1 Baupraktische Dimensionierung von Holz-Beton-Verbunddecken Prof. Dr. -Ing. K. Rautenstrauch, Dipl. -Ing. M. Grosse, Dipl. -Ing. S. Lehmann, Dipl.-Ing. R. Hartnack Fakultät Bauingenieurwesen Institut für Konstruktiven Ingenieurbau Professur Holz- und Mauerwerksbau 1 Einleitung Durch die Kombination eines Holzquerschnitts (als Balken oder Brettstapelelement) mit einer darüber liegenden Betonplatte zu einem Verbundträger kann die Tragfähigkeit und Biegesteifigkeit dieser Konstruktion wesentlich erhöht werden. Aus dem Zusammenwirken der Teilquerschnitte resultiert neben der reinen Biegebeanspruchung auch eine Normalkraftbeanspruchung der einzelnen Schichten und eine Schubkraft in der Verbundfuge. Wird der Schubfluss in der Verbundfuge durch mechanische Verbindungsmittel übertragen, treten im Gegensatz zum steif verbundenen Querschnitt gegenseitige Relativverschiebungen der Teilquerschnitte auf. Dadurch ist ein Ebenbleiben des Gesamtquerschnittes nicht gewährleistet und damit eine grundlegende Bedingung der technischen Biegetheorie nicht erfüllt. Bei einem Verbundträger handelt es sich also um ein Tragwerk, welches durch die punktuelle Schubkopplung zweier homogener Teilquerschnitte entstanden ist. Dieses Tragwerk bildet als Ganzes ein innerlich hochgradig statisch unbestimmtes System. Eine Bestimmung der Schnittgrößen in den Einzelträgern ist also nur bei realitätsnaher Abbildung der Steifigkeitsverhältnisse und der durch die Verbindungsmittel bedingten Kopplungen hinsichtlich der Lage und der Nachgiebigkeit möglich. Bei Anwendung zahlreicher relativ nachgiebiger Verbindungsmittel ermöglicht die Annahme einer gleichmäßigen, über die Länge des Verbundträgers verschmierten Verbundfugensteifigkeit eine ausreichend genaue Berechnung. Da heute aber aus Rationalisierungsgründen zunehmend der Einsatz weniger kostengünstiger Elemente zur Schubübertragung in der Verbundfuge angestrebt wird, muss die Anwendung der auf einem kontinuierlichen Schubverbund basierenden Rechenverfahren kritisch gesehen werden. Dies gilt im besonderem Maße, wenn als Schubverbindung sogenannte Flachstahlschlösser [3], Kerbverbindungen [6] [14] [15] oder BVD-Verbundanker [5] verwendet werden. Derartige relativ steife, diskontinuierlich bzw. punktuell in der Verbundfuge angeordnete Schubverbundelemente gewinnen in jüngster Zeit immer mehr an praktischer Bedeutung, weil sich im Gegensatz zu kontinuierlich angeordneten Nägeln, Schrauben, auch Spezialsystemen wie SFS [1] und TIMCO [2] der Aufwand beim Einbau erheblich reduziert. 2 Berechnungsansätze 2.1 Das γ-verfahren Das in der Holzbau-Normung angegebene γ- Verfahren zur Berechnung nachgiebig verbundener Biegeträger lässt sich grundsätzlich auch auf Holz- Beton-Verbundkonstruktionen übertragen. Zur Herleitung wurde die Differentialgleichungen des Biegeträgers um Gleichgewichtsbetrachtungen und Verformungsbedingungen für die Verbundfuge erweitert [16]. Weil eine geschlossene Lösung dieses Differentialgleichungssystems nur für bestimmte Fälle möglich ist, wurden folgende Randbedingung eingeführt:
2 kontinuierlicher Schubverbund statisches bestimmt gelagerter Einfeldträger mit der Spannweite l sinusförmige Belastung (näherungsweise gültig für Gleichstreckenlast) Mit diesen Annahmen kann als Ergebnis ein effektives Flächenträgheitsmoment für den Träger hergeleitet werden, bei dem der Steiner-Anteil durch einen Faktor γ abgemindert wird, welcher von der Schubsteifigkeit der Fuge abhängig ist. Übertragen auf eine Holz- Beton- Verbunddecke ergibt sich: 2 π EB AB e 2 2 γ= 1/ 1 + ef I (n 2 = B IB +γ nb AB a B ) + (IH + AH a H ) (1) l KS Prinzipiell sind in der Normung nur Formeln zur Berechnung der Schwerpunkt- und Randspannungen der Teilträger in Feldmitte