V5 Linsenesetze, Auenmodell Au der Lichtrechun an kuelörmi ekrümmten Grenzlächen eruhen die Aildunseienschaten von Linsen. Linsen und Linsensysteme indet man in optischen Instrumenten, wie Lupe und Mikroskop, aer auch in Form der Auenlinse und von Brillenläsern zur Korrektur von Auenehlern.. Theoretische Grundlaen.. Stichworte zur Vorereitun Wir werden in diesem Versuch dauernd von Lichtstrahlen sprechen; in den Zeichnunen werden Lichtstrahlen als erade Linien darestellt, die eim Durchan durch Linsen estimmte Richtunsänderunen erahren. Was unter dem Beri Lichtstrahl physikalisch zu verstehen ist, machen wir uns anhand von A... klar: Eine Lichtquelle L.Q. sendet Licht in alle Raumrichtunen aus. Weit rechts von L.Q. einde sich ein undurchsichties Hindernis mit einer kleinen spaltörmien Önun Sp. Durch diese Önun tritt ein schmales Lichtündel mit einem kleinen Önunswinkel u in den Raum rechts vom Spalt ein. Da Lichtausreitun immer mit dem Transport von Strahlunsenerie verunden ist, wird die vom Lichtündel miteührte Enerie umso kleiner sein, je kleiner der Önunswinkel u des Lichtündels ist..2. Das Brechunsesetz Als Brechun ezeichnet man den Sachverhalt, daß Lichtstrahlen ihre Richtun ändern können, wenn sie die Grenzläche zwischen zwei transparenten Medien durchdrinen. Die Ursache daür ist die unterschiedliche Ausreitunseschwindikeit des Lichts in den etrachteten Stoen. Eine ausührliche Darstellun des Brechunsesetzes erolt in Aschnitt.2. von Versuch 0 (Lichtleiter, Endoskop), so daß hier nur eine Zusammenassun der wesentlichen Berisdeinitionen und Gesetzmäßikeiten eeen wird. Als Brechunsindex n eines optischen Mediums ezeichnet man das Verhältnis der Lichteschwindikeit im Vakuum c 0 zur Lichteschwindikeit in dem etrachteten Medium c: c n = 0 > (.) c Als Dispersion ezeichnet man die Ahänikeit des Brechunsindex von der Wellenläne des Lichts: n = n(λ). Im Bereich des sichtaren Lichts wird n mit zunehmender Wellenläne kleiner. Beim Brechunsesetz etrachtet man einen Lichtstrahl, der au eine eene Grenzläche zwischen zwei Stoen mit den Brechunsindizes n zw. n 2 ällt. Der zur Senkrechten im Autrepunkt (Einallslot) emessene Winkel sei α. Der Strahl ilde nach der Brechun mit dem Lot den Winkel β. Dann ilt:. Einallender, ausallender Strahl und das Lot lieen in einer Eene. 2. Das Verhältnis aus dem Sinus des Einallswinkels α und dem Sinus des Ausallswinkels β erit sich aus den Brechunsindizes n zw. n 2 zu: sin α n = sin β n 2 (.2) A... Lichtündel und Lichtstrahl Je weiter wir den Schirm nach rechts verschieen, desto kleiner wird der Önunswinkel u des von L.Q. durch Sp hindurchtretenden Lichtündels. Wir deinieren: Unter einem Lichtstrahl wollen wir im olenden ein Lichtündel verstehen, dessen Önunswinkel und Querschnitt eliei klein sind. D.h. die Breite des Bündels ist üerall in unserem Experiment klein eenüer den Ojekten, die aeildet werden. Man eachte die Zuordnun der Winkel α emessen im Medium mit Brechunsindex n zw. β im Medium mit Brechunsindex n 2! Für n > n 2, also ür einen Üeran aus einem optisch dichteren in ein optisch dünneres Medium existiert ein Grenzwinkel α T, ür den β = 90 wird. Beim Üerschreiten dieses Grenzwinkels kommt es zum Phänomen der Totalrelexion, d.h. der Lichtstrahl wird vollständi zurück in das optisch dichtere Medium relektiert. Dieses Verhalten indet in der soenannten Faseroptik Anwendun (siehe Versuch 0)..3. Zwei Beispiele zum Brechunsesetz.3.. Lichtdurchan durch eine planparallele Platte Aus A..2. ersieht man, daß ein unter dem Winkel α een das Lot au die eine Platteneene einallender Lichtstrahl nach zweimalier Brechun die Platte in der leichen Richtun wieder verläßt, allerdins mit einer Parallelversetzun p, deren Größe ei estem α der Plattendicke d proportional ist. V 5. V 5.2
Nach dem Brechunsesetz (.2) erit sich ür achsnahe Strahlen, d.h. ür hinreichend kleine Winkel α und β, olende Näherun: n 2 sin α α = (.3) n sin β β Die Winkel ϕ und ϕ 2 des Lichtstrahls sowie der Winkel γ des Lots mit der optischen Achse lassen sich unter leichen Bedinunen wie olt ausdrücken: d d d ϕ tan ϕ ϕ2 tan ϕ2 γ tan γ (.4) r Daei ist d der Astand des Schnittpunktes des Lichtstrahls mit der Kuelläche zur optischen Achse und r der Krümmunsradius. Die Strecken = AZ und = BZ werden mit Bezu au ihre Bedeutun ei der optischen Aildun als Geenstandsweite zw. Bildweite ezeichnet. Aus A..3. lassen sich die olenden Winkeleziehunen aleiten: A..2. Parallelversetzun eines Lichtstrahls eim Durchan durch eine planparallele Platte.3.2. Brechun an einer kuelörmien Grenzläche Die ekrümmte Hornhaut des Aues sowie die Oerlächen von Linsen sind kuelörmie Grenzlächen zwischen Medien mit verschiedenen Brechunsindizes n und n 2. In A..3. ist der Strahlverlau an einer derartien Kuelläche darestellt. Als optische Achse ezeichnet man eine Symmetrielinie, die durch das Zentrum Z der Kuelläche und den Krümmunsmittelpunkt K verläut. Ein von einem Punkt A au der optischen Achse ausehender Lichtstrahl wird an der Grenzläche im Punkt P erochen und kreuzt die Achse wieder nach der Brechun im Punkt B. Mit dem Lot im Punkt P, das die Achse im Krümmunsmittelpunkt K der Kuelläche trit, ildet der Strahl die Winkel α zw. β. γ = α ϕ = β + (.5) ϕ 2 Drückt man die Winkel γ, ϕ und ϕ 2 durch die Näherunen (.4) und den Winkel β mit Hile von Gl.