ARCH- und GARCH-Modelle Thomas Simon Analyse und Modellierung komplexer Systeme 04.11.2009 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 1 / 27
Ausgangssituation Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten Es handelt sich um zufällige Daten, die nicht redundant sind Datensätze sehr umfangreich Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 2 / 27
Ausgangssituation Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten Es handelt sich um zufällige Daten, die nicht redundant sind Datensätze sehr umfangreich Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 2 / 27
Ausgangssituation Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten Es handelt sich um zufällige Daten, die nicht redundant sind Datensätze sehr umfangreich Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 2 / 27
Ausgangssituation Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten Es handelt sich um zufällige Daten, die nicht redundant sind Datensätze sehr umfangreich Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 2 / 27
Ausgangssituation Ziel ist die Beschreibung von Finanzmarktdaten Es handelt sich um zufällige Daten, die nicht redundant sind Datensätze sehr umfangreich Liegen jeweils in verschiedenen Zeiteinheiten vor ARCH- und GARCH Modelle: stochastiche Prozesse homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 2 / 27
Probleme der richtigen Größen und Skalen Was wird modelliert? Z(t) Y (t + t) Y (t) Z D (t) [Y (t + t) Y (t)]d(t) Y (t + t) Y (t) R(t) = Z(t) Y (t) Y (t) S(t) log(y (t + t)) log(y (t)) homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 3 / 27
Probleme der richtigen Größen und Skalen Zeitskala Zeitskala: Physikalische Zeit Handelszeit Durchführung von Transaktionen homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 4 / 27
Probleme der richtigen Größen und Skalen Zeitskala Zeitskala: Physikalische Zeit Handelszeit Durchführung von Transaktionen homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 4 / 27
Probleme der richtigen Größen und Skalen Zeitskala Zeitskala: Physikalische Zeit Handelszeit Durchführung von Transaktionen homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 4 / 27
Zeitskalen am Beispiel des S&P 500 index Im rechten Plot wurde Z mit α = 1.4 wie folgt skaliert: Z Z ( t) 1 α homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 5 / 27
Empirische Dichte für t = 1 min des S&P 500 index homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 6 / 27
Charakteristika von Finanzmarktdaten Eigenschaften der Daten Leptokurtische Verteilung Volatilitätsclustering Stochastische Trends vs. Stationarität Leverage-Effekt homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 7 / 27
Charakteristika von Finanzmarktdaten Eigenschaften der Daten Leptokurtische Verteilung Volatilitätsclustering Stochastische Trends vs. Stationarität Leverage-Effekt homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 7 / 27
Charakteristika von Finanzmarktdaten Eigenschaften der Daten Leptokurtische Verteilung Volatilitätsclustering Stochastische Trends vs. Stationarität Leverage-Effekt homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 7 / 27
Charakteristika von Finanzmarktdaten Eigenschaften der Daten Leptokurtische Verteilung Volatilitätsclustering Stochastische Trends vs. Stationarität Leverage-Effekt homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 7 / 27
ARCH(p)-Prozess Definition ARCH-Prozess ist ein diskreter stochastischer Prozess (x t ) t N x t normalverteilt mit µ = 0 und Varianz σ 2 t σ 2 t = α 0 + α 1 x 2 t 1 +... + α px 2 t p. α 0, α 1,..., α p R +. Im Falle von p Parametern spricht man von einem ARCH(p)-Prozess. Der Preisprozess ist gegeben durch die kumulierten Zuwächse: S(t) = t x i. i=1 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 8 / 27
ARCH(1)-Prozess Eigenschaften σ t = α 0 + α 1 x 2 t 1 Nicht-bedingte Varianz von (x t ) t N : falls 1 α 1 0 und 0 α 1 < 1. Nicht-bedingte Kurtosis von (x t ) t N : σ = α 0 1 α 1 (1) κ = 3 + 6α2 1 1 3α 2 1 (2) falls 0 α 1 < 1 3 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 9 / 27
ARCH(1)-Prozess Eigenschaften σ t = α 0 + α 1 x 2 t 1 Nicht-bedingte Varianz von (x t ) t N : falls 1 α 1 0 und 0 α 1 < 1. Nicht-bedingte Kurtosis von (x t ) t N : σ = α 0 1 α 1 (1) κ = 3 + 6α2 1 1 3α 2 1 (2) falls 0 α 1 < 1 3 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 9 / 27
ARCH(1)-Prozess Eigenschaften σ t = α 0 + α 1 x 2 t 1 Nicht-bedingte Varianz von (x t ) t N : falls 1 α 1 0 und 0 α 1 < 1. Nicht-bedingte Kurtosis von (x t ) t N : σ = α 0 1 α 1 (1) κ = 3 + 6α2 1 1 3α 2 1 (2) falls 0 α 1 < 1 3 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 9 / 27
ARCH(1)-Prozess Simulation in R arch <- function(a,n,s=1){ c=mat.or.vec(n,1) c[1]=(rnorm(1,0,s)) 2 for(i in 1:(n-1)){ s=sqrt(a[1]+a[2]*(c[i] 2 )) c[i+1]=rnorm(1,0,s) } return(c) } k=arch(a,100000) S=cumsum(k) homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 10 / 27
Simulation von S t homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 11 / 27
Simulation der Zunahmen x t homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 12 / 27
Simulation der zugehörigen Dichte(α 0 = 1, α 1 = 0) Moment Theoretisch Empirisch Varianz 1 1 Kurtosis 3 2.99 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 13 / 27
Simulation der zugehörigen Dichte(α 0 = 0.5, α 1 = 0.5) Moment Theoretisch Empirisch Varianz 1 1 Kurtosis 9 8.16 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 14 / 27
Simulation der zugehörigen Dichte(α 0 = 0.45, α 1 = 0.55) Moment Theoretisch Empirisch Varianz 1 0.98 Kurtosis 23 21.81 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 15 / 27
Probleme des ARCH-Modells Gute Modellierung einer Zeitreihe benötigt zahlreiche Paramter Schätzprobleme Bedingt wird nur unter den einzelnen Zuwächsen Volatilitätsclustering wird unzureichend wiedergegeben Idee Verallgemeinerung des ARCH-Modells homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 16 / 27
Probleme des ARCH-Modells Gute Modellierung einer Zeitreihe benötigt zahlreiche Paramter Schätzprobleme Bedingt wird nur unter den einzelnen Zuwächsen Volatilitätsclustering wird unzureichend wiedergegeben Idee Verallgemeinerung des ARCH-Modells homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 16 / 27
GARCH(q,p)-Prozess Definition GARCH-Prozess ist ein diskreter stochastischer Prozess (x t ) t N x t normalverteilt mit µ = 0 und Varianz σ 2 t σ 2 t = α 0 + α 1 x 2 t 1 +... + α px 2 t p + β 1 σ 2 t 1 +... + β qσ 2 t q α 0,..., α p, β 1,..., β q R +. Im Falle von p, bzw. q Parametern spricht man von einem GARCH(p,q)-Prozess. Der Preisprozess ist gegeben durch die kumulierten Zuwächse: S(t) = t x i. i=1 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 17 / 27
GARCH(1,1)-Prozess Eigenschaften σ t = α 0 + α 1 x 2 t 1 + β 1σ 2 t 1 Nicht-bedingte Varianz von (x t ) t N : σ = Nicht-bedingte Kurtosis von (x t ) t N : α 0 1 α 1 β 1 (3) 6α 2 1 κ = 3 + 1 3α1 2 2α 1β 1 β1 2 (4) homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 18 / 27
GARCH(1,1)-Prozess Eigenschaften σ t = α 0 + α 1 x 2 t 1 + β 1σ 2 t 1 Nicht-bedingte Varianz von (x t ) t N : σ = Nicht-bedingte Kurtosis von (x t ) t N : α 0 1 α 1 β 1 (3) 6α 2 1 κ = 3 + 1 3α1 2 2α 1β 1 β1 2 (4) homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 18 / 27
