38 3 Lineare Gleichungsssteme mit zwei Variablen Lineare Gleichungsssteme grafisch lösen Beim Tarif REGENBGEN zahle ich für das Telefonieren mit dem Hand zwar einen Grundpreis. Dafür sind aber die Gesprächseinheiten viel billiger! Da komme ich mit meinem Tarif UF mit null Euro Grundgebühr viel günstiger weg! a) Welche der beiden Halbgeraden stehen für die Tarife REGENBGEN und UF? Begründe. b) Hat Lena recht oder Giuseppe? Begründe. c) Gib die Gleichungen der beiden Halbgeraden [A und [BC an. d) Welche Bedeutung haben die Koordinaten des chnittpunktes der beiden Halbgeraden? 40 Preis in 7 A 30 C 20 B 0 Gesprächszeit in min 20 40 60 80 00 lineares Gleichungssstem Verknüpft man zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen durch Ÿ ( und zugleich ), so entsteht ein lineares Gleichungssstem. Die Lösung erhält man als Koordinaten des chnittpunktes der beiden Geraden g und h, die zu den beiden Gleichungen gehören: {} = g «h. Die Lösung erfüllt die beiden Gleichungen gleichzeitig. 2 o kann man ein lineares Gleichungssstem mit zwei Variablen grafisch lösen. (I) + = 3,5 G = Q Q (II) Ÿ 0,5 = 0,5 Löse beide Gleichungen nach auf, so dass sie die Form = m + t erhalten. Zeichne für jede der beiden Gleichungen die zugehörige Gerade ins Koordinatensstem. (I) = + 3,5 (II) Ÿ = 2 g 2 : = 2 (,5 2) g : = + 3,5 grafisches Lösungsverfahren Lies die Koordinaten des chnittpunktes ab. Mache die Probe durch Einsetzen der Koordinaten von in beide Ausgangsgleichungen. Gib die Lösung an. (,5 2 ) (I) 2 +,5 = 3,5 (w) (II) Ÿ 0,5 2 =,5 0,5 (w) L = {(,5 2)} a) 3 = 2 b) = + c) = 0,5 2 4 d) = 3 + 2 Ÿ = + 6 Ÿ = 2 + 7 Ÿ = 3 Ÿ + = 6
Lineare Gleichungsssteme grafisch lösen 39 3 Bestimme grafisch die Lösungsmenge (G = Q Q). a) 2 = 2 + 4 b) 4 + 4 = 8 c) 9 3 3 = 0 d) 4 + 3 = 2 Ÿ 2 6 = 30 Ÿ 5 + 5 = 0 Ÿ 2 = 9 Ÿ 6 6 = 0 4 Ermittle grafisch die Lösungsmenge mithilfe des GTR (G = Q Q). a) 3 8 = 4 b) 3 2 = 0,6 c) 6,5 + = 5 d) 3 + 3 = 26 Ÿ = 0,25 + 2 Ÿ 9,2 = Ÿ = 9 7 Ÿ 2 =,5 + L zu 3 und 4: (6 4); ( 4 2); (4 ); (,8 9); (4 3); (,5,5); ( 2 4); (5 2) 5 Lies die Lösung ab. Gib das zugehörige Gleichungssstem an. a) b) c) h Wenn nichts anderes angegeben ist, gilt: G = Q Q g h g h g 6 Von Amhofen nach Burgstadt ist eine Reisegruppe mit Fahrrädern unterwegs. Ein Kleinbus ist für die Versorgung mit Getränken und für eventuelle Pannenhilfe zuständig. In den Bildern I und II sind mögliche Fahrten von Bus und Fahrradgruppe dargestellt. I R P km Burgstadt 40 km Burgstadt 40 II R P 30 20 30 20 0 0 Amhofen 20 40 60 80 00 20 Q min Amhofen 20 40 60 80 00 20 Q min a) Welcher der Graphen stellt die Fahrt mit dem Rad bzw. mit dem Bus dar? Begründe. b) Gib die Geschwindigkeiten der Radfahrer und des Kleinbusses an. c) In welche Richtung fährt der Bus aufgrund von Bild I bzw. Bild II? Begründe. d) Ermittle die Gleichungen der Geraden, auf denen der blaue und der grüne Graph liegen. e) Wann fährt der Bus ab, wann trifft er auf die Radfahrergruppe? Wie weit fährt er dabei? f) Ermittle grafisch in deinem Heft, wann der Bus in Amhofen abfahren muss, damit er auf die Radfahrgruppe trifft, wenn diese die Hälfte ihrer Etappe zurückgelegt hat. Die Geschwindigkeit des Busses soll so groß sein wie in b).
