Netzgeerierug 55 3. Netzgeerierug Für de i Kapitel beschriebee umerische Lösugsalgorithmus solle i diesem Abschitt eiige Möglichkeite zur Netzgeerierug für de Strömugskaal thermischer Turbomaschie erläutert werde. Im Rahme dieser Arbeit wurde flexible Werkzeuge zur Erzeugug vo strukturierte, zweidimesioale Multi-Block-Recheetze programmiert. Es soll dazu ei algebraisches Verfahre, basiered auf Bézier-Kurve dritter Ordug, beschriebe werde. Die auf diese Art ud Weise geerierte Netze wurde och (falls erforderlich) durch Awedug eies differetielle Verfahres maipuliert. Mit der Eischräkug auf axiale Turbomaschie köe diese D-Prozedure auch auf dreidimesioale Problemstelluge agewedet werde. Für de Soderfall, daß Turbomaschiebeschaufeluge durch Bézier-Kurve beschriebe werde (s. Paßrucker, 997), wird i PAPER eie etsprechede Prozedur zur Netzgeerierug beschriebe. Es soll och darauf higewiese werde, daß ei vom Istitut für Geometrie der TU-Graz speziell dafür etwickelter Algorithmus zum orthogoale Fortsetze vo Bézier-Kurve ud Bézier-Fläche adaptiert wurde (s. Schröcker, 998). 3. Werkzeuge zur Recheetzgeerierug im Für zweidimesioale Problemstelluge wurde hier versucht, die Vorteile vo sowohl algebraische, als auch differetielle Verfahre zur Netzgeerierug zu utze. Die i diesem Abschitt kurz beschriebee Methode zur Recheetzgeerierug im R solle lediglich als Werkzeuge gesehe werde ud köe vo jedem Beutzer zur Geerierug eier bestimmte Netztopologie (z.b.: 'klassische Netztype' für Turbomaschie oder Tragflügelströmuge, s. Abb. 3.: H-Netz, C-Netz, O-Netz) idividuell kombiiert werde. C-Netz: (97 7) O-Netz: (65 3) H-Netz: (33 9) Abb. 3.: Verschiedee Netztype (Hirsch, 989)
Netzgeerierug 56 3.. Defiitio der Beraduge Jeder Strömugskaal ist zuächst durch seie Radliie defiiert. Diese köe als elemetare algebraische Kurve (Liie, Kreise, Kegelschitte,...) parametrische Kurve x r ( u) Freiformkurve (Bézier-Kurve, B-Splie-Kurve,...) puktweise (x k, k=..) gegebe sei. Sämtliche Fälle köe durch Umformuge oder durch Awedug geeigeter Iterpolatiosmethode zu allgemeie parametrische Kurve x r ( u) trasformiert werde. 3.. Recheetz zwische zwei parametrisch gegebee Kurve mittels Bézier-Kurve dritter Ordug Gegebe seie zwei Radkurve i Parameterdarstellug x r ( u ), x r ( u). Diese solle mit eiem Recheetz geeiget verbude werde (s. Abb. 3..). Dazu werde im folgede Bézier- Kurve 3. Ordug (=3) geau so adaptiert, daß: a de Beraduge ei beutzerdefiierter Wikelverlauf α (u), α (u) (zwische der Radliie ud eier Netzliie u=kost) eigehalte wird. Es ka leicht gezeigt werde, daß ei auf folgede Weise erhaltees Kotrollpolygo r bi ( i =,.., ) eie Bézier-Kurve erzeugt, welche obige Forderug erfüllt. r r r r r cos( α( u)) si( α( u)) x b = x( u); b = b + a( u) u u r si( α( )) cos( α( )) x r r r r r cos( α( u)) si( α( u)) x b3 = x( u); b = b3 + a( u) r si( α( u)) cos( α( u)) x / u / u / u / u (3...)