angegeben. Aus den Spannungen können aber die Schnittgrößen rückgerechnet werden, so dass auch eine Betonbemessung möglich wird. Infolge der Annahme einer sinusförmigen Belastung in der Herleitung ergibt sich prinzipiell ein kosinusförmiger Schubspannungsverlauf in der Verbundfuge. Bei einer Gleichstreckenlast wird aufgrund von Gleichgewichtsbedingungen aber eine zum Verlauf des äußeren Momentes affine Normalkraftfunktion angenommen: M (x) N (x) = γ a n A ef I M ges (x) hb M B(x) = nb WB ef I 2 ges B B B B M (x) N (x) = a A ef I M ges (x) hh M H(x) = W ef I 2 ges H H H H (2) 2.2 Berechnung mittels eines Stabwerksmodells Wird eine Verbindung zwischen Beton und Holz nur an diskreten Punkten hergestellt oder ist der gegenseitige Abstand der Verbindungsmittel sehr groß, erscheint zur Modellierung des Tragverhaltens ein Stabwerksmodell besonders geeignet. Ein solches Berechnungsmodell ist auf Grund seiner einfachen Handhabung auch unter praktischen Aspekten von Vorteil. In dem nachfolgend beschriebenen und in Bild 3 dargestellten Stabwerksmodell werden Betonplatte und Holzträger durch Stabelemente in der jeweiligen Querschnittslängsachse simuliert. Diese beiden Stabzüge werden zur Erzielung gleicher Durchbiegungen in Elementlängsrichtung an möglichst vielen diskreten Punkten durch Fachwerkelemente gekoppelt. An Stellen, an denen Verbindungsmittel vorhanden sind, werden die Fachwerkelemente jeweils durch zwei senkrecht zu den Achsen der Stabzüge angeordnete Stabelemente mit einem Endgelenk in Höhe der Verbundfuge ersetzt. Die Schubnachgiebigkeit des Verbindungsmittels wird dabei durch die Biegesteifigkeit der Stabelemente abgebildet und lässt sich entsprechend dem statischen Ersatzsystem nach Bild 1 oder Bild 2 in Abhängigkeit von der Verbindungsmittelsteifigkeit K S sowie der Verbundträgergeometrie berechnen. Dieses Modell erlaubt eine beliebige Lage der Verbindungsmittel und berücksichtigt zusätzlich die durch die exzentrische Schubkraftübertragung an den Schubverbundelementen entstehenden Momentensprünge. Neben der einfachen Berechnung beliebig gelagerter sowie belasteter Verbundträger ergibt sich als weiterer praktischer Vorteil dieser Stabwerksmodellierung, dass die wirklichen Schnittkraftverläufe direkt am Modell ohne zusätzliche Umrechnungen erhalten werden.
3 u ye/2 l yer/2 zh zb T * EI x zh zb T 3 3 ( B H ) K = + (3) 3 * S EI z z Bild 1: Ersatzsystem des VM bei Vernachlässigung der Gurtsteifigkeit EI 3 3 * zb + zh = 3 3 2 2 3 el + e r zb zh 2 + KS 2 ( el er) EB IB EH IH + Bild 2: Statisches Ersatzsystem des VM unter Berücksichtigung der Gurtsteifigkeit (4) l/2 = 340 e1 = 62,4 e2 = 81,3 e3 = 196,3 idealisierter Schubfluss für Gleichstreckenlast 28 18 10 VM1 VM2 VM3 VM1 VM2 VM3 gb,k+gaufbau,k+pk=2,50+1,20+3,50=7,20kn/m² 14 30,1 30 100,7 100 gh,k=1,08kn/m² [cm] Bild 3: Geometrie und Stabwerksmodell für das Berechnungsbeispiel
4 3 Vergleich zwischen γ-verfahren und vorgeschlagenem Stabwerksmodell 3.1 System und Materialparameter für das Berechnungsbeispiel Bei dem hier beispielhaft betrachteten System handelt es sich um eine Brettstapel- Beton- Verbunddecke mit den Abmessungen h B /h H =10/18 cm. Die Decke sei einachsig gespannt, die Spannweite soll l= 6,80 m betragen. Zur Herstellung des Schubverbundes werden nur jeweils drei Schubverbundelemente (Flachstahlschlösser oder auch Kerbverbindungen) je Auflagerseite eingesetzt. Gesicherte Werte für den Verschiebungsmodul liegen z.zt. lediglich für die Flachstahlschlösser vor, so dass eine Schubsteifigkeit von K S =539 kn/mm (Flachstahlschlösser nach Zulassung Z-9.1-473 bezogen auf 1 m Plattenbreite) angenommen wurde. 