Abhängigkeiten zwischen Großschäden

Abhängigkeiten zwischen Großschäden Holger Drees, Universität Hamburg I. Typen von Abhängigkeiten II. Modelle für abhängige Großschäden III. Fallstudie: Dänische Feuerversicherung

I. Typen von Abhängigkeiten Grundsätzlich unterschiedlich zu behandeln sind räumliche (oder zeitliche) Abhängigkeiten zwischen gleichartigen Risiken Bsp.: Bei Versicherungsrisiken Versicherung gegen Überschwemmung von Gebäuden entlang eines Flusses Versicherung von Sturmschäden an Gebäuden in gleicher Region Bei Finanzrisiken Verluste eines Investments in aufeinander folgenden Perioden

Abhängigkeiten zwischen verschiedenartigen, aber zusammenhängenden Risiken Bsp.: Bei Versicherungsrisiken (meist bei gleichem Versicherungsnehmer) Feuerversicherung für Wohngebäude und Hausratversicherung Industriefeuer- und Betriebsunterbrechungsversicherung Kranken- und Berufsunfähigkeitsversicherung Bei Finanzrisiken Verluste unterschiedlicher Investments in der gleichen Periode

Räumliche Abhängigkeiten zwischen gleichartigen Risiken Anwendungsmöglichkeiten mathematisch-statistischer Verfahren: bei Versicherungsrisiken: allgemeine black box -Modelle wenig erfolgversprechend statistische Verfahren zur Modellanpassung in Verbindung mit Expertenwissen zu physikalischen Wirkmechanismen (z.b. meteorologischen, hydrologischen oder geophysikalischen Modellen); stets fallbezogen bei Finanzrisiken: black box -Modelle Standard bei Beschreibung von Finanzmärkten (z.b. GARCH-Modelle für Renditezeitreihen) Statistik unerläßlich für Risikomanagement Expertenwissen i.d.r. nur für Langfristtrends (Fundamentalanalyse) physikalische Beschreibung von Finanz-

Daher hier nur Demonstration möglicher Auswirkungen von Abhängigkeiten auf Rückversicherungen X 1,..., X n Schadenshöhen im Jahr ( n ) + Stop Loss: SL = X i R i=1 Excess of Loss: XL = n (X i r) + i=1 Bei vorgegebener Randverteilung von X 1,..., X n hängt Erwartunsgwert von SL von Abhängigkeiten zwischen X 1,..., X n ab Erwartunsgwert von XL nicht von Abhängigkeiten zwischen X 1,..., X n ab, sehr wohl aber die Verteilung von XL Simulationsbeispiel: X i, 1 i n = 1000, standardexponentialverteilt, d.h. P {X i > x} = e x (i) X 1,..., X n unabhängig (ii) X j,..., X j+5 abhängig,

1 Empirical CDF 0.9 0.8 0.7 0.6 F(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 700 800 900 1000 1100 1200 1300 x Verteilungsfunktion von n i=1 X i für Modell mit unabhängigen (gestrichelt) und abhängigen Schäden (durchgezogen) Bei Selbstbehalt R = 1100 muß Rückversicherung bei Unabhängigkeit in ca. 0, 1% der Fälle, bei Abhängigkeit in ca. 9% der Fälle Leistung erbringen. Die Nettorisikoprämie beträgt etwa 1,1 (Unabh.) bzw. 105,4 (Abh.)

1 0.95 0.9 F(x) 0.85 0.8 0.75 0.7 0 2 4 6 8 10 12 14 16 x Verteilungsfunktion von XL mit r = 8 für Modell mit unabhängigen (gestrichelt) und abhängigen Schäden (durchgezogen) Rückversicherung muß bei Unabhängigkeit in etwa 28, 6% der Fälle, bei Abhängigkeit in ca. 21, 0% der Fälle Leistung erbringen. (Standardabweichung von XL)/E(XL)= 2,4 bei unabhängigen und 3,6 bei abhängigen Schadenshöhen

Abhängigkeiten zwischen verschiedenartigen Risiken Anwendungsmöglichkeiten mathematisch-statistischer Verfahren: Allgemeine black box -Modelle für Großschäden anwendbar ( II.) Bei Finanzrisiken von eingeschränktem Nutzen, da statistische Methoden nur für niedrigdimensionale Daten zuverlässig arbeiten ( curse of dimensionality ); außerdem sind hier Modellannahmen oft unrealistisch Expertenwissen kann ergänzend eingesetzt werden

