E 2 Temperaturabhängigkeit elektrischer Widerstände 1. Aufgaben 1. Für die Stoffe - Metall (Kupfer) - Legierung (Konstantan) - Halbleiter (Silizium, Galliumarsenid) ist die Temperaturabhängigkeit des elektr. Widerstands R(T) im Bereich von Raumtemperatur bis ca. 80 o C zu ermitteln und grafisch darzustellen. 2. Die ermittelten Abhängigkeiten R(T) sind zu diskutieren und die entsprechenden Kenngrößen (Temperaturkoeffizient α bzw. Aktivierungsenergie E a ) einschließlich ihrer zufälligen Größtfehler zu bestimmen. 2. Grundlagen 2.1 Literatur [1] ab 11. Auflage: Abschnitte E.1.0.1. und E.4.0.1.; Ergänzung zum Bändermodell: Lehrbücher der Physik; [1] bis 10. Aufl.: Abschnitte E.1.0.1.; E.1.0.4. und E.3.0.2. (nur Bändermodell) 2.2 Elektrische Leitung in Metallen, Halbleitern und Isolatoren Allgemein gilt für die elektrische Leitung in homogenen Stoffen (Metalle, Halbleiter, Elektrolyte) das Ohmsche Gesetz (1) I U mit R konst., R I - Stromstärke, U - Spannung. Der Widerstand R ist bestimmt durch (2) l l R mit A A 1, l - Länge, A - Fläche, ρ - spezifischer Widerstand, σ - Leitfähigkeit. 1
Die "Materialkonstante" Leitfähigkeit σ ist durch die Beziehung (3) q n mit den atomistischen Größen q - Ladung, µ- Beweglichkeit und n - (Volumen)Konzentration der Ladungsträger verknüpft. Dabei wird die Beweglichkeit µ als Quotient von mittlerer (Drift)Geschwindigkeit zur wirkenden Feldstärke E beschrieben (4). E Die Stoffklassen Metalle, Halbleiter und Isolatoren unterscheiden sich deutlich in ihrer Leitfähigkeit σ und zeigen eine charakteristische Temperaturabhängigkeit σ (T) bzw. R(T), wie Abb. 1 zeigt. Mit Erhöhung der Temperatur T steigt i.a. bei Metallen der Widerstand R schwach an (schwache Abnahme der Leitfähigkeit σ), während bei Halbleitern der Widerstand stark abnimmt mit steigender Temperatur (starker Anstieg der Leitfähigkeit). 10 8 Raumtemperatur Kupfer 10 4 10 0 Silizium Störstellenleitung 10-4 10-8 10-12 Eigenleitung Isolator T / K Abb. 1: Abhängigkeit der Leitfähigkeit σ von der Temperatur T für verschiedene Stoffe 0 200 400 600 800 1000 Der Ladungsträgertransport in kristallinen Festkörpern - das sind Metalle, klassische Halbleiter und eine Reihe von Isolatoren - lässt sich mit Hilfe des Energiebändermodells beschreiben. Die Besetzung der Energieniveaus in den Bändern mit Elektronen erfolgt mit steigender Energie nach dem Prinzip der Minimierung der Gesamtenergie. Das höchste vollbesetzte Band ist das 2
Valenzband. Elektrische Leitfähigkeit erfordert frei bewegliche Ladungsträger, d.h. beim Ladungstransport muss das Elektron in seiner unmittelbaren (energetischen) Nachbarschaft ein unbesetztes Energieniveau finden. In vollbesetzten Energiebändern ist deshalb kein Ladungstransport möglich. Auf das Valenzband folgt ein nicht vollbesetztes Band, das Leitungsband. Dazwischen kann eine verbotene Zone sein, in der keine Energieniveaus für Elektronen existieren. Das Energiebändermodell erlaubt Aussagen über die Anzahl der zur Verfügung stehenden freibeweglichen Ladungsträger und deren Temperaturabhängigkeit. Die Beweglichkeit σ hängt ab von den Wechselwirkungen der