3.2 Gegenüberstellung der Ergebnisse Bedingt durch die glättende Wirkung der Integration (Arbeitssatz) unterscheiden sich die mit beiden Verfahren berechneten Durchbiegungen des Verbundträgers in Feldmitte auch für verschiedene Verbindungsmittelsteifigkeiten nur wenig voneinander (Bild 4). Bei höheren Verschiebungsmoduln wird in diesem Beispiel mit dem γ- Verfahren die Normalkraft in Feldmitte etwas überbewertet (bis +5,0 %) und damit die Wirkung des Steineranteils überschätzt. Folglich ergeben sich etwas zu geringe Eigenbiegemomente in den Teilquerschnitten (bis -12,2 %). Da aber auch die Schnittkräfte in Feldmitte integrale Größen darstellen, hält sich der Fehler an dieser Stelle in Grenzen, wenn er auch nicht zu vernachlässigen ist. 35 Brettstapel: 33,11 30 maximale Durchbiegung [mm] 25 20 15 10 zulf=l/300:22,67 10,47 9,56 8,53 Stabwerksmodell g- γ-verfahren unendlich steif: 7,84 5 539 860 2.235 0 500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 Steifigkeit des VM [kn/mm] Bild 4: maximale Durchbiegung in Abhängigkeit von der Steifigkeit des VM Für den hier betrachteten Verbundträger ergeben sich prinzipiell die Schnittgrößenverteilungen für die einzelnen Teilquerschnitte nach Bild 5. Das Stabwerksmodell bildet dabei die Sprünge im Normalkraftverlauf der Teilquerschnitte, welche aus den an den Schubverbundelementen übertragenen Schubkräften resultieren, ebenso realistisch ab, wie die aus der exzentrischen Lasteinleitung der Schubkräfte entstehenden Sprünge in der Momentenverteilung. Zum direkten Vergleich sind jeweils die berechneten Funktionen der Normalkraft- und der Momentenverteilung nach dem Stabwerksmodell denjenigen nach dem γ- Verfahren
5 (parabolisch) gegenübergestellt. Da das γ- Verfahren a priori die Diskontinuitäten in den jeweiligen Schnittgrößenverläufen nicht abbildet, können daraus Unsicherheiten bei der Dimensionierung des Verbundträgers resultieren. Diese Fehleinschätzung lokaler Schnittgrößen kann insbesondere infolge des oftmals spröden Verhaltens mineralischer Deckschichten bei örtlicher Beanspruchung (wie z. B. bei Beton) gravierende Auswirkungen auf die Beurteilung der Sicherheit derartiger Verbundkonstruktionen haben. Da über dies für das γ- Verfahren üblicherweise nur die Formeln zur Berechnung der Randund Schwerpunktsspannungen in Feldmitte angegeben sind, kann dies in der Baupraxis den Statiker dazu verleiten, Tragsicherheitsnachweise für die Teilquerschnitte nur an der Stelle des größten Feldmomentes zu führen. Die kritischen Stellen an den Verbindungsmitteln werden meist außer Acht gelassen. Hier treten aber Schnittgrößenkombinationen auf, die in Verbindung mit den an dieser Stelle ohnehin schon geschwächten Querschnitt i. d. R. den maßgebenden Bemessungszustand liefern. Für den Nachweis des Brettstapels ist meistens der Bereich um das innerste (dritte), für die Bemessung der Betondeckschicht jener vor dem äußersten (ersten) Verbundelement maßgebend. Im vorliegenden Beispiel weicht die tatsächliche Normalkraft in den Teilquerschnitten lokal um 100 bis +122 % von der nach dem γ- Verfahren berechneten ab (Bild 5). Bei der Momentenverteilung liegen die örtlichen Abweichungen sogar zwischen -299 und +257 % (Beton) resp. -212 und +209 % (Brettstapel). Im allgemeinen können im Holzquerschnitt die örtlich erhöhten Beanspruchungen an den Sprungstellen als weniger kritisch angesehen werden. Dagegen ist für die Ermittlung der gegebenenfalls zusätzlich örtlich erforderlichen Biegebewehrung im Beton die Kenntnis der lokalen Schnittgrößen von grundlegender Bedeutung. Kommt man bei einer Bemessung auf Basis des γ- Verfahrens meist mit der Mindestbewehrung aus, ergeben sich bei Ansatz der realistischeren Schnittgrößen Zulagen im Bereich der Schubverbundelemente. Wie aus Bild 5 ersichtlich, kann es durch die Wirkung des Exzentrizitätsmomentes auch