(.3) durch den Winkel α aus, so olt daraus: d r d n d = α = α + (.6) n Mit dem linken Teil der Gleichun (.6) läßt sich α ausdrücken und durch Einsetzen in den rechten Teil eliminieren, so daß man schließlich erhält: d n = r n 2 2 d d + + r d und nach Division durch d und Multiplikation mit n 2 die Aildunsleichun: n n 2 n 2 n + = (.7) r In dieser Gleichun sind weder die Winkel γ, ϕ und ϕ 2 noch der Astand d enthalten, doch sollte man in Erinnerun ehalten, daß das Erenis au den Näherunen ür achsnahe Strahlen (.3) und (.4) eruht. Unter dieser Voraussetzun werden also alle vom Punkt A ausehenden Lichtstrahlen nach Brechun an der kuelörmien Grenzläche wieder im Punkt B vereinit, d.h. B ist der Bildpunkt von A. Parallel zur Achse einallende Strahlenündel (ϕ = 0, = ) werden im rechtsseitien Brennpunkt zusammeneührt. Als zuehörie (hintere) Brennweite erhält man A..3. Brechun an einer kuelörmien Grenzläche V 5.3 n 2 = = r (.8.a) n n 2 V 5.4
Entsprechend erhält man den linksseitien Brennpunkt, indem man ihn als Ausanspunkt von Strahlen deiniert, die als achsenparalleles Bündel austreten (ϕ 2 = 0, = ). Die zuehörie (vordere) Brennweite eträt n = = r. (.8.) n 2 n Vordere und hintere Brennweite verhalten sich zueinander wie die Brechunsindizes vor und hinter der Grenzläche. Bildet man also die Quotienten aus den Brechunsindizes n 2 zw. n und den zuehörien Brennweiten nach Gln.(.8.a) und (.8.), so erhält man üereinstimmend die Größe n 2 n n 2 n D = = =, (.9) r die man als Brechkrat der Kuelläche ezeichnet. Die Einheit der Brechkrat ist die Dioptrie: Dioptrie = dpt =. m Dünne Linsen sind solche Linsen, deren rößte Dicke (ei Sammellinsen die Dicke der Linsenmitte, ei Zerstreuunslinsen die Breite des Randes) sehr klein ist eenüer den Radien der sie erenzenden Kuellächen. Sie erüllen ei der Herleitun des Aildunsesetzes die Voraussetzunen, unter denen die Näherunen von Gln.(.4) und (.5) Gültikeit esitzen. Dadurch nimmt die Aildunsleichun ür dünne Linsen eine esonders einache Form an, siehe Gl. (.3)..5. Brennpunkte ei Sammel- und Zerstreuunslinsen In A..5. ist ein Querschnitt durch zwei sich schneidende Kueln mit den Mittelpunkten M und M 2 und den Radien r und r 2 ezeichnet. Die eiden Kueloerlächen erenzen eine ikonvexe sphärische Linse S.L., deren Querschnitt als durchehende Linie ezeichnet ist. (Die hier darestellte Linse ist allerdins durchaus nicht dünn im Sinne von Aschnitt.4.) Man eachte, daß au der rechten Seite von Gl.(.7) erade die so deinierte Brechkrat steht..4. Sammel- und Zerstreuunslinsen In A..4. sind je drei Grundormen von Sammel- und Zerstreuunslinsen im Querschnitt darestellt. Demnach unterscheidet man: a) Sammellinsen : ikonvex ) Zerstreuunslinsen 4: ikonkav 2: plankonvex 5: plankonkav 3: konkavkonvex 6: konvexkonkav Sammellinsen sind in der Mitte dicker als am Rand, Zerstreuunslinsen dünner. Wir werden uns im olenden au dünne sphärische Linsen eschränken: Spärische Linsen sind solche, deren Oerlächen aus Teilen von Kueloerlächen estehen. (Das schließt auch plankonvexe oder plankonkave Linsen ein, wenn wir ihre eene Seite als Teil der Oerläche einer Kuel von unendlich roßem Radius Auassen.) A..4. Grundormen von Sammel- und Zerstreunslinsen. V 5.5 A..5. Radien der eine ikonvexe Linse erenzenden Kuellächen Unter der Voraussetzun, daß der Astand der rechenden Flächen klein een deren Krümmunsradien ist, addieren sich ihre Brechkräte zur Gesamtrechkrat der Linse. Ausehend von Gl.(.7) erhält man also: n n n n 3 2 3 2 + = + (.0) r r2 V 5.6 n n Die in Gl.(.0) vorkommenden Brechunsindizes sind wie olt zuzuordnen: n und n 3 eziehen sich au die Medien au der konvexen Seite der Kuellächen, also zu eiden Seiten außerhal der Linse. n 2 ist der Brechunsindex au der konkaven Seite der Kuellächen, also im Inneren der Linse. Der umekehrten Krümmun der rechten Linsenoerläche wird durch das neative Vorzeichen des Krümmunsradius r 2 Rechnun etraen. In den meisten Fällen wird eine Linse au eiden Seiten von Lut umeen sein, d.h. in uter Näherun kann man setzen: n = n 3. Bezeichnet man dann den Brechunsindex des Linsenmaterials mit n, so reduziert sich Gl.(.0) au: + = ( n ) + r r 2 (.)