40 Rechnerische Lösung linearer Gleichungsssteme Gleichsetzungsverfahren 9 a) Versuche die Lösung des Gleichungssstems (I) = 4 + 2; G = Q + Q + (II) Ÿ = 5 grafisch (ohne GTR) zu ermitteln. Welches Problem ergibt sich? b) Im chnittpunkt der zu a) zugehörigen Geraden haben beide Gleichungen denselben -Wert. Damit sind auch die Werte der Terme 4 + 2 und 5 gleich. Berechne den zugehörigen -Wert. Ermittle anschließend die Lösung des Gleichungssstems. c) Die folgenden Bilder zeigen, wie man die Lösung des obigen Gleichungssstems auch mithilfe des Waagemodells veranschaulichen kann. Erkläre. I III II 4 + 2 = d) Ergänze in deinem Heft den Platzhalter. Bestätige die Lösung in b). 2 o kann man mit dem Gleichsetzungsverfahren ein lineares Gleichungssstem durch Rechnung lösen. (I) + 2 = (II) Ÿ 2 = 6 + 4 Aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen bildet man zunächst eine Gleichung mit einer Variablen. Löse dazu beide Gleichungen nach derselben Variablen auf. (I) (II) = 2 + Ÿ = 3 + 2 Gleichsetzungsverfahren etze die Terme auf der rechten eite gleich und berechne den Wert von. Berechne den Wert von, indem du den Wert von in die Gleichung (I) oder (II) einsetzt. Mache die Probe. etze dazu die Lösung in die beiden Ausgangsgleichungen ein. Gib die Lösungsmenge an. (I) = (II) 2 + = 3 + 2 5 = = 0,2 (I) = 2 ( 0,2 ) + =,4 (I),4 + 2 ( 0,2 ) = (w) (II) Ÿ 2,4 = 6 ( 0,2 )+ 4 (w) L = {( 0,2,4)} Übungen a) = 0,5 + 5 b) = 3 5 c) =,5 20 d) =,5 Ÿ = 2,5 7 Ÿ = 0,5 + 3 Ÿ + = 5 Ÿ = 3 8 e) 3 2 = 6 f) 2 + 6 = 2 g) 2 + 3 = 2 h) 6 = 8 Ÿ 4 + 00 = 40 Ÿ 4 2 = 94 Ÿ 8 34 = 2 Ÿ 2 = 5 + 4
Rechnerische Lösung linearer Gleichungsssteme Gleichsetzungsverfahren 4 3 Im Beispiel werden die Gleichungen jeweils nach dem gleichen Vielfachen von aufgelöst. a) Erläutere das im Beispiel angewandte Verfahren. b) Bestimme die Lösungsmenge des Gleichungssstems. (I) 3 5 = 4 (II) Ÿ 3 + 2 = (I) 3 = (II) Ÿ 3 = 5 + 4 5 + 4 2 + = 2 + 4 Löse nach einem Vielfachen von auf und wende das Gleichsetzungsverfahren an. Führe die Probe durch. a) 3 5 = b) 7 = 30 c) 5 + = 46 d) 4 6 = 72 Ÿ 3 + = Ÿ 0 7 = 33 Ÿ 26 = 0 Ÿ 6 + 5 = 8 e) 7 3 = 9 f) 6 + 4 = 98 g) 4 + 6 = 32 h) 4 + = 42 Ÿ 3 0 = 3 Ÿ 4 7 = 20 Ÿ 22 + 3 = 6 Ÿ 4 + 4 = 5 5 o kann man ein lineares Gleichungssstem mit Brüchen in ein lineares Gleichungssstem ohne Brüche umformen. Multipliziere die Gleichungen mit dem jeweiligen Hauptnenner. Kürze die Brüche. 