Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Dr. Hartmut Lanzinger, Hans- Peter Reck Gesamtpunktzahl: 114 Punkte, 100 Punkte= 100 %, keine Abgabe 1. Es seien m = 1155 und n = 1280. (a Bestimme die Primfaktorzerlegung von m und n. Es gilt m = 5 231 = 5 3 77 = 3 5 7 11 sowie n = 10 128 = 2 5 2 7 = 2 8 5. (b Leite daraus ggt (m, n und kgv (m, n als Produkt von Primfaktoren her. Beim größten gemeinsamen Teiler benötigen wir das Maximum der jeweils auftretenden Primfaktoren in m und n. Daher ergibt sich ggt (m, n = 5. Analog ist das kleinste gemeinsame Vielfache durch die Primfaktoren definiert, die entweder in m oder in n auftreten. Daher ist kgv (m, n = 2 8 3 5 7 11. 2. Es seien n, m N. Zeige: Ist 3 ein Teiler von n 2 + m 2, so teilt 3 bereits n und m. Da 3 ein Teiler von m 2 + n 2 ist, gilt n 2 + m 2 0 mod 3. (7 Punkte Wir zeigen die Aussage mit einem Beweis durch Widerspruch und nehmen es, es gelte OBDA 3 n. Dann gilt n ±1 mod 3 und daraus folgt n 2 1 mod 3. Folglich ist n 2 + m 2 1 + m 2 0 mod 3 nach Vorausetzung, woraus allerdings m 2 2 mod 3 folgt. Dies ist aber nicht möglich, da für m ±1 mod 3 wie oben m 2 1 mod 3 bzw. für m 0 mod 3 analogerweise m 2 0 mod 3 folgt, ein Widerspruch. Also gilt 3 n, und wegen 3 (n 2 + m 2 muss auch 3 m gelten. 3. (a Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 6141 und 3243. (5 Punkte Wir wenden den Euklidischen Algorithmus auf die beiden Zahlen an, nutzen dazu das Tabellenschema und bekommen Also gilt ggt (6141, 3243 = 69. -1 6141-1 0 0 3243-0 1 1 2898 1 1-1 2 345 1-1 2 3 138 8 9-17 4 69 2-19 36 5 0 2
(b Ist die Diophantische Gleichung 6141x + 3243y = 207 lösbar? Falls ja, gib hierfür eine Lösung an. Wegen ggt (6141, 3243 = 69 207 besitzt diese Diophantische Gleichung Lösungen. Dem Tabellenschema von Teilaufgabe a entnehmen wir ggt (6141, 3243 = 69 = 19 6141+36 3243. Multiplikation dieser Gleichung mit 3 ergibt 19 3 6141 + 36 3 3243 = 207, also lösen x = 57 und y = 108 die gegebene Diophantische Gleichung. 4. (a Gib alle Lösungen der linearen Kongruenz 23x 31 mod 47 an. (10 Punkte Wir führen diese lineare Kongruenz auf eine Diophantische Gleichung zurück, und zwar auf die Gleichung 23x + 47y = 31. Diese lösen wir erneut mit dem Tabellenschema. Es ist -1 47-1 0 0 23-0 1 1 1 2 1-2 2 0 23 Also gilt ggt (47, 23 = 1 = 1 47 2 23. Wegen 1 31 ist sie lösbar, wobei wir die Lösung mittels Multiplikation mit 31 erhalten. Dann gilt 31 47 62 23 = 31. Daraus ergibt sich für die Kongruenz die Lösung x 62 32 mod 47. (b Bestimme das multiplikative Inverse von 19 mod 71. Auch hier erhalten wir die Lösung mittels des Euklidischen Algorithmus. Denn wir suchen die Restklasse x, so dass 19x 1 mod 71 gilt. Analog zur Vorgehensweise in Teilaufgabe a lösen wir daher die Diophantische Gleichung 71x + 19y = 1, ebenfalls mit dem Tabellenschema: -1 71-1 0 0 19-0 1 1 14 3 1-3 2 5 1-1 4 3 4 2 3-11 4 1 1-4 15 5 0 4 So gilt ggt (71, 19 = 1 = 4 71+15 19, und daraus erhalten wir (19 mod 71 1 = 15 mod 71. 5. Es gilt 839 P, 840 = 2 3 3 5 7 und 841 = 29 2. (a Bestimme den Wert der Eulerschen ϕ- Funktion dieser drei Zahlen. Es gilt aufgrund der Rechenregeln für die Eulersche ϕ- Funktion ϕ(839 = 838 ϕ(840 = ϕ(2 3 3 5 7 = 840 ( 1 1 ( 1 1 ( 1 1 ( 1 1 2 3 5 7 = 840 1 2 2 3 4 5 6 7 = 192 ( ϕ(839 = ϕ(29 2 = 29 2 1 1 = 29 2 28 = 28 29 = 812. 29 29 (8 Punkte 2