zu einem Durchschlagen der Momentenlinie sowohl im Brettstapel als auch im Betonquerschnitt kommen. Bei einer zu geringen Druckkraft im Beton infolge einer ungünstigen Anordnung der Schubverbundelemente ist es möglich, dass über dem ersten Verbindungsmittel somit eine Biegebewehrung an der Plattenoberseite erforderlich wird. Ein weiteres Problem stellt bei einem verschmierenden Verbundmodell die Ermittlung der zutreffenden Verteilung des Schubflusses in der Verbundfuge und die Zuordnung zu den einzelnen Schubverbundelementen dar. Dazu muss für jedes Verbundelement ein Einflussbereich e i festgelegt werden. Hierfür können nur Abschätzungen getroffen werden, welche, je nach Annahme, die realistischen Werte nach dem Stabwerksmodell besser oder schlechter treffen (-41 bis +37 %, Tabelle 1). Auf Grund der damit verbundenen Ungenauigkeiten bei der Schnittgrößenermittlung kann es also durchaus zu einer lokalen Überbeanspruchung der Schubverbundelemente kommen. Tabelle 1: Schubkraft an den Verbindungsmitteln je nach Annahme des Einflussbereiches e im Schwerpunkt mittig zwischen Bereich bis zum flächengleicher den VM nächsten VM Bereiche [kn] e 1 =0624 mm e 2 =0813 mm e 3 =1963 mm e 1 =0650 mm e 2 =0900 mm e 3 =1850 mm e 1 =1000 mm e 2 =1100 mm e 3 =1300 mm nach Stabwerksmodell T1 75,86 (-10,6 %) 78,69 (-07,3 %) 114,17 (+34,5 %) 084,90 T2 75,84 (-06,5 %) 81,50 (+00,5 %) 080,12 (-01,2 %) 081,12 T3 75,85 (+36,7 %) 67,37 (+21,4 %) 033,27 (-40,1 %) 055,50 Σ T 227,56 (+02,7 %) 221,52
6 Normalkraft [kn] Moment [knm] 0 50 100 150 200 250 150 100 50 0-50 -100-150 0 50 100 150 200 250 300 x [cm] Abweichung [%] a) Betrag der Normalkraft in den Teilquerschnitten -4 0 4 8 12 0 50 100 150 200 250 300 Schnittgröße nach Stabwerksmodell Schnittgröße nach - Verfahren prozentuale Abweichung ( ) ( ) γ ( ) F ( x) F x F x Stab Abweichung x = 100% γ 0 50 100 150 200 250 300 x [cm] b) Moment im Beton c) Moment im Brettstapel Bild 5: maßgebende Schnittgrößen in den Teilquerschnitten nach dem Stabwerksmodell und nach dem γ- Verfahren für die charakteristische Belastung und Mittelwerte der Steifigkeiten 300 200 100 0-100 -200-300 Abweichung [%] 3.3 Einfluss des Verbindungsmittelabstandes DIN 1052 lässt für die Anwendung des γ- Verfahrens eine Staffelung der Verbindungsmittel entsprechend der Verteilung der Querkraft nur bis zu e max 4 e min zu. Schon für diesen Fall ergibt sich eine signifikante Umlagerung der Schubverteilung auf die inneren Verbindungsmittel, wodurch die Annahme einer kosinusförmigen Verteilung nicht mehr zutreffend ist (Bild 6). Eine Aussage über die Mindestanzahl der Verbindungsmittel oder zur Begrenzung des Verhältnisses e/l wird jedoch nicht getroffen. Der Verbindungsmittelabstand bestimmt aber die Größe der Schubkraft am Verbindungsmittel und damit den Normalkraft- und Momentensprung. Bis zu einem Verbindungsmittelabstand von etwa 5 cm ergeben sich beim hier betrachteten Beispiel mit dem Stabwerksmodell Schnittkraftverläufe, die sich nahezu mit der Näherungslösung des γ- Verfahrens decken. Bei größeren Abständen werden die Sprünge jedoch signifikant. Schon bei einem Verhältnis von e/l=0,033 (e=22,5 cm) kommt es bei diesem Beispiel zu einer Fehleinschätzung der Randspannung im Bereich eines Verbindungsmittels in einer Größenordnung von 5 % der zulässigen Biegebeanspruchung (Bild 7). Bei Ansatz der Nettoquerschnittswerte, für Kerbverbindungen und Flachstahlschlösser üblicherweise eine Reduzierung der Höhe um 2 cm, sinkt diese Grenze dagegen auf e/l=0,022 (e=15,0 cm). Damit erweist sich das γ-verfahren auch bei einer kontinuierlichen Anordnung der Verbindungsmittel ab einem Verbindungsmittelabstand von ca. 3% der Spannweite als nicht hinreichend genau für eine sichere Bemessung.