Die vordere und hintere Brennweite einer au eiden Seiten von Lut umeenen dünnen Sammellinse erhält man analo zu Aschnitt.3.2. durch Betrachtun der Grenzälle zw., d.h. achsparalleler Strahlverlau im Bildraum zw. Geenstandsraum. Man erhält ür eide Grenzälle das leiche Erenis: = ( n ) + r r 2 (.2) zw. nach der Brennweite auelöst: r r2 = (.2.a) n r + r2 Die Brennpunkte F und F 2 einer dünnen Sammellinse einden sich also au der optischen Achse im leichen Astand rechts und links vom der Linsenmitte. Aus (.2) zw. (.2.a) olt weiter: Je kleiner die Radien der die Linse erenzenden Kueloerlächen sind, d.h. je stärker die Wölun der Linsenlächen ist, desto rößer wird die rechte Seite von (.2), d.h. desto kleiner wird die Linsenrennweite. Durch Einsetzen von Gl.(.2) in Gl.(.) erhält man schließlich die Aildunsleichun ür dünne Sammellinsen: + = (.3) Die Diskussion dieses Gesetzes erolt in Aschnitt.6 in Zusammenhan mit der Bildkonstruktion ür Sammellinsen. Die Tatsache, daß proportional zu /(n ) ist, hat eine wichtie Konsequenz ür Aildunen mit Röntenlicht: Röntenstrahlun ist eenso wie Licht elektromanetische Wellenstrahlun, nur sind die Wellenlänen von Röntenstrahlen um ein Vielaches kleiner als die von Licht. Im Wellenlänenereich der Röntenstrahlen esitzt der Brechunsindex aller ür elektromanetische Strahlun durchlässien Stoe einen Wert von nahezu n =. Damit wird (n ) 0 und die Brennweiten nach Gl.(.2) werden eliei roß, d.h. es lassen sich keine Linsen ür Röntenstrahlen herstellen. Betrachten wir nun eine dünne Zerstreuunslinse. In A..6. treen achsenparallele Lichtstrahlen von links kommend au die Linse. Die einallenden Lichtstrahlen werden von der optischen Achse we nach außen erochen - es kommt zu keiner Vereiniun der Strahlen rechts von der Zerstreuunslinse. Aer: Verlänert man die auseinanderlauenden Strahlen nach rückwärts, also in das Geiet der einallenden Strahlen, so scheinen sie alle von einem einzien Punkt der optischen Achse auszuehen. Diesen Punkt nennt man den virtuellen linken Brennpunkt F der Zerstreuunslinse (virtuell = scheinar, nicht wirklich). Den Astand dieses Brennpunkts von der Mitteleene ME der Zerstreuunslinse nennt man den Betra ihrer virtuellen Brennweite, die Brennweite selst ist neativ. A..6. Brennpunkte und Brennweite einer Zerstreuunslinse Zu diesem Erenis kommt man, indem man in Gl.(.0) entsprechend der anderen Krümmun die Vorzeichen der Radien r und r 2 umkehrt und die dort emachten Annahmen üer die Brechunsindizes üernimmt: n n 3 + n 2 n = r n + 3 n r 2 2 + = ( n ) + r r2. neative Brennweite Läßt man analo achsenparallele Strahlen von rechts kommend au die Zerstreuunslinse allen, erhält man durch deren rückwärtie Verlänerun den rechten virtuellen Brennpunkt F 2 der Zerstreuunslinse. Es ist wichti, sich noch einmal den Unterschied zwischen dem Brennpunkt einer Sammellinse und dem virtuellen Brennpunkt einer Zerstreuunslinse klarzumachen: Ein Parallellichtündel wird durch eine Sammellinse im Brennpunkt 'zusammeneschnürt', so daß dort tatsächlich eine Konzentration von Strahlunsenerie au enstem Raum autritt - daher auch die Bezeichnun 'Brennpunkt'. Bei der Zerstreuunslinse hineen scheinen die die Linse verlassenden Strahlen nur von einem Punkt der optischen Achse zu kommen (daher die Bezeichnun 'virtueller' Brennpunkt), eine Konzentration von Strahlunsenerie indet ei der Zerstreuunslinse nicht statt. Wir haen isher nur ikonvexe zw. ikonkave Linsen etrachtet. Unsere Üerleunen ü- er deinierte Brennpunkte und leiche Brennweiten au eiden Seiten einer Linse elten aer eenso ür die anderen in A..4. ezeiten Linsenormen. Die Gl.(.2) ilt allerdins nur ür die Brennweite einer ikonvexen Sammellinse; ür andere Linsenormen muß sie entsprechend Gl.(.0) modiiziert werden. V 5.7 V 5.8
.6. Die Aildun durch eine dünne Sammellinse; Bildkonstruktion mit Hauptstrahlen Die eometrische Konstruktion, die in diesem Aschnitt eschrieen wird, ilt nur unter den olenden zwei Voraussetzunen:.) Wir etrachten nur dünne Linsen. 2.) Die an der Aildun eteiliten Lichtstrahlen sollen mit der optischen Achse nur kleine Winkel ilden; d.h. die von der Linse azuildenden Geenstände sollen keine zu roße seitliche Ausdehnun esitzen. Was diesen Punkt anelant, sind die olenden Bilder nicht korrekt, die Geenstände sind aus Gründen der Üersichtlichkeit durchäni zu roß ezeichnet worden. In A..7 ist die Aildunsleichun (.3) eometrisch umesetzt. Ein Geenstand G wird in Form eines au der optischen Achse der Sammellinse stehenden Peils mit der Spitze P nach oen darestellt. Der Astand seines Fußpunktes Q von der Mitteleene ME der Linse ist die Geenstandsweite, der Raum links von der Linse wird als Geenstandsraum ezeichnet. Einachheitshaler stellen wir uns den Geenstand als selstleuchtend vor; von jedem Punkt von G ehen dann Lichtstrahlen nach allen Seiten aus. Unsere Frae lautet: Wie werden die von einem Punkt ausehenden Strahlen durch die Sammellinse erochen? Wir wählen dazu den Punkt P, also die Peilspitze, und etrachten drei Strahlen, 2 und 3, die von P ausehen und au die Sammellinse treen. 