Ladungsträger mit Störungen des "idealen" Gitters. Das sind vor allem die Schwingungen der Gitterbausteine (Atomrümpfe) um ihre Ruhelage infolge thermischer Energie. Aber auch Störungen im Gitteraufbau, wie Fremdatome, Korngrenzen, Mischkristall- und Legierungsstrukturen verursachen eine Verminderung der Beweglichkeit. Normalerweise dominieren im Bereich der Raumtemperatur die thermischen Gitterschwingungen, die Beweglichkeit σ hängt linear von 1/T ab. 2.2.1 Metalle Metalle sind entsprechend dem Energiebändermodell durch ein teilweise gefülltes Leitungsband bzw. durch das Überlappen von Valenz- und Leitungsband gekennzeichnet. Das erklärt die hohe Konzentration freibeweglicher Ladungsträger. Ihre Anzahl ist temperaturunabhängig und beträgt etwa 1 Elektron pro Atom. Die Temperaturabhängigkeit R(T) bzw. σ (T) ist also ausschließlich eine Folge der Temperaturabhängigkeit der Beweglichkeit µ(t). R(T) folgt in einem mittleren Temperaturbereich der linearen Beziehung (5) R( T) R 1 T T R 1 0 0 0 ϑ = T - T 0 - Celsiustemperatur mit T 0 = 273,15 K, R 0 - Widerstand bei ϑ = 0 o C, α - (linearer) Temperaturkoeffizient. In der Technik wird auch 20 o C als Bezugstemperatur genutzt, der Temperaturkoeffizient α 20 unterscheidet sich etwas von α 0. 3
In Legierungen wirken komplexere Einflüsse, z. B. die Beteiligung unterschiedlicher Valenzelektronen der Legierungsmetalle, mögliche Überstrukturen im Gitteraufbau, ferromagnetische Widerstandsanomalie im Bereich der Curie- Temperatur bei Beteiligung ferromagnetischer Komponenten (Fe, Co, Ni). Durch Nutzung solcher Effekte gelingt es, Legierungen zu finden, die in einem begrenzten Temperaturbereich nahezu keine Temperaturabhängigkeit R(T) haben. 2.2.2 Halbleiter Kennzeichen der Halbleiter sind ein vollbesetztes Valenzband und ein bei tiefen Temperaturen völlig leeres Leitungsband, dazwischen liegt die Energielücke E g (Energie-Gap). Bei sehr tiefen Temperaturen sind Halbleiter daher Isolatoren. Bei entsprechend hoher Temperatur reicht die thermische Energie der Valenzelektronen aus, um die Energielücke zu überwinden - es gibt nun gleichzeitig freibewegliche Elektronen im Leitungsband und ebenso viele freibewegliche Elektronenlücken (Defektelektronen - Löcher mit positiver Elementarladung) im Valenzband. Erfolgt der Ladungsträgertransport auf diese Weise, so spricht man von Eigenleitung. Sind im Kristallgitter Fremdatome (Störstellen) eingebaut, die einer Nachbargruppe im Periodensystem angehören, dann ergeben sich Energieniveaus, die in der verbotenen Zone entweder nahe am Leitungs- bzw. nahe am Valenzband liegen. Fremdatome mit Elektronenüberschuss (gegenüber dem Wirtsatom) haben Energieniveaus nahe dem Leitungsband und können daher sehr leicht Elektronen ins Leitungsband liefern, man bezeichnet sie als Donatoren. Fremdatome mit Elektronenmangel haben Energieniveaus nahe dem Valenzband und können leicht Elektronen aus dem Valenzband einfangen, man nennt sie Akzeptoren. Der zugehörige Leitungsmechanismus wird Störstellenleitung genannt. Eigen- und Störstellenleitung wirken im Halbleiter immer gleichzeitig, praktisch dominiert in den meisten Fällen die Störstellenleitung (s. Abb. 1). Die Temperaturabhängigkeit des Halbleiterwiderstandes R(T) bzw. σ(t) wird - im Gegensatz zu Metallen - sowohl durch die Trägerkonzentration n(t) als auch 4