50 100 150 200 250 300 x[cm] 6. Informationstag des IKI, Bauhaus-Universität Weimar 7 T(x)/Tmax 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0 50 100 150 200 x[cm] 250 300 Gamma-Verfahren e=5cm e=50cm e=113cm e=5 und 20cm Bsp FEM - starr FEM-nachgiebig Spgsüberschreitg. [%] 30 20 10 ungeschwächt Nettoquerschnitt 0 0,00 0,05 0,10 0,15 e/l 0,20 Bild 6: Verteilung der Schubkraft in der Verbundfuge Bild 7: Spannungsüberschreitung bei Bemessung nach dem γ- Verfahren 4 Simulation des Langzeittragverhaltens 4.1 Allgemeines Das Langzeittragverhalten von Bauteilen, hervorgerufen durch den Einfluss der Belastungsdauer, wirkt sich verschiedenartig aus. Sichtbar wird dies zum Beispiel häufig bei älteren Holzkonstruktionen durch die Zunahme der Verformungen im Verlauf der Belastungsdauer. Dieser Effekt wird im allgemeinen als Kriechen bezeichnet. Neben der Beeinflussung der Gebrauchstauglichkeit durch die Zunahme der Verformungen wird bei Verbundbauteilen ebenso die Standsicherheit durch Spannungs- und Schnittgrößenumlagerungen beeinflusst. Es ist deshalb notwendig, bei innerlich hochgradig statisch unbestimmten Systemen, wie es auch der Holz-Beton-Verbundträger ist, die Auswirkungen des hygrothermischen Langzeitverhaltens auf die Dimensionierung realistisch abzuschätzen. 4.2 Hinweise aus der Normung Zunächst gibt es in der derzeit noch gültigen Fassung der DIN 1052 (April 1988) [8] keine konkreten Hinweise auf Berücksichtigung hygrothermischer Langzeiteffekte auf das Tragverhalten von Holzbetonverbundträgern. Mehr Hinweise stehen in der DIN V ENV 1995, Teil 1-1 (Juni 1994) [9] zur Verfügung, die bereits explizit auf die Berechnung von zusammengesetzten Bauteilen aus Holz und anderen Baustoffen hinweist. Am deutlichsten wird der Schlussentwurf der DIN 1052 [7], der zur Berechnung von Holz-Beton- Verbundbauteilen auf einen Anfangs- und einen Endzustand hinweist. Nähere Informationen können aus [12] entnommen werden. 4.3 Experimentelle Herangehensweise zur Berechnung des Langzeittragverhaltens Rein experimentelle Langzeituntersuchungen erfordern neben aufwendiger Versuchstechnik auch einen sehr hohen Zeitaufwand. Deshalb stehen kurzfristig keine relevanten Ergebnisse zur Verfügung. Alternativ können die Auswirkungen hygrothermischer Langzeiteffekte nur durch numerische Simulation auf Basis abgesicherter Materialmodelle erfasst werden. Für den Baustoff Holz wurde dabei ein im Rahmen eines Forschungsvorhabens ermitteltes Modell verwendet [4], für den Baustoff Beton wurde das Modell entsprechend an das im Eurocode 2 [10] vorgegebene Langzeittragverhalten angepasst. In der Fuge zwischen Holztragschicht und Betondeckschicht ist eine Folie angeordnet, welche einerseits den natürlichen Haftverbund und andererseits die Befeuchtung des Holzes durch den Frischbeton verhindert. Für die Simulation der Holzfeuchte wird daher einzig das Umgebungsklima nach den Serviceklassen des Eurocode 5 [9] maßgebend. Das Schwinden des Betons wird ebenso auf Basis des Eurocode 2 [10] angenommen.
