4.13. Magnetische Suszeptibilität

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1 4.13 Magnetische Suszeptibilität Magnetische Suszeptibilität Ziel Ziele des Versuchs sind die Auseinandersetzung mit den unterschiedlichen Formen des Magnetismus, sowie die Bestimmung der magnetischen Suszeptibilität einiger Materialien. Hinweise zur Vorbereitung Die Antworten auf diese Fragen sollten Sie vor der Versuchdurchführung wissen. Sie sind die Grundlage für das Gespräch mit Ihrer Tutorin/Ihrem Tutor vor dem Versuch. Informationen zu diesen Themen erhalten Sie in der unten angegebenen Literatur. Was ist ein Elektromagnet? Wie hängen die magnetische Feldstärke H, die magnetische Flussdichte B und der magnetische Fluss Φ zusammen? Was ist die magnetische Suszeptibilität? Was versteht man unter Dia-, Para-, Ferro-, Ferri- und Antiferromagnetismus? Wie kommt es zu Ferromagnetismus? Wie funktioniert eine Hall-Sonde? Wie funktioniert eine gouysche Waage? Abbildung : Foto des Versuchsaufbaus.

2 Versuche zur Elektrizitätslehre Zubehör Elektromagnet (Windungszahl n Magnet =2 833) mit zylindrischen Polschuhen und veränderbarem Polschuhabstand; maximale Stromstärke für Langzeitbetrieb I max = 4A Kraftsensor Hall-Sonde auf Verschiebetisch mit zugehöriger Abstandsskala Sensor-CASSY mit zwei Eingängen zur Aufnahme der Messwerte durch den Kraftsensor und die Hall-Sonde Hochleistungs-Netzgerät für den Elektromagneten PC für die Steuerung des Netzgerätes, sowie für die Aufnahme der Messwerte durch das CASSY-Modul Frequenzgenerator und Oszilloskop zur Entmagnetisierung der Polschuhe Stoffproben verschiedener Materialien in kleinen Plastikröhrchen (Masse leer 1 g, Füllmenge ca. 0.7mL), Küvetten (Schichtdicke: 2 mm) oder als Plättchen: Mangan(II)chlorid MnCl 2 (magnetische Suszeptibilität χ = )[Lid04] Kupfer Cu (Kupfer ist diamagnetisch. 1 ) Kupfer(II)chlorid-Dihydrat CuCl 2 2H 2 O (magnetische Suszeptibilität χ = )[Lid04] pyrolytischer Graphit C Wasser H 2 O Waage zur Bestimmung der Masse der einzelnen Proben Schieblehre zum Ausmessen der Probenplättchen zwei Abstandshalter aus Messing zur Einstellung des Polschuhabstandes (7 mm und 10 mm) 1 Es ist dabei keineswegs selbstverständlich, dass ein elektrisch leitfähiges Material wie Kupfer diamagnetisches Verhalten zeigt. Aufgrund der Leitungselektronen würde man eigentlich Paramagnetismus erwarten, was bei den meisten Metallen auch zu finden ist. Kupfer, Silber und Gold bilden hier jedoch aufgrund ihrer besonderen Elektronenkonfiguration eine Ausnahme. Eine genauere Erläuterung würde aber an dieser Stelle den Rahmen sprengen.

3 4.13 Magnetische Suszeptibilität 559 Grundlagen Magnetische Suszeptibilität Die magnetische Suszeptibilität χ ist eine materialabhängige Konstante, die beschreibt, wie gut sich ein Material magnetisieren lässt. Das bedeutet, die Suszeptibilität ist größer, je leichter sich die magnetischen Dipole eines Materials in Richtung eines externen Magnetfeldes ausrichten lassen. Mathematisch gesehen geht die Suszeptibilität daher in die Magnetisierung eines Stoffes ein. Mit der magnetischen Materialgleichung M = χ H (4.13.1) B = μ 0 ( H + M) (4.13.2) ergibt sich dann auch der Zusammenhang zur magnetischen Permeabilität μ r : B = μ 0 H(1 + χ) (4.13.3) Durch Vergleichen mit B = μ 0 μ r H erhält man μ r =1+χ (4.13.4) Kraft auf magnetischen Dipol im inhomogenen Magnetfeld Bringt man verschiedene Materialien in ein Magnetfeld ein, so können sie sich unterschiedlich verhalten. Die magnetischen Eigenschaften, die sie besitzen, bestimmen, wie ein Material magnetisiert wird. Man unterscheidet zwischen Dia-, Para-, Ferro-, Ferriund Antiferromagneten. Diese Kategorien unterscheiden sich in der magnetischen Suszeptibilität χ, diefür jedes Material eine spezifische Größe besitzt. Ist das externe Magnetfeld inhomogen, so stellt man fest, dass in jedem Fall eine Kraft auf die eingebrachte Probe wirkt. Diese Kraft ist abhängig davon, zu welcher magnetischen Kategorie das Material zählt, und damit auch von seiner magnetischen Suszeptibilität χ: F = M V grad B (4.13.5) mit M = Magnetisierung der Probe und V = Volumen der Probe. 2 MitHilfevon H = 1 μ B (4.13.6) und M = χ H (4.13.7)

4 Versuche zur Elektrizitätslehre ergibt sich daraus F = ( ) χ V μ B gradb (4.13.8) Dies ist die Gleichung, die die exakte Berechnung der Kraft ermöglicht. Experimentell ist es allerdings nicht so einfach, einzelne Komponenten zu bestimmen, deswegen muss sie dafür etwas angepasst werden. Zunächst soll hier die magnetische Flussdichte innerhalb der Probe bestimmt werden. Aus offensichtlichen Gründen ist das mit Hilfe einer Hall-Sonde nicht möglich. Man misst die Flussdichte also direkt neben der Probe in Luft und bedient sich dann erneut der Beziehung B = μ 0 μ rh. Hier gilt allerdings μr,luft 1. Für die Auswertung greift man also nicht auf die magnetische Flussdichte, sondern auf die magnetische Feldstärke zurück, da diese inner- und außerhalb der Probe gleich groß ist. 3 Wir erhalten also: ( ) χ F = V B gradb da μ r 1 (4.13.9) und weiter μ 0 F = χμ 0 V H grad H da B = μ0 μ r H ( ) In diesem Versuchsaufbau wird die Inhomogenität des Magnetfeldes außerdem dadurch erreicht, dass die Probe nicht komplett, sondern nur zu einem gewissen Anteil von einem homogenen Magnetfeld durchsetzt wird. Ein klassisches inhomogenes Magnetfeld brächte die Schwierigkeit mit sich, dass man nie genau weiß, wie groß der Gradient am Ort der Probe ist. Auch ein genaues Ausmessen des Magnetfeldes erweist sich als eher schwierig. Mit Hilfe der Methode des begrenzten homogenen Feldes hingegen sind die Beträge des Magnetfeldes an den Enden der Probe leicht zu bestimmen. Da ein Ende der Probe komplett vom Magnetfeld durchsetzt wird, entspricht die Flussdichte an dieser Stelle der des homogenen Magnetfeldes. Am anderen Ende sollte idealerweise gar kein Feld mehr vorliegen, so dass die Flussdichte an dieser Stelle Null ist. Dies vereinfacht die obige Rechnung folgendermaßen weiter: Zur Berechnung der Kraft F wird über das Probenvolumen V integriert, mit der Annahme, dass das Magnetfeld H innerhalb des Probenquerschnitts A jeweils konstant ist (der zweite Vorteil im Vergleich zu einem inhomogenen Magnetfeld, der die Berechnung 2 Gemeint ist hier nicht der sonst häufig verwendete skalare Gradient, sondern der Vektorgradient. Dieser entspricht mathematisch gesehen der Jacobi-Matrix des Vektors auf den er angewendet wird. Ein Eintrag der Jacobi-Matrix J ij ist die partielle Ableitung der i-ten Komponente des Vektors, nach seiner j-ten Koordinatenrichtung. In diesem Zusammenhang spielt der Vektorgradient allerdings keine größere Rolle, da uns nur die Differentiation in z-richtung interessiert, wie in den folgenden Schritten klar wird. Aus diesem Grund soll er, und auch die Jacobi-Matrix, hier nicht weiter erläutert werden. 3 Beachten Sie aber, dass Sie mit der Hall-Sonde natürlich trotzdem nur die magnetische Flussdichte messen können!

5 4.13 Magnetische Suszeptibilität 561 deutlich erleichtert). Es wird dabei nur in z-richtung integriert, da aus dieser Annahme auch folgt, dass das Magnetfeld in x- und y-richtung jeweils konstant bleibt. Gleiches gilt für den Vektorgradienten, bei dem nur die z-komponente betrachtet werden muss, und der daher zu dh dz wird. z2 F = χμ 0 A = χμ 0 A = χμ 0A 2 z 1 H(z2 ) H(z 1 ) H dh dz ( ) dz HdH ( ) [ H 2 (z 2 ) H 2 (z 1 ) ] ( ) Wie oben schon erwähnt, wird die Probe an einem Ende vom Magnetfeld maximaler Stärke durchsetzt. Das andere Ende sollte möglichst gar nicht im Magnetfeld liegen. Da dies aber bei der Länge der Probe fast nicht möglich ist, kann man auch in guter Näherung annehmen, dass H(z 2 ) H(z 1 ) gilt, und der zweite Summand in Gleichung ( ) daher vernachlässigbar ist. Wir bezeichnen dann H(z 2 ) nur noch mit H, dadiesder Stärke des angelegten Magnetfeldes entspricht. Es folgt: und daraus dann schließlich für die Suszeptibilität χ: Gouysche Waage F = χμ 0A H 2 ( ) 2 χ = 2F μ 0 AH 2 ( ) Die gouysche Waage nutzt genau diese Kraft aus, um die magnetische Suszeptibilität verschiedener Materialien bestimmen zu können. Der Aufbau in diesem Versuch entspricht dem Prinzip einer solchen Waage und ist in Abbildung zu sehen. Die gleichzeitige Aufnahme der Messwerte für die magnetische Flussdichte durch die Hall-Sonde, sowie der Werte der wirkenden Kraft durch den Kraft-Sensor, ermöglichen die Bestimmung der Abhängigkeit der beiden Größen voneinander. Die Proportionalitätskonstante, die daraus erhalten werden kann, enthält, nach obiger Gleichung ( ), die magnetische Suszeptibilität. Versuchsdurchführung 1. Schalten Sie das Netzgerät ein, fahren Sie den PC hoch und starten Sie das Programm Suszeptibilität.vi in LabVIEW zur Steuerung des Versuchsaufbaus. 2. Machen Sie sich mit der Bedienoberfläche vertraut und fragen Sie gegebenenfalls Ihren Betreuer bei noch offenen Fragen.

6 Versuche zur Elektrizitätslehre Abbildung : Skizze des Versuchsaufbaus. 3. Kalibrieren Sie zuallererst die Hall-Sonde, nachdem Sie diese über den PC auf tangentiale Messung umgeschaltet haben. Schließen Sie hierfür den Frequenzgenerator an den Magneten an und entmagnetisieren Sie den Kern durch langsames Herunterdrehen der Amplitude bei einer Frequenz von etwa 3 Hz, während Sie den Signalverlauf am Oszilloskop beobachten. Wählen Sie dann den momentanen Messwert der magnetischen Flussdichte als Nullpunkt. Das zurückbleibende Feld kann dem Erdmagnetfeld zugeordnet und in diesem Versuch vernachlässigt werden. Achten Sie darauf, im weiteren Versuchsverlauf keinen neuen Nullpunkt zu setzen, sonst müssen Sie die Kalibrierung wiederholen! 4. Untersuchen Sie nun das Magnetfeld des Elektromagneten in Abhängigkeit vom Magnetspulenstrom I Magnet. Schließen Sie dazu das Netzgerät an den Magneten an. Nehmen Sie für zehn verschiedene Werte von I Magnet die magnetische Flussdichte B auf. 5. Messen Sie dann das konstante Magnetfeld des Elektromagneten aus. Stellen Sie dazu das Netzgerät auf einen festen Wert ein und bringen Sie die Hall-Sonde zwischen die Polschuhe des Elektromagneten. 6. Bewegen Sie die Hall-Sonde langsam aus den Polschuhen heraus und beobachten Sie dabei die Werte für die magnetische Flussdichte auf dem PC. Nehmen Sie mit Hilfe der Abstandsskala Messungen in Schritten von 0.5cm vor. 7. Beurteilen Sie selbst, wann sich die Hall-Sonde weit genug außerhalb des Magnetfeldes befindet, um die Flussdichte an dieser Stelle im Verhältnis zur Flussdich-

7 4.13 Magnetische Suszeptibilität 563 te zwischen den Polschuhen vernachlässigen zu können. Notieren Sie sich Ihren Grenzwert. 8. Messen Sie die Kupferprobe mit Hilfe der Schieblehre aus. Notieren Sie sich die erhaltenen Werte. 9. Befestigen Sie die Probe am Kraftsensor. Achtung: Achten Sie dabei darauf, nicht unnötig viel Kraft auf den Sensor auszuüben, da dieser sehr empfindlich ist! 10. Stellen Sie sicher, dass die Probe möglichst nicht schwingt und setzen Sie anschließend die Anzeige des Kraftsensors am PC wieder auf null. 11. Stellen Sie eine Stromstärke I Magnet =0.5 A am Netzgerät ein und nehmen Sie die resultierenden Flussdichte- und Kraft-Messwerte vom PC auf. Die Messwerte werden vom Programm eigenständig gemittelt, um die deutlich auftretenden Schwankungen auszugleichen. 12. Wiederholen Sie Punkt 11 in Schritten von 0.5A für die Stromstärke I Magnet bis zu einer Maximalstromstärke I max =5A. 13. Stellen Sie das Netzgerät für den restlichen Versuch mit Hilfe des Programms am PC auf Remote Control. 14. Lösen Sie nun die Probe vorsichtig vom Kraftsensor und ersetzen Sie sie durch eine der verbleibenden Proben, nachdem sie auch diese ausgemessen haben. Achten Sie darauf, eventuell den Polschuhabstand mit Hilfe der Abstandshalter zu verändern, wenn sie eine Probe verwenden, die einen größeren Abstand benötigt. Vergessen Sie nicht, die Anzeige des Kraftsensors am PC anschließend wieder auf null zu stellen, sobald die Probe ruhig zwischen den Polschuhen hängt. 15. Verwenden Sie dann die Schaltfläche Sweep Control am PC. Stellen Sie 0 A und 5 A als Grenzen, sowie geeignete Werte für die Schrittweite und die Messdauer an jedem Punkt ein. Die von Ihnen gerade noch manuell vorgenommene Messung wird vom PC nun automatisch ausgeführt. 16. Wiederholen Sie die Punkte 14 bis 15 für drei weitere Stoffproben. Auswertung 1. Zeichnen Sie den Betrag der magnetischen Flussdichte als Funktion von I Magnet. 2. Zeichnen Sie den Betrag der magnetischen Flussdichte als Funktion des Abstands d von den Polschuhmitten. Markieren Sie den von Ihnen bestimmten Grenzwert, ab dem die im Theorieteil beschriebene Näherung angewendet werden kann. 3. Zeichnen Sie die auftretende Kraft auf die Stoffproben als Funktion der magnetischen Flussdichte B.

8 Versuche zur Elektrizitätslehre 4. Berechnen Sie die magnetische Suszeptibilität χ für alle getesteten Stoffproben. Achten Sie darauf, dass Sie im Falle von MnCl 2 und CuCl 2 2H 2 O nicht das Volumen des Gefäßes verwenden können, sondern das Volumen der Proben selbst erst berechnen müssen! Fragen und Aufgaben 1. Wie erklären Sie sich die deutlich stärkere Kraft, die während der Änderung des Magnetspulenstroms bei der Kupferprobe auftritt? Warum tritt sie nicht auch bei anderen Proben auf? 2. Ist die Flussdichte B wirklich eine lineare Funktion von I Magnet? Hinweis: Was ist eine Hystereseschleife? 3. In Abbildung sind die magnetischen Feldlinien eines Stabmagneten zu sehen. Abgebildet sind die magnetische Feldstärke H, die magnetische Flussdichte B,sowie die Magnetisierung M. Ordnen Sie zu und begründen Sie! Abbildung : Magnetische Feldlinien eines Stabmagneten [Rai06]. Ergänzende Informationen Alte Bezeichnungen Die Untersuchung magnetischer Phänomene hat eine lange Tradition und es haben sich viele Konventionen erhalten. Auch findet man insbesondere in älterer Literatur oft andere Bezeichnungen, wie z. B. magnetische Erregung für die magnetische Feldstärke H, magnetische Induktion für die magnetische Flussdichte B oder magnetischer Kraftfluss für den magnetischen Fluss Φ. Literaturhinweise [Dem06]

9 4.13 Magnetische Suszeptibilität 565 Literaturverzeichnis [Dem06] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 2 Elektrizität und Optik. Springer-Verlag, Berlin, 4. Auflage, [Lid04] Lide, David R. (editor): CRC Handbook of Chemistry and Physics. CRC Press, Boca Raton London New York Washington, D.C., 85. edition, [Rai06] Raith, Wilhelm: Bergmann-Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik, Band II: Elektromagnetismus. Walter de Gruyter, Berlin, 9. Auflage, 2006.