II. Modelle für abhängige Großschäden Im folgenden Schadenshöhen von 2 Versicherungstypen (X i, Y i ), 1 i n, für n unabhängige, identisch verteilte Risiken Modellierung in 2 Schritten

Für F analoge Modellannahme. 1. Schritt: Modelliere Randverteilungen! Modelliere getrennt Verteilungsfunktion F 1 von X i und Verteilungsfunktion F 2 von Y i. Evtl. nur für große Schäden X i, Y i ; dann oft Tails der Vf. näherungsweise wie bei Pareto-Vf.: 1 F 1 (x) = P {X > x} c 1 x α 1 für großes x. Motivation: Notwendig dafür, daß Vf. von Großschäden oberhalb von Schranke u sich stabilisiert im Sinne von P ( X u > t X > u ) u H(t). Dann H(t) = t α 1, t 1, also P {X > ut} P {X > u}t α 1 = P {X > x} (P {X > u}u α 1 )x α 1 für hinreichend großes u, x.

2. Schritt: Modelliere Abhängigkeiten! Standardisiere zunächst die Schäden: X i := F 1 (X i ) Ỹ i := F 2 (Y i ) X i, Ỹi jeweils gleichverteilt auf [0, 1] (falls F 1, F 2 stetig). Erst Standardisierung der Randverteilungen ermöglicht Analyse der Abhängigkeiten!

6 5 4 y 3 2 1 1 10 20 x 0.5 1 0.5 1 y 0.5 10 20 x 50 1 40 30 20 0.5 10 10 20 30 40 50 60 70 80 0.5 1

Copula C(s, t) = P { X s, Ỹ t}, s, t [0, 1]. Hier nur Großschäden von Interesse; daher betrachte P { X > 1 x, Ỹ > 1 y} = 1 P { X 1 x} P {Ỹ 1 y} +P { X 1 x, Ỹ 1 y} = x + y + C(1 x, 1 y) 1. Modellannahme: P { X > 1 tx, Ỹ > 1 ty} c(x, y)t1/η für t 0 für ein η (0, 1] Motivation ähnlich wie für Pareto-Vf. für univariate Großschäden: Nur so kann sich Abhängigkeitsstruktur bei extremen Schäden stabilisieren.

1 0.98 0.96 0.94 0.92 0.9 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 W., daß Schadensvektor in kleinem Rechteck liegt = t 1/η W., daß Schadensvektor in großem Rechteck liegt

Zur Interpretation des sog. Parameters der Tail-Abhängigkeit η P (Ỹ > 1 t X > 1 t) = P { X > 1 t, Ỹ > 1 t} P { X > 1 t} = 1 t P { X > 1 t, Ỹ > 1 t} t 1/η 1 c(1, 1) { c(1, 1), η = 1, 0, 0 < η < 1, für t 0. η = 1: asymptotische Abhängigkeit der Großschäden η < 1: asymptotische Unabhängigkeit der Großschäden Im Fall exakter Unabhängigkeit von X und Y : P { X > 1 t, Ỹ > 1 t} = P { X > 1 t} P {Ỹ > 1 t} = t2, d.h. η = 1/2 1/2 < η < 1: positive Abh. 0 < η < 1/2: negative Abh. zwischen Großschäden von X und Y, die sich mit steigender Größe immer weniger bemerkbar macht.

Zusammenhang des Abhängigkeitsmodells mit Pareto-Modell Betrachte Dann T := min ( 1 1 X, 1 1 Ỹ P {T > t} = { 1 P 1 X > t, 1 } 1 Ỹ > t = { 1 P X > 1 t, Ỹ > 1 1 } t c(1, 1)t 1/η, d.h. Tails von T sind näherungsweise Pareto-verteilt. )

Auswirkung auf XL-Rückvers. für Gesamtschaden XL = n (X i + Y i r) + i=1 Simulation mit Gauß-Copula und Pareto-Randverteilungen (α = 2, 5), n = 1000 Nettorisikoprämie E(XL) ρ η r = 5 r = 10 1/3 1/3 186 51 0 1/2 212 56 1/3 2/3 248 68 2/3 5/6 289 89 1 0.8 0.6 0.4 0.2 100 200 300 400 500 Vf. von XL für r = 5 mit η = 0, 5 (gepunktet), η = 0, 667 (gestrichelt) und η = 0, 833 (durchgezogen)