8 Die numerischen Simulationen sind daher als Grundlage für ein Bemessungsmodell geeignet, wie es im nachfolgenden dargestellt ist. Hierzu wurde das im Rahmen der Forschung entwickelte Programm ISOBEAM ([13], [17], [19]) eingesetzt. Dieses Programm berechnet ebene Stabwerke auf Basis der Theorie finiter Elemente unter Einbeziehung von Langzeiteffekten, Klimaeinflüssen sowie geometrischen und physikalischen Nichtlinearitäten. 4.4 Ergebnisse der Langzeitbetrachtungen am Beispiel Auf Basis des Stabwerksmodells (Bild 3) werden nun Untersuchungen zum Langzeittragverhalten mit dem erwähnten Simulationsprogramm durchgeführt. Für diese Untersuchungen wird davon ausgegangen, dass die Ergebnisse nach einer Lasteinwirkungsdauer von t = 20 Jahren nur vernachlässigbar gering von denen eines fiktiven Zeitpunktes t = abweichen. Für Holz muss diese Annahme so lange gelten, wie es keine längerfristigen experimentellen Untersuchungen gibt. Bei Beton liegt der Fehler bei etwa 0,8 % im Vergleich zu den Vorgaben nach [10]. Bild 8: Normalkraftverlauf Holzquerschnitt t = 0 a Holzquerschnitt t = 20 a Betonquerschnitt t = 0 a Betonquerschnitt t = 20 a Bild 9: Momentenverlauf Holzquerschnitt t = 0 a Holzquerschnitt t = 20 a Betonquerschnitt t = 0 a Betonquerschnitt t = 20 a Die Bilder 8 und 9 zeigen den Verlauf der Normalkräfte und der Biegemomente in den Teilquerschnitten für die Zeitpunkte t= 0 a und t= 20 a. Die Normalkraft, die in beiden Teilquerschnitten aus Gleichgewichtsgründen gleich groß sein muss, reduziert sich infolge Kriechen und Betonschwinden. Während sich das Biegemoment (ohne Steiner-Anteil) im Beton nur gering verändert, erhöht es sich in der Holztragschicht deutlich. Es findet also eine deutliche Umlagerung in den Holzquerschnitt statt. Durchbiegung in Feldmitte [cm] 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 mechanosorptive Verformungen infolge jahreszeitlich bedingter Schwankungen [9] 0,5 0 5 10 15 20 Zeit [a] Bild 10: Verlauf der Durchbiegung in Abhängigkeit der Zeit Scherkraft des Verbindungsmittels [kn] 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 Verbindungsmittel 1 (x = 0,30 m) Verbindungsmittel 2 (x = 1,00 m) Verbindungsmittel 3 (x = 2,10 m) 0 5 10 15 20 Zeit [a] Bild 11: Scherkraft in den Verbindungsmitteln in Abhängigkeit der Zeit
9 Aus Bild 10 geht die Durchbiegung über den Simulationszeitraum hervor. Im Vergleich zur elastischen Durchbiegung zum Zeitpunkt t = 0 vergrößert sich die Durchbiegung um den Faktor 4,3. Vergleicht man den maximal auftretenden Wert der Durchbiegung mit dem zum Zeitpunkt t =0, ergibt sich sogar ein Faktor 4,7. Unter Ausblendung der jahreszeitlichen Elongationen infolge Klimaschwankungen zeigt Bild 11 die Scherkräfte in den Verbindungsmitteln in Abhängigkeit der Simulationszeit. Während sich das erste Verbindungsmittel weitestgehend der Last entzieht, das zweite Verbindungsmittel geringfügig weniger Scherkräfte erhält, muss das dritte Verbindungsmittel mehr Scherkräfte abtragen. Keines der Verbindungsmittel erhält aber zu keinem Zeitpunkt mehr Scherkräfte als das Verbindungsmittel 1 zum Zeitpunkt t = 0. 4.5 Näherungsweise Berechnung des Langzeittragverhaltens unter Nutzung üblicher Stabwerksprogramme Im nachfolgenden Abschnitt wird versucht, die aus der Simulation mit ISOBEAM gewonnenen Ergebnisse in eine Vorgehensweise unter Zuhilfenahme eines üblichen Stabwerksprogramms zu übertragen. Das Ziel ist, die rechnerischen Materialsteifigkeiten so zu modifizieren, dass die Ergebnisse aus dem Stabwerksprogramm denen aus ISOBEAM angeglichen werden. Es soll so möglich sein, dass mit einfachen Mitteln unter praxisnahen Bedingungen Ergebnisse näherungsweise ermittelt werden können. Im ersten Schritt wird das Verbundtragwerk als Stabwerksmodell, wie zuvor beschrieben, mit einem üblichen Stabwerksprogramm modelliert, wobei der Betondeckschicht die Materialwerte von Beton C20/25 (E cm = 29000 N/mm²) und dem Brettstapel die Materialwerte von Holz NH S10 (E 0,05 = 7400 N/mm²) zugewiesen werden. Die Steifigkeiten der Verbindungsmittel und der Koppelstäbe wurden bereits oben ausführlich dargestellt. Entgegen der Vorgaben im Eurocode 5 [9] oder DIN 1052 [7] wird nur der Lastfall Vollast unter Vernachlässigung der Teilsicherheitsfaktoren der Einwirkungsseite (γ F = 1,00) betrachtet. Mit diesen Vorgaben lassen sich Schnittgrößen und Verformungen zum Zeitpunkt t= 0 ermitteln und eine entsprechende Bemessung durchführen. Der zweite Schritt dient der Ermittlung des Verhältnisses von ständiger Last zur Gesamtlast. Für das angegebene Beispiel ergibt sich folgendes: + + kn kn kn g gaufbau gbeton gholz 1, 20 m² + 2,50 m² + 1, 08 m² = = = 0,577 (3) kn kn q g+ p 4, 78 + 3,50 m² m² Im dritten Schritt wird nun der Kriechfaktor für Beton (φ Beton ) nach Eurocode 2 [10] unter Einbeziehung der Betongüte, der Abmessungen und der Umweltbedingungen berechnet. ϕ = ϕ0 = 2,910 Beton (4) Die Kriechfaktoren für den Baustoff Holz werden im vierten Schritt festgelegt. Der Kriechfaktor setzt sich dabei aus einem viscoelastischen und einem mechano-sorptiven Anteil zusammen. Die nachfolgend angegebenen Anteile resultieren aus den Simulationsergebnissen mit ISOBEAM und gelten nur für die Serviceklasse 2. Für weitere klimatische Randbedingungen sind zunächst zusätzliche Parameterstudien erforderlich, die gerade durchgeführt werden. ϕ Holz, ve = 0,60 ϕholz, ms = 0, 40 (5) Anschließend muss im fünften Schritt ein modifizierender Faktor k L definiert werden. Dies wird erforderlich, da der Lastfall Volllast betrachtet wird. Allerdings erzeugen im
10 wesentlichen ständige Lasten und nur anteilig nicht ständige Lasten Kriechverformungen und Spannungs- sowie Schnittgrößenumlagerungen. k L g = 0, 7 + 0,3 = 0, 7 0,577 + 0,3 = 0, 7039 q (6) Mit diesen Kenntnissen ist es nun im sechsten Schritt möglich, die für die Ermittlung von Schnittgrößen und Verformungen zum Zeitpunkt t = erforderlichen Elastizitätsmoduli für Holz und Beton zu bestimmen. Dies geschieht durch Abminderung der Moduli zum Zeitpunkt t = 0: E Holz ( t ) E ( t = ) 0 7400 N Holz mm² N = = = = 4343 mm² 1 k L Holz ve Holz ms ( ϕ, ϕ, ) 1+ 0,7039 ( 0,60 + 0,40) + + (7) E Beton ( t ) ( t = 0 N ) 29000 ² [ k ϕ ] [ ] E = = = = 9513 1+ 1+ 0, 7039 2,910 Beton mm N mm² L Beton (8) Im siebten Schritt wird nun das Schwindverhalten des Betons als gleichförmige Temperaturlast im Stabwerksprogramm abgebildet. Die erforderliche Temperaturdifferenz T wird aus dem Endschwindmaß ε s und der Wärmedehnzahl α T des Betons errechnet. 4 ε s 5,903 10 T = = = 49,2K (9) α 1, 2 10 T 5 1 K Abschließend ist es möglich, im achten Schritt die Schnittgrößen und Verformungen zum Zeitpunkt t = unter Berücksichtigung der modifizierten Elastizitätsmoduli und des Lastfalls Temperatur zu ermitteln. Für den Nachweis der Tragfähigkeit wird empfohlen, die jeweils mit dem Stabwerksmodell bestimmten Schnittgrößen zum Zeitpunkt t = 0 und t = mit dem lastseitigen Sicherheitsbeiwert γ F zu multiplizieren und den nach EC 5 bzw. EC 2 definierten Bauteilwiderständen R d (sowie den Tragfähigkeiten der Verbindungsmittel bzw. Verbundelementen) gegenüberzustellen.
