0 p1(t)=(pt<t0 d1(t0)=c; bi(t)=0i=1;2: 0sonst; Abbildung51:ZustandsubergangeinLebensversicherungsproze 1 2 1:lebendig 2:tot Beispiel53(privateAltersrente)DerVersicherungsnehmerzahltsolangeerlebt,jedoch maximalbiszueinembestimmtenaltert0einestetigepramieunderhaltabeinemalter

denzustandsubergangeinabbildung51skizziertalszahlungsstromfurdiesesmodellerhalten t1t0einestetigerentederhohebauchfurdiesesbeispielsinddieunsinteressieren- 51VERSICHERUNGALSMARKOV-PROZESS 105 wir p1(t)=(pt<t0 b1(t)=(btt1 0sonst; 512BerechnungvonBarwertenundErwartungswerten c12(t)=0: jedemzeitpunkttmuderwerteinernanziellenleistungermitteltwerdenkonnendieserreichtmanmittelseinersogenanntenzinsstrukturimunseremfallsolldieeinfachstenanzielle UmBarwerteberechnenzukonnenbenotigtmaneinenanzielleStruktur,dasbedeutet,zu Strukturangenommenwerden,dasheitwirbetrachteneinModellmitstetigerZinsstrukturund konstanterzinsintensitat(t)=diediskontierungsfunktionhatdamitdenwert: SeimitvderjahrlicheDiskontierungsfaktorbezeichnet,sogilt: exp Zt 0ds=e t: zumzeitpunktt<ugenausovielgeldanlegen,daerzumzeitpunktudurchstetigeverzinsung Bemerkung:DieZinsintensitatlatsichfolgendermaeninterpretieren:EinAnlegermochtezum v=e : Anlegergenau: mitzinsintensitatdenwert1erhaltfallstunduindiezeitinjahrenangibt,benotigtder Nunkonnenwirdie(zufalligen)BarwerteeinerLeistungfurdieinDenition51deniertenZahlungsfunktionenangebenDieseBarwertesindsozusagenderWerteinerLeistungzumZeitpunkt tds=e (u t)=vu t: exp Zu nenwerdenfolgende(zufalligen)barwertedeniert: Denition54(Barwert)FurdieinDenition51(i)-(iv)beschriebenenZahlungsfunktio- t,fallsdieleistungzumzeitpunktu,bzwimzeitintervall[u1;u2)erbrachtwerden (i)derbarwerteinerstetigenpramiepjzumzeitpunkttistfolgendermaendeniert furdenpramienbarwertuberdasintervall[u1;u2)mittu1<u2erhaltman Ypj t(u;u+du):=vu ti(s(u)=j)pj(u)du: Ypj t(u1;u2):=zu2 u1vu ti(s(u)=j)pj(u)du:

106 (ii)analogistderbarwertfureinestetigerentebjzumzeitpunkttfurdasintervall[u1;u2) KAPITEL5ENTWICKLUNGEINESVERSICHERUNGSMODELLS (iii)derbarwerteinereinmaligenzahlungcijbeiubergangvonzustandinachzustandjist Ybj t(u1;u2)=zu2 u1vu ti(s(u)=j)bj(u)du: (iv)zuletzterhaltenwirnochfureineeinmaligezahlungdj(t0),diederversicherungsnehmer Ycij erhalt,fallsersichzumzeitpunktt0imzustandjbendet t(u)=vu ti(s(u )=i^s(u)=j): 513AktuarielleWerte Ydj t(t0)=vu ti(s(u)=j)dj(t0): liegenderzahlungsstromezwischendemversicherungsnehmerunddemversicherermodelliert haben,interessierenwirunsnunfurdiesogenanntenaktuariellenwerte,diedenerwartungswert(hinsichtlichdesmarkovprozessess)dieserzahlungsstromebeschreibenmithilfedieser