(b Berechne 29 1696 mod 839. Mit dem Satz von Euler folgt 29 1696 29 20+2 838 29 20 (29 2 10 2 10 1024 186 mod 839 mit 29 2 = 841 2 mod 839. (7 Punkte 6. Für einen Primteiler der zusammengesetzten Mersenne- Zahl M 251 muss 251 (p 1 gelten. (a Bestimme die kleinste Primzahl dieser Art. Aus 251 (p 1 folgt p 1 mod 251. Sowohl 1 als auch 252 sind keine Primzahlen. Der nächste Kandidat ist die 503. Mittels Probedivision durch die infragekommenden Teiler d [ 503] zeigen wir, dass 503 P gilt. Wegen 503 < 529 = 23 2 genügt es, die Primzahlen bis 19 zu untersuchen. Wegen Q(503 = 5 + 3 = 8 und 3 8 ist 3 kein Teiler von 503. Wegen 503 3 0 mod 5 gilt auch 5 503. Mittels Probedivision zeigt man auch 7 503, 11 503, 13 503, 17 503 und 19 503. Also ist 503 prim und erfüllt damit als kleinstes p die gegebene Bedingung. (b Zeige, dass diese Primzahl auch ein Teiler von M 251 ist. Damit p M 251 gilt, muss M 251 = 2 251 1 0 mod 503 gelten. Folglich untersuchen wir 2 251 mod 503. Es gilt 2 9 = 512 9 mod 503. Damit erhalten wir 2 18 9 2 81 3 4 mod 503 2 36 3 8 3 6 3 2 226 9 22 mod 503 2 72 22 2 484 19 mod 503 2 144 ( 19 2 361 142 mod 503. Wgen 252 = 144 + 72 + 36 gilt 2 252 2 144+72+36 2 144 2 72 2 36 ( 142 (19 22 ( 142 85 2 mod 503. Aus 2 252 2 mod 503 folgt 2 251 1 mod 503 und damit die Behauptung. (8 Punkte 7. An welchen Wochentagen fanden folgende Ereignisse statt? (a die Stürmung der Lufthansa- Maschine Landshut in Mogadischu (18. Oktober 1977 Mittels der Kalenderformel t + f(m + g(j mod 7 gilt [ ] [ ] [ ] 1977 1977 1977 w 18 + 6 + 1977 + + 1 + 494 19 + 4 478 2 mod 7. 4 100 400 Die GSG 9 befreite die Geiseln also an einem Dienstag. (b der Orkan Lothar (26. Dezember 1999 Analog erhalten wir hier [ 1999 w 26 + 4 + 1999 + 4 ] [ ] 1999 + 100 [ ] 1999 2001 + 499 19 + 4 0 mod 7. 400 Einer der schwersten Orkane Mitteleuropas verursachte Schäden in Milliardenhöhe. Der zweite Weihnachtsfeiertag war demnach ein Sonntag. Hinweis: Es gilt dabei für den Oktober f(8 = 6 und für den Dezember f(10 = 4. (6 Punkte 3
8. Bestimme die Faktorisierung der Zahl 1729 mittels des Pollard- Rho- Verfahrens. Wenn wir das einfachste Beispiel mit F (X mod N = (X 2 + 1 mod N sowie X 0 = 0 nehmen, erhalten wir i X i Y i Y i X i d i = ggt (Y i X i, N 0 0 0 0 1729 1 1 2 1 1 2 2 26 24 1 3 5 145 140 7 Also ist 7 ein Teiler von 1729, woraus sich 1729 = 7 247 ergibt. Auch dies wollen wir noch mit derselben Methode faktorisieren. i X i Y i Y i X i d i = ggt (Y i X i, N 0 0 0 0 247 1 1 2 1 1 2 2 26 24 1 3 5 27 22 1 4 26 122 96 1 5 183 27 156 13 Mittels Division erhalten wir nun als Faktorisierung 1729 = 7 13 19. (6 Punkte 9. (a Bestimme die kleinste positive Zahl, die die folgenden Eigenschaften erfüllt: x 4 mod 5 x 2 mod 11 x 1 mod 12 2. Wir definieren nun n 1 = 5, n 2 = 11 und n 3 = 12 2, welche paarweise teilerfremd sind bzw. n = 5 11 12 2 = 7920. Außerdem ist a 1 = 4, a 2 = 2 und a 3 = 1. Dann berechnen wir N 1 := n n 1 = 11 12 2 = 1584 N 2 := n n 2 = 5 12 2 = 720 N 3 := n n 3 = 5 11 = 55. Das Inverse von N k mit k = 1, 2, 3 berechnet man über 1584 N 1 1 1 mod 5 1 N 1 1 1 mod 5 N 1 1 1 mod 5 720 N 1 2 1 mod 11 5 N 1 2 1 mod 11 N 1 2 9 2 mod 11 55 N 1 3 1 mod 12 2 N 1 3 55 mod 12 2. Damit folgt für eine Lösung x 0 x 0 = 3 k=1 N k N 1 k a k = 4 1584 ( 1 + 2 ( 2 720 + 55 1 55 = 6191. Die allgemeine Lösung ergibt sich aus x m = 6191 + 7920m mit m Z. Mit m = 1 ergibt sich als Ergebnis x 1 = 1729. 4
