Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 25. Januar 2013
8. Indizes 8.1. Einfache Indexzahlen Indizes (Indexzahlen, Indexzeitreihen) dienen z.b. zur Beschreibung der zeitlichen Entwicklung bestimmter Größen und werden häufig in den Wirtschaftswissenschaften, insbesondere in der Wirtschaftsstatistik oder Ökonometrie angewandt. Einfache Indexzahlen (auch Messzahlen) beschreiben die Entwicklung einer Maßzahl über die Zeit. Dazu werden jeweils die Maßzahlen für eine Berichtszeit (einen Zeitpunkt oder Zeitraum) ins Verhältnis gesetzt zur entsprechenden Maßzahl zu einer fest gewählten Basiszeit: Maßzahl zur Basiszeit; x 0 x t Maßzahl zur Berichtszeit; I 0t = x t x 0 (einfache) Indexzahl, bzw. I 0t = x t x 0 100%. Die Quotientenbildung muss natürlich möglich sein, es entsteht eine dimensionslose Größe. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 1
Beispiel einfache Indexzahlen Es werde die zeitliche Entwicklung der Umsätze von Karstadt von 2000 bis 2006 betrachtet (in Milliarden e). Quelle: http://de.statista.com/statistik/daten/studie/ 157504/umfrage/umsaetze-von-karstadt-seit-dem-jahr-2000/ Jahr 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 t 0 1 2 3 4 5 6 U t 7.58 8.07 7.33 6.98 4.92 4.73 4.38 I 0t 1.00 1.065 0.967 0.921 0.649 0.624 0.578 Die einfachen Indexzahlen dienen zur anschaulichen Darstellung der Entwicklung der Kenngröße für ein Untersuchungsobjekt, sie können aber auch gut zum Vergleich der Entwicklung unterschiedlicher Untersuchungsobjekte genutzt werden. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 2
8.2. Zusammengesetzte Indexzahlen Interessanter sind häufig zusammengesetzte Indexzahlen (Indizes), mit Hilfe derer mehrere gleichartige einfache Indexzahlen zu einer globalen Indexzahl zusammengefasst werden. Dies ist mit einem Verlust der zugrundeliegenden Einzelinformation verbunden, erlaubt aber durch nur eine Zahl die durchschnittliche Veränderung einer Vielzahl gleichartiger Tatbestände darzustellen. Zeitliche, regionale und sachliche Unterschiede von unter bestimmten Zielsetzungen als gleichartig angesehenen Erscheinungen können so besser verglichen und analysiert werden. In den Wirtschaftswissenschaften sind von Interesse besonders Preisindizes, Mengenindizes und Umsatzindizes (Wertindizes). Hier werden beispielhaft vor allem Preisindizes und die zeitliche Entwicklung betrachtet. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 3
8.2.1. Preisindizes Ein Warenkorb enthalte n Güter. Es seien: p 0 (j) der Preis des Gutes j (j = 1,..., n) zur Basiszeit 0, p t (j) der Preis des Gutes j (j = 1,..., n) zur Berichtszeit t, q 0 (j) die Menge des Gutes j (j = 1,..., n) zur Basiszeit 0, q t (j) die Menge des Gutes j (j = 1,..., n) zur Berichtszeit t und (p 0 (1),..., p 0 (n)) T = p 0, (p t (1),..., p t (n)) T = p t, (q 0 (1),..., q 0 (n)) T = q 0, (q t (1),..., q t (n)) T = q t. Die Preisentwicklung der einzelner Güter wird durch die einfachen Indexzahlen I 0t (j) = p t(j) (j = 1,..., n) beschrieben. p 0 (j) Der Preisindex ist ein gewichtetes Mittel der einfachen Indexzahlen, n P 0t = w t (j)i 0t (j), wobei es für die Wahl der Gewichte w t (j) j=1 verschiedene Möglichkeiten (z.b. nach Laspeyres oder Paasche oder andere) gibt. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 4