2 3 (I) 6 = 3 + 4 (II) Ÿ 0,5 = + 0,75 2 3 (I) 6 = 3 + 4 2 (II) Ÿ 0,5 = + 0,75 2 2 2 2 3 2 (I) 6 = 3 + 4 (II) Ÿ = 2 +,5 (I) 2 = 8 + 9 (II) Ÿ = 2 +,5 Berechne die Lösungsmenge des oben bereits vereinfachten Gleichungssstems. 6 Bestimme die Lösungsmenge. 3 4 a) = 0,75 + 9 b) 7 = + 2 c) 8 = 4 + 2 d) 3 + 3 = 0,5 Ÿ = 2 Ÿ 2 = 3 + 6 Ÿ 9 = 80 5 5 3 5 4 Ÿ 8 = 0,75 + 5 4 L ( 3,5); ( 0 9 ); (4 6); ( 0 4); (3 2,5) 7 Ein wirklich gut aussehender Mann! Wie alt ist er und wo wohnt er? In der König-Ludwig-traße. ein Alter ist ein Drittel seiner Hausnummer. Ein Dreizehntel seiner Hausnummer und ein Dreizehntel seines Alters ergeben zusammen acht.
42 Lösbarkeit von linearen Gleichungssstemen (I),5 = 3 + 4,5 (II) ^,5 = 3 + 6 (I) = 0,5 + 3 (II) ^ 3 = 0,5 Bei mir auch! Aber bei mir ergibt sich eine wahre Aussage. Die Variablen fallen weg! (I),5 = (II) ^,5= 3 + 4,5 3 6 3 + 4,5 = 3 6 4,5 = 6 (I) = 0,5 + 3 (II) ^ 3+0,5 = 0,5 + 3 = 3+0,5 3 = 3 a) Überprüfe, ob die beiden chüler richtig gerechnet haben. b) Zeichne die zu den beiden Gleichungssstemen zugehörigen Geraden. Kannst du jetzt eine Lösungsmenge angeben?. c) Nenne Bedingungen, für die ein lineares Gleichungssstem genau eine Lösung, keine Lösung oder unendliche viele Lösungen besitzt. Für ein lineares Gleichungssstem gibt es folgende Lösungsmöglichkeiten: Lösbarkeit linearer Gleichungsssteme Die zugehörigen Geraden haben unterschiedliche teigung. Es gibt einen chnittpunkt und somit eine Lösung. m g m h g: = 0,75 + 2,5 Die zugehörigen Geraden haben gleiche teigung, aber unterschiedliche -Achsenabschnitte. Die Geraden sind parallel. Es gibt keinen chnittpunkt und somit keine Lösung. m g = m h und t g t n Die zugehörigen Geraden haben gleiche teigung und gleiche - Achsenabschnitte. Die Geraden sind identisch. omit gibt es unendlich viele Lösungen. m g = m h und t g = t n g: = 0,5 + g: = 0,5( 2)+2 (2 ) h: = h: = 0,5 0,5 h: = 0,5 + L = {(2 )} L = 0 L = {( ) = 0,5 + } Übungen 2 Entscheide, wie viele Lösungen das Gleichungssstem besitzt. Ermittle diese dann gegebenenfalls. a) 2,5 5 = 0 b) 3 = + 6 c) = 2,5 + 4 d),5 3 = 4,5 Ÿ = 0,5 + 2 Ÿ 6 2 = 6 Ÿ 3,5 = 6 Ÿ 2 = 4 + 6 3 etze in deinem Heft für die Platzhalter Zahlen aus der Menge { 2; 6; 6; 8; 0} so ein, dass das Gleichungssstem 2 = 3 5 Ÿ 4 = a) genau eine Lösung b) keine Lösung c) unendlich viele Lösungen hat.