11 Literatur [1] Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung SFS Verbundschraube (Z-9.1-342) [2] Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung Timco II Verbundschraube (Z-9.1-445) [3] Allgemeine bauaufsichtliche Zulassung Z-9.1-473: Brettstapel-Beton-Verbunddecken mit Flachstahlschlössern; DIBT; Berlin 10/2002 [4] Becker, P., Modellierung des zeit- und feuchteabhängigen Materialverhaltens zur Untersuchung des Langzeittragverhaltens von Druckstäben aus Holz, Dissertation Bauhaus-Universität Weimar, 2002 [5] BERTSCHE SYSTEM GMBH: Die Holz-Beton-Verbunddecke mit den BVD- Verbundankern Typ VA1 Bemessungstabellen, http://www.bertsche-system.de [6] Braun, H.J.; Schaal, W.; Schneck, F.: Der Brettstapel als Verbundelement-Vorschlag für einen Berechnungsansatz In: Bautechnik, 75. Jg. (1998), H. 8, S. 539-547. [7] DIN 1052, Entwurf, Berechnung und Bemessung von Holzbauwerken: Allgemeine Bemessungsregeln und Bemessungsregeln für den Hochbau, Schlußentwurf Bemessungsnorm Holzbau, Oktober 2002 [8] DIN 1052, Teil 1, Holzbauwerke: Berechnung und Ausführung, 1988 [9] DIN V ENV 1995, Teil 1-1, Entwurf, Berechnung und Bemessung von Holzbauteilen: Allgemeine Bemessungsregeln, Bemessungsregeln für den Hochbau, 1994 [10] Eurocode 2, Teil 1, Planung von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken: Grundlagen und Anwendungsregeln für den Hochbau, 1992 [11] Grosse, M., Hartnack, R., Lehmann, S., Rautenstrauch, K., Modellierung von diskontinuierlichen verbundenen Holz-Beton-Verbundkonstruktion Teil 1: Kurzzeittragverhalten, Bautechnik 80 (2003), Heft 8, S. 534-541 [12] Grosse, M., Hartnack, R., Rautenstrauch, K., Modellierung von diskontinuierlichen verbundenen Holz-Beton-Verbundkonstruktion Teil 2: Langzeittragverhalten, Bautechnik 80 (2003), (zur Veröffentlichung angenommen) [13] Hartnack, R., Computer Simulations on the reliability of timber columns, 4th PhD- Symposium, München, 2002 [14] Kuhlmann, U.; Gerold, M.; Schänzlin, J.: Trag- und Verformungsverhalten von Brettstapel- beton- Verbunddecken In: Bauingenieur, 77. Jg. (2002), H. Januar, S. 22-34. [15] Marchand, E.; Natterer, J.: Holz-Beton-Verbunddecke im Einsatz In: Schweizer Ingenieur- und Architektenzeitschrift, Jg. 1996, H. 36, S. 24-25. [16] Möhler, K.: Über das Tragverhalten von Biegeträgern und Druckstäben mit zusammengesetzten Querschnitten und nachgiebigen Verbindungsmitteln, Technische Universität Karlsruhe, Habilitation. [17] Rautenstrauch, K., Hartnack, R., Becker, P., The reliability of timber columns - Computer simulations regarding long-time effects-, ESWM, Stockholm, 2003 [18] Rautenstrauch, K., Hartnack, R., The reliability of timber columns based on stochastical principles, paper 36-2-1, CIB-W18 meeting 36, Estes Park, Colorado, USA, 2003 [19] Rautenstrauch, K., Untersuchungen zur Beurteilung des Kriechverhaltens von Holzbiegeträgern, Dissertation Universität Hannover, 1989