Mathematische Methoden Wintersemester 08/9 Blatt, Abgabe 0.0.09 bis 3:30 Institut für Biologische Physik J. Berg U. Michel, S. Kleinbölting Hinweis Dieses Übungsblatt dient der Wiederholung des bisher behandelten Stoffs. Dieser ist schon recht umfangreich und wird im neuen Jahr noch durch einen Block zur Vektoranalysis ergänzt. Nach den Ferien ist nicht viel Zeit bis zur Klausur am 7.. daher empfehlen wir dringend, dass Sie sich während der freien Tage schonmal gründlich mit dem Stoff auseinander setzen. Wir wünschen Ihnen (trotzdem) schöne, erholsame Feiertage und einen guten Rutsch ins neue Jahr! Wiederholung (0 P) Gehen Sie den gesamten behandelten Stoff aus Ihren Aufzeichnungen, dem Skript und den Übungen durch. Rechnen Sie Übungsaufgaben die Sie beim ersten Mal nicht gut verstanden oder ausgelassen haben. Kurzfragen (0 P) Beantworten und begründen Sie in wenigen Zeilen: a) Was versteht man unter einer Basis eines Vektorraums? b) Erklären Sie kurz den Unterschied zwischen Raumpunkten, Ortsvektoren und Komponentendarstellungen. c) Wie kann man mithilfe des Skalarprodukts einen Vektor in seine Komponenten bzgl. einer Orthonormalbasis zerlegen? d) Wie lässt sich das Volumen eines von den Vektoren a, b, c R 3 aufgespannten Spats berechnen? e) Bilden die natürlichen Zahlen mit der gewöhnlichen Addition eine Gruppe? f) Zeigen Sie, dass zur Taylorreihe einer geraden Funktion f(x) f( x) um x 0 0 nur gerade Potenzen beitragen. g) Berechnen Sie 0 näherungsweise indem Sie die Wurzelfunktion bis zur zweiten Ordnung entwickeln. Überlegen Sie um welchen Punkt Sie zweckmäßigerweise entwickeln! h) Leiten Sie die Kettenregel aus der Definition der Ableitung über den Differenzenquotienten her. i) Zeigen Sie mithilfe der Euler-Formel dass cos(x) eix +e ix für reelles x. j) Was versteht man unter einem Vektorfeld bzw. einem Skalarfeld? Geben Sie jeweils ein physikalisches Beispiel. a) Eine Basis eines Vektorraums ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, d.h. eine Menge von linear unabh. Vektoren aus denen sich durch Linearkombination jeder andere Vektor gewinnen lässt. b) Erfahrungsgemäß ist das mathematische Konstrukt des Euklidischen Raums ein gutes Model für den physikalische Raum. Punkte sind die Elemente dieses Raumes. Zwischen ihnen besteht ad hoc keine algebraische Beziehung. Insbe-
sondere handelt es sich nicht um einen Vektorraum. Im physikalischen Raum kein Punkt vor dem anderen ausgezeichnet, in einem Vektorraum kommt dem Nullvektor jedoch eine ausgezeichnete Rolle zu. Sinnvoll ist es jedoch die Verbindungsstrecke zwischen zwei Raumpunkten als Verschiebungen aufzufassen. Diese besitzen eine Vektorraumstruktur durch Hintereinanderausführung. Einigen wir uns auf einen Punkt den wir Ursprung nennen, können wir jeden anderen Punkt mit seiner Verschiebung bzgl. dieses Ursprungs eindeutig identifizieren. Wählen wir nun ein Koordinatensystem (eine Basis) dieses Vektorraums, erhalten wir die Darstellung von Raumpunkten in Komponenten. Diese Identifikation gelingt, weil es sich beim Euklidischen Raum (und auch bei der Minkowski-Raum-Zeit der speziellen Relativitätstheorie) um sogenannte affine Räume handelt. In der allgemeinen Theorie der Gravitation besitzt die Raum-Zeit jedoch eine Krümmung und ist kein affiner Raum. Man stelle sich als anschauliches Besipiel die Oberfläche einer Kugel vor. Wie würde man den Punkten auf der Oberfläche sinnvoll Vektoren zuweisen? c) v i ( v e i ) e i d) a ( b c) bzw. eine beliebige Permutation der Vektoren. e) Nein, denn es existieren keine Inversen bzgl. der Addition. f) Damit eine Taylorreihe eine gerade Funktion darstellt muss gelten f(x) n a n x n f( x) n [ an x n + ( a n+ )x n+] d.h. für alle ungeraden Koeffizienten sind notwendigerweise null (Koeffizientenvergleich). g) Zweckmäßigerweise entwickelt man um x 0 9, da dort die Wurzel exakt bekannt ist. x 9 + (x 9) 9 8 3 (x 9) 9 also 0 3 + 6 68 + 36 683 6 6 6 3.6 h) Seien f, g differenzierbar. Dann gilt f(x+δx) f(x)+f (x)δx+o(δx) : y+δy Betrachte g(f(x + δx)) g(f(x)) δx g(y + δy) g(y) δy δx δy g(y + δy) g(y) δy i) Sei z cos x + i sin x exp(ix) und bilde z+z j) siehe Skript für Definition und Beispiele f (x)δx + o(δx) δx g (y)f (x) 3 Integration (5 P) Lösen Sie die folgenden Integrale
a) 3x x dx b) R x + y + a dxdy, a > 0 c) x 3 cos(x )dx d) t n e t dt, 0 n N e) 0 0 0 (3x + y z) [sin(x) + ln(xy)] dxdydz a) Substituiere y x, oder bemerke dass der Integrand ungerade ist. b) Das Integral konvergiert nicht. Man wechsle auf Polarkoordinaten π 0 r r + a dr Für r a ist der Integrand näherungsweise konstant und die Funktion damit nicht integrierbar. c) Substituiere y x. cos(y)dy sin(x ) d) Gamma-Funktion, s. Blatt 5 e) yz(x((3x+y z) log(xy) 9x 3y +8z) cos(x)(6x+y z)+ sin(x)) Differentialgleichungen ( P) a) ( P) Was versteht man unter einer gewöhnlichen Differentialgleichung? Was unter einer einer Differentialgleichung? Was ist ein Anfangswertproblem und unter welcher Voraussetzung ist es eindeutig lösbar? b) ( P) Sei L ein linearer Differentialoperator. Zeigen Sie, dass die en der homogenen Gleichung Ly 0 einen Vektorraum bilden. c) ( P) Sei y(t) Ae iωt + Be iωt die allgemeine des harmonischen Oszillators. Bestimmen Sie die komplexen Koeffizienten A, B aus den Anfangsbedingungen y(0) y 0, ẏ(0) v 0. Schreiben 3
Sie das Ergebnis einmal als Kombination von Sinus und Kosinus, und einmal in der Form a sin(ωt + φ) mit von Ihnen zu bestimmender Amplitude a und Phase φ. d) (++++ P) Klassifizieren Sie die folgenden Differentialgleichungen. Stichworte: Ordnung, (nicht-)linear, gewöhnlich, partiell, (in-)homogen. Lösen Sie die mit markierten Gleichungen. i.) y sin(t) ii.) y + y + y 0 iii.) y t D y A exp( x /x x 0 ) iv.) N N v.) N N + γ, N(0) N a) Unter einer gewöhnlichen Differentialgleichung versteht man eine Gleichung der Form F (t, y, y, y,..., y (n) ) 0 Man nennt y, y, y,... abhängige Variablen, und t die unabhängige Variable. n bezeichnet die Ordnung der Dgl. Unter einer versteht man einen Funktion φ : I R R die die sidentität F (t, dφ dt, d φ dt,..., dn φ dt n ) 0 für alle t I erfüllt. Wir betrachten meistens Gleichungen die sich nach der höchsten Ordnung auflösen lassen; sprich sich als schreiben lassen. y (n) f(t, y, y,..., y (n ) ) () en von Differentialgleichungen sind i.a. nicht eindeutig. Ergänzt man die Dgl. durch die zusätzlichen Anfangsbedingungen y(t 0 ) y 0, y (t 0 ) v 0,... spricht man von einem Anfangswertproblem. Erfüllt die Funktion f in () die sogenannte Lipschitz-Bedingung, dann existiert eine eindeutige des AWP. Zu Details siehe Skript. b) Seien f, g en, d.h. Lf Lg 0. Betrachte eine beliebige Linearkombination af + g mit a R: also wiederum eine. L(af + g) alf + Lg a 0 + 0 0 c) Einsetzen der Anfangsbedingungen liefert Es folgt y(t) y 0 A + B v 0 iω(a B) iω(a y 0 ) A ( v0 ) iω + y 0 ( v0 ) [ iω + y 0 e iωt + y 0 ( v0 ) ] iω + y 0 e iωt v 0 ω sin(ωt) + y 0 cos(ωt)
Andererseits lässt sich die komplexe Amplitude als A A e iφ schreiben, wobei φ arg (y 0 i v 0 ω ). Man bemerke, dass B A gilt (das muss so sein, damit die allgemeine reell ist!). Damit ist also B A e iφ und die lässt sich als ( y(t) A e iωt+φ + e iωt φ) y0 + v 0 cos(ωt + φ) ω y 0 + v 0 ω sin(ωt + φ + π ) d) i.) Linear, gewöhnlich, inhomogen. y(t) cos(t) + C ii.) Linear, gewöhnlich, homogen. Harmonischer Oszillator ) y(t) e t (Ae i 3 t + Be i 3 t iii.) Linear, partiell, inhomogen. iv.) Nicht-linear, gewöhnlich, homogen. Trennung der Variablen. N(t) t+c v.) Nicht-linear, gewöhnlich, inhomogen. Trennung der Variablen und Partialbruchzerlegung liefert t + C γ N γ + N + γ dn γ ln N γ N + γ Auflösen nach N liefert N γ e γ(t+c) e γ(t+c) + γ e γ(t+c) e γ(t+c) e γ(t+c) + e γ(t+c) γ sinh γ(t + C) cosh γ(t + C) γ tanh γ(t + C) 5