Laplace-Formel Übungsaufgaben Spielwürfel oder Münzen werden ideal (oder fair) genannt, wenn jedes Einzelereignis mit gleicher Wahrscheinlichkeit erwartet werden kann. 1. Ein idealer Spielwürfel wird einmal geworfen. Berechne. (a) P(eine 5 zu würfeln) (b) P(eine ungerade Zahl zu würfeln) (c) P(eine oder eine 4 zu würfeln) (d) P(eine Primzahl zu würfeln) (e) P(eine ohne Rest durch teilbare Zahl zu würfeln) (f) P(eine ohne Rest durch 7 teilbare Zahl zu würfeln) (g) P(eine gerade und durch teilbare Zahl zu würfeln) (h) P(eine Zahl > 1 zu würfeln) (i) P(keine Zahl > zu würfeln) (j) P(eine Zahl < 10 zu würfeln) (k) P(eine 1 oder eine oder eine gerade Zahl zu würfeln). Ein idealer Würfel wird zweimal nacheinander geworfen (zweistufiges Zufallsexperiment). Berechne (a) P(zuerst eine 5 und dann eine zu würfeln) (b) P(unter den gewürfelten Zahlen ist eine 5 und eine ) (c) P(mindestens eine der gewürfelten Zahlen ist eine ) (d) P(die zuerst gewürfelte Zahl ist eine ) (e) P(unter den beiden gewürfelten Zahlen ist genau eine 4) 1
(f) P(zwei Sechsen zu würfeln) (g) P(beide gewürfelten Zahlen sind identisch [Zweierpasch]) (h) P(beide gewürfelten Zahlen sind verschieden) (i) P(zuerst eine gerade und dann eine ungerade Zahl zu würfeln) (j) P(die zuerst gewürfelte Zahl ist um 5 kleiner als die zweite.) (k) P(die zuerst gewürfelte Zahl ist um 4 kleiner als die zweite.) (l) P(die Summe der Augenzahlen beträgt ) (m) P(die Summe der Augenzahlen beträgt 1) (n) P(das Produkt der Augenzahlen beträgt 4) (o) P(das Produkt der Augenzahlen beträgt 7) (p) P(die Summe der Augenzahlen ist kleiner oder gleich ) (q) P(die Summe der Augenzahlen ist = 11) (r) P(die Summe der Augenzahlen ist > 11) (s) P(Summe und Produkt der Augenzahlen ist 4). Ein Spielwürfel wird zweimal nacheinander geworfen und die Augenzahlen in der Reihenfolge ihres Auftretens notiert. Berechne diesmal mit Hilfe eines Baumdiagrammes. (a) P(zuerst eine 1 und dann eine 4 zu würfeln) (b) P(zuerst eine 1 und dann eine gerade Zahl zu würfeln) (c) P(zuerst keine und dann eine Zahl > 4 zu würfeln) (d) P(die Zahlen 5 und oder die Zahlen und 6 zu würfeln) (e) P(mindestens eine der gewürfelten Zahlen ist eine 6)
(f) P(genau eine der gewürfelten Zahlen ist eine 6) 4. Wie viele Elementarereignisse gibt es, wenn... (a) Mal nacheinander gewürfelt wird? (b) 4 Mal nacheinander gewürfelt wird? (c) mit 7 verschiedenfarbigen Würfeln gleichzeitig gewürfelt wird? 5. Ein Spielwürfel wird dreimal nacheinander geworfen und die Augenzahlen in der Reihenfolge ihres Auftretens notiert. Berechne mit Hilfe eines Baumdiagrammes. (a) P(drei Sechsen zu würfeln) (b) P(genau zwei Sechsen zu würfeln) (c) P(genau eine Sechs zu würfeln) (d) P(nur gerade Zahlen zu würfeln) (e) P(ein wachsende arithmetische Folge mit d = zu würfeln) (f) P(die Augensumme 4 zu würfeln) (g) P(zuerst eine oder ein 4, dann eine und dann eine Primzahl zu würfeln) 6. Eine Münze wird zweimal nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit (a) P(zuerst Zahl, dann Kopf zu werfen) (b) P(immer Zahl zu werfen) (c) P(genau einmal Kopf zu werfen) (d) P(zweimal Kopf oder zweimal Zahl zu werfen) (e) P(mindestens einmal Kopf zu werfen) (f) P(nie Zahl zu werfen)