NachdemwirinAbschnitt512mitdenBarwertendenWertverschiedenerinderZukunft ZustandidesVersicherungsprozessesSbendetistderaktuarielleWerteinerZahlungsfunktionfureinenZeitpunktubzwfureinZeitintervall[u1;u2)alsderfurdiesenZeitpunkt,bzw ZahlungsfunktionenbedeutetdiesimEinzelnen (i)deraktuariellewerteinerkontinuierlichenpramiepjfurdasinnitesimaleintervall Denition55(aktuarielleWerte)FureinenVersicherten,dersichzumZeitpunkttim aktuariellenwertekannspaterdasversicherungsmodellformuliertwerden -raumerwartetebarwert(gegebens(t)=i)deniertfurdieindenition51beschriebenen FurdasIntervall[u1;u2)erhaltmandenaktuariellenWert [u;u+du)ist E[Ypj E[Ypj t(u;u+du)js(t)=i]=vu tpij(t;u)pj(u)du: (ii)wiederumkannmananalogfureinestetigerentebj(t)denakturiellenwertangebenmit t(u1;u2)js(t)=i]=zu2 u1vu tpij(t;u)pjdu: (iii)fureinmaligezahlungenandenversicherungsnehmer,fallsdieservonzustandjinzustandkwechselt,cjk(u)bedeutetdies u1vu tpij(t;u)djdu: E[Ybj t(u1;u2)js(t)=i]=zu2 furdasintervall[u1;u2)istderaktuariellewert E[Ycjk E[Ycjk t(u1;u2)js(t)=i]=zu2 t(u)js(t)=i]=vu tpij(t;u)jk(u)cjk(u)du u1vu tpij(t;u)cjk(u)jk(u)du

51VERSICHERUNGALSMARKOV-PROZESS (iv)schlielicherhaltfureineeinmaligezahlungdesversichererszumzeitpunktt0denbarwert 107 514BeitrageundReserven E[Ydj(t0)jS(t)=i]=vt0 tpij(t;t0)dj(t0) DasjederVersicherungzugrundeliegendePrinzipistdasversicherungsmathematischeAquivalenzprinzipSaloppausgedrucktbesagtdiesesPrinzip,dajederVersichertefurseinenerwarteten SchadenselbstaufkommtFurdenZahlungsstrombedeutetdies,dazuPolicenbeginn(t=0) derbisherentwickeltenterminologielatsichdiesesaquivalenzprinzipwiefolgtbeschreiben tuariellenwertderzahlungsstromevomversicherungsnehmerzumversichererentsprichtin deraktuariellewertallerzahlungsstromevomversichererzumversicherungsnehmerdemak- Denition56FureinenVersicherungsprozeS(t)mitPolicenendedenierenwirmit Bi(t;)=Z +Z tvu t24xj2spij(t;u)bj(u)35du +X u:utvu t24xj2spij(t;u)dj(u)35 tvu t24xj2sxk6=jpij(t;u)jk(u)cjk(u)35du diesummeallererwartetenleistungenzumzeitpunktt,gegebens(t)=iundanalogmit diesummeallererwartetenpramienzumzeitpunktt,gegebens(t)=i Pi(t;)=Z tvu t24xj2spij(t;u)pj(u)35du MitdieserDentionlatsichdasAquivalenzprinzipnunfolgendermaenformulieren: cherungsmathematischeaquivalenzprinzipgenaudannerfulltwenngilt: Denition57(VersicherungsmathematischesAquivalenzprinzip)FureineVersicherungspolicemitEndzeitpunktundAnfangszustanddesversichertenRisikosS(0)=1istdasversirungspoliceerfulltDerGrunddafurliegtunteranderemanderTatsache,dadasversicherte GeradeinderPersonenversicherungistdasAquivalenzprinzipmeistnurzuBeginnderVersiche- P1(0;)=B1(0;): (51) bleibtwichtigindiesemzusammenhangist,dawahrenddergesamtenvertragslaufzeitgelten RisikomitwachsendemAlterimmergroerwird,dergezahlteVersicherungsbeitragabergleich mu P1(t;)B1(t;): (52)