Der Preisindex nach Laspeyres Beim Preisindex nach Laspeyres wird als Wichtungsfaktor des j ten Summanden der Quotient aus der Ausgabensumme für das Gut j zum Basiszeitpunkt und der Ausgabensumme für den Warenkorb zum Basiszeitpunkt 0 genommen, d.h. w L (j) = p 0 (j)q 0 (j) k=1 p 0(k)q 0 (k), also P L 0t = n p 0 (j)q 0 (j) p t (j) n k=1 p 0(k)q 0 (k) p 0 (j) = j=1 j=1 p t(j)q 0 (j) j=1 p 0(j)q 0 (j) = pt t q 0 p T 0 q. 0 Damit bezieht sich der Preisindex nach Laspeyres auf den Warenkorb der Basiszeit, er nutzt zeitunabhängige Gewichte. Ein Wert von P0t L = 1.14 bedeutet zum Beispiel, dass der Warenkorb der Basiszeit (Mengenanteile) zur Berichtszeit 14% mehr kostet. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 5
Der Preisindex nach Paasche Beim Preisindex nach Paasche wird als Wichtungsfaktor des j ten Summanden der Quotient aus der Ausgabensumme für die Mengen des Guts j zur Berichtszeit zu Preisen der Basiszeit und deren Summe über alle Güter genommen, d.h. w P t (j) = P P 0t = p 0 (j)q t (j) k=1 p 0(k)q t (k), also n p 0 (j)q t (j) p t (j) n k=1 p 0(k)q t (k) p 0 (j) = j=1 j=1 p t(j)q t (j) j=1 p 0(j)q t (j) = pt t q t p T 0 q. t Damit bezieht sich der Preisindex nach Paasche auf den Warenkorb der Berichtszeit zu Preisen der Basiszeit, er nutzt zeitabhängige Gewichte. Ein Wert von P0t P = 1.14 bedeutet zum Beispiel, dass sich die Ausgaben für den Warenkorb der Berichtszeit zwischen Basiszeit und Berichtszeit um 14% erhöht haben. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 6
Rechenbeispiel Preisindizes Quelle: Bleymüller et al, Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, Kapitel 25 Gut Preis Menge Nr. Basiszeit Berichtszeit Basiszeit Berichtszeit j p 0 (j) p 1 (j) q 0 (j) q 1 (j) 1 4 6 5 4 2 6 8 10 15 3 10 12 8 16 j p 1 (j)q 0 (j) p 0 (j)q 0 (j) p 1 (j)q 1 (j) p 0 (j)q 1 (j) 1 30 20 24 16 2 80 60 120 90 3 96 80 192 160 j 206 160 336 266 P L 01 = pt 1 q 0 p T 0 q 0 = 206 160 = 1.288; P P 01 = pt 1 q 1 p T 0 q 1 = 336 266 = 1.263. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 7
8.2.2. Mengenindizes Mengenindizes beschreiben die durchschnittliche Mengenänderung für einen Warenkorb, bestehend aus n Gütern. Sie werden als gewichtete Mittel der einfachen Indexzahlen I 0t (j) = q t(j), j = 1,..., n berechnet, wobei es für die Wahl der q 0 (j) Gewichte wieder unterschiedliche Möglichkeiten gibt. Um die reinen durchschnittlichen Mengenänderungen zu erfassen, werden jetzt die Preise konstant gehalten. So ergeben sich formal die Mengenindizes nach Laspeyres und Paasche durch Vertauschung der Symbole p und q in den entsprechenden Formeln für die Preisindizes. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 8
Die Mengenindizes nach Laspeyres und Paasche Als Formel für den Mengenindex nach Laspeyres erhält man so j=1 = q t(j)p 0 (j) j=1 q 0(j)p 0 (j), Q L 0t = qt t p 0 q T 0 p 0 = pt 0 q t p T 0 q 0 wobei zur Gewichtung die Preise der Basiszeit herangezogen werden. Analog folgt für den Mengenindex nach Paasche Q P 0t = qt t p t q T 0 p t = pt t q t p T t q 0 = j=1 q t(j)p t (j) j=1 q 0(j)p t (j), wobei zur Gewichtung die Preise der Berichtszeit herangezogen werden. Im Beispiel: Q L 01 = qt 1 p 0 q T 0 p 0 = 266 160 = 1.663; QP 01 = qt 1 p 1 q T 0 p 1 = 336 206 = 1.631. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 9
8.2.3. Umsatzindex Mit Hilfe des Umsatzindexes (Wertindexes) wird die Veränderung des Umsatzes eines Warenkorbs aus n Gütern von der Basiszeit zur Berichtszeit beschrieben. So gilt U 0t = pt t q t p T 0 q 0 = qt t p t q T 0 p 0 = j=1 p t(j)q t (j) j=1 p 0(j)q 0 (j). Es ist zu beachten, dass im Allgemeinen P 0t Q 0t U 0t Allerdings sind die Beziehungen gilt. P L 0t Q P 0t = P P 0t Q L 0t = U 0t gültig. Im Beispiel: U 01 = qt 1 p 1 q T 0 p 0 = 336 160 = 2.10. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 10
8.3. Gesamtindex, Hauptgruppenindizes und Gruppenindizes Zum Teil nutzt man Indizes, die Aussagen über einen relativ inhomogenen Bereich machen. In diesem Fall ist es oft sinnvoll, neben dem für den Gesamtbereich berechneten Gesamtindex zusätzlich sogenannte Hauptgruppenindizes und/oder Gruppenindizes zu berechnen, und zwar für in sich homogene(re) Teilbereiche. Ein prominentes Beispiel dafür ist der vom Statistischen Bundesamt veröffentlichte Verbraucherpreisindex (VPI) für Deutschland. Dies ist der Nachfolger des früher berechneten Preisindexes für die Lebenshaltung aller Haushalte in Deutschland. Der Verbraucherpreisindex ist ein Laspeyres-Index mit einem festen Basisjahr, zur Zeit erfolgt eine Umarbeitung vom Basisjahr 2005 auf das Basisjahr 2010. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 11
Verbraucherpreisindex monatlich GENESIS-Tabelle: 61111-0002 file:///e:/temp/61111-0002.html Verbraucherpreisindex (inkl. Veränderungsraten): Deutschland, Monate Verbraucherpreisindex für Deutschland Deutschland Verbraucherpreisindex insgesamt Jahr Monate Verbraucherpreisindex Veränderung zum Vorjahresmonat Veränderung zum Vormonat 2005=100 in (%) in (%) 2011 Januar 109,2 +2,0-0,4 Februar 109,8 +2,1 +0,5 März 110,3 +2,1 +0,5 April 110,5 +2,4 +0,2 Mai 110,5 +2,3 - Juni 110,6 +2,3 +0,1 Juli 111,0 +2,4 +0,4 August 111,0 +2,4 - September 111,1 +2,6 +0,1 Oktober 111,1 +2,5 - November 111,1 +2,4 - Dezember 111,9 +2,1 +0,7 2012 Januar 111,5 +2,1-0,4 Februar 112,3 +2,3 +0,7 März 112,6 +2,1 +0,3 April 112,8 +2,1 +0,2 Mai 112,6 +1,9-0,2 Juni 112,5 +1,7-0,1 Juli 112,9 +1,7 +0,4 August 113,3 +2,1 +0,4 September 113,3 +2,0 - Oktober 113,3 +2,0 - November 113,2 +1,9-0,1 Dezember 114,2 +2,1 +0,9 Statistisches Bundesamt, Wiesbaden 2013 Stand: 23.01.2013-17:58:13 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 12
Verbraucherpreisindex jährlich GENESIS-Tabelle: Temporär file:///e:/temp/61111-0001.html Verbraucherpreisindex (inkl. Veränderungsraten): Deutschland, Jahre Verbraucherpreisindex für Deutschland Deutschland Verbraucherpreisindex insgesamt Verbraucherpreisindex Veränderung zum Vorjahr Jahr 2005=100 in (%) 2005 100,0 +1,5 2006 101,6 +1,6 2007 103,9 +2,3 2008 106,6 +2,6 2009 107,0 +0,4 2010 108,2 +1,1 2011 110,7 +2,3 2012 112,9 +2,0 Statistisches Bundesamt, Wiesbaden 2013 Stand: 23.01.2013 / 18:00:53 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 13
Umarbeitung Verbraucherpreisindex Gesamtwirtschaft & Umwelt - Verbraucherpreisindizes - Turnusmäßige... https://www.destatis.de/de/zahlenfakten/gesamtwirtschaftumwelt/pre... Startseite Zahlen & Fakten Gesamtwirtschaft & Umwelt Preise Verbraucherpreisindizes Turnusmäßige Überarbeitung des Verbraucherpreisindex Turnusmäßige Überarbeitung des Verbraucherpreisindex Der Verbraucherpreisindex wird in fünfjährigem Abstand einer turnusmäßigen Überarbeitung unterzogen. Ab Berichtsmonat Januar 2013 erfolgt die Umstellung von der bisherigen Basis 2005 auf das Basisjahr 2010. Damit verbunden ist eine Neuberechnung der Ergebnisse ab Januar 2010. Bitte merken Sie sich folgende Veröffentlichungstermine vor: 31. Januar 2013 Schätzung für Januar 2013 20. Februar 2013 Endgültiges Ergebnis für Januar 2013 auf neuer Basis 2010 Neu berechnete Ergebnisse ab Januar 2010 Im Mittelpunkt der Überarbeitung des Verbraucherpreisindex steht die Aktualisierung des Wägungsschemas für die Waren und Dienstleistungen. Dieses bildet die Ausgabenanteile für die einzelnen Güterarten an den gesamten Konsumausgaben der privaten Haushalte in Deutschland ab. Auch die Wägungsschemata für die Geschäftstypen und die Bundesländer werden neu