Rechnerische Lösung linearer Gleichungsssteme Einsetzungsverfahren 43 I III II 2 ( + ) + 5 = a) Übersetze die Aufgabenstellung in den beiden Bildern I und II in ein lineares Gleichungssstem mit zwei Variablen. b) Erkläre, wie man aus den beiden Bildern I und II auf das Bild III schließen kann. c) Ergänze in deinem Heft die Platzhalter. Löse das lineare Gleichungssstem. 2 o kann man mit dem Einsetzungsverfahren ein lineares Gleichungssstem lösen: (I) + 2 = (II) Ÿ 2 6 = 4 Einsetzungsverfahren Aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen bildet man zunächst eine Gleichung mit einer Variablen. Löse eine Gleichung nach auf. (I) = 2 + (II) Ÿ 2 6 = 4 Du kannst auch nach auflösen! etze den Term für in die Gleichung (II) ein und berechne den Wert von. Berechne den Wert von, indem du den Wert von in die Gleichung (I) oder (II) einsetzt. Mache die Probe. etze dazu die Lösung in die beiden Ausgangsgleichungen ein. Gib die Lösungsmenge an. (I) in (II) 2 ( 2 + ) 6 = 4 4 + 2 6 = 4 0 = 2 = 0,2 (I) = 2 ( 0,2 ) + =,4 (I),4 + 2 ( 0,2 ) = (w) (II) Ÿ 2,4 6 ( 0,2 ) = 4 (w) L = {( 0,2,4)} Übung a) 2 + 3 = 45 b) = 3 c) = 3 + d) = 6 4 Ÿ = 6 Ÿ 5 4 = 22 Ÿ 4 + = 3 Ÿ +5 = 30 e) 0,6 + 3 = 4,2 f) 4,5 = 9 3,5 g) 7( + 5) = 3,5 h) 4 ( 3) = 2 Ÿ 2 4 = 7 Ÿ 2 + 6 8 = 0 Ÿ 0,5 + 4 = 3 Ÿ 3 + 2 = 6 L ( 0 4); (3 0); (3 8); (6 2); ( 0,5,5); ( 0,25 9,5); (0 3); (2 5)
44 Rechnerische Lösung linearer Gleichungsssteme Additionsverfahren I III II 2 + 3 + 2 + = a) Notiere in deinem Heft das mit den Waagen I und II dargestellte lineare Gleichungssstem. b) Beschreibe, wie man aus den Waagen I und II die Waage III erhält. Ergänze in deinem Heft den Platzhalter. c) Berechne die Lösung des linearen Gleichungssstems. 2 In den folgenden Beispielen A und B werden lineare Gleichungsssteme mithilfe des Additionsverfahrens gelöst. Additionsverfahren A (I) 7 2 = + B (I) + 7 = 3 + 2 (II) Ÿ 2 + 3 = 2 (II) Ÿ 2 + 3 = 8 (I) + (II) (I) + (II) 7 2 + 2 + 3 = + + 2 + 7 + 2 + 3 = 3 + 2 + 8 3 7 7 + 3 = + 3 7 2 = 6 3 = 3 = = 3 a) Warum darf man gleichzeitig die Terme auf den rechten eiten und auf den linken eiten der beiden Gleichungen addieren? b) Welches Ziel erreichst du mit dem gleichzeitigen Addieren der Terme auf den rechten und linken eiten in den Beispielen A und B? c) Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungsssteme. Mache die Probe. Übungen 3 Berechne die Lösungsmenge mithilfe des