Modellanpassung 1. Schritt: Passe (semi-)parametrische Modelle an (Großschäden unter) X i bzw. Y i an! z.b. Pareto-Modell 1 F 1 (x) = c 1 x α 1 für x > x 1. Geschätzte Vf. mit Schätzern 1 ˆF 1 (x) = ĉ 1 x ˆα 1, x > X n k:n, ˆα 1 = ( 1 k k i=1 log X n i+1:n X n k:n ) 1 Hill-Schätzer wobei ĉ 1 = k n X ˆα 1 n k:n, X n:n X n 1:n X n k:n die k + 1 größten Schäden sind. Def. ˆF2 analog.

2. Schritt: Standardisiere X i und Y i! 2 mögliche Methoden: mit den im 1. Schritt geschätzten Vfen.: X i := ˆF 1 (X i ) Ỹ i := ˆF 2 (Y i ) nichtparametrisch: X i := 1 n (Rang von X i unter X 1,..., X n ) Ỹ i := 1 n (Rang von Y i unter Y 1,..., Y n ) Schätze η z.b. durch den Hill-Schätzer für ( 1 T i = min 1 X, i 1 1 Ỹi ) : ˆη = 1 k k i=1 log T n i+1:n T n k:n

Schätzer für Wahrsch. extremer Großschäden oder für große x, y. P {X > x, Y > y} P {X > x oder Y > y} P {X > x, Y > y} = P { X > F 1 (x), Ỹ > F 2(y)} { t 1/η 1 F 1 (x) P X > 1 t, Ỹ > 1 1 F 2(y) t }, (1) was zu schätzen ist durch t 1/ˆη 1 { n i Xi > 1 1 ˆF 1 (x) t, Ỹi > 1 1 ˆF 2 (y) }, t wobei t hinr. klein, daß { i Xi > 1 1 ˆF 1 (x) t groß, Ỹi > 1 1 ˆF 2 } (y) t hinr. groß, damit Approximation (1) genau ist

Andere Wahrscheinlichkeiten können auf obige zurück geführt werden: P {X > x oder Y > y} = 1 F 1 (x) + 1 F 2 (x) P {X > x, Y > y} Ähnlich schätzbar z.b. XL-Nettorisikoprämie für Summe, d.h. E ( (X + Y r) +)

III. Fallstudie: Dänische Feuerversicherung Daten: Schadenshöhen in Mio. DKR bei Dänischen Industriefeuerversicherungen, 1980 1990 X i : Y i : building content (Z i : profits ) inflationsbereinigt auf das Jahr 1985 nur erfaßt, wenn Gesamtschaden X i + Y i + Z i mindestens 1 Mio. DKR insgesamt 2167 Schäden Problem: Schäden aus Einzelversicherung nur sicher erfaßt, wenn 1 Mio. DKR Daher betrachten wir hier nur Paare (X i, Y i ), wenn beide Schäden X i, Y i oberhalb von 1 Mio. DKR insgesamt n = 301 geschätzte Wahrsch. bzgl. bedingter Verteilung gegeben, daß beide Schäden wenigstens 1 Mio. DKR

1. Schritt: Schätze die Randverteilungsfktnen! Gute Anpassung der Tails durch Pareto-Verteilungen mit Lokationsparameter: ˆF 1 (x) = 1 26, 96 (x + 3) 2,33, x > 1, 96, ˆF 2 (y) = 1 10, 24 (y + 3) 1,75, y > 1, 46. ˆα 2 1, 75 = V ar(y i ) =! Modellcheck: 1 F 1 (x) = c 1 (x + µ) α 1 F 1 1 (1 t) + µ = ( t c 1 ) 1/α1 log ( F 1 1 (1 t) + µ ) = log c 1 α 1 1 α 1 log t, Für t = (j + 1/2)/n: F 1 1 (1 t) F 1 n,1(1 t) = X n j:n Daher sollten Punkte ( log j + 1/2 ), log(x n j:n + µ) n für µ = 3 näherungsweise auf einer Geraden liegen, falls Modell korrekt ist (Quantil-Quantil-Plot). Dabei werden nur j mit X n j:n > 1, 96 betrachtet.