berechnet. Die Gewichtung der Geschäftstypen spiegelt die Bedeutung der verschiedenen Einkaufsstätten im Einzelhandel, wie Fachgeschäfte, Discounter oder Versandhandel, wider. Die Gewichtung der Bundesländer bildet deren Anteil an den privaten Konsumausgaben in Deutschland ab. Alle neuen Wägungsschemata beziehen sich auf das Jahr 2010 und bleiben bis zur nächsten turnusmäßigen Überarbeitung konstant, um innerhalb des Fünfjahreszeitraums die Preisentwicklung unbeeinflusst von Änderungen der Ausgabengewichte darstellen zu können. Im Gegensatz dazu wird die Auswahl der einzelnen Waren und Dienstleistungen, deren Preise für die Indexberechnung erhoben werden, der sogenannte "Warenkorb", laufend angepasst, damit immer diejenigen Gütervarianten in die Preisbeobachtung eingehen, welche von den Konsumenten aktuell häufig gekauft werden. Der Zeitpunkt der turnusmäßigen Überarbeitung des Verbraucherpreisindex wird auch genutzt, um methodische Verbesserungen einzuführen, beispielsweise Veränderte Praxis bei der Einbeziehung von Saisonartikeln Veränderte Praxis bei der Preisermittlung für Pauschalreisen und Ferienwohnungen Differenziertere Nachweisung der Preisentwicklungen im Bildungswesen Genauere Erläuterungen und erste Analysen zu den Auswirkungen der einzelnen Änderungen werden nach der Veröffentlichung der endgültigen Ergebnisse für Januar 2013 auf neuer Basis 2010 auf dieser Seite für Sie bereitgestellt. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 14
Warenkorb und Wägungsschema Verbraucherpreisindex https://www.destatis.de/de/zahlenfakten/gesamtwirtschaftumwelt/pre... Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 15
8.4. Umbasierung Wird eine Indexreihe, z.b. P 00, P 01, P 02,..., von der Basiszeit 0 auf die Basiszeit τ umgestellt, erhält man eine neue Indexreihe mit Hilfe der allgemeinen Formel Pτt = P 0t, t = 0, 1,.... P 0 τ Beispiel: Verbraucherpreisindex in % für Deutschland (Quelle: Statistisches Bundesamt, Wiesbaden, Tabelle 61111-0001, https://www-genesis.destatis.de) Basiszeit 2005 Jahr 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 VPI 100.0 101.6 103.9 106.6 107.0 108.2 110.7 112.9 Basiszeit 2010 (vgl. aber Bemerkung in 8.5.!) Jahr 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 VPI 92.4 93.9 96.0 98.5 98.9 100.0 102.3 104.3 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 16
8.5. Verknüpfung von Indizes Bei einer Verknüpfung werden zwei Indexreihen, z.b. P 01, P 02,..., P 0t und P τt, P τ,t+1,..., P τ,t+s auf eine gemeinsame Basis gestellt. Dies kann durch die Fortführung des alten Indexes (mit Basiszeit 0) mit Hilfe der Formel P 0,t+i = P 0t P τt P τ,t+i, i = 1,..., s; oder die Rückrechnung des neuen Indexes (mit Basiszeit τ) durch P τj = P τj P 0t P 0j, j = 0, 1,..., t 1, erfolgen. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 17
Beispiel Verknüpfung τ = 3 t 0 1 2 3 4 5 P 0t 1.00 1.156 1.184 1.210 P 3t 1.000 0.991 1.011 Z.B. ist dann (mit t = τ = 3) P 05 = P 03 P 33 P 35 = 1.210 1.011 = 1.223. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 18
Exaktheit bei Indexoperationen Zu beachten ist, dass die Operationen Umbasieren und die Verknüpfung von Indizes exakt nur für einfache Indexzahlen gelten. Bei zusammengesetzten Indexzahlen sind sie nur dann exakt, wenn die sogenannte Verkettungsregel gilt. P 0t = P 0τ P τt, τ = 1, 2,..., t 1, Dies ist bei Laspeyres- und Paasche-Indizes im Allgemeinen nicht der Fall bzw. gilt nur näherungsweise. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff (TUBAF) Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 14 19