Netzgeerierug 57 Bézier-Kurve 3. Ordug a u ( ) r x( u) α r x / u Kotrollpolygo ( ) a u α r x( u) r x / u Abb. 3.. Recheetz zwische zwei parametrisch gegebee Kurve mittels Bézier-Kurve dritter Ordug Die Abstäde a ud a sid dabei ei Maß dafür, wie weit der geforderte Wikel i das Netz hiei aufrecht bleibt. Diese Vorschrift führt u uter Zuhilfeahme der Shiftoperatorschreibweise für Bézier-Kurve (Hoschek & Lasser, 989) zu eier Fläche i Parameterdarstellug r r r r x( u, v) = ( v + E v) b ( u) E bi = bi + (3...) dere Parameterliie (u=cost, v=cost) i weiterer Folge als Netzliie iterpretiert werde solle. Es soll och bemerkt werde, daß durch die Vorgabe α =α =9 völlig orthogoal aufsetzede Netze geeriert werde köe. 3..3 Steuerug der Netzverteilug Die Abstäde aufeiaderfolgeder Parameterliie (Netzverteilug) eier, wie i Gleichug 3... defiierte Fläche, ka durch Awedug eier Parametertrasformatio u=u(t) beliebig gesteuert werde. Abb. 3..3.: Recheetzverdichtug durch Awedug eier Parametertrasformatio u(t)
Netzgeerierug 58 Eie sehr starke Komprimierug vo Rechegitter, wie z.b. i Grezschichtbereiche erforderlich, ka durch Awedug vo hyperbolische Fuktioe erreicht werde: ( C ( t- ) u(t) = + tah tah( C) (3..3) De Eifluß des Steuerparameters C i dieser Netzverteilugsfuktio veraschaulicht Abb. 3..3.: Verdichtugsfuktio.8 f(t).6.4. C= C=3 C=..4.6.8 t Abb 3..3. Parametertrasformatio zur Recheetzverdichtug Für C erhält ma: u(t)=t, was keier Äderug der ursprügliche Netzverteilug etspricht, starke Komprimieruge ergebe sich ab etwa C=3. 3..4 Vergleichmäßigug der Netze durch die Lösug partieller elliptischer Differetialgleichuge Meist weise die Radliie des zu diskretisierede Strömugskaals Ustetigkeite der Tagete ("Ecke") auf. Die Verbidug solcher ur stückweise stetig differezierbarer Radliie erfolgt zweckmäßigerweise durch die abschittsweise Awedug der Prozedur ach Kap. 3.. auf jedes stetige Teilstück. Daraus resultiert aber, daß sich die Ustetigkeite der Beradug weit i das Netz hiei bemerkbar mache (siehe dazu Abb. 3..4.: Die quasi i Strömugsrichtug verlaufede Netzliie zeige Kicke a de vo Vorder- ud Hiterkate ausgehede Netzliie, welche die wie obe beschriebe geerierte Bereiche separiere).
Netzgeerierug 59 Abb. 3..4.: H-Netz zur Berechug der Strömug i eier Zyliderkaskade, welches durch stückweises Awede der Prozedur ach Abschitt 3.. geeriert wurde Das Awede vo differetielle Netzgeerierugsmethode (z.b.: Kidlhofer 99, Saz 993, Gallus et. al. 995) ist umerisch aufwedig, glättet aber diese Ustetigkeite, da durch das Löse vo partielle elliptische Differetialgleichuge im Iere des Berechugsgebietes ur stetige Verläufe der Netzliie zu erwarte sid. Es ist zwar prizipiell möglich, durch zusätzliche Quellterme i diese elliptische Differetialgleichuge die Netzverteilug ud de Wikel der Netzliie zur Beradug hi zu steuer, dies erfordert jedoch eie etspreched größere umerische Aufwad. Es wurde daher versucht, durch das Ausführe eiiger weiger Iteratiosschritte zur Lösug der reie Laplace-Gleichug bei eiem wie obe geeriertes Netz (oder bei eiem Teilbereich davo) diese Ustetigkeite zu glätte. Die Azahl dieser Iteratiosschritte ist da ei Maß dafür, wieviel vo dem vorher aalytischexakt aufgeprägte Wikelverlauf a der Beradug ud vo der gewüschte Netzverteilug verloregeht, ud wie sehr die Ustetigkeite vergleichmäßigt werde. Ausgagspukt des hier verwedete differetielle Verfahres ist eie Koordiatetrasformatio (x, x ) (ξ,η). Dafür werde da die beide Laplace-Gleichuge ξ ξ η η + = ; + = (3..4.) x x x x umerisch gelöst. Die auf diese Art erhaltee Netzliie köe als Potetialliie ud Stromliie eier reibugsfreie ikompressible Strömug (Potetialströmug Laplace- Gleichug) iterpretiert werde. Die Trasformatiosbeziehuge ξ x ξ x η x = η x x x x x ξ η η ξ x η x η x ξ x ξ
Netzgeerierug 6 führe zur vektorielle Gleichug, x v x x x v x x x x x v x x + ξ η η ξ η ξ η ξ η + + + η ξ ξ = die durch zetrale Diskretisierug ( ξ=, η=) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξ η i+, j i, j i, j+ i, j ud durch Awedug eies Newto-Algorithmus r r R R R( ) R( ) r ( r r ) r r r x x r R( ) x x + x x + = + = x = x x sowie eier Puktrelaxatiosmethode r x r x + i, j i, j iterativ gelöst wird. ω R r x, i j r R ( x ) < ω < (3..4.) Zur Illustratio wurde dieses Verfahre auf das H-Netz zur Berechug der Strömug i eier Zyliderkaskade (Abb. 3..4., 3..4., 3..4.3) agewadt. Abb. 3..4.: H-Netz zur Berechug der Strömug i eier Zyliderkaskade Vollstädige Lösug der Laplace-Gleichug ach Gl. (3..4.) (die Startwerte etsprache dem Netz i Abb. 3..4.) Abb. 3..4.3: H-Netz zur Berechug der Strömug i eier Zyliderkaskade stückweises Awede der Prozedur ach Kap. 3.. Komprimiere des Netzes ach Gl. (3..3) Ausführe eiiger weiger Iteratioe (=) zur Lösug der Laplace-Gleichug Gl. (3..4.) Ma erket i Abb. 3..4., daß durch das vollstädige Löse der Laplace-Gleichug zweifellos die Ustetigkeite im Iere 'sauber' geglättet wurde, daß aber die Netzliie sehr stark vo de kritische Bereiche (Vorder- ud Hiterkate) abgedrägt werde.