durch die Beweglichkeit µ(t) bestimmt. Da der Temperaturabhängigkeit n(t) ein thermisch aktivierter Anregungsprozess zugrunde liegt, wird n(t) mit folgendem Exponentialgesetz beschrieben (6) 0 n T n e Ea kt, n 0 - materialabhängige Größe, k - Boltzmann-Konstante. Wichtigste Größe ist die Aktivierungsenergie E a (in solchen "Arrheniusbeziehungen" steht immer die absolute Temperatur T). Bei der Störstellenleitung ist die Aktivierungsenergie E a die Energiedifferenz von der Störstelle (in der verbotenen Zone) zum entsprechenden Band, bei der Eigenleitung gilt E a = ½ E g. Die Temperaturabhängigkeit der Beweglichkeit µ(t) wird meist durch Gitterschwingungen bestimmt. Dieser Temperatureinfluss ist bei Halbleitern sehr viel geringer als der Temperatureinfluss der Ladungsträgerkonzentration, so dass die σ(t)- bzw. R(T)-Abhängigkeit in der Regel durch n(t) dominiert wird. Unter dieser Bedingung gilt (siehe Gleichungen (2), (3) und (6)) Ea kt (7) T 0 e bzw. 0 a R T R e E kt. Die Auftragung lnr über 1/T liefert eine Gerade, aus deren Anstieg die Aktivierungsenergie E a ermittelt wird. Der erhaltene Wert liefert in guter Näherung die Störstellenlage im Gap bzw. den halben Bandabstand ½ E g (Eigenleitung). Bei der Störstellenleitung tritt bei bestimmten Temperaturen auch der Fall auf, dass alle Donatoren bzw. Akzeptoren ihre Ladungsträger abgegeben bzw. aufgenommen haben (entspricht der Sättigung der Störstellenleitung). Dann ist n(t) temperaturunabhängig, vorausgesetzt, die Eigenleitung liefert noch keinen merklichen Beitrag (Abb. 1). Die σ(t)- bzw. R(T)-Abhängigkeit ist dann der von Metallen vergleichbar und kann mit einem (linearen) Temperaturkoeffizienten nach (5) beschrieben werden. 5
3. Hinweise zur Versuchsdurchführung und -auswertung Zur Temperaturregelung und -messung dient ein Thermostat. Die Widerstandsmessung erfolgt direkt mit einem Digitalmultimeter (DMM). Die Solltemperatur ist ab 25 C in 5-Grad-Schritten bis 80 C zu erhöhen. R(T) ist für die verschiedenen Widerstände grafisch darzustellen und zu diskutieren. Der Temperaturkoeffizient α wird durch Auftragung von R über ϑ gemäß (5) ermittelt. Durch Auftragung von lnr über 1/T gemäß (7) kann die Aktivierungsenergie E a für die Halbleiter aus dem Anstieg der Regressionsgeraden ermittelt werden. Zur Berechnung der zufälligen Größtfehler nutzt man die bei der linearen Regression angegebenen Standardabweichungen. 4. Schwerpunkte für die Vorbereitung auf das Praktikum - Begriffe: Widerstand, Beweglichkeit, Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes, Aktivierungsenergie - Gesetze: Ohmsches Gesetz, Temperaturverhalten des Widerstandes von Metallen und Halbleitern - Leitungsmechanismen in Metallen und Halbleitern (Bändermodell, Eigenleitung, Störstellenleitung) - Methoden der Widerstandsmessung - Bestimmung der gesuchten Größen aus den Diagrammen R(T) bzw. ln R(1/T) - Fehlerbetrachtung 6