(b Stellt die Lösung eine Carmichael- Zahl dar (mit Begründung? Aus Aufgabe 8 kennen wir bereits die Faktorisierung von 1729 = 7 13 19. Somit ist die ungerade Zahl 1729 zumindst ein Produkt aus mindestens drei Primfaktoren und quadratfrei. Wir haben noch (p 1 ((n 1 für jeden Primfaktor nachzuweisen. Es gilt 7 1 = 6 1728, da 1728 gerade ist und Q(1728 = 18 durch 3 teilbar ist. Wegen 1728 0 mod 4 gilt auch 13 1 = 12 1728. Schließlich ist auch 19 1 = 18 1728, da auch 3 1728 3 = 576 wegen Q(576 = 18 erfüllt ist. Damit ist 1729 eine Carmichael- Zahl. (9 Punkte 10. Zeige, dass die Diophantische Gleichung x 6 11x 4 + 36x 2 36 + 27 n = 0 für alle n N unlösbar ist. Wir betrachten die Gleichung modulo 27. Dann gilt x 6 11x 4 9x 2 9 0 mod 27. Teilbarkeit durch 27 = 3 3 impliziert auch Teilbarkeit durch 3, also gilt auch x 6 11x 4 9x 2 9 x 6 2x 4 x 6 + x 4 0 mod 3. Mit dem Satz von Euler gilt mit x 3 x mod 3 somit x 2 + x 2 2x 2 mod 3. Dies wird nur von der Restklasse 0 mod 3 gelöst. Also gilt x = 3k mit einem k Z. Daraus folgt (3k 6 11 (3k 4 + 9 (3k 2 9 3 6 k 6 3 4 11k 4 + 3 4 k 2 9 p 0 mod 27. Damit ist die Kongruenz modulo 27 und damit auch die gegebene Diophantische Gleichung unlösbar. 11. (a Berechne ord 13 3 und zeige, dass 3 keine Primitivwurzel modulo 13 ist. (8 Punkte Es gilt ord 13 3 ϕ(13 = 12, weswegen es genügt, die Menge {1, 2, 3, 4, 6, 12} zu untersuchen. Es ist 3 2 9 mod 13 und 3 3 1 mod 13. Somit gilt ord 13 3 = 3, und wegen 3 < 12 = ϕ(13 ist 3 keine Primitivwurzel modulo 13. (b Bestimme eine Primitivwurzel modulo 13. Es gilt etwa 2 1 2 1 mod 13 2 2 4 1 mod 13 2 3 8 1 mod 13 2 4 3 1 mod 13 2 6 1 1 mod 13. Nach dem kleinen Fermat gilt 2 12 1 mod 13, womit 2 eine Primitivwurzel modulo 13 ist. (c Stelle jedes g (Z/13Z als Potenz der in Teilaufgabe b gefundenen Primitivwurzel dar. Nun gilt mit den Erkenntnissen aus Teilaufgabe b g 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 k 2 12 2 1 2 4 1 2 2 2 9 2 5 2 11 2 3 2 8 2 10 2 7 2 6 5
(d Löse die Kongruenz x 5 11 mod 13. Die Kongruenz x 5 11 mod 13 ist zur linearen Kongruenz 5j 7 mod 12 äquivalent. Lösen dieser Kongreunzz ergibt j 11 mod 12 und damit x 7 mod 13 (e Löse die Kongruenz aus Teilaufgabe d mit der Methode der schnellen Exponentiation. Es gilt ggt (11, 13 = 1 und auch ggt (5, ϕ(13 = 1. damit bestimmen wir 5u 12v = 1, woraus wir u = 5 erhalten. Damit ist x 11 5 ( 2 5 32 7 mod 13. (12 Punkte 12. Es seien n N ungerade mit n 2 und m N 0. (a Zeige, dass (n 1 + n m n 1 1 mod n gilt. Es gilt n 1 ( n 1 (n 1 + nm n 1 = (n 1 k (nm n 1 k k k=0 n 2 ( ( n 1 n 1 = (n 1 k (nm n 1 k + (n 1 n 1 k n 1 k=0 } {{ } 0 mod n ( 1 n 1 1 mod n, da n 1 gerade ist. (b Folgt daraus, dass n eine Pseudoprimzahl zur Basis n 1 + n m ist? Nein, diese Aussage gilt für alle ungeraden Zahlen und ist damit als Beweismittel für eine Pseudoprimzahl untauglich. 