(g) P(höchstens einmal Kopf zu werfen) 7. Eine Münze wird dreimal nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit (a) P(dreimal Zahl zu werfen) (b) P(zuerst zweimal Zahl und dann Kopf zu werfen) (c) P(genau zweimal Zahl zu werfen) (d) P(immer Kopf zu werfen) (e) P(höchstens zweimal Kopf zu werfen) (f) P(höchstens einmal Kopf zu werfen) (g) P(nie Kopf zu werfen) (h) P(genau einmal Zahl zu werfen) 8. Eine Münze wird viermal nach einander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit (a) P(niemals Zahl zu werfen) (b) P(genau einmal Zahl zu werfen) (c) P(genau zweimal Zahl zu werfen) (d) P(genau dreimal Zahl zu werfen) (e) P(genau viermal Zahl zu werfen) 9. Eine Münze wird fünfmal nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichhkeit (a) P(nie Zahl zu werfen) (b) P(genau einmal Zahl zu werfen) (c) P(genau zweimal Zahl zu werfen) 4
(d) P(genau dreimal Zahl zu werfen) (e) P(mindestens viermal Zahl zu werfen) (f) P(mindestens zweimal Zahl zu werfen) 10. Aus einem gut gemischten Kartenspiel (vier Farben: Kreuz, Pik, Herz, Karo, neun Kartenwerte: As (11), König (4), Dame (), Bube (), 10, 9, 8, 7, 6) wird eine Karte gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit. (a) P(einen Pik-Buben zu ziehen) (b) P(eine Herz-Karte zu ziehen) (c) P(ein As oder einen König zu ziehen) (d) P(ein As oder eine Kreuz-Karte zu ziehen) (!) (e) P(eine Karte mit einer Zahl zu ziehen) (f) P(höchstens den Kartenwert 7 zu ziehen) (g) P(mindestens den Kartenwert 5 zu ziehen) 11. Aus einem gut gemischten Kartenspiel (vier Farben: Kreuz Pik, Herz, Karo; neun Kartenwerte: As (11), König (4), Dame (), Bube (), 10, 9, 8, 7, 6) wird eine Karte gezogen und deren Wert und Farbe notiert. Dann wird die Karte wieder auf den Stapel gelegt und der Stapel gut gemischt. Dann wird eine zweite Karte gezogen und wieder deren Wert und Farbe notiert. Berechne die Wahrscheinlichkeit (a) P(zuerst einen König und dann eine Dame zu ziehen) (b) P(einen König und eine Dame zu ziehen) (c) P(dass mindestens ein Bube gezogen wird) (d) P(dass eine der Karten eine Karo-Karte und die andere eine 10 ist) (e) P(dass zwei verschiedene Karten gezogen werden) 5
1. Aus einem gut gemischten Kartenspiel wird eine Karte gezogen und deren Wert und Farbe notiert. Dann wird ohne die erste Karte zurückzulegen eine zweite Karte gezogen und deren Wert und Farbe notiert. Diese Variante eines Zufallsexperimentes wird Ziehen ohne Zurücklegen genannt. Berechne die Wahrscheinlichkeit (a) P(Zwei Asse zu ziehen) (b) P(zuerst einen König und dann eine Dame zu ziehen) (c) P(einen König und eine Dame zu ziehen) (d) P(dass mindestens ein Bube gezogen wird) (e) P(dass zwei verschiedene Karten gezogen werden) (f) P(dass die Summe der Kartenwerte 5 beträgt) 1. In einer Schachtel befinden sich 5 rote, blaue und weisse Kugeln. Aus dieser Schachtel werden nacheinander blind zwei Kugeln gezogen, wobei nach jeder Ziehung die Farbe der Kugel notiert und die Kugel wieder in die Schachtel zurückgelegt wird. Berechne die Wahrscheinlichkeit (a) P(zuerst eine weisse und dann eine rote Kugel zu ziehen) (b) P(dass eine weisse und eine rote Kugel unter den gezