Hans P. Geering Regelungstechnik

Hans P. Geering Regelungstechnik

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Hans P. Geering Regelungstechnik Mathematische Grundlagen, Entwurfsmethoden, Beispiele Vierte, neubearbeitete und erweiterte Auflage Mit 118 Abbildungen, 107 Aufgaben und Losungen Springer

Professor Dr. Hans P. Geering ETH Zurich Institut fiir MeB- und Regeltechnik CH- 8092 Ziirich Schweiz ISBN-13: 978-3-540-61079-3 Die deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Geering, Hans P.: Regelungstechnik : Mathematische Grundlagen, Entwurfsmethoden, Beispie Ie I Hans P. Geering. - 4., wesentlich iiberarb. und erw. AutI. - Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Budapest; Hongkong; London; Mailand; Paris; Santa Clara; Tokyo: Springer 1996 ISBN-13: 978-3-540-61079-3 e-isbn-13: 978-3-642-97942-2 DOl: 10.1007/978-3-642-97942-2 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte. insbesondere die der Obersetzung. des Nachdrucks. des Vortrags. der Entnahme von Abbildungen und Tabellen. der Funksendung. der Mikroverfilmung oder Vervielfiiltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen. bleiben. auch bei nur auszugsweiser Verwertung. vorbehalten. Eine Vervielfiiltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulassig. Sie ist grundsatzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Handelsnamen. Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annallme. dab solche N amen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daller von jedermann benutzt werden diirften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze. Vorschriften oder Richtlinien (z.b. DIN. VDI. VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein. so kann der Verlag keine Gewiilu fiir die Richtigkeit. Vollstiindigkeit oder Aktualitat iibernehmen. Es empfiehlt sich. gegebenenfalls fur die eigenenarbeiten dievollstiindigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils giiltigen Fassung hinzuzuziehen. Herstellung: PRODUserv. Springer-Produktions-Gesellschaft. Berlin Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Umschlaggestaltung: Struve & Partner. Heidelberg SPIN: 10535667 62/3020-5 4 3 21 0 - Gedruckt auf saurefreiem Papier

Vorwort zur vierten Auflage Dieses Buch ist aus einem Skript zur Vorlesung Mej1- und Regeltechnik I und II entstanden, welche der Autor seit vielen Jahren an der Abteilung fur Maschinenbau und Verfahrenstechnik der Eidgenossischen Technischen Hochschule in Zurich liest. Dabei handelt es sich um eine einfuhrende Vorlesung im dritten und vierten Semester des Studiums, welche im funften Semester durch ein Praktikum abgerundet wird. Die Lehrziele dieses Textes sind: die Forderung des Verstandnisses fur dynamische Vorgange in Regelstrecken, Sensoren, Aktoren und Regelsystemen, die Befahigung zur Analyse linearer MehrgroBensysteme im Zeitbereich und im Frequenzbereich im deterministischen und im stochastischen Fall und das Beherrschen von wichtigen klassischen und modernen Methoden fur den Entwurf von robusten Ein- bzw. MehrgroBenreglern. 1m einleitenden Kap. 1 werden die Bausteine und die Signale eines Regelsystems anhand von SignalfluBbildern eingefuhrt und die wichtigsten Fragestellungen und Ziele der Regelungstechnik aufgefuhrt. Der Analyse-Teil umfabt die Kap. 2, 4, 8, 10 und 11 sowie Teile der Kap. 9 und 12. 1m Kap. 2 wird das dynamische Verhalten von linearen, zeitinvarianten Systemen mit Hilfe der Laplace-Transformation untersucht. Dabei werden die Ubertragungsfunktion und der Frequenzgang eingefuhrt und der Zusammenhang zwischen der Stabilitat und der Pollage des Systems aufgezeigt. 1m Kap. 4 werden sowohl zeitinvariante als auch zeitvariable, lineare Systeme mit Hilfe der Zustandsraum-Darstellung im Zeitbereich behandelt, wobei auch die strukturellen Eigenschaften Steuerbarkeit, Stabilisierbarkeit, Beobachtbarkeit und Detektierbarkeit eines linearen dynamischen Systems diskutiert werden. Stochastische Signale werden im Kap. 8 im Zeitbereich (Autokovarianzfunktion und Autokovarianzmatrix) und im Kap. 10 im Frequenzbereich (Spektrum und Matrix der spektralen Leistungsdichten) beschrieben. In den Kap. 9 u. 11 wird das dynamische Verhalten des Zustandsvektors und der Ausgangssignale linearer dynamischer Systeme im Zeitbereich bzw. im Frequenzbereich berechnet, deren Eingangssignale stochastisch sind. Das Kap. 12 gibt eine Ubersicht uber die entsprechenden Analysemethoden fur zeitdiskrete lineare Systeme.

VI Vorwort Der Synthese-Teil umfabt die Kap. 3, 5, 6, 9.5 und Teile des Kap. 12. 1m Kap. 3 werden klassische Methoden des Entwurfs zeitkontinuierlicher RegIer und der Analyse der Stabilitat von Regelsystemen behandelt. Das Kap. 5 gibt eine EinfUhrung in die optimale Regelung linearer Systeme mit ZustandsvektorrtickfUhrung. 1m Kap. 6 wird einerseits der Luenberger-Beobachter und andererseits die LQG/LTR-Methode fur den Entwurf robuster dynamischer RegIer mit Ausgangsvektorrtickftihrung vorgestellt. Das Kap. 9.5 befabt sich mit dem Kalman-Bucy-Filter. Das Kap. 12 gibt eine Ubersicht tiber die entsprechenden Synthesemethoden ftir den Entwurf digitaler RegIer und zeitdiskreter Filter. 1m Kap. 7 werden einige systemtheoretische Betrachtungen zum Stellen und Messen angestellt, welche insbesondere die Behandlung stochastischer Signale und den Entwurf von optimalen Filtern in den Kap. 8-11 und 12.5 motivieren. Jedes Kapitel schliebt mit einer Sammlung von Aufgaben abo Die Losungen zu den Aufgaben werden am Ende des Textes angegeben. Der Anh. 2 ist eine Arbeitsunterlage zum Skizzieren von Bode-Diagrammen und Spektren. Die Anh. 1 U. 3-5 enthalten Zusammenfassungen der fur die Regelungstechnik wichtlgsten Fakten betr. komplexe Zahlen, lineare Algebra, Linearisierung von Differentialgleichungen und Wahrscheinlichkeitstheorie. Dieser Stoff wird als bekannt vorausgesetzt. Diese Zusammenfassungen sollen dem Leser den Querbezug zwischen dem Text und den mathematischen Grundlagen in den genannten Gebieten erleichtern. Allen Assistenten des Instituts fur MeB- und Regeltechnik der ETHZ, die zur Entstehung dieses Werkes beigetragen haben, danke ich hiermit bestens. Besonders mochte ich die folgenden Herren erwahnen, denen ich zu speziellem Dank verpflichtet bin: Ch. Roduner, E. Shafai, K. Ruhm, Ch. Onder, U. Christen, M. Busenhart, U. Thoni und B. Scherrer. Anderungen gegeniiber der 3. Auflage: Erweiterung der Aufgabensammlung. Zusatzlicher Anhang betr. komplexe Zahlen. Uberarbeitung der Bilder. Zurich, Mai 1996 H. P. Geering

Inhaltsverzeichnis Liste der verwendeten Symbole... 1 1 Einleitung... 4 Literatur zu Kapitel 1 9 Aufgaben zu Kapitel 1 9 2 Analyse linearer zeitinvarianter Systeme im Frequenzbereich 10 2.1 Die Bewegungsgleichungen... 10 2.2 Die Laplace-Transformation 2.3 Lasung der Bewegungsgleichungen 2.3.1 System 1. Ordnung 2.3.2 System 2. Ordnung 2.3.3 System n. Ordnung 2.4 Die Ubertragungsfunktion 2.5 StabiliUit 2.6 Der Ftequenzgang 2.6.1 Dezibel-Skala fiir Ftequenzgiinge 2.6.2 Klassifizierung linearer Systeme 2.6.3 Stationiire Antwort auf periodisches Eingangssignal 2.7 Literatur zu Kapitel 2 2.8 Aufgaben zu Kapitel 2 12 17 17 24 32 34 35 36 38 38 44 44 45 3 Behandlung einfacher regelungstechnischer Probleme im Frequenzbereich.... 3.1 Lineare Reglerbausteine 3.2 Klassische Folgeregelung 3.2.1 Allgemeine Gleichungen des Regelsystems 3.2.2 Regelstrecke 1. Ordnung mit P-, 1- und PI-RegIer..... 47 47 49 49 49

VIn 3.2.3 Regelstrecke 3. Ordnung mit P-Regler 3.3 Das Nyquist-Kriterium.... 3.3.1 Das spezielle Nyquist-Kriterium 3.3.2 Das allgemeine Nyquist-Kriterium 3.3.3 Nyquist-Kriterium fur MehrgroBen-Regelsysteme 3.4 Regelung mit Vorsteuerung...... 3.4.1 Allgemeine Gleichungen des Regelsystems 3.4.2 Beispiel 3.5 Literatur zu Kapitel 3 3.6 Aufgaben zu Kapit.el 3 Inbalt 55 58 58 62 64 66 66 68 70 71 4 Analyse linearer Systeme im Zeitbereich 4.1 Der Zustandsvektor und die Bewegungsgleichung 4.2 Ubergang von einer Differentialgleichung hoherer Ordnung auf eine Vektordifferentialgleichung erster Ordnung 79 4.2.1 Steuerbare Standardform. 79 4.2.2 Beobachtbare Standardform 82 4.2.3 Zustandsraummodelle minimaler Ordnung 83 4.2.4 Koordinatentransformationen 84 4.3 Ubergang von der Vektordifferentialgleichung 1. Ordnung auf die Ubertragungsmatrix 86 4.4 Losung der Bewegungsgleichung 87 4.4.1 Die homogene Bewegungsgleichung 87 4.4.2 Die spezielle inhomogene Bewegungsgleichung 89 4.4.3 Der allgemeine Fall 90 4.4.4 Beispiele 90 4.4.5 Eigenschaften der Transitionsmatrix 93 4.5 Stabilitat.... 96 4.5.1 Lineares zeitvariables System 96 4.5.2 Lineares zeitinvariantes System 97 4.6 Steuerbarkeit und Stabilisierbarkeit 98 4.6.1 Fragestellung 98 4.6.2 Zeitvariable Systeme 99 4.6.3 Zeitinvariante Systeme 100 4.6.4 Stabilisierbarkeit und Polvorgabe 103 4.7 Beobachtbarkeit und Detektierbarkeit. 105 74 74

Inhalt IX 4.7.1 Fragestellung 105 4.7.2 Zeitvariable Systeme 106 4.7.3 Zeitinvariante Systeme 107 4.7.4 Detektierbarkeit und Polvorgabe 108 4.8 Literatur zu Kapitel 4 110 4.9 Aufgaben zu Kapitel 4 110 5 Entwurf von Reglern mit linearer Zustandsriickfiihrung 114 5.1 Warum lineare Zustandsruckfiihrung? 114 5.2 Das zeitvariable LQ-Regulator-Problem 115 5.2.1 Problemstellung 115 5.2.2 Lasung des Regulatorproblems 116 5.2.3 Verifikation del' Lasung und Kommentare 117 5.2.4 Beispiel: System 1. Ordnung 119 5.3 Das zeitinvariante LQ-Regulator-Problem 121 5.3.1 Konservative Problemstellung 122 5.3.2 Lasung des Regulatorproblems 123 5.3.3 Kommentare 124 5.3.4 Beispiel: System 3. Ordnung 129 5.4 Literatur zu Kapitel 5 132 5.5 Aufgaben zu Kapitel 5 133 6 Entwurf von Reglern mit linearer Ausgangsriickfiihrung 135 6.1 Der L uenberger-beo bachter 136 6.2 Das Separations-Theorem 138 6.3 MehrgraBen-Folgeregel ung 138 6.3.1 Struktur des Folgeregelungssystems 138 6.3.2 LQG/LTR: eine Methode fur den Entwurf robuster RegIer 141 6.3.3 Kommentare 146 6.4 Fallstudie: Otto motor 147 6.5 Literatur zu Kapitel 6 153 6.6 Aufgaben zu Kapitel 6 155 7 Systembetrachtungen zum Messen und Stellen 156 7.1 Literatur zu Kapitel 7 159 7.2 Aufgabe zu Kapitel 7 160

x Inba,lt 8 Beschreibung von Zufallsprozessen im Zeitbereich 8.1 Dynamische Messung............. 161 8.2 Zufallsprozesse und ihre Kennzeichnung im Zeit bereich 163 8.2.1 Der ZufallsprozeB als unendliche Familie von Zufallsvariablen 163 8.2.2 Der momentane Erwartungswert..... 163 8.2.3 Autokorrelationsfunktion, Autokovarianzfunktion, Autokovarianzmatrix........ " 164 8.2.4 Stationare Zufallsprozesse 167 8.2.5 Stationiire, ergodische Zufallsprozesse 168 8.3 WeiBes Rauschen 169 8.4 Literatur zu Kapitel 8 175 8.5 Aufgaben zu Kapitel 8 175 161 9 Analyse stochastischer linearer dynamischer Systeme im Zeit bereich................... 176 9.1 9.2 9.3 Farbiges Rauschen als Eingangsvektor.... WeiBes Rauschen als Eingangsvektor Stationiires weibes Rauschen als Eingangsvektor 176 179 182 9.4 Beispiele.... 183 9.4.1 System 1. Ordnung 9.4.2 Unterkritisch gedampftes System 2. Ordnung 183 186 9.5 Das Kalman-Bucy Filter....... 190 9.5.1 Problemstellung........ 190 9.5.2 Li:isung des Optimierungsproblems 192 9.5.3 Verifikation der Optimalitat des Kalman-Bucy-Filters 193 9.5.4 Kommentare 195 9.6 Literatur zu Kapitel 9 196 9.7 Aufgaben zu Kapitel 9 197 10 Beschreibung stationarer Zufallsprozesse im Frequenzbereich 199 10.1 Spektrum oder spektrale Leistungsdichte eines stationaren Zufallsprozesses 199 10.2 Interpretation des Spektrums 200 10.3 Beispiele... 20l 10.4 Behandlung des Erwartungswerts des Signals 208 10.5 Eigenschaften des Spektrums 209 10.6 Literatur zu Kapitel 10 210 10.7 Aufgaben zu Kapitel 10 210

11 Analyse stochastischer linearer zeitinvarianter dynamischer Systeme im Frequenzbereich............... 211 11.1 Problemstellung... 211 11.2 Spektrum des Ausgangsvektors 212 11.3 Dezibel-Skala fur Spektren 214 11.4 Beispiele 215 11.5 Literatur zu Kapitel 11 219 11.6 Aufgaben zu Kapitel 11 219 12 Digitale Regelung.... 220 12.1 Grundsatzliche Funktionsweise 221 12.2 Signalabtastung... 223 12.2.1 Amplituden-Abtastung 223 12.2.2 Die Z-Transformation. 223 12.2.3 Das Abtasttheorem von Shannon 227 12.2.4 Der Impuls-Abtaster 228 12.3 Signalrekonstruktion 230 12.4 Analyse zeitdiskreter linearer Systeme 231 12.4.1 Analogie zur Differentialgleichung n-ter Ordnung 231 12.4.2 Ubergang von einer diskreten Bewegungsgleichung h6herer Ordnung zu einem Zustandsraummodell 235 12.4.3 Umsetzung eines zeitkontinuierlichen Zustandfiraummodells in ein zeitdiskretes Zustandsraummodell 237 12.4.4 Zusammenhang zwischen der Laplace-Transformation und der Z-Transformation 238 12.5 Stochastik.......... 243 12.5.1 Zeitdiskrete Zufallsprozesse 243 12.5.2 Analyse stochastischer linearer Systeme 245 12.5.3 Das zeitdiskrete Kalman-Bucy Filter 246 12.5.4 Aquivalente weibe Rauschprozesse 248 12.6 Synthese zeitdiskreter RegIer..... 249 12.6.1 Reglerentwurf im Zeitbereich.. 250 12.6.2 Reglerentwurf im Frequenzbereich 254 12.6.3 Wahl der Regelrate 255 12.7 Literatur zu Kapitel 12 257 12.8 Aufgaben zu Kapitel 12 257

XII Inbalt Losungen zu den Aufgaben 259 Anhang 1. Komplexe Zahlen 277 Anhang 2. Bode-Diagramme 281 Anhang 3. Lineare Algebra 286 Anhang 4. Linearisierung eines nichtlinearen dynamischen Systems um eine Nominaltrajektorie herum 302 Anhang 5. Wahrscheinlichkeitslehre 304 Sachverzeichnis 317