GARCH(1,1)-Prozess Eigenschaften σ t = α 0 + α 1 x 2 t 1 + β 1σ 2 t 1 Nicht-bedingte Varianz von (x t ) t N : σ = Nicht-bedingte Kurtosis von (x t ) t N : α 0 1 α 1 β 1 (3) 6α 2 1 κ = 3 + 1 3α1 2 2α 1β 1 β1 2 (4) homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 18 / 27
GARCH(1,1)-Prozess Eigenschaften σ t = α 0 + α 1 x 2 t 1 + β 1σ 2 t 1 Nicht-bedingte Varianz von (x t ) t N : σ = Nicht-bedingte Kurtosis von (x t ) t N : α 0 1 α 1 β 1 (3) 6α 2 1 κ = 3 + 1 3α1 2 2α 1β 1 β1 2 (4) homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 18 / 27
Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten für t = 1 min Wahl der Kontrollparameter S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis. β 1 = 0.9 Berechnung der Kontrollparameter Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 19 / 27
Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten für t = 1 min Wahl der Kontrollparameter S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis. β 1 = 0.9 Berechnung der Kontrollparameter Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 19 / 27
Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten für t = 1 min Wahl der Kontrollparameter S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis. β 1 = 0.9 Berechnung der Kontrollparameter Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 19 / 27
Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten für t = 1 min Wahl der Kontrollparameter S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis. β 1 = 0.9 Berechnung der Kontrollparameter Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 19 / 27
Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten für t = 1 min Wahl der Kontrollparameter S&P 500 -Daten liefern Varianz und Kurtosis. β 1 = 0.9 Berechnung der Kontrollparameter Simulation des Prozesses gibt eine empirische Dichte homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 19 / 27
Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten für t = 1 min Linkes Bild: Simulierter GARCH(1,1)-Prozess mit α 0 = 2.3 10 5, α 1 = 0.09105 und β 1 = 0.9. Rechtes Bild: Vergleich mit einer Normalverteilung und einem TLF. homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 20 / 27
Vergleich mit den empirischen S&P 500 Daten für t = 1 min Linkes Bild: Simulierter GARCH(1,1)-Prozess mit α 0 = 2.3 10 5, α 1 = 0.09105 und β 1 = 0.9. Rechtes Bild: Vergleich mit einer Normalverteilung und einem TLF. homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 20 / 27
Auswirkungen der Wahl des Zeitintervalls Kreise: S&P hochfrequente Daten. Quadrate: Simulation eines GARCH(1,1)Prozesses. homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 21 / 27
Autokovarianz des Prozesses Begriff der Autokovarianz cov(z t, z t+n ) = E{(z t E{z t }) (z t+n E{z t+n })} Autokovarianz von (x 2 t ) t N cov(x 2 t, x 2 t+n) =(α 1 + β 1 )cov(x 2 t, x 2 t+n 1) =(α 1 + β 1 ) n cov(xt 2, xt 2 ) ( ) n =exp ln(α 1 + β 1 ) 1 var(xt 2 ) ( =Aexp n ) τ Korrelation der Varianz Empirische Daten : polynomielle Korrelation GARCH - Modell : exponentielle Korrelation homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 22 / 27
Autokovarianz des Prozesses Begriff der Autokovarianz cov(z t, z t+n ) = E{(z t E{z t }) (z t+n E{z t+n })} Autokovarianz von (x 2 t ) t N cov(x 2 t, x 2 t+n) =(α 1 + β 1 )cov(x 2 t, x 2 t+n 1) =(α 1 + β 1 ) n cov(xt 2, xt 2 ) ( ) n =exp ln(α 1 + β 1 ) 1 var(xt 2 ) ( =Aexp n ) τ Korrelation der Varianz Empirische Daten : polynomielle Korrelation GARCH - Modell : exponentielle Korrelation homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 22 / 27
Autokovarianz des Prozesses Begriff der Autokovarianz cov(z t, z t+n ) = E{(z t E{z t }) (z t+n E{z t+n })} Autokovarianz von (x 2 t ) t N cov(x 2 t, x 2 t+n) =(α 1 + β 1 )cov(x 2 t, x 2 t+n 1) =(α 1 + β 1 ) n cov(xt 2, xt 2 ) ( ) n =exp ln(α 1 + β 1 ) 1 var(xt 2 ) ( =Aexp n ) τ Korrelation der Varianz Empirische Daten : polynomielle Korrelation GARCH - Modell : exponentielle Korrelation homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 22 / 27
Aggregation des Prozesses Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz Falls (x t ) t N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz n Sn = 1 x σ 2 t ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0, σ 2 = 1). n t=1 Einfache Aggregation ABER: S (m) m 1 t = x t i (5) i=0 Ist wieder GARCH-Prozess in t. Kontrollparameteränderung! homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27
Aggregation des Prozesses Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz Falls (x t ) t N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz n Sn = 1 x σ 2 t ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0, σ 2 = 1). n t=1 Einfache Aggregation ABER: S (m) m 1 t = x t i (5) i=0 Ist wieder GARCH-Prozess in t. Kontrollparameteränderung! homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27
Aggregation des Prozesses Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz Falls (x t ) t N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz n Sn = 1 x σ 2 t ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0, σ 2 = 1). n t=1 Einfache Aggregation ABER: S (m) m 1 t = x t i (5) i=0 Ist wieder GARCH-Prozess in t. Kontrollparameteränderung! homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27
Aggregation des Prozesses Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz Falls (x t ) t N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz n Sn = 1 x σ 2 t ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0, σ 2 = 1). n t=1 Einfache Aggregation ABER: S (m) m 1 t = x t i (5) i=0 Ist wieder GARCH-Prozess in t. Kontrollparameteränderung! homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27
Aggregation des Prozesses Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz Falls (x t ) t N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz n Sn = 1 x σ 2 t ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0, σ 2 = 1). n t=1 Einfache Aggregation ABER: S (m) m 1 t = x t i (5) i=0 Ist wieder GARCH-Prozess in t. Kontrollparameteränderung! homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27
Aggregation des Prozesses Normierte Aggregation - Zentraler Grenzwertsatz Falls (x t ) t N i.i.d. und Varianz endlich: zentraler Grenzwertsatz n Sn = 1 x σ 2 t ist dann im Grenzwert normalverteilt(µ = 0, σ 2 = 1). n t=1 Einfache Aggregation ABER: S (m) m 1 t = x t i (5) i=0 Ist wieder GARCH-Prozess in t. Kontrollparameteränderung! homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 23 / 27
Aggregation des Prozesses Veränderung der Parameter durch einfache temporale Aggregation α (m) 0 =α 0 1 B m 1 B α (m) 1 =B m β (m) wobei β (m) (0, 1) die Lösung der folgenden quadratischen Gleichung ist. β (m) 1 + [β (m) ] 2 = β 1 B m 1 1 + α 2 1 [1 B2m 2 ]/[1 B 2 ] + β 2 1 B2m 2 homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 24 / 27
Parameteränderung bei Aggregation Die Startpunkte sind (β 1 = 0.8), (α 1 = 0.05,.1,.19,.199 und.1999). Das Zeitfenster der Aggregation wird verdoppelt, bzw. halbiert. homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 25 / 27
Zusammenfassung GARCH-Prozess beschreibt sehr gut hochfrequente Finanzzeitreihen Zeitskalierung kann nicht abgebildet werden Anwendung: Vorhersage von Schwankungen >Risikoeinschätzung Wichtige Annahme: Asymptotische Stationarität Modellerweiterungen homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 26 / 27
Noch Fragen...? homas Simon (Analyse und Modellierung komplexerarch- Systeme) und GARCH-Modelle 04.11.2009 27 / 27