Additionsverfahrens. a) 4 + 3 = 7 b) 5 + = 3 c) 3 + 2 = 5 d) + = 2 Ÿ 3 = 2 Ÿ 2 = + Ÿ 3 + 4 = 7 Ÿ 2 + 7 = 3 e) 7 + 0,3 = f) 3,5 + 2,5 = 3 g) 7 + 4 = 9 h) 5 + 3 = 2 Ÿ 7 +,7 = Ÿ 3 + = 0 Ÿ 4 = 79 Ÿ 5 22,5 = 96 L (5 ); (3 2); (4 2,5); ( 7,8 6); ( 7); ( 3); (0, ); (2 3) Wie lang ist ein Zug, der in 40 ekunden mit einer Geschwindigkeit von 08 700 m lange Brücke rollt? km h über eine
Rechnerische Lösung linearer Gleichungsssteme Additionsverfahren 45 4 o kann man ein lineares Gleichungssstem umformen, damit sich das Additionsverfahren anwenden lässt. Forme die Gleichungen geschickt so um, dass durch Addition eine Variable herausfällt. Fahre fort wie auf eite 44, Aufgabe 2. (I) 6 + 5 = 2 (II) Ÿ 4 + 2 =,2 ( 3) (I) 2 + 0 = 2 (II) Ÿ 2 6 = 3,6 (I) + (II) 0 6 = 2 + 3,6 4 = 5,6 Berechne die Lösung des Beispiels im grünen Kasten und mache die Probe. 5 Berechne die Lösungsmenge mithilfe des Additionsverfahrens. a) 6 4 = 0 b),75 + = 2,25 c) 6 + 6 = 2 d) 4 + 8 = 8 Ÿ 4 + 2 = 44 Ÿ 4 = 79 Ÿ 4 + 4 = 6 Ÿ 3 2 = 237 e) 6 + 2 = 68 f) 7 + 25 = 6 g) 0,25 + 0,5 = h) ( 2) = Ÿ 2 + 6 = 6 Ÿ,5 + 0,5 = 5 Ÿ + 0,5 = 7,5 Ÿ 0,2 = 6 2 +2 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 6 Maria und Leon möchten lineare Gleichungsssteme mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms lösen. ie entscheiden sich für das Additionsverfahren. Additionsverfahren A B C D E F G H Additionsverfahren (I) (II) (I) (II) (I)+(II) 2 + + Einsetzen in (I) 0 + B3*F2 Lösung: 4 + 33 + B4*H4 29 = B6+B7 = = 3 = 2 = 6 6 3 3 5 = = = = = 6 59 I* I* 32 77 F4*H4 45 5 F0/H0 = 6 6 2 I: 2 D3 2 29 Anhand des Beispiels wollen sie ein allgemeines Lösungsverfahren entwickeln. Deshalb arbeiten sie mit den Adressen der entsprechenden Zellen, nicht mit den Inhalten. Damit bei der anschließenden Addition herausfällt, multiplizieren sie B3, D3 und F3 mit D4. a) Gib an, womit die Zellen B4, D4 und F4 multipliziert werden müssen. b) Gib die Vorschriften für die Zellen H3, F0 und H0 an. c) Wie lauten die Vorschriften für die Zellen D5, F5, F6 und F7? d) Ändere im Beispiel den Wert der Zelle B3 von 2 auf 4. Gib das lineare Gleichungssstem und dessen Lösung an. e) Ändere die Werte in den Zellen B3, D3, F3, B4, D4 und F4 nach deinen Vorstellungen. Gib die Lösung der zugehörigen Gleichungsssteme an. f) Finde Werte für die Zellen in e) so, dass sich keine (unendlich viele) Lösungen ergeben. Was wird dann angezeigt?
46 Auswahl des Lösungsverfahrens Gegeben ist folgendes lineares Gleichungssstem: (I) 7 6 = + (II) Ÿ 3 + 6 = 2 Hier würde ich das Gleichsetzungsverfahren verwenden. Mit dem Additionsverfahren geht es viel einfacher. Noch leichter wäre hier das Einsetzungsverfahren! a) Ermittle die Lösungsmenge mit den drei verschiedenen Verfahren. Vergleiche. b) Welches Verfahren erscheint dir für die Lösung des obigen Gleichungssstems am günstigsten? Begründe. Auswahl des Lösungsverfahrens Das Gleichsetzungsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren sind drei verschiedene Verfahren, um aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen zunächst eine Gleichung mit einer Variablen herzuleiten. Für welche Aufgaben sind diese Verfahren besonders geeignet? Beispiel: Gleichsetzungsverfahren (I) = 6 Wenn in beiden Gleichungen auf einer eite dieselbe Variable steht. (II) (I) = (II) Ÿ = 6 = 2,5 + 2 2,5 + 2 Einsetzungsverfahren Wenn die eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst ist, die andere nicht. Additionsverfahren Wenn in zwei Gleichungen die Zahlen vor einer Variablen bis auf das Vorzeichen übereinstimmen. (I) = 2 + 5 (II) Ÿ 3,5 = 2 (I) in (II) 3 ( 2 + 5 ),5 = 2 (I) 5 3,5 = 8 (II) Ÿ 2 + 3,5 = (I) + (II) 5 + 2 = 8 + Häufig müssen Gleichungen zuerst umgeformt werden, damit eines dieser Lösungsverfahren angewendet werden kann. Aber jedes Lösungsverfahren führt zur selben Lösung. Übungen 2 Bestimme die Lösung mithilfe eines geeigneten rechnerischen Verfahrens. a) = 3 + 2 b) = 2 2 c) 2 = + 6 d) = 2,5 + 8 Ÿ = + 6 Ÿ 7 6 = 5 Ÿ 2 = 4 8 Ÿ = 4 e) = 3 + 2 f) 4 8 24 = 0 g) = + 8 h) = 3,5 + 8 Ÿ 6 = 3 Ÿ 7 + 9 5 = 0 Ÿ 4 = 28 4 Ÿ 3 + 8,5 = 4 L ( 4 8,8); (4 ); ( 2 8); ( 4 0); (6 20); 0; (3 2); ( 27 0); ( 9,5 5)
Vermischte Übungen 47 Die Gleichung entsteht durch Anwendung des Einsetzungsverfahrens. Gib das zugehörige lineare Gleichungssstem an und ermittle dessen Lösung. a) 2,5 + 3(0,5 + 2) = 0 b) 5 4(,5 + 3) = 9 c) 8 + 2( ) = 8 d) 6 = 2 + 2,5(6 + 8) L (3,5); ( 4 2); ( 2,5); ( 2); (6 4,8) 2 Von einem linearen Gleichungssstem ist L = {( 2 )}; = + 32 eine Gleichung und ein Teil der Lösung gegeben. Berechne den fehlenden Teil der = 2 einsetzen: = 2 = + 3 Lösung. uche eine mögliche zweite Gleichung. zweite Gleichung: = 2 a) L = {( 3 )}; = + 5 b) L = {( 3)}; = + 5 Durch Probieren findet man weitere c) L = {(2 )}; 3 = 2 Möglichkeiten für die zweite Gleichung: 5 4 = 6 d) L = {( 2)}; 3 = 2 e) L = {( 4 )}; 0,5 = 2 3 a) ( + 3) 6 = 3 + 33 b) 3( + 2) 5( 2) = 42 0 Ÿ 6 9(2 + 3) = 60 Ÿ 5 2( + 2) = 5 9( + ) c) 4 4 (5 ) + 4 = 5 ( 6) d) 2 + = 0 9 + ( 4) 2 Ÿ 2 3( + ) = 2 ( + 2,5 ) Ÿ 2 + 3 = ( ) 2 + 7 L (3 3); ( 4 22); (7 0); ( 9 ); ( 26,5 35,) 4 Wenn man acht kongruente gleichschenklige Dreiecke zu einem Parallelogramm zusammenfügt, so beträgt der Umfang 2 cm. Legt man neun solcher Dreiecke zu einem großen Dreieck, so ist der Umfang 30 cm. Berechne und. cm cm 5 Tobias und Vanessa brauchen bei einer Trainingsradtour für 30 km insgesamt 6 tunden. km Im flachen Gelände beträgt die Durchschnittsgeschwindigkeit 25 h. Bergauf fahren sie km km mit 0 h und bergab mit 30 h. Die trecken bergauf und bergab sind gleich lang. Erstelle ein lineares Gleichungssstem und berechne damit, wie lang die Flachetappen und die trecken bergauf bzw. bergab sind. Geschwindigkeit = Weg Zeit km km ( +20km) + 20 A 25 + 0 + 30 + 25 = 6 B 25 + 0 + 30 + ( + 20) 25 = 6 Ÿ + + + + 20 = 30 Ÿ + + + + 20 = 30