108 wasbedeutet,dadererwartetezahlungsstromvonversicherungsnehmerzumversichererimmermindestensgenausogroist,wiederumgekehrtestromdergrunddafuristeinleuchtend, KAPITEL5ENTWICKLUNGEINESVERSICHERUNGSMODELLS Denition58FureinenVersichertenimZustandinenntmandieDierenzausaktuariellemWertallerBeitrageundaktuariellemWertallerLeistungenprospektiveReservezum Zeitpunktt nehmerwird,diepositiondesversichererswirdalsogestarkt aufdieseweisemochtemanverhindern,daderversichererzum\glaubiger"desversicherungs- (51)und(52)Randbedingungen,innerhalbderensichdieVersicherungspramiebewegenkann (51)istkeineeindeutigeBedingungfurdieGestaltungderVersicherungspramie,vielmehrsind Vi(t;)=Bi(t;) Pi(t;): WichtigeBeispielefurdieGestaltungderPramienstruktursind gleichbleibendejahrespramien:derversicherungsnehmerzahltinjahrlichenabstanden Einmalpramien:DerVersichertezahltdiegesamtePramiezuPolicenbeginn 52einenBeitraggleichbleibenderHohe BerechnungvonBeitragenfurPegeversicherungs-Modelle 1 4 3:stationarePege 2:ambulantePege 1:aktivlebend 2 3 4:tot IndiesenAbschnittwollenwirdarstellen,wiemitHilfederbisherigenErgebnissePegeversicherungsbeitragekalkuliertwerdenkonnenUmBerechnungenrealisierenzukonnenmussen Abbildung52:ZustandsubergangeinPegeversicherungsproze zunachstdiemarkov-modelleumeinenweiterenzustand,denwirimfolgendenmit\aktivlebend"bezeichnenerweiternindenabbildungen52bzw53sehenwirdiegraphendesatzbeobachtbarwaren,umrandetdademdatensatznurinformationenuberpegebedurftige soerweitertenmarkovmodellemitdergestricheltenliniesinddiezustande,dieimdaten- Insurance,aus[36]Anhang6,furdieUbergangevonaktivlebendzupegebedurftig) andererenquelleentnehmen(einjahrigepegefall-eintrittswahrscheinlichkeitencustodial-care- Versicherteentnehmbarwaren,werdenwirdieUbergangsintensitatenfur\aktivlebende"einer

52BERECHNUNGVONBEITRAGENFURPFLEGEVERSICHERUNGS-MODELLE109 1 5 2:Pegestufe1 3:Pegestufe2 1:aktivlebend 2 3 4 4:Pegestufe3 5:tot 521VersicherungsmodellmitZustandsubergangenzwischenambulanterund Abbildung53:ZustandsubergangeinPegeversicherungsproze dadieubergangsintensitatenfurdiezustande2,3und4schonalslosungdesdierentialgleichungssystems(411)vorliegenfurdenzustand1erhaltenwir4weiteredierentialgleichungen ddtp12(z;t)=p11(z;t)12(t) P12(z;t)(23(t)+24(t)); ddtp11(z;t)= P11(z;t)(12(t)+13(t)+14(t)); ddtp13(z;t)=p11(z;t)13(t)+p12(z;t)23(t) P13(z;t)34(t); BetrachtenwirnundasinAbbildung52skizzierteVersicherungsmodellZunachsterkenntman, stationarerpege FurdasDierentialgleichungssystemerhaltenwirfolgendeLosung ddtp14(z;t)=p11(z;t)14(t)+p12(z;t)24(t)+p13(z;t)34(t): P11(z;t)=exp Zt (53) P33(z;t)=exp Zt P22(z;t)=exp Zt z[12(u)+13(u)+14(u)]du; z34(u)du; z[23(u)+24(u)]du; P34(z;t)=1 P33(z;t); P23(z;t)=Zt P24(z;t)=1 P22(z;t) P23(z;t); P12(z;t)=Zt zp22(z;u)23(u)p33(u;t)du; P13(z;t)=Zt zp11(z;u)12(u)p22(u;t)du; P14(z;t)=1 P11(z;t) P12(z;t) P13(z;t): z[p11(z;u)13+p12(z;u)23(u)p33(u;t)]du; (54)

110DiskretisierungdesModells KAPITEL5ENTWICKLUNGEINESVERSICHERUNGSMODELLS DieRechnungsgrundlageninderklassischenLebensversicherungsmathematiksindnormalerweigeversicherungfurRechnungsgrundlageninderfolgendenNotationublich(mitTisthierdie ZufallsvariableLebensalterbezeichnet,zistdaserreichteLebensalter,fallsnachGeschlechtern seubergangswahrscheinlichkeitenfureinendiskretenzeitraumsosindimbereichderpe- terfurmannereinxundfurfraueneinyverwendet) dierenzierterechnungsgrundlagenanwendungnden,wiralsindexfurdaserreichtelebensal- Mit istdiewahrscheinlichkeitfureinez-jahrigeperson,imlebensjahrzzusterben,gegeben Uberlebenbisz,bezeichnet qz=p(zt<z+1jtz) Mit istdiewahrscheinlichkeitfureinenz-jahrigenaktiv-lebendenimlebensjahrzzusterben, gegebenuberlebenbisz,bezeichnet qaz=p(zt<z+1jtz;aktivlebend) Analogdazuist diewahrscheinlichkeitfureinenz-jahrigenpegebedurftigenimlebensjahrzzusterben qiz=p(zt<z+1jtz;pegebedurftig) Zuletztwirdnochmit diesogenannteeinjahrigepegefalleintrittswahrscheinlichkeitfureinez-jahrigepersonbezeichnet iz=p(pegebedurftigbeierreichendesaltersz+1jtz;nichtpegebedurftig) DawiraufgrundfehlenderBeobachtungenfuraktivlebende,teilweiseauchaufdieseeinjahrigen VersicherungsmodellmitdeneinjahrigenUbergangswahrscheilichkeiten Ubergangswahrscheinlichkeitenangewiesensind,betrachtenwirimFolgendeneinzeitdiskretes wobeihiermitn2in0dieversicherungsdauerinjahrenangibtmithilfederubergangsmatrix pij(n)=p(s(n+1)=jjs(n)=i) (n)=(pij(n))i;j= 0 B@ p 11(n)p12(n)p13(n)p14(n) 0 p22(n)p23(n)p24(n) 0 p33(n)p34(n) 1CA 0 1

konnenwirnunanalogzu(54)dieubergangswahrscheinlichkeitenfurdaszeitdiskretemodell angeben,furnm2in0erhaltenwir 52BERECHNUNGVONBEITRAGENFURPFLEGEVERSICHERUNGS-MODELLE111 DaunsereZustande1,2und3strikttransientsinderhaltenwirfurdieWahrscheinlichkeitim Zustandizuverbleiben: Pij(n;m)=P(S(m)=jjS(n)=i)=ijfallsn=m: AusdemrekursivenZusammenhang Pii(n;n+1)=1 Xj>ipij(n): fallsmansichschonzumzeitpunktninzustandibefundenhatesgilt bestimmenwirdiewahrscheinlichkeit,damansichzumzeitpunktminzustandibendet, Pii(n;m)=Pii(n;m 1)Pii(m 1;m) Damiterhaltenwir Pii(n;m)=m n 1 Yi=0[1 Xj>ipij(n+i)]: P22(n;m)=m n 1 P11(n;m)=m n 1 Yi=0[1 p23(n+i) p24(n+i)]; Yi=0[1 p12(n+i) p13(n+i) p14(n+i)]; P34(n;m)=1 P34(n;m); P33(n;m)=m n 1 P23(n;m)=m n 1 Yi=0[1 p34(n+i)]; P24(n;m)=1 P22(n;m) P23(n;m); P12(n;m)=m n 1 Xi=0P22(n;n+i)p23(n+i)P33(n+i+1;m); P13(n;m)=m n 1 Xi=0(P11(n;n+i)p13(n+i)+P12(n;n+i)p23(n+i))P33(n+i+1;m); Xi=0P11(n;n+i)p12(n+i)P22(n+i+1;m); P14(n;m)=1 P11(n;m) P12(n;m) P13(n;m): (55) WirbetrachtennuneinVersicherungsmodellindemderVersicherungsnehmergegeneinegleichbleibendeJahrespramiederHohefolgendeLeistungenerhalt: ModellierungdesVersicherungsprozesses

112JeweilseinmaligeZahlungenderHohec1jfallservonZustand1inZustandjwechselt j2f2;3ginvielenpegeversicherungstarifenexistierensolcheleistungen,damitwerden KAPITEL5ENTWICKLUNGEINESVERSICHERUNGSMODELLS Gleichbleibende,jahrlicheRentenzahlungenderHohebj,fallssichderVersicherteinZustandjbendet(j=f2;3g) meistzupegebeginnentstehende,einmaligekosten(wiezbeinbaueinestreppenliftes) gedeckt beliebiglangeversicherungsdaueraktuariellzumodellieren,setztmanfureinbestimmtesalter Wirgehenzudemdavonaus,dadieVersicherungleistet,solangederVersichertelebtUmdiese jahr!stirbtauf1!heittechnischesendaltermitdiesenmodellvoraussetzungenundden Zusammenhangenaus(55)erhaltenwirfurdieverschiedenenLeistungenfolgendeaktuarielle!(inderPraxismeist!=105)dieWahrscheinlichkeitdafur,daderVersicherteimLebens- FurdiedenaktuariellenWert(zuVersicherungsbeginn)einmaligerZahlungenbeiUbergang hinsichtlichdesversicherungsprozessess(n);n2in0 WertezumZeitpunkt0(Versicherungsbeginn)alsErwartungswertderjeweilgenZahlungsstrome bezeichnen,erhaltenwir vonzustand1(aktivlebend)zuzustand2(ambulantpegebedurftig)c12,denwirmitb1;c12(0) B1;c12(0)=! x 1 =! x 1 Xi=0P11(0;i)p12(i)vic12 AnaloggiltnaturlichfurdenaktuariellenWerteinereinmaligenLeistung,diebeiUbergangvon Xi=0Yj<i[1 p12(j) p13(j) p14(j)]p12(i)vic12: Zustand1(aktivlebend)inZustand3(stationarpegebedurftig)gezahltwird FurdenaktuariellenWerteinerjahrlichenRenteb2,dieandenPegebedurftigebezahltwird, B1;c13(0)=! x 1 Xi=0Yj<i[1 p34(j) p24(j)]p13(i)vic13: solangesichdieserinzustand2bendet B1;b2(0)=! x 1 Xi=0hXj<iP11(0;j)p12(j)P22(j+1;i)ivib2 Xi=0P12(0;i)vib2 =! x 1 k<i (j+1)[1 p23(j+k+1) p24(j+k+1)]ivib2: Xi=0hXj<iYk<j[1 p12(k) p13(k) p14(k)]p12(j) Y

DeraktuarielleWerteinerjahrlichenRenteb3fureinenPegebedurftigeninZustand3ist 52BERECHNUNGVONBEITRAGENFURPFLEGEVERSICHERUNGS-MODELLE113 B1;b3(0)=! x 1 Xi=0P13(0;i)vib3 =! x 1 Xi=1nXj<ihYk<j[1 p12(k) p13(k) p14(k)]p13(j) Xi=1nXj<ihP11(0;j)p13(j)P33(j+1;i)+P12(0;j)p23(j)P33(j+1;i)iovib3 +Xk<jYl<k[1 p12(l) p13(l) p14(l)]p12(k) l<j (k+1)[1 p23(k+l+1) Yk<i (j+1)[1 p34(j+k+1)] Y SchlielicherhaltenwiralsBarwertfurdievonVersicherungsnehmerzuzahlendeJahrespramie p24(k+l+1)]p23(j) l<i (j+1)[1 p34(j+l+1)]iovib3: Y (solangeersichinzustand1bendet) P1;(0)=! x 1 =! x 1 Xi=0P11(0;i)vi NunkonnenwirdenJahresbeitragbestimmen,dennnachdemAquivalenzprinzipmugelten Xi=0Yj<i[1 p12(j) p13(j) p14(j)]vi: DiesenAusdruckkannmannachauosenunderhalt B1;b2(0)+B1;b3(0)+B1;c12(0)+B1;c13(0)=P1;(0): =B1;b2(0)+B1;b3(0)+B1;c12(0)+B1;c13(0) P! x 1 i=0 Qj<i[1 p12(j) p13(j) p14(j)]vi: ModellierungvonRechnungsgrundlagen schen\aktivlebend"-\pegebedurftig"und\aktivlebend"-\tot"warenaufbasisdergegebenen schendenzustanden\pegebedurftig"und\tot"untersucht,dieubergangsintensitatenzwi- Wieschonvorhererwahnt,sindinderArbeitnurUbegangsintensitatenfurdieUbergngezwi- undp34undp23mitderpegedauer(imfolgendenmitdbezeichnet)eineweiterezeitabhangigkeitmodelliertwirddiemarkov-eigenschaftgehtdadurchverloren,daindiesemmodelldie pij;j2f2;3;4gprimarvomlebensalterxabhangen,furdieubergangswahrscheinlichkeitenp24 DatennichtermittelbarZudemmussenwirbeachten,dadieUbergangswahrscheinlichkeiten (Pegebeginn)abhangigsindAlsModellgroensollenfurdieBerechnungenfolgendeDaten verwendetwerden: Ubergangswahrscheinlichkeitenp24,p34undp23vonderErsteintrittszeitinZustand2,bzw3

114FurdieUbergangswahrscheinlichkeitenp12undp13verwendenwirdievonAlterundGe- schlechtabhangigenpegefalleintrittswahrscheinlichkeitendercustodial-insurance,japan KAPITEL5ENTWICKLUNGEINESVERSICHERUNGSMODELLS (siehe[36],anhang6)diesesindnachalterundgeschlechtdierenziertumeineun- 31121998inunseremBestandDiesesZeitintervallistsogewahlt,daerstab171996 terscheidungnachpegeartvornehmenzukonnen,betrachtenwirdierelativenhaugkei- tenderneueintritteindieverschiedenenpegeartenimzeitraumzwischen111997und bulanterundstationarerpegebedurftigkeit,konntenwirfolgenderelativenhaugkeiten LeistungenfurstationarePegegewahrtwerdenBeiNeueintritten,unterteiltnacham- feststellen: ambulantfrauen(in%)manner(in%) IndeminAbbildung52dargestelltenVersicherungsmodellsindkeineUbergangezwischen stationar 7943 2057 8537 PegestufenvorgesehenBeiderBeitragsberechnungberucksichtigenwirdiePegestufen, 1463 tenalsgewichteverwendenwirdiepegedauerindeneinzelnenstufenwirkonnten folgendehaugkeitenbeobachtenfrauen(in%)manner(in%) indemwirfurjedestufeseparatbarwerteundbeitrageberechnenunddiesedanngewich- Stufe3 Stufe2 Stufe1 2377 3982 3641 3373 2627 4150 AlsModellgroefurdie\Aktivensterblichkeit"p14verwendenwirdieeinjahrigenSterbewahrscheinlichkeitfurbayerischeMannerundFrauenzwischen1986und1988(Quelle [14],Seiten50-51),dastechnischeEndalter!liegtbei101JahrenHieristzubeachten, dadieseeinjahrigenpegewahrscheinlichkeitenaufbasisdergesamten(alsoauchpegebedurftigen)bevolkerungermitteltwurden,dieeinjahrigensterbewahrscheinlichkeiten fur\aktivlebende"sinddemnachetwasniedriger AlsGroefurdieUbergangswahrscheinlichkeitenp23,p24undp34diskretisierenwirdie SchatzerfurdenBasis-HazardgeschatztenIntensitatenandenBeobachtungszeitpunkten inkapitel4hergeitetensterbeintensitatendazubetrachtenwirdiemitdembreslow- undbildendieeinjahrigeubergangswahrscheinlichkeitenfurlebensalterxundpegedauerd(injahren)erhaltenwir pij(x;d)= dtk<d+1[^ij(tk;zalter=x)y X dtl<tk(1 ^ij(tl;zalter=x))] i2f2;3g; j2f2;3;4g;

52BERECHNUNGVONBEITRAGENFURPFLEGEVERSICHERUNGS-MODELLE115 dhwirapproximiereneinjahrigeuberlebenswahrscheinlichkeitenmitdemprodukt-limit Ansatz(sieheAbschnitt361)Hierist^ij(tk;ZAlter=x)dasProduktausBasis-Hazard 522VersicherungsmodellmitZustandsubergangenzwischenPegestufen furdenzustandsubergangvoninachjundkovariablenachdemproportional-hazard- Modell,wobeidieKomponenteZAlterdenWertxannimmt Betrachtenwirnundasin53skizzierteModellWirerkennen,dadieStrukturdeminAbschnitt521betrachtetenModellsehrahnlichist(dieZustaandef1;;4gsindstrikttransient, derzustand5istabsorbierend)dieherleitungderubergangswahrscheinlichkeitenfureinzeitdiskretesmarkovmodell,sowiedieberechnungenvonaktuariellenwertenwirdwieimvoherigen Abschnittdurchgefuhrt DiskreteUbergangswahrscheinlichkeitenimModell MitHilfederUbergangsmatrix (n)=(pij(n))i;j= 0 B@ p 11(n)p12(n)p13(n)p14(n)p15(n) p22(n)p23(n)p24(n)p24(n) p33(n)p34(n)p35(n) 1CA 0 0 0 p44(n)p45(n) erhaltenfolgendeubergangswahrscheinlichkeiten 0 1 P22(n;m)=m n 1 P11(n;m)=m n 1 Yi=0[1 p23(n+i) p24(n+i) p25(n+i)]; Yi=0[1 p12(n+i) p13(n+i) p14(n+i) p15(n+i)]; P44(n;m)=n m 1 P33(n;m)=n m 1 Yi=1[1 p45(n+i)]; Yi=0[1 p34(n+i) p35(n+i)]; P45(n;m)=1 P44(n;m); P23(n;m)=n m 1 P34(n;m)=n m 1 Xi=0P22(n;n+i)p23(n+i)P33(n+i+1;m); Xi=0P33(n;n+i)p34(n+i)P44(n+i+1;m); P35(n;m)=1 P34(n;m) P33(n;m); P12(n;m)=n m 1 Xi=0P11(n;n+i)p12(n+i)P22(n+i+1;m);

116P24(n;m)=n m 1 Xi=1[P22(n;n+i)p24(n+i)+P23(n;n+i)p34(n+i)]P44(n+i+1;m); KAPITEL5ENTWICKLUNGEINESVERSICHERUNGSMODELLS P13(n;m)=n m 1 P14(n;m)=n m 1 P25(n;m)=1 P22(n;m) P23(n;m) P24(n;m); Xi=1[P11(n;n+i)p13(n+i)+P12(n;n+i)p23(n+i)]P33(n+i+1;m); +P13(n;n+i)p34(n+i)]P44(n+i+1;m); Xi=0[p11(n;n+i)p14(n+i)+P12(n;n+i)p24(n+i); P15(n;m)=1 P11(n;m) P12(n;m) P13(n;m) P14(n;m): (56) AnalogzuAbschnitt521solldasVersicherungsmodellsollengegeneinegleichbleibendeJahrespramiefolgendeLeistungengedecktsein ModellierungdesVersicherungsprozesses Gleichbleibende,jahrlicheRentenzahlungenderHohebj,fallssichderVersicherteinZustandjbendet(j=f2;3;4g) i;j2f1;2;3;4gi<j JeweilseinmaligeZahlungenderHohecijfallservonZustandiinZustandjwechselt DieaktuariellenWertelassensichnunahnlichwieimvorherigenModellbestimmenFurdie einmaligenzahlungenbeizustandsubergangenerhaltenwir B1;c13(0)=! x 1 B1;c12(0)=! x 1 Xi=1Yj<i[1 p12(j) p13(j) p14(j) p15(j)]p13(i)vic13; Xi=1Yj<i[1 p12(j) p13(j) p14(j) p15(j)]p12(i)vic12; B1;c14(0)=! x 1 Xi=1Yj<i[1 p12(j) p13(j) p14(j) p15(j)]p14(i)vic14: DieaktuarielleWertfurjahrlicheRentenzahlungen,diederVersicherungsnehmererhalt,fallser sichindenzustanden2und3bendetberechnenwiranalogzumvorgeheninabschnitt521 WirerhaltenfurBb2 Bb2=! x 1 k<i j[1 p23(j+k) p24(j+k) p25(j+k)]ivib2: YXi=0hXj<iYk<j[1 p12(k) p13(k) p14(k) p15(k)]p12(j)

sowiefurbb3 52BERECHNUNGVONBEITRAGENFURPFLEGEVERSICHERUNGS-MODELLE117 B b3=! x 1 Xi=1nXj<ihYk<j[1 p12(k) p13(k) p14(k) p15(k)]p13(j) +Xk<jYl<k[1 p12(l) p13(l) p14(l) P15(l)]p12(k) k<i (j+1)[1 p34(j+k+1) p35(j+k+1)] p23(j) l<j (k+1)[1 p23(k+l+1) p24(k+l+1) p25(k+l+1)] Y FurdiePegerenteinZustand4erhaltenwir l<i (j+1)[1 p34(j+l+1) P35(j+l+1)]iovib3: Y B1;b4(0)=! x 1 Xi=0Xj<ihP11(0;j)p14(j)+P12(0;j)p24(j)+P13(0;j)p34(j)ip44(j+1;i)vib4 Xi=0P14(0;i)vib4 =! x 1 +Xk<jnP11(0;k)p12(k)P22(k+1;j)op24(j) Xi=0Xj<ihYk<j[1 p12(k) p13(k) p14(k) p15(k)]p14(j) +Xk<jnP11(0;k)P13(k)+P12(0;k)p23(k)oP33(k+1;j)p34(j)i =!Xi=1Xj<ihYk<j[1 p12(k) p13(k) p14(k) p15(k)]p14(j) k<i (j+1)[1 P45(k+j+1)]vib4 Y +Xk<jnYl<k[1 p12(l) p13(l) p14(l) p15(l)]p24(k) +Xk<jnYl<k[1 p12(l) p13(l) p14(l) p15(l)]p13(k) l<j (k+1)[1 p23(k+1+l) p24(k+1+l) p25(k+1+l)]op24(j) Y +Xl<kYm<l[1 p12(m) p13(m) p14(m) p15(m)]p12(l) l<j (k+1)[1 p34(k+1+l) P35(k+1+l)]p34(j)i m<k (l+1)[1 p23(l+k+1) p24(l+k+1) p25(l+k+1)]p23(k)o Y

118 k<i (j+1)[1 P45(k+j+1)]vib4: YKAPITEL5ENTWICKLUNGEINESVERSICHERUNGSMODELLS ZurBestimmungdesJahresbeitragserhaltenwirsomit nachdemversicherungsmathematischenaquivalenprinzipauosennachergibt B1;b2(0)+B1;b3(0)+B1;b4(0)B1;c12(0)+B1;c13(0)+B1;c14(0)=P1;(0) 53 BeschreibungdesProgrammszurBeitragsberechnung =B1;b2(0)+B1;b3(0)+B1;b4(0)+B1;c12(0)+B1;c13(0)+B1;c14(0) P! x 1 i=0 Qj<i[1 p12(j) p13(j) p14(j) p15(j)]vi : Krankenversicherung(DKV) wickelndiesesbeschreibenwirambeispieldespegekostentagegeldtarifspetderdeutschen HierwollenwirnundiefurdasinAbschnitt521vorgestellteModelleinC-Programment- 531BeschreibungdesTarifsPET Abbildung54:EingabeabfragedesProgramms versicherungdarimrahmendiesestarifswirdeinvomversichererzuzahlendespegetagegeld vereinbart DerPegekostentagegeldtarifderDKVstellteineZusatzversicherungzurgesetzlichenPege- FurambulantePegewerden DerVersichererverpichtetsichimPegefalldiefolgendenLeistungenzuerbringen: DerLeistungsfallwirdimStufensystem,analogzurgesetzlichenPegeversicherung,deniert