2.) Strahl 3 eht im Geenstandsraum durch den linken Brennpunkt F, er wird daher von der Linse so erochen, daß er im Bildraum als 3' parallel zur optischen Achse verläut. Die Strahlen ' und 3' schneiden sich in einem Punkt P' des Bildraums. Wir nennen P' den Bildpunkt von P. 3.) Strahl 2 soll in Richtun au den Linsenmittelpunkt M hin verlauen. Der Mittenereich einer Linse kann als planparallele Platte anesehen werden. Nach A..2. erährt ein Lichtstrahl eim Durchan durch eine solche Platte keine Richtunsänderun, sondern nur eine Parallelversetzun. Bei einer dünnen Linse können wir diese Versetzun vernachlässien. Strahl 2 eht also unerochen durch die Linse hindurch, und er eht eenalls durch den Bildpunkt P', was man sich aus Teilunsverhältnissen von Parallelen klarmachen kann. Wir haen ür die hier enutzten drei ausezeichneten Strahlen, Parallelstrahl, Mittelpunktsstrahl 2 und Brennpunktsstrahl 3 durch die Sammellinse eine Aildun des Punktes P unseres Geenstands in den Bildpunkt P' erhalten. Von diesen drei so. Hauptstrahlen hätten ereits zwei zum Auinden des Bildpunktes P' enüt. Tatsächlich werden auch alle ürien von P ausehenden Strahlen, die au die Sammellinse allen, von dieser enau so erochen, daß sie durch den Bildpunkt P' ehen. Die hier eschrieene Konstruktion des Bildes P' von P kann man sich ür jeden einzelnen Punkt des Geenstands G durcheührt denken. Au diese Weise erhält man das von der Sammellinse erzeute Bild B des Geenstands G. Das Bild B ist umekehrt (- es steht au dem Kop -), reell und - im Fall der in der Aildun ewählten Geenstandsweite - eenüer G verkleinert. Unter einem reellen Bild versteht man - im Geensatz zu den anschließend zu ehandelnden virtuellen Bildern - ein Bild, das man durch Anrinen eines Schirms in der Bildeene sichtar machen kann. Die Enternun des Fußpunkts Q' von der Linsen- Mitteleene ist die Bildweite. Wir veriizieren nun aus A..7. durch eometrische Betrachtunen die ereits hereleitete Aildunsleichun (.3) ür dünne Sammellinsen. Zunächst ühren wir den Beri Aildunsmaßsta γ S ein: Bildröße P Q γ S = = (.4) Geenstandsröße PQ Es ilt oensichtlich ween der Ähnlichkeit mehrerer Dreiecke, z.b. PQM und P'Q'M: P Q γ S = = = (.4.a) PQ A..7. Aildun durch eine Sammellinse; Punkt- und Länenanaen dienen zur Veranschaulichun der Aildunsleichun..) Strahl verläut im Geenstandsraum parallel zur optischen Achse. Dieser Strahl wird von der Linse so erochen, dass er durch den rechten Brennpunkt F 2 eht, und erhält im Raum rechts von der Linse, den wir als Bildraum ezeichnen werden, die Bezeichnun '. Aus dem rechten Teil von Gl.(.4a) erhält man durch Umormun wieder die Aildunsleichun: + = (.3) Da ür eine voreeene Linse, also ür estes, die Summe aus der reziproken Geenstandsund der reziproken Bildweite konstant ist, olt daraus zunächst, daß ür rößer werdende Geenstandsweite die Bildweite kleiner werden muß und umekehrt. Für wird = 0 und =. Das Bild eines sehr enternten Geenstands liet also in der Brenneene der Sammellinse. V 5.9 V 5.0
Ferner kann man aus Gln.(.3) und (.4) drei Fälle unterscheiden: = 2 ; = 2 ; γ S = = (.5.a) > 2 ; < 2 ; γ S = < (.5.) < < 2 ; > 2 ; γ S = > (.5.c) Der Fall (.5.) ist in A..7. darestellt. Für < wird nach Gl.(.3) neativ. Was das edeutet, werden wir etwas später ehandeln. Üerprüen Sie selst - schon im Hinlick au das Testatsespräch - durch entsprechende Konstruktionen die Richtikeit der Behauptunen (.5.a) und (.5.c) ür = 2 und ür zwischen 2 und! In A..8. ist darestellt, was eenüer der ormalen Konstruktion von A..7. der Wirklichkeit näherkommt: Die Sammellinse ist in eine metallische, also lichtundurchlässie Fassun einesetzt, wie es auch im Versuch der Fall ist. Der Geenstand ist in seiner seitlichen Ausdehnun rößer als der Radius der Linsenassun. Nicht nur die drei Hauptstrahlen, sondern alle von P ausehenden Strahlen, die au die Linse allen, werden von ihr im Bildpunkt P' vereinit. In A..8. sind das alle Strahlen, die zwischen den Randstrahlen s und s 2 verlauen und damit von der Sammellinse eraßt werden. Vom Punkt P eht ein Lichtündel mit dem Önunswinkel u aus. Im Querschnitt von A..8. wird das Lichtündel von den Randstrahlen s und s 2 erenzt. Önunswinkel u und Verlau des Lichtündels werden von der Lae des azuildenden Punktes P eenüer der Linsenassun estimmt. Man nennt solche Lichtündel diverent, d.h. auseinanderlauend. Die Sammellinse erzeut aus diesem diverenten Lichtündel ein konverentes, d.h. zusammenlauendes Lichtündel mit den im Querschnitt von A..8. einezeichneten Randstrahlen s' und s' 2 und dem Önunswinkel u' im Bildpunkt P'. Danach verläut das Licht als diverentes Bündel nach rechts weiter. Bei der Aildun eines Punktes P in einen reellen Bildpunkt P' erzeut die Sammellinse aus dem von P ausehenden, durch die Linsenassun erenzten diverenten Lichtündel mit dem Önunswinkel u ein konverentes Lichtündel, das im Bildpunkt P' zusammeneschnürt wird, dort den Önunswinkel u' esitzt und von dort als diverentes Lichtündel mit dem leichen Önunswinkel u' weiterläut. Je rößer der Önunswinkel u des von einem Punkt P ausehenden Lichtündels ist, d.h. also je rößer der Durchmesser der Linsenassun unter sonst leichen Verhältnissen ist, desto rößer ist die vom Lichtündel transportierte Strahlunsenerie und damit die Hellikeit des von der Linse erzeuten Bildes..6.. Virtuelle Bilder ei Sammellinsen: Wir etrachten