Netzgeerierug 6 Ei möglicher Weg, ei für reibugsbehaftete Strömuge brauchbar verdichtetes ud gleichzeitig im Iere 'geglättetes' Netz zu erhalte, ist das Ausführe lediglich eiiger weiger Iteratiosschritte (z.b.: =) zur Lösug der Laplace-Gleichug auf ei ach Kap. 3.. geeriertes ud mit Gl. 3..3 komprimiertes Recheetz (s. Abb. 3..4.3). 3. Beispiele für D-Multiblock-Netzkofiguratioe zur Berechug der Turbomaschieströmug Diese Beispiele solle die Awedug der uter Pukt 3. beschriebee Werkzeuge für Turbomaschiegitter (isbesodere für stark umlekede Turbiegitter) illustriere. Multiblock - Netzkofiguratioe ermögliche es, die eizele Vorteile der 'klassische' Netztype (s. Abb. 3.) zu kombiiere. Erstes Beispiel: HO-Netz mit zusätzlichem Austrittsblock Das gesamte Rechegebiet wird hier i drei Blöcke aufgeteilt (s. Abb. 3..). E dge 3 s trech_o stre ch_ K a al E dge Abb. 3..: Kotrollpukte der Bézier-Kurve ud Bézier-Fläche Abb. 3..: HO-Netz mit zusätzlichem Austrittsblock Block ist prizipiell vom Typus H-Netz, das aber de Abströmbereich ur teilweise abdeckt. Block ist ei reies O-Netz, das i Schaufelähe sehr stark verdichtet werde ka, um eie hohe räumliche Auflösug der Grezschicht zu gewährleiste. Block 3 ist ei zusätzlicher Block im Abströmbereich, der eierseits die Azahl der Zelle auf der Saugseite erhöht (hier sid die größte Gradiete zu erwarte) ud zusätzlich die Verzerrug der Zelle gegeüber reie H-Netze deutlich verrigert.
Netzgeerierug 6 Das O-Netz wird dabei rei algebraisch durch die Awedug der Prozedur ach Kap. 3.. auf die Schaufelkotur ud eie Parallelkurve erzeugt (s. Abb. 3..). Das H-Netz ud der zusätzliche Austrittsblock werde ebefalls durch abschittsweises Awede der Prozedur ach Kap. 3.. geeriert, allerdigs köe da och eiige weige (typischerweise 5-) Iteratioe des elliptische Gleichugslösers ach Kap. 3..4 zur Vergleichmäßigug des Netzes durchlaufe werde. Für jede Bereich ist zusätzlich die Verdichtugsfuktio ach Kap. 3..3 awedbar. Zweites Beispiel: O-Netz mit zusätzlichem Ei/Austrittsblock (s. Abb. 3..3) Abb. 3..3: O-Netz mit zusätzliche Ei/Austrittsblöcke Hier wurde ebefalls durch das Awede der Prozedure 3.., 3..3 ud 3..4 der Strömugskaal mit drei Blöcke diskretisiert.
Netzgeerierug 63 Um die Schaufel herum wird ei 'klassisches' periodisches O-Netz gelegt, welches ebefalls eie uterschiedliche Azahl vo Pukte a Druck ud Saugseite des Profils erlaubt (im Gegesatz zu reie H-Netze oder C-Netze). Reie O-Netze eige zu sehr stark verzerrte Zelle, we sie zu weit i de Zu- ud Abströmbereich hiei gestreckt werde. Deshalb wurde das O-Netz mit zusätzliche Ei- / Austrittsblöcke kombiiert, welche es zudem erleichter, gerade Ei- / Austrittsberaduge zu erhalte. 3.3 Geerierug vo 3D-Netze für axiale Turbomaschie Beschräkt ma sich auf axiale Turbomaschie, so ka ma mit dem achfolgede Algorithmus auf eifache Weise aus zweidimesioale Netze Recheetze zur Berechug der dreidimesioale Turbomaschieströmug erzeuge: Für jede Schaufelschitt, der auf eier Rotatiosfläche verlaufe muß (die icht sehr stark vo eier Zyliderfläche abweiche sollte), wird: ei mittlerer Ausgleichsradius (zur Maschieachse, die im folgede die x -Achse sei soll) eies Ausgleichszyliders berechet mit Projektiosstrahle, die sekrecht durch die Maschieachse verlaufe, dieser Schaufelschitt auf de Ausgleichszylider projiziert die Abwicklug dieses auf de Ausgleichszylider projizierte Schaufelschittes berechet für diese Abwicklug ei ebeer Netzgeerator wie (z.b. uter Pukt 3. beschriebe) durchlaufe das ebee Netz wieder auf de Ausgleichszylider aufgewickelt das u auf dem Zylider befidliche Netz mit Projektiosstrahle, die wiederum sekrecht durch die Maschieachse verlaufe, auf die Rotatiosfläche des Schaufelschittes projiziert Daraus resultiert u ei Recheetz für die 3D-Strömug, desse Netzebee Rotatiosfläche sid, was die Aufprägug turbomaschiespezifischer Radbediguge welche umfagsgemittelte Größe a de Beraduge beötige (radiales Gleichgewicht, Rotor-Stator-Iteraktio,..) erleichtert. I de Abbilduge 3.3. ud 3.3. sid für zwei uterschiedliche Probleme Netze dargestellt, die mit dieser eifache Methodik geeriert wurde. Abb. 3.3. zeigt ei Recheetz für die 3D-Euler-Rechug eies Turbieleitschaufelgitters, wobei der ebee Netzgeerator vom Typ 'O-Netz mit zusätzlichem Ei/Austrittsblock ' verwedet wurde.
Netzgeerierug 64 Abb. 3.3. Recheetz für die 3D-Strömugsberechug eies Turbieleitschaufelgitters I Abb. 3.3. sieht ma ei Recheetz zur Berechug der reibugsbehaftete Strömug i eiem Verdichtergitter des Typs 'HO-Netz mit zusätzlichem Austrittsblock'. Charakteristisch für Recheetze zur Berechug der reibugsbehaftete Strömug ist die starke Netzverdichtug hi zu de Beraduge, also hi zur Schaufeloberfläche, zur Nabe ud zum Gehäuse.
Netzgeerierug 65 Abb. 3.3. Recheetz zur Berechug der reibugsbehaftete Strömug i eiem Verdichtergitter
Schaufelkostruktio & Netzgeerierug (Paper ) 66 PAPER Gehrer A., Paßrucker H., Jericha H., Lag J. "Blade desig ad Grid-geeratio for Computatioal Fluid Dyamics (CFD) with Bézier-curves ad Bézier-surfaces" preseted at Europea Coferece - Atwerpe March 97, Paper No. 54 Reprit
Schaufelkostruktio & Netzgeerierug (Paper ) 67 ABSTRACT This study presets systematic methodologies, based o the use of Bézier-curves ad Bézier-surfaces, for the desig of turbie bladig ad for the geeratio of CFD-grids, beig directly derived from the desig data. Two methods for geeratig two-dimesioal blade profiles represeted by Bézier-curves are itroduced. First a desig process, usig ilet flow agle, outlet flow agle, axial legth, chord legth, blade pitch ad thickess distributio as iput, ad secodly, a procedure for represetig blade geometry defied by a series of poits i space, are preseted. With regards to flow optimisatio, the geeratio of dgrid types (H-type grid, HO-type grid) for CFD, where orthogoal blade adapted grid lies appear as parameter lies of special Bézier-patches, is demostrated. Fially, applicatios for 3d-bade desig ad 3d-grid geeratio are discussed. INTRODUCTION Usually the desig of turbomachiery bladig is realised by composig several d-blade profiles which were developed cosiderig the respective twodimesioal flow situatio. These blade profiles are put together takig mechaical ad aerodyamical requiremets ito accout. For example, radial stackig of the respective gravity cetres ca be used for rotor blades. Oe importat geometrical criterio as regards profile optimisatio is the blade surface curvature distributio. Already Imbach [4] demostrated the ufavourable effects of curvature discotiuities o the flow aroud the profile. For example, Korakiaitis [7] ad Traupel [] itroduced profiles for highly loaded blades with a 'bell shaped' curvature distributio, showig a distict maximum i the area of accelerated flow, followed by a rapid ad mootoe curvature decrease i order to miimise the risk of flow separatio at the rear suctio side. Korakiaitis [7] develops his profiles by umerically itegratig a prescribed cotiuous curvature distributio, what results i blade geometry defied by a series of poits i space. Due to the attempt of developig cotiuous 3d-blade surfaces, various aalytical techiques have bee developed. For example, i ref. [] ad [3], Berstei polyomials are used to defie the geometrical shape of the blades ad the flow chaels. I this paper we itroduce a very geeral Bézier-approach for blade desig ad CFD grid geeratio which has the followig mai advatages: The parametric form of the equatios allows the blade ad chael coordiates to be very simply obtaied at ay umber of poits ad i ay suitable distributio for the use i subsequet aerodyamic ad stress calculatios ad for maufacture. Two dimesioal blade profiles are defied by Béziercurves which ca be obtaied either by a desig procedure accordig to ref. [8], or by reproducig blade geometry defied by a series of poits, which is preseted here i detail. I ref. [8] a procedure for geeratig 3d axial turbomachiery bladig from these Bézier-curves by applyig Bézier surfaces ca be foud. The mai topic of this paper is the geeratio of various kids of CFD grids, beig directly derived from these Bézier-curves ad showig orthogoal blade adapted grid lies. Fially, it should be oted that all the procedures preseted below are particularly suitable for icorporatio ito a computer aided desig process. NOMENCLATURE A, B agle coditio parameter B i Berstei-polyomial b, r, s, t vector of Bézier-poits E, F shift operator, m order of Bézier-curve or surface p base poit R radius of curvature t, u, v parameter of Bézier-curve or surface x, R, S vector of Bézier-curve or Bézier-surface Reprit
Schaufelkostruktio & Netzgeerierug (Paper ) 68 THEORETICAL PART Bézier-curves ad Bézier-surfaces I this chapter a very brief outlie of basic mathematical defiitios, eeded for dealig with Bézier-curves ad surfaces, is give. I additio, some geeral features of importace, cocerig border poits, border lies ad the respective first derivatives, which seem very practical for the use of Bézier-curves ad surfaces, are preseted. For further more details, see ref. [3].. Bézier-curves A Bézier-curve ca be give by its parameter represetatio: x ( t) i i ( t ) i= [, ] ( ) = b B t I = (.) ( ) ( t ) Here deotes the order of the Bézier-curve, B i are Berstei-polyomials, which are defied by ( i i B ) i ( t) = t ( t) i (.) ad b i are the Bézier-poits, which ca geometrically be iterpreted as cotrol poits of the curve. These Bézierpoits are, i geeral, vectors R or R 3. Two importat relatios betwee a Bézier-curve ad its cotrol poits are (s. fig...a, fig...b): x (t=) = b, x (t=) = b (.3) dx dt dx dt t= t= b ( b b) = ( b b ) = b b b 3 Fig...a: Bézier-curve (=3) with correspodig Bézier-poits b Fig... b: Bézier-surface (=3,m=3) with correspodig Bézier-grid (displaced) b b b 3 (.4) b 3 b 3 Bézier-curves also ca be defied by a shift operator represetatio: E b i = b i+ (.5) x ( t) = ( t + t E) b (.6) b 33 x m ( ) ( u, v ) = bijbi ( u) i= j= [ ] u, v I =, B ( m ) j ( v ) or by a shift operator represetatio (eq.(.8)): E b = b ij i+, j F b = b x ij i, j+ ( ) = ( u + u E) ( v + v F u, v ) m b (.7) (.8) Betwee a Bézier-surface ad its Bézier-poits, which ca be regarded as a cotrol grid of the surface, relatios, similar to eq.(.3) ad eq.(.4), ca be derived, for example: x = ( u + u E) b ; u, v= (.9) ( ) x u x v ( u, v= ) ( u, v= ) ( ) ( ) = u + u E E ( ) ( ) = m u + u E F b b (.) Coectig two Bézier-curves with a Bézier-surface I what follows, we itroduce a easy method for calculatig a coectig patch betwee two Bézier-curves by usig a Bézier-surface, with regards to the additioal coditio, that the v-parameter lies shall itersect the borderlies uder a give agle (see fig..). This agle coditio seems very importat for CFDgrid geeratio where oe possible ecessity is to obtai orthogoal body fitted grid lies. It should be oted, that the order of both lies must be idetical, otherwise, this coditio ca be satisfied by performig the elevatio of degree [3]. Usig the features of Bézier-surfaces, give i eq.(.9), it is obvious, that the,m-threads of the Bézier-grid of the coectig patch, cosistig of the Bézier-poits (b,...,b ),(b m,...,b m), are idetical with the Bézierpoits of the border lies ( b,...,b ) curve ad (b,...,b ) curve, respectively. I the ext chapter, we preset a methodology for calculatig the -thread (Bézier-poits b,...,b ) i order to satisfy the agle coditio. Of course, exactly the same procedure ca be applied for calculatig the (m-)-thread. I this way, for a (,3)-coectig Bézier-surface all Bézier-poits are clearly defied, whereas for m>3 still more degrees of freedom are available for arbitrary use.. Bézier-surfaces Similar to Bézier-curves, Bézier-surfaces ca either be defied by usig Bersteipolyomials, eq.(.7) Reprit
Schaufelkostruktio & Netzgeerierug (Paper ) 69 Bezier-curve v Bezier-curve Bezier-surface u fig. A Bézier-surface coectig two plae Béziercurves, agle coditio. Embeddig a agle coditio ito the coectig patch The represetatios for the border curve x (u,v=), its taget vector x/ u (u,v=) ad the taget vector of the v-curve at its border poit x/ v (u,v=) (s. fig..) are give by eq.(.9) ad eq.(.). The equatios for these two taget vectors ca also be regarded as parameter represetatios of two Bézier curves R ad S. They are Bézier curves of orders - ad, respectively. R is represeted by ( ) R = u + u E r (.) where the shift operator E works respectively o the vectors r,..., r.the cotrol polygo of R is determied by i ri = E E b i I =,, ( ) [ ] where we have to use i E E b = b b (.) ( ) i+ i I the same way we ca write ( ) S = u + u E s (.3) ad its cotrol polygo i si = m E F b i I =, (.4) ( ) [ ] where i E F b = b b (.5) ( ) i i Applyig a rotatio to R with cetre O (origi), with a additioal dilatatio with cetre O ad a arbitrary factor A, we get aother Bézier curve $ R. Of course it makes o differece whether we first perform the dilatatio ad the apply the rotatio or do it i the opposite sequece. The demad, that the parameter lies of the patch give do itersect the border lie (v = ) uder a costat agle, ca be expressed by the coditio, that for ay real parameter value u the vectors S(u) ad $ R (u) are liearly depedet (agle coditio). The most geeral way how to fulfil the agle coditio above is, however, gaied by the followig statemet S( u ) = A ( u ) + Bu R$ ( u) (.6) [ ] for arbitrary real umbers A, B. I the followig lies we use the Berstei polyomials as defied i eq.(.). The ew Bézier curve S ca be determied by its cotrol polygo: Compariso of coefficiets ( ) ( ( ) ) i ( u) ( ) A u + u B B ri = Bi ( u) t i yields the poits t i (i =,..., ) i the followig way: i= i i ( )( ) ri + ( )( ) i u u A i i+ i u u Br i= ( )( ) i i = i u u t i= t = i i ri ri [ ] A i + B i I =, (.7) Because of t =Ar ad t Br we ca also see what = the two reals chose do mea: They let us arbitrarily choose the legth of the first ad the last vector. For the special case A = B = we get the usual formula for elevatio of degree: i i t i = ri + ri i I = [, ] (.8) We fially extract the practical applicatio ad its geometric descriptio i a short way: I order to gai the -thread of the cotrol et deserved, we have to execute this 'modified elevatio of degree' (eq. (.7)) - which aturally is ot really a mere elevatio of degree - ad the tur the legs of the thread received by the agle α. If we affix every such vector at the correspodig vertex of the -thread, their arrow heads determie the vertices T i ( i =,..., ) of the -thread. Appropriate choice of A ad B is equivalet to the choice of the poits T ad T m o the lies PP ad P P, respectively. Remark: I order to gai still more degrees of freedom further elevatio of degree is possible ad useful. This meas, that the coditio above (eq.(.6)) would have to be replaced by [( ) + ] ( ) = k+ k ( ) $ ( ) k+ u u S u A ibi u R u i= with reals A i to be chose. The algorithm is for k, aturally, less easy to survey i practical use. AXIAL TURBINE BLADE DESIGN WITH BÉZIER- CURVES AND BÉZIER-SURFACES 3. d-blade profile desig process I this chapter, i order to demostrate compatibility with the CFD-grid geeratio procedure i chapter 4., just a very i i Reprit
Schaufelkostruktio & Netzgeerierug (Paper ) 7 brief outlie of a desig procedure, developed i ref. [8], is give. The profile cosists of three Bézier-curves, pressure-, suctioside ( th order) ad the roud trailig edge (3 rd order) (s. figs. 3.., 3.., 3..3). The Bézier-poits of suctio- ad pressure side are positioed orthogoal to a profile skeleto lie ad determie the thickess distributio of the profile. The two ukow Bézierpoits of the trailig edge are received by extedig the taget vectors at the eds of pressure- ad suctioside (C -cotiuous bledig). fig. 3.. defiitio of a profile skeleto lie with a Bézier-curve third order fig 3..3 blade row ad curvature distributio fig. 3.. Bézier-poits ad Bézier-curves of a blade profile 3. Approximatio of blade geometry defied by a series of poits i space The methodology beig discussed i this chapter itroduces the use of Béziercurves for approximatig curves from which oly certai base poits are kow. This procedure was developed i order to geerate a iterface from blade geometry defied by a series of poits (derived from either already existig blades or from ay other desig process resultig i discrete data) to a more geeral Bézier-approach. Due Reprit
Schaufelkostruktio & Netzgeerierug (Paper ) 7 to the fact that every Bézier-curve is completely cotiuous, the Bézier-approximatio to the poitwise give base curve ca be used to compesate for possible oscillatios i the base data. 3.. Mathematical framework The error due to the differece betwee m+ give base poits p k, k =,.., m ad their cotiuous approximatio is ( ) defied to be m m ( ) ( t k k ) fk x p k= k= f tot = = (3..) m + m + ad ca geometrically be iterpreted as the sum of all quadratic distaces f k betwee the base poits p k ad their correspodig poits of the Bézier-curve x ( t k ) (s. fig. 3..). m elemets } of u m ( ) ( ) ( ) Bi ( t Bl t i kb k ) ( k ) b = p l ( tk ) k= k 4444443 443 : = a a q li = := il l (elemets of A) (elememets of q) i= = l=,.., (3..4) 3.. Example: Bézier - approximatio of Hobso's blade profile This example was chose to demostrate the ability of rebuildig poitwise blade geometry ad compesatig for possible oscillatios at the same time. I this case, 7 base poits (m=6) at pressure- ad suctioside, take from ref. [], were approximated by two Bézier-curves of 9 th order. X (t ) k P k... base-poits f k s k... approximatig Bezier-curve base-poits Bezier - approx. curvature distributio fig. 3.. distaces betwee base poits ad their correspodig poits of the approximatig Bézier-curve I the attempt of arragig x ( t k ) to be withi a ear surroudig of p k, the parameter value t k is calculated by: s t k = s k m ; s = s + p p ; k =,.., m (3..) k k k k s = Demadig the error, defied i eq.(3..), to become a miimum f tot F ( b b ) =,..., miimum m k= x( t k ) 64748 ( ) bibi ( t k ) i= b l p k = ( l=,.., ) (3..3) leads to a system of + liear equatios ( A u = q ) for calculatig the ukow Bézier-poits b i: Bezier-curves ad Bezier-poits fig. 3.. Bézier-approximatio of Hobso's blade profile The result, displayed i fig. 3.., clearly show, that both Bézier-curves approximate the base poits very well. Cocerig the curvature distributio, it is obvious, that the base poit data cotaied oscillatios, which do ot appear i the Bézier-approximatio ay more. 3.3 3d-blades desig Oce, several blade profiles are desiged by procedures as itroduced i the previous chapters (3., 3.), a 3d-blade ca be determied by the demads, that pressure side, suctio side ad the trailig edge are Bézier-surfaces, cotaiig the Bézier-curves of the d-blade profiles as parameter lies. I [8], the mathematical framework for calculatig the Bézier-grids of these Bézier-surfaces ca be foud. To give a example, i fig. 3.3 the stage of our oe stage test turbie is show. The twisted rotatig blade was desiged by determiig two d-profiles i tip ad hub accordig to chapter 3., which the were arraged three dimesioally i such a fashio, that the profiles gravity cetres are radial i oe lie. The guide vae is coe shaped with a costat exit flow agle. Reprit
Schaufelkostruktio & Netzgeerierug (Paper ) 7 A=B=. rotor blade 3 guide vae fig. 3.3 test turbie stage GRID GENERATION FOR CFD 4. d-grid geeratio The methodologies preseted i the previous chapters eable the geeratio of various grid types like H-type grids, HC-type grids or HO-type grids with very little computatioal effort. I geeral, the requiremet of coectig the respective boudig sides of a flow field with Bézier-surfaces icludig a agle coditio, ca be realised by appropriate use of the procedure itroduced above. I what follows, some basic priciples ad the respective examples for applyig our coectig patches (s. chapter ) to the geeratio of d-grids, are preseted. I additio, the parameter lies of the grids ca arbitrarily be compressed by applyig ay compressio fuctio to be regarded as a parameter trasformatio of the surface parameters u,v, for example: 3 u = ( - C) u + Cu; u I[, + ] 4.. Example : H-type grid for calculatig the flow through a cascade of profiles with poited leadig- ad trailig edge Here, Hobso's profile, represeted by two Bézier-curves of 9 th -order (itroduced i chapter 3..), is used for presetatio. This simple grid cosists of three patches: ilet domai domai betwee suctio- ad pressure side outlet domai Patches,,3 fig. 4.. H-type grid for Hobso's blade profile, correspodig Bézier-grid 4.. Example : H-type grid for calculatig cascade flow through profiles with a roud leadigad trailig edge I geeral, this type of grids is disadvatageous because it cotais sigular mesh poits at leadig- ad trailig edge. I additio, it is ot possible to fulfil the right agle coditio everywhere at the wall (as opposed to example ). Still, they are used by various CFD-codes. Therefore we itroduce oe possibility how to geerate such a grid for the guide vae of our test turbie (see fig. 4..), which was developed by applyig the desig procedure, itroduced i chapter 3... It should be oted that it turs out to be practical for H-type grid geeratio to split the trailig edge Bézier-curve ito two Bézier-curves (e.g. at u=.5) by applyig the De- Casteljau-algorithm [3]. The fial grid cosists of four patches: ilet domai domai betwee suctio- ad pressure side domai betwee the two parts of the trailig edge outlet domai The patch betwee suctio- ad pressure side ca be derived by applyig the agle coditio two times for two differet agles (here: α = 9 /45 ). Bledig the cotrol grids of these two Bézier-surfaces by applyig a bledig fuctio leads to a very satisfyig result (s. fig. 4..). The patch at the trailig edge is determied i the same way, ilet- ad outlet patch are derived as itroduced i the previous example. The first step is to desig the Bézier-surface betwee suctio- ad pressure side (=9, m=3), applyig the agle coditio (α=9 ) at both walls. The still ukow cotrol poits of the ilet/outlet Bézier-surface (=, m=3), are determied by itersectig a referece vector (begiig at the kow cotrol poits of the middle patch ad poitig ito flow directio) with the ilet/outlet lie (fig. 4..). Reprit
Schaufelkostruktio & Netzgeerierug (Paper ) 73 fig. 4.. guide vae of our test turbie: H-type grid ad respective Bézier-poits 4..3 Example 3: I order to overcome the disadvatages of H-type grids for roud edges, O-type grids or combied grids my be used. I order to illustrate the ability of applyig Bézier-coector patches, as demostrated i the previous chapters, to more sophisticated CFD-grid geeratio problems, a HO-type grid for the profile i chapter 4.. is preseted ext. Here, very similar techiques to the oes discussed i chapters 4.. ad 4.. have bee applied to desig this HO-grid, cosistig of eight patches i total (s, fig. 4..3). fig. 4..3 guide vae of our test turbie, combied HOtype grid ad respective Bézier-poits 4. CFD-grid geeratio for 3d-flow calculatios The priciple of coectig two Béziercurves with a Bézier-surface, ca geerally be exteded to coectig two Bézier-surfaces with a Bézier-volume. Additioal demads, such as agle coditios ca of course be embedded. To be regarded as a first step i this directio, a quasi 3d- Bézier-volume procedure was developed. I this case, all d-procedures itroduced i the previous chapters ca be used, whereas a fully 3d-Bézier-volume approach is subject of our future work. Reprit
Schaufelkostruktio & Netzgeerierug (Paper ) 74 Cocerig 3d-blades, which cosist of Bézier-surfaces cotaiig profile Bézier-curves, as described i chapter 3., the correspodig Bézier-poits of each profile ca be projected o a cylider. This cylider projectio the has to be uwrapped to a plae, which results i plae Bézier-poits of plae profiles to which ay of the d-grid geeratig procedures ca be applied. This way we get cotrol grids for Bézier-surfaces, represetig d-cfd grids cocerig the uwrapped cylider projectio. Trasformig each of the these cotrol grids iverse i space leads to Bézier-poits altogether to be regarded as cotrol poits of Béziervolumes. Now, the 3d-blades appear as parameter surfaces of these Bézier-volumes. It should be oted that a Bézier approach usig ratioal Bézier-volumes ca satisfy the demad of parameter surfaces to be rotatio surfaces (e.g.: A circle ca be replaced by a ratioal Bézier-curve [3]). fig. 4. combied 3d-CFD grid, guide vae of our test turbie I order to show some prelimiary results for this quasi 3d-Bézier-volume procedure, fig. 4. illustrates a 3dblade (guide vae of our test turbie, see also fig. 4..3) ad two computatioal plaes for CFD at hub ad tip, extracted from the 3d-computig grid. Cocerig the parameter surfaces at hub ad tip i fig. 4., oe observes the same HO-grid type as show i fig. 4..3. CONCLUSION A flexible Bézier-approach, which is show to be practical for desig ad for CFD-grid geeratio, as regards the optimisatio of three-dimesioal turbomachiery bladig, has bee preseted. Two differet procedures for represetig blade profiles as Bézier-curves were itroduced, either based o fudametal stage parameters or based o blade geometry defied by a series of poits, i order to eable plae profile desig. It has bee demostrated, that from several blade profiles a 3d-blade ca be composed, cosistig of completely cotiuous Bézier-surfaces. With regards to flow optimisatio, several possibilities for geeratig various d-cfd grids, icludig body fitted grid lies were preseted. These CFD-grids were directly derived from the desig data. Fially, a prelimiary outlook o the possibilities for 3d-CFD grid geeratio has bee give. ACKNOWLEDGEMENT The Authors gratefully ackowledge the support by the Austria sciece foudatio (FWF) supportig this research as well as ogoig research i efficiecy improvemet of thermal eergy productio. REFERENCES [] Cedar, R.D., Stow, P., 985, "A Compatible Mixed Desig ad Aalysis Fiite Elemet Method for the Desig of Turbomachiery Blades", It. Jour. for Numerical Methods i Fluids, Vol. 5 [] Giles, M.B., Drela, M., 987, "Two- Dimesioal Trasoic Aerodyamic Desig Method", AIAA Joural-Vol. 5 [3] Hoschek, J., Lasser, D., 989, "Grudlage der geometrische Dateverarbeitug", B. G. Teuber Stuttgart [4] Imbach, H.E., 964, "Die Berechug der kompressible reibugsfreie Uterschallströmug durch räumliche Gitter auch großer Dicke ud starker Wölbug", Diss. ETH Zürich [5] Ives, D.C, Zacharias, R.M., 987,"Coform Mappig ad Orthogoal Grig Geeratio", AIAA Joural, Vol 5, No. 3 [6] Kidelhofer, H., 99, "Numerische Erstellug gekrümmter Recheetze", Fial Thesis, TU Graz [7] Korakiaitis, T., 993, "Prescribed- Curvature-Distributio Airfoils for the Prelimiary Geometric Desig of Axial-Turbomachiery Cascades", Jour. of Turbomachiery, Vol. 5 [8] Paßrucker, H., Saz, W., Jericha, H., 994,"Aalytische Beschreibug ud Optimierug dreidimesioaler verwudeer Schaufelprofile", VDI Berichte 9 [9] Thomas, P.D. Middlecoff, J.F., 98,"Direct Cotrol of the Grid Poit Distributio i Meshes Geerated by Elliptic Equatios", AIAA Joural, Vol 8, No. 6 [] Saz, W., 993, "Numerische Berechug der Trasschall- ud Überschallströmug i thermische Turbomaschie", Diss. TU Graz [] Traupel, W., 977, "Thermische Turbomaschie, I", 3. Auflage, Spriger Verlag [] Casey, M. V., 983, "A Computatioal Geometry for the Blades ad Iteral Flow Chaels of Cetrifugal Compressors", Trasactios of the ASME, Vol. 5 [3] Egeli, Zolliger, Allema, 978, "A Computer Program for the Desig of Turbomachiery Blades", ASME Paper 78-GT-36 Reprit