3. Magnetostatik 3.1. Grundbegriffe In der Natur existieren magnetische Felder. Es gibt allerdings keine Quellen des magnetischen Feldes, d. h. es wurden noch nie magnetischen Ladungen (magnetische Monopole) gefunden. Magnetische Felder werden erzeugt durch magnetische Multipole (Dipole, Quadrupole...) und Ströme. Eisenspäne auf Papier, aus Practical Physics (1914) Magnetostatische Felder entstehen durch stationäre elektrische Ströme. Haben Multipole ihre Ursachen in atomaren Strömen? (Elektronen in Atomen?) Der Ursprung des Magnetfeldes ist nicht mit klassischer Physik erklärbar -> Quantenmechanik (van Vleck) Ströme (nicht klassisch berechnet) Spin (z.b. e - besitzt magnetisches Moment, wie Kompassnadel) 75
3.2. Grundlagen Definition: Magnetfeld H (magnetische Feldstärke) [ H ] = A m -> wie in der Elektrostatik (rot E = 0) gilt auch hier: rot H = 0 H = - grad V V: magnetostatisches Potenzial Definition: magnetische Induktion B (magnetische Flussdichte) B = µ 0 H µ o = 4 10 7 Vs Am μ 0 : Permeabilität des Vakuums Die magnetische Permeabilität μ beschreibt die Durchlässigkeit von Materie für magnetische Felder. In Materialien ist die Permeabilität eines Materials frequenzabhängig, Temperatur- und Druckabhängig und muss als komplexe Größe definiert werden. 76
Stärkstes und schwächstes Magnetfeld Das mit 0,000000001 Tesla (1 nt) derzeit schwächste genutzte Magnetfeld findet man in einem speziell abgeschirmten kubischen Gebäude der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt in Berlin. Zweck des Kubus ist die Messung der schwachen Hirnströme von Menschen. Das Magnetfeld der Erde beträgt 20 bis 30 Mikrotesla an der Erdoberfläche. Als Ursache des Erdmagnetfeldes gelten Konvektionsströme im äußeren flüssigen Erdkern, die durch den Temperaturunterschied zwischen dem festen inneren Erdkern und dem Erdmantel aufrechterhalten werden (Geodynamo). In Dresden (Rossendorf) ensteht ein gepulster Magnet der 100 T erzeugen soll. Um eine Feldstärke von 100 Tesla zu erreichen, wird eine elektromagnetische Energie von 50 MJ und ein Spitzenstrom von 100 ka benötigt. Auf der Oberfläche von Neutronensternen, wie z. B. Pulsaren, herrschen laut unseren theoretischen Vorstellungen typischerweise Flussdichten von 100 Tesla, bei Magnetaren, einer speziellen Sorte von Neutronensternen, sogar 1000 Tesla. 77
Nach dem Gauß'schen Satz ist der Fluss von B durch eine Oberfläche: B d f = div B d 3 r = 0 V div B = 0 keine magnetischen Ladungen Magnetische Feldlinien haben keinen Anfang und kein Ende, sondern verlaufen als geschlossene Bahnen. Das Magnetfeld ist quellenfrei. In der Magnetostatik gibt es im Gegensatz zur Elektrostatik keine Ladungen magnetische Monopole sind zwar mathematisch denkbar, alle experimentellen Tatsachen sprechen aber gegen ihre Existenz. Die Grundgleichungen der Magnetostatik, haben die gleiche mathematische Struktur wie die Grundgleichungen der Elektrostatik. rot H = 0 div B = 0 Grundgleichungen Magnetostatik 78
Randbedingungen Da die Grundgleichungen mathematisch die gleiche Form haben wie für E und D, müssen die Randbedingungen genauso sein. (gleiche Gleichungen = gleiche Lösungen). 1 2 H t = H t 1 2 B N = B N die tangentialen Komponenten von H sind gleich die normalen Komponenten von B sind gleich, da es keine magnetische Ladungen (wie σ) gibt In Analogie zur Elektrostatik W = 1 2 d 3 r H r B r Elektrostatik E D Magnetostatik H B ε 0 µ 0 U V Q, ρ, σ, η p Dipolmoment m magnetisches Moment D = ε 0 E + P B = µ 0 H + M 79
3.3. Magnetfelder in Substanzen analog zu: D = ε 0 E + P P wird verursacht durch elektrische Dipole in Materie. In der Magnetostatik gilt: B = µ 0 H + M, Die Magnetisierung M wird verursacht durch magnetische Dipole. 1. Paramagnetismus Atome/Moleküle besitzen magnetische Momente m i, die nicht orientiert sind. Die Richtungen sind durch Wärmebewegung statistisch verteilt. M = 1 V i m i M = 0 Mittelwert: keine Magnetisierung Bei Anlegen eines äußeren Feldes werden die magnetischen Momente m i ausgerichtet. für kleine H : M = µ 0 m H kleine H M = M max tanh µ B B k T m : magnetische Suszeptibilität M max : alle m i gleiche Richtung 80
B = µ 0 H M µ 0 H µ 0 m H = µ 0 1 m H = µ 0 µ r H = µ H Die lineare Näherung ist bereits für technisch erzeugbare Felder im Allgemeinen falsch. Die Sättigungsmagnetisierung wird bei niedrigen Temperaturen schnell erreicht. B = µ H: lineare Näherung µ ist im Allgemeinen ein Tensor µ = µ(ω), Temperatur, Druck,... Jedes Atom, z. B. Natrium, das eine ungerade Zahl von Elektronen hat, wird ein magnetisches Moment haben, auch Radikale mit einem ungepaarten Elektron sind magnetisch. Wenn Verbindungen (Doppelbindungen) gebildet werden, heben sich diese Momente im Allg. gegenseitig auf. Ein resultierendes magnetisches Moment gibt es in Stoffen, deren Atome eine innere, teilweise ungefüllte Elektronenschale haben: Übergangselemente Cr, Mn, Fe, Ni, Co,... (seltene Erden). 81
2. Diamagnetismus Bei Anlegen eines Feldes werden magnetische Momente erzeugt, die dem äußeren Feld entgegen wirken. χ m negativ aber 1 + χ m > 0 -> Es bildet sich ein dem äußeren Feld entgegengesetztes Feld aus. Alle Stoffe sind diamagnetisch, allerdings ist der Diamagnetismus sehr schwach, so dass dieser Effekt manchmal durch andere Effekte (Paramagnetismus oder Ferromagnetismus) überdeckt wird. In Metallen erzeugen die frei beweglichen Elektronen Diamagnetismus (Landau). Die restlichen Ionen können Paramagnetismus verursachen, meist überwiegt der Diamagnetismus Wiederum gilt: B = µ H µ < µ 0 lineare Näherung µ ist eigentlich ein Tensor µ = µ(ω) (geringe) Temperatur-, Druckabhängigkeit 82
Magnetische Suszeptibilität einiger Stoffe bei Raumtemperatur: Wasser -90.0 10-6 Benzene -7.2 10-6 NaCl -13.9 10-6 Graphite -260.0 10-6 Graphite -3.8 10-6 Cu -1.1 10-6 Ag -2.4 10-6 Warum gilt eigentlich immer µ = (1 + χ m ) µ 0 0? µ kann nie negativ werden, da = 1 2 H B = 1 2 H H > 0 µ Falls µ negativ wäre, würden Magnetfelder sich selbst verstärken (-> ), da durch höhere Magnetfelder die Energie des Systems immer kleiner werden würde. Supraleiter sind perfekte Diamagneten mit χ m =-1 und µ = 0. 83
3. Ferromagnetismus Es existieren so genannte Weiss'sche Bereiche (Domänen) mit ausgerichteten magnetischen Momenten M 0 In einem Bezirk gilt M = M 0 T µ 0 m H M max : alle Atome ausgerichtet T C : Curie-Temperatur Thermische Fluktuationen zerstören Ausrichtung, magnetisches Feld stellt Ausrichtung wieder her. 84
M 0 (T) bildet das nullte Glied einer Taylor-Reihe von M(H) B = µ 0 H + M(H,T) näherungsweise für kleine H: B = µ 0 H + M 0 (T) + µ χ H +... 0 m B = µ H + M 0 (T) mit µ = µ 0 (1 + χ m ) T > T C : M 0 (T) = 0 T < T C : M 0 (T) 0 paramagnetisches Verhalten ferromagnetisches Verhalten In einem ferromagnetischen Körper existieren viele Weiss'sche Bezirke. Ein starkes Magnetfeld kann ein Umklappen der Magnetisierung der Weiss'schen Bezirke bewirken. 85
M s H c M R d c a H c b H a Neukurve b Sättigung c Remanenz d Koerzitivkraft M s 4. Ferrimagnetismus unterschiedlich große Momente 5. Antiferromagnetismus 6. Antiferrimagnetismus chirale Strukturen frustrierte Strukturen Wesentlich: B = µ H ist eine grobe Näherung, die nur für Para- und Diamagnete anwendbar ist. 86
Magnetfeld im Inneren eines Stabmagnetes Stabmagnet: B = µh + M Sommerfeld 12, Elektrodynamik M B da div B = 0 (Feldlinien müssen geschlossen sein) HH H rot H = 0 H = 1 µ B M Im Inneren ist damit B antiparallel zu H B µ H 87
Analytisches Ergebnis für eine Kugel mit homogener Magnetisierung M M M M B N S div B = 0 = µ div H div M H M sei gegeben H = M 3 µ B = 2 3 M Die Magnetisierung macht einen Sprung an Oberfläche, den H kompensieren muss. Die Normalkomponente von H hat deswegen einen Sprung von -M. Wegen rot H = 0 muss auf jedem geschlossenen Weg gelten, dass H d r = 0 Ein Teilintegral außerhalb des Magneten (B, H gleiche Richtung) ist positiv. Deshalb muss das Teilintegral über den Weg innerhalb des Magneten negativ sein. H d r 0 B d r 0 M = B µ H innen innen innen M d r = innen B d r µ innen H d r 0, d. h., H im Inneren des Magneten hat auf jeder Feldlinie (durchschnittlich) die entgegengesetzte Richtung wie M. 88