jetzt anhand von A..9. den ei der Diskussion des Aildunsesetzes (.3) ausesparten Fall < : Der Geenstand G liet innerhal der Brennweite der Sammellinse. A..8. Unterscheidun zwischen den zur ormalen Bildkonstruktion enutzten Hauptstrahlen und dem tatsächlich zur Aildun eitraenden, durch die Linsenassun erenzten Lichtündel. Versucht man nun, den Bildpunkt P' des Geenstandspunkts P mit Hile der drei Hauptstrahlen nach A..7. zu konstruieren, sieht man sich olender Schwierikeit eenüer: Der Mittelpunktsstrahl 2 eht zwar durch den Linsenmittelpunkt, Parallelstrahl und Brennpunktsstrahl 3 treen jedoch au die Linsenassun und nicht mehr au die Linse. Damit scheint eine Konstruktion von P' mit Hile der drei Hauptstrahlen unmölich. Wir umehen diese Schwierikeit olendermaßen: Wir stellen uns die seitliche Ausdehnun der Linse, also den Radius der Linsenassun, ei leichleiender Brennweite so roß vor, daß auch die Strahlen und 3 noch von der Linse eraßt werden, und ühren die Konstruktion wie in A..7. durch. Dieses Vorehen ist leitim, wenn wir uns an das ei A..7. Gesate erinnern: V 5. A..9. Konstruktion des virtuellen Bildes ür den Fall < V 5.2
In A..9. ist nur die Mitteleene der Linse als zur optischen Achse senkrecht durch M verlauende Gerade einezeichnet, und wir etrachten auch nur den Verlau der drei vom Punkt P des Geenstands G ausehenden Hauptstrahlen. Der Mittelpunktsstrahl 2 eht unerochen durch die Linsenmitte M. Der Parallelstrahl eht als Strahl durch den rechten Brennpunkt F 2 der Linse. Der Brennpunktsstrahl 3 ist derjenie Strahl, der, von P ausehend, unter derjenien Richtun au die Sammellinse trit, daß seine rückwärtie Verlänerun durch den linken Brennpunkt F verläut. Dieser Strahl verläßt die Sammellinse als Strahl 3' parallel zur optischen Achse. Aus A..9. ersieht man, daß sich die Strahlen ', 2' und 3' im Bildraum nicht mehr in einem Bildpunkt vereinien, sondern daß sie auseinanderlauen. Es entsteht also kein reelles Bild von P. Aer: Verolt man die rückwärtie Verlänerun von, 2 und 3 (in der A..0. estrichelt darestellt), so sieht man, daß sie sich im Geenstandsraum in einem Punkt P' schneiden. Anders ausedrückt: Die Lichtstrahlen ehen zwar vom Punkt P des Geenstands aus, aer ür einen Beoachter rechts von der Linse, scheinen die Strahlen vom Punkt P' im Geenstandsraum zu kommen..7. Aildun durch dünne Zerstreuunslinsen Wir setzen das Erenis der olenden Betrachtun an den Beinn dieses Aschnitts: Eine Zerstreuunslinse lieert stets verkleinerte, aurechtstehende virtuelle Bilder. Dazu A..0.: Wir konstruieren das Bild des Punktes P des Geenstandes G mit Hile der drei Hauptstrahlen und erinnern dazu an A..6. Der Geenstand G in A..0. liet links vom linken (virtuellen) Brennpunkt F 2 der Zerstreuunslinse. Bei der Bildkonstruktion muß man eachten, daß der dem Geenstand G zueordnete Brennpunkt F rechts von der Linse und der dem Bild B zueordnete Brennpunkt F 2 links davon liet. Entsprechendes ilt ür alle Punkte des Geenstands G. Man nennt P' den virtuellen Bildpunkt von P und die Gesamtheit aller virtuellen Bildpunkte das virtuelle Bild B des Geenstands G. Das virtuelle Bild ist aurechtstehend und verrößert. Der Unterschied zwischen einem reellen und einem virtuellen Bild ist olender: In jedem Punkt eines reellen Bildes wird Strahlunsenerie konzentriert, weil jeder Punkt der Scheitelpunkt eines konverenten Lichtündels mit endlichem Önunswinkel ist, wie es in A..9. ür den Punkt P des Geenstands G darestellt ist. Dadurch ist es mölich, das reelle Bild au einem Schirm sichtar zu machen, oder durch Anrinen einer lichtempindlichen Schicht in der Bildeene ein otoraisches Bild des Geenstands zu erzeuen. Bei einem virtuellen Bild ist eides nicht mölich. Brint man in die Eene, in der in A..9. das virtuelle Bild entsteht, einen Schirm, eine Mattscheie oder eine otoraische Schicht, so wird kein Bild sichtar, weil es in keinem Punkt des virtuellen Bildes zur Zusammenschnürun eines konverenten Lichtündels und damit zu keiner Konzentration von Strahlunsenerie kommt. Mit der Konstruktion virtueller Bilder kann man die Funktion einer Lupe erklären. Das Aildunsesetz (.3) ehält auch ür < seine Gültikeit, wenn man olende Reel eachtet: Liet das Bild einer Sammellinse im Geenstandsraum, so erit sich die Bildweite im Aildunsesetz (.3) als neative Zahl. Desween ist in A..9 die Bildweite Q'M mit dem Betra~~einetraen. Für den Aildunsmaßsta erhält man im Fall < : P Q γ S = = > (.6) PQ A..0. Aildun durch eine Zerstreuunslinse: Im Geenstandsraum entsteht ein verkleinertes, aurechtstehendes virtuelles Bild B des Geenstands G. Der von P ausehende achsenparallele Strahl wird durch die Linse so von der optischen Achse we nach außen erochen, daß seine rückwärtie Verlänerun durch F 2 verläut: Strahl '. Der Mittelpunktsstrahl 2 eht wie ei der Sammellinse unerochen durch die Linsenmitte M. Strahl 2 und rückwärtie Verlänerun von Strahl ' schneiden sich in dem virtuellen Bildpunkt P' von P. Zur Kontrolle etrachten wir noch den Brennpunktsstrahl 3: Das ist ei der Zerstreuunslinse derjenie von P ausehende Strahl, der unerochen durch den rechten virtuellen Brennpunkt F der Linse ehen würde. Er verläßt die Linse nach rechts als achsenparalleler Strahl 3'. Dieser Verlau von 3 3' olt aus der Umkehrun des Strahlenans von A..6. Die rückwärtie Verlänerun von 3' eht eenalls durch den virtuellen Bildpunkt P'. V 5.3 V 5.4
Insesamt werden alle von P ausehenden Strahlen von der Zerstreuunslinse so erochen, daß ihre rückwärtie Verlänerunen durch den virtuellen Bildpunkt ehen, d.h. ür einen Beoachter rechts von der Linse scheinen alle von P kommenden Strahlen von P' auszuehen. Denkt man sich die hier eschrieene Konstruktion ür alle Punkte des Geenstands G auseührt, so erhält man das virtuelle Bild B des Geenstands G. Es liet stets zwischen dem Geenstand und der Zerstreuunslinse, ist kleiner als G und aurechtstehend. Für die Aildun durch eine Zerstreuunslinse ilt weiter das Aildunsesetz (.3), wenn man die Brennweite der Zerstreuunslinse als neative Zahlen einsetzt, da ja die zuehörien Brennpunkte immer au der anderen Seite als ei der Sammellinse lieen. Setzt man ür und die Beträe, um den Vorzeichenwechsel deutlich zu machen, dann nimmt die Aildunsleichun (.3) die Form an: Mit < wird der Aildunsmaßsta γ Z nach A..0. zu: = (.7) γ Z = <.8. System aus zwei dicht neeneinanderlieenden dünnen Linsen In A... sind zwei dicht neeneinanderlieende Sammellinsen S und S2 mit den Brennweiten und 2 darestellt. Ihre optischen Achsen allen zusammen. Es soll sich ei den eiden Linsen - im Geensatz zu der Darstellun von A... - um dünne Linsen im Sinne von Aschnitt.4 handeln, und der Astand d = M M 2 ihrer eiden Mittelpunkte soll vernachlässiar klein sein eenüer den Brennweiten und 2 der eiden Linsen, so daß die esamte Anordnun noch als dünn anesehen werden kann. V 5.5 Wir denken uns im linken Brennpunkt F () der linken Sammellinse einen punktörmien Geenstand G aneracht. Das von ihm ausehende diverente Lichtündel wird durch die Linse S in ein Parallellichtündel umewandelt, von dem ihrerseits die Linse S2 ein konverentes Bündel mit dem Bildpunkt B im rechten Brennpunkt F 2 (2) von S2 erzeut. Die eiden dicht neeneinanderlieenden dünnen Sammellinsen wirken also wie eine einzie Sammellinse, deren Brennweite wir mit syst ezeichnen wollen. Dieses Linsensystem hat die Eienschat, den Punkt G in den Punkt B azuilden. Vernachlässit man d eenüer und 2, so ist die Geenstandsweite von G ezülich des Systems annähernd =. Für die Bildweite von B erit sich entsprechend: = 2. Die Anwendun der Aildunsleichun (.3) lieert uns daher die Brennweite syst des Systems aus den eiden Sammellinsen: + = + = (.8) 2 syst A... Zur Addition der Brechkräte zweier dicht neeneinanderlieender dünner Linsen Gl.(.8) erit nach syst auelöst: 2 syst = (.8.a) + 2 Da / syst sowohl rößer als / als auch rößer als / 2 ist, ist syst kleiner als jede der eiden Einzelrennweiten und 2. Für eine au eiden Seiten von Lut umeene Linse ist die Brechkrat D einach der Kehrwert der Brennweite, vl. Gl.(.7) und Gl.(.3):. D = Mit dem Beri Brechkrat läßt sich Gl.(.8) schreien: Gl. (.9) in Worten: D syst = D + D 2 (.9) Bei einem aus zwei dicht neeneinanderlieenden dünnen Sammellinsen estehenden System addieren sich die Brechkräte der Einzellinsen zur Brechkrat des Systems. Ween der neativen Brennweite einer Zerstreuunslinse ist auch ihre Brechkrat neativ. Bildet man ein System aus einer dünnen Sammellinse S und einer dicht daneenlieenden dünnen Zerstreuunslinse Z mit den Brennweiten S > 0 und Z < 0, so ilt Gl.(.3) ür das System der eiden Linsen unverändert: D syst = D S + D Z = D S D Z (.20) V 5.6
Gl.(.20) in Worten: Setzt man eine dünne Sammellinse dicht neen eine dünne Zerstreuunslinse, so entsteht ein Linsensystem, dessen Brechkrat D syst leich der Summe aus der positiven Brechkrat D S der Sammellinse und der neativen Brechkrat D Z der Zerstreuunslinse ist. Üerwiet dem Betra nach die Brechkrat der Sammellinse, so stellt das System wieder eine Sammellinse dar. Ist der Betra der Brechkrat der Zerstreuunslinse rößer als die Brechkrat der Sammellinse, wirkt das System wie eine Zerstreuunslinse..9. Bestimmun der Brennweite einer Zerstreuunslinse Die Brennweite einer Sammellinse kann man direkt aus der Aildunsleichun (.3) durch Messun der Geenstands- und Bildweite, und, estimmen. Die Aulösun von Gl.(.3) nach erit: = (.2) + Die Brennweite einer Zerstreuunslinse läßt sich au diese Weise nicht ermitteln, weil die Zerstreuunslinse nur virtuelle Bilder lieert, deren Bildweiten nicht meßar sind. Man kann aer eine Zerstreuunslinse mit einer Sammellinse, deren Brechkrat dem Betra nach die der Zerstreuunslinse üerwiet, zu einem System vereinien, das wie eine Sammellinse wirkt, und die Brennweite des Systems nach Gl.(.2) estimmen. Dann erhält man durch Aulösun von Gl.(.8.a) nach der Brennweite Z : Z S = (.22) S Da in diesem Fall S < syst ist, erit sich ür Z ein neativer Wert, so wie es ür eine Zerstreuunslinse sein soll..0. Das Aue syst syst Eine detaillierte Behandlun der optischen Eienschaten unseres Sehapparates würde den Rahmen dieses Praktikumsskripts sprenen, u.a. weil hierzu Berie (Haupteene, Knotenpunkt usw.) erorderlich sind, die ei der Bildkonstruktion mit dicken Linsen deiniert werden. Daher sei hier au die im Aschnitt C enannten Lehrücher verwiesen. Einie zum Verständnis des letzten Versuchsteils notwendie Grundlaen sollen dennoch im olenden kurz darestellt werden. Das menschliche Aue esteht im wesentlichen aus einem kuelörmien Glaskörper (Bulus), dessen Durchmesser ca. 23 mm eträt. Die rückseitie Berenzun des Glaskörpers ildet die lichtempindliche Netzhaut (Retina). Die Vorderseite des Aues ormt mit der nach vorn ewölten Hornhaut (Cornea) eine rechende Kuelläche mit einem eektiven Krümmunsradius von 7,83 mm. Die Akkomodationsähikeit des Aues wird durch eine Linse mit varialer Krümmun erreicht, die sich zwischen Hornhaut und Glaskörper eindet. Der Raum zwischen Hornhaut und Linse ist mit Kammerwasser auseüllt. Kammerwasser und Glaskörper haen einen Brechunsindex von,336. A..2. Vereinachtes Schema des ernokussierten Aues Die Brechkrat der Hornhaut erechnet sich daraus nach Gl.(.9) zu,34,00 D H = = 43dpt. 0,00783m Demeenüer lieert die Auenlinse mit einem Brechunsindex von etwa,42 im entspannten Zustand eine zusätzliche Brechkrat von. D L 6dpt Der wesentliche Anteil der Gesamtrechkrat des Aues von D A 58,6 dpt wird also nicht durch die Auenlinse, sondern durch die Hornhautkrümmun ewirkt. Die Akkomodation au die deutliche Sehweite s 0 = 25 cm verrößert die Brechkrat der Auenlinse um 4 dpt. Für das entspannte Aue erhält man ür die vordere zw. hintere Brennweite aus Gl.(.9) die Werte n,00 n 2,336 = = 7, mm und = = 22,8 mm. D 58,6 D 58,6 Reduziert man die Gesamtrechkrat des Aues au die Brechkrat einer einzelnen ekrümmten Fläche, so hätte diese nach Gl.(.9) einen Krümmunsradius von 5,7 mm. Der Astand vom Krümmunsmittelpunkt K is zur Netzhaut nimmt in diesem vereinachten Modell einen Wert von 6,7 mm an (A..2.). V 5.7 V 5.8
2. Der Versuch 2.. Auaenstellun Der Versuch esteht aus drei Teilen:.) Nach Gl.(.3) ist die Brennweite einer dünnen Sammellinse S durch Messun der Geenstands- und Bildweiten und zu estimmen. 2.) Es ist die Brennweite Z einer Zerstreuunslinse Z nach dem in Aschnitt.9. eschilderten Verahren zu estimmen. Die Zerstreuunslinse Z ist mit einer dicht daneenlieenden Sammellinse S der Brennweite = 0,00 cm ± % zu einem System vereinit. Die Brennweite syst des Systems aus S und Z ist nach Gl.(.3) durch Messun der Bild- und Geenstandsweiten zu estimmen. Aus S und dem Mittelwert syst ist nach Gl.(.22) Z zu erechnen. 3.) Am Modell eines reduzierten Aues ist die Brechkrat durch Messun der Geenstandsweite ei voreeener Bildweite ("Bulusläne") zu estimmen. Daraus sind der Krümmunsradius der rechenden Grenzläche ("Hornhaut") sowie die vordere und hintere Brennweite zu erechnen. 2.2. Versuchsauau: Die Linsen, der Schirm zum Auanen des Bildes, der Geenstand und die Beleuchtunseinrichtun ür den Geenstand sind in so. Reitern ehaltert und au einer,5 Meter lanen optischen Bank mit einem in Millimeter unterteiltem Maßsta verschiear aneordnet. Jeder Reiter esitzt eine Alesemarke, so daß die Laen von Geenstand, Linse und Bild au mm enau aneeen werden können. Als Geenstand dient ein Kleinild-Diapositiv mit einer 20 mm-skala und drei Buchstaen- und einer Zahlenreihe. Das Diapositiv wird von einer 30 Watt-Glühlampe eleuchtet. Der Ort der Glühlampe im Lampenehäuse kann innerhal ewisser Grenzen verändert werden. Damit das esamte von der Lampe durch das Diapositiv hindurchtretende Licht auch durch die Sammellinse eht, so daß die Linse ein mölichst helles und leichmäßi auseleuchtetes Bild des Dias erzeuen kann, ist zwischen der Glühlampe und dem Dia eine Beleuchtunslinse, ein so. Kondensor, aneracht. Der Versuchsauau mit der Aole: Glühlampe - Kondensor - eleuchteter Geenstand - aildende Linse - Schirm - entspricht dem Strahlenan in einem Projektionsapparat und wird in A.2. darestellt. 2.3. Durchührun der Messunen und Auswertun Bei den Messunen wird der Ort x des Geenstands (des Dias) nicht verändert. Bei jeder der eiden Brennweitenestimmunen wird ür jeweils 2 verschiedene Stellunen x 3 des Schirms derjenie Ort x 2 der Linse zw. des Linsensystems estimmt, ei dem das Bild des Dias au dem Schirm verrößert und schar aeildet wird. Das olende Protokollschema ereiten Sie zweimal im Het vor, jede Taelle muß 2 Meßwerte aunehmen.. Bezeichnun der Linse: S oder System. 2. Position des Dias : x =...,. cm 3. Die Taelle: Messun Auswertun x 3 x 2 [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]...,....,...,...,...,.. Die Berechnun der Brennweitenwerte erolt nach Gl.(.3), = +, A.2.. Zuordnun von Geenstandsweite und Bildweite zu den Orten x, x 2 und x 3 von Geenstand, Linse und Bild au der optischen Bank. V 5.9 mit Hile der /x-taste Ihres Rechners nach olendem Schema: eineen, /x-taste und + Taste drücken, eineen, /x-taste und = -Taste drücken: Anzeie: /. Noch einmal /x- Taste drücken: Anzeie:. Traen Sie diese Werte au zwei Stellen nach dem Komma in die Taelle ein. Die au der olenden Seite als Versuchsparameter voreeenen Werte ür die Position des Dias x und die einzustellenden Schirmpositionen x 3 sollten Sie ereits ei der Vorereitun des Versuchsprotokolls in Ihre eiden Taellen eintraen. V 5.20
Üerahren Sie nach jeder Einstellun einer neuen Schirmstellun x 3 mit der Linse mehrmals den Ort x 2, ei dem ein schares verrößertes Bild erscheint; dann stellen Sie endülti au maximale Schäre ein und protokollieren x 2 au mm enau. Sollte ei der Auswertun ein -Wert wesentlich verschieden von den ürien sein, haen Sie vermutlich einen Aleseehler eanen. Üerprüen Sie in einem solchen Fall Ihre Berechnunen und wiederholen Sie eeenenalls die etreende Messun. Versuchsparameter x = 20,0 cm S : System : x 3 [cm] x 3 [cm] 87,0 04,0 94,0 5,0 04,0 27,0 7,0 39,0 89,0 07,0 97,0 9,0 08,0 3,0 22,0 43,0 9,0,0 00,0 23,0 2,0 35,0 27,0 47,0 2.4. Messunen am einachen Auenmodell Das Modell ür ein reduziertes Aue esteht aus einer Küvette, die mit Silikonöl eüllt ist. Die Funktion der ekrümmten Hornhautläche wird durch eine plankonvexe Linse nacheildet, die in die linke Frontseite der Küvette einesetzt ist. Linse und Silikonöl esitzen nahezu den leichen Brechunsindex von n 2 =,52, so daß der Einluß der Grenzläche zwischen Glas und Öl zu vernachlässien ist. An der eenüerlieenden Rückseite der Küvette ist eine Mattscheie aneracht, die als Bildeene die Funktion der Netzhaut üernimmt. Der Versuchsauau entspricht im wesentlichen der isherien Anordnun. An Stelle der Linse wird die Küvette in den Strahlenan estellt. Gehen Sie daei vorsichti vor, um ein Verschütten des Silikonöls zu vermeiden! Die Bildweite der Anordnun ist durch die Enternun zwischen der konvexen Grenzläche ("Hornhaut") und der Mattscheie ("Netzhaut") est voreeen; sie eträt = 3 cm. Bei der Messun der Geenstandsweite ist zu erücksichtien, daß die Position der Linsenoerläche eenüer der Alesemarke am linken Verschieereiter um 8,5 cm versetzt ist. Follich muß die Position des Dias x rechnerisch eenüer der Alesun au der Dreikantschiene eenalls um diesen Wert korriiert werden: x = 28,5 cm. V 5.2 Zunächst muß das Auenmodell so lane au der Dreikantschiene verschoen werden, is das in diesem Falle verkleinerte Bild des Dias au der Mattscheie schar aeildet wird. Sodann ist die Position an der Alesemarke des linken Reiters azulesen: x 2 =...,. cm.. Daraus erechnet man die Geenstandsweite zu: = x 2 x =..,. cm =.,.. m. 2.5. Auswertun und Fehlerrechnun Berechnen Sie aus den jeweilien 2 -Werten die Mittelwerte und syst die zuehörien asoluten Fehler und syst. Wenden Sie die Reeln 2 und 3 der Fehlerrechnun an, um die vertretare Stellenzahl der Mittelwerte zu estimmen. Dann erechnen Sie die eiden prozentualen Fehler p( ) und p( syst ). Die Brennweite Z der Zerstreuunslinse erechnen Sie nach Gl.(.22) aus den Brennweiten der im System enthaltenen Sammellinse S = (0,00 ± 0,0) cm und des Systems syst : S syst Z = (2.) S syst Der prozentuale Größtehler von Z erit sich nach den Reeln der Fehlerortplanzun p ( ) Z V 5.22 ( S + syst ) % Z syst 00 % 00 S = = + +. Z S syst S syst Daraus erhält man schließlich: ( S + ) syst p( Z ) = p( S) + p( syst ) + 00 %. S syst (2.2) Beachten Sie, daß der Nenner des dritten Summanden eine positive Zahl ist (Betraszeichen!); die einzelnen Fehler addieren sich zum Größtehler au. Um die Stellenzahl von Z nach Reel 3 der Fehlerrechnun in Üereinstimmun mit dem Fehler von Z aneen zu können, müssen Sie aus dem prozentualen Fehler von Z nach Gl.(2.5) der Fehlerrechnun den asoluten Fehler von Z, Z, estimmen: p( Z ) Z Z = 00 Hiernach Rundun von Z! Die am Auenmodell emessene Geenstandsweite estattet ei ekannter Bildweite ("Bulusläne") = 3 cm nach Gl.(.7) die Berechnun der Brechkrat D A, wenn man die Brechunsindizes eiderseits der Grenzläche, ür Lut n =,00 zw. ür Glas n 2 =,52, zurundelet:
D n = + n 2,00,52,00 = + = 0,3 A + 4,90 [ dpt] Beachten Sie, daß die emessene Größe in Metern einesetzt werden muß, um die Brechkrat in Dioptrien (drei siniikante Stellen!) zu erhalten. Aus Gl.(.9) kann man aus der Brechkrat D A den Krümmunsradius r der rechenden Kuelläche estimmen. Berechnen Sie auch die olenden Werte au drei siniikante Stellen: n 2 n,52,00 r = = =.,... [m] =.,.. [cm]. D D A A Schließlich sind, eenalls nach Gl.(.9), die vordere und hintere Brennweite des Auenmodells zu erechnen: 3. Üunsraen. Welche Aussae macht das Brechunsesetz; welche Bedeutun hat der Brechunsindex eines Mediums? 2. Wie sind Brechkrat, vordere und hintere Brennweite einer kuelörmien Grenzläche zu erechnen? 3. Wie ist die Brennweite einer Sammellinse zw. einer Zerstreuunslinse deiniert? 4. Folende Skizze zeit eine dünne Sammellinse mit ihren Brennpunkten, der Mitteleene und der optischen Achse: n,00 = = =.,... [m] = D D A A..,. [cm] n 2,52 = = =.,... [m]..,. [cm]. D D = A A 2.6. Zusammenassun der Erenisse am Schluß der Auswertun Fassen Sie die Versuchserenisse in der olenden Form zusammen: =... cm ±... % syst =... cm ±... % Z =... cm ±... % Vorzeichen von Z?! D A =... dpt r =... cm =... cm =... cm In welchem Astand von der Mitteleene muß sich ein Geenstand einden, damit a) sich ein virtuelles Bild erit? ) ein verrößertes reelles Bild entsteht? c) ein reelles Bild von der Größe des Geenstands entsteht? d) ein verkleinertes reelles Bild entsteht? 5. Nach welchen Reeln eht man ei der Bildkonstruktion mit Hile von Hauptstrahlen vor? 6. Wie lautet die Aildunsleichun? 7. Was versteht man unter dem Aildunsmaßsta, und wie kann man ihn erechnen? 8. Wie erit sich die Brennweite eines Linsensystems aus zwei dicht zusammenesetzten dünnen Linsen aus deren Einzelrennweiten? 9. Warum muß man eim Aue eine vordere und eine hintere Brennweite unterscheiden? V 5.23 V 5.24