4 3 2 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 QQ-Plots für building (oben) und content (unten)

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 50 100 150 200 250 300 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 50 100 150 200 250 300 Hill- (durchgezogen), Momenten- (gestrichelt) und ML- Schätzer (gepunktet) für 1/α 1 ( building ) als Funktion von k mit (oben) bzw. ohne Shift (unten) der Schäden

1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 50 100 150 200 250 300 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 50 100 150 200 250 300 Hill- (durchgezogen), Momenten- (gestrichelt) und ML- Schätzer (gepunktet) für 1/α 2 ( content ) als Funktion von k mit (oben) bzw. ohne Shift (unten) der Schäden

2. Schritt: Standardisiere Schadenshöhen! X i := ˆF 1 (X i ) Ỹ i := ˆF 2 (Y i ) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Schadenshöhen standardisiert mit Pareto-Vfen. (oben) bzw.

3. Schritt: Überprüfe Modell für Abhängigkeit! Für ein η (0, 1] P { X > 1 tx, Ỹ > 1 ty} c(x, y)t1/η für t 0 log P { X > 1 sx 0, Ỹ > 1 sy 0} P { X > 1 x 0, Ỹ > 1 y 0} 1 η log s für hinr. kleine x 0, y 0 und alle s (0, 1] Wähle s so, daß ( X i, Ỹi) existieren mit X i > 1 sx 0, Ỹ i > 1 sy 0 und schätze P { X > 1 sx 0, Ỹ > 1 sy 0} durch empirische Häufigkeit Punkte ( 1 n {i Xi > 1 sx 0, Ỹi > 1 sy 0 } log s, log {i Xi > 1 sx 0, Ỹi > 1 sy 0 } ) {i Xi > 1 x 0, Ỹi > 1 y 0 } sollten auf einer Geraden durch Ursprung liegen, deren Steigung 1/η nicht von (x 0, y 0 ) abhängt.

-4-3 -2-1 -1-2 -3-4 -5-4 -3-2 -1-1 -2-3 -4-3 -2-1 -1-2 -3-4 Modellcheck mit (x 0, y 0 ) = (2/3, 2/3) (oben), (x 0, y 0 ) = (2/3, 1/3) (mitte) bzw. (x 0, y 0 ) = (1/3, 2/3) (unten)

-3-2 -1-1 -2-3 -4 Vergleich der 3 Plots

4. Schritt: Schätze η! Hill-Schätzer beruhend auf ( 1 1 ) T i = min 1 X, i 1 Ỹi d.h. ˆη = 1 k k i=1 log T n i+1:n T n k:n 0.8 0.7 0.6 0.5 50 100 150 200 250 300 Hill-Schätzer als Funktion von k k = 125 = ˆη = 0, 66 Die Großschäden der Komponenten building und content sind also asymptotisch unabhängig, aber mäßige

3 2 1 1 2 3 4 5 6 Quantil-Quantil-Plot für T i

5. Schritt: Schätze Wahrsch. für Großschäden Z.B. P {X > 10, Y > 10} geschätzt durch t 1/ˆη 1 { n i X i > 1 1 ˆF 1 (10) t, Ỹi > 1 1 ˆF 2 (10) }, t für geeignetes t > 0. Wähle z.b. t = t k so, daß { i Xi > 1 1 ˆF 1 (10), t Ỹi > 1 1 ˆF 2 (10) } k t k und plotte als Funktion von k: t 1/ˆη k k n = k 0.025 0.02 0.015 50 100 150 200 250 300 k = 100 = P {X > 10, Y > 10} 0, 022 Zum Vergleich: In 4 von 301 beobachteten Fällen sind beide Komponenten größer als 10,

Fazit Selbst schwache Abhängigkeiten können erheblichen Einfluß auf Rückversicherungen haben! Modelle für Struktur der Abhängigkeit zwischen Großschäden und Methoden zur Modellanpassung und zum Modellcheck stehen zur Verfügung Neues Forschungsgebiet; daher viele offene Probleme

5 4 3 2 1 50 100 150 200 250 300 5 4 3 2 1 50 100 150 200 250 300 Logarithmierte Schadenshöhen für building (oben) und content (unten)