13. Es sei n = pq mit p = 17 und q = 19. (6 Punkte Als öffentlichen Schlüssel wähle ein Teilnehmer eines RSA- Systems (e, n = (11, 323 und versende die Botschaft C = 3. Bestimme den Klartext B. Es gilt ϕ(n = (p 1 (q 1 = 16 18 = 288. Für den größten gemeinsamen Teiler von e und ϕ(n gilt somit auch ggt (11, 288 = 1, und wir müssen nun ein d > 0 bestimmen, so dass ed 1 mod ϕ(n ist. Dies erhalten wir mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus anhand der Gleichung 288x + 11y = 1 und dem Tabellenschema -1 288-1 0 0 11-0 1 1 2 26 1-26 2 1 5-5 131 3 0 2 Also ist ggt (288, 11 = 1 = 5 288 + 131 11. Das gesuchte d ist also d = 131. Die gesuchte ursprüngliche Botschaft B können wir mittels C d B mod n, also 3 131 mod 323 berechnen. Es gilt 3 1 3 mod 323, 3 2 9 mod 323, 3 4 81 mod 323, 3 8 101 mod 323 3 16 135 mod 323, 3 32 137 mod 323, 3 64 35 mod 323, 3 128 256 mod 323. Daher folgt mit ggt (C, n = ggt (3, 323 = 1 nun auch 3 131 = 3 9 256 3 3 2 8 129 mod 323. Also ist die gesuchte Botschaft B = 129. (6 Punkte 6
14. Michael und Vito wollen einen geheimen Schlüssel vereinbaren. Sie wählen dazu p = 23 und r = 5. Michael wählt a {1, 2,..., 22}, Vito b {1, 2,..., 22}. Damit berechnen sie A = r a 2 mod 23 und B = r b 3 mod 23. (a Bestimme a und b mit dem diskreten Logarithmus. Es lässt sich nun jedes Element aus (Z/23Z als eine Potenz von r = 5 darstellen. Zusammengefasst in einer Tabelle ergibt sich k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17... 5 k 5 2 10 4 20 8 17 16 11 9 22 18 21 13 19 3 15... Damit lässt sich nun die diskrete Logarithmusfunktion dlog r : (Z/23Z (Z/23Z, r i i mod 22 definieren. Wir erhalten a = dlog r (A = dlog 5 (2 = 2 und b = dlog r (B = dlog 5 (3 = 16. (b Berechne den geheimen Schlüssel k. Um den geheimen Schlüssel k bestimmen zu können, ist wegen k A b B a mod p entweder 2 16 mod 23 oder 3 2 mod 23 zu berechnen. Es ergibt sich k = 9. Mit Vitos öffentlichem Schlüssel (23, 5, 3 möchte Michael ihm nun geheime Nachrichten verschicken. Mit dem geheimen Schlüssel k bestimmt er zuerst das Paar (c 1, c 2 = (5 k mod 23, mb k mod 23. Marta möchte die Nachricht ebenfalls lesen, kann aber nur c 2 = 19 abfangen und ohne Kenntnis des geheimen Schlüssels k die Nachricht nicht entschlüsseln. (c Bestimme den Klartext m. Der erste Teil der Nachricht lässt sich mit Kenntnis des geheimen Schlüssels k errechnen. Es ist c 1 r k 5 9 11 mod 23. Zum Entschlüsseln der Nachricht bestimmen wir nun (c b 1 1 (11 16 1 mod 23 und multiplizieren dies mit der Botschaft. Nun gilt 11 2 121 6 mod 23 11 4 36 13 mod 23 11 8 169 8 mod 23 11 16 64 18 5 mod 23. Die Inverse von 5 mod 31 ist wegen 5 14 = 70 = 3 23+1 gerade 14 9 mod 23. Es genügt daher, 9c 2 mod 23 zu bestimmen, woraus wir 9 19 171 10 mod 23 erhalten. (12 Punkte 15. Überprüfe, ob 1241 = 17 73 ein quadratischer Rest modulo der Primzahl 4801 ist. Es gilt wegen 4801 73 17 1 mod 4 und 7 3 mod 4 ( ( ( ( 1241 17 73 4801 = = 4801 4801 4801 17 ( ( ( ( 17 7 2 3 3 = = 7 73 73 7 ( ( 3 3 = 7 7 Damit ist 1241 ein quadratischer Rest modulo 4801. ( ( 4801 7 = 73 17 ( ( 73 2 2 7 73 ( 1 732 1 8 = ( 1 732 1 8 = 1. ( 2 73 ( 56 73 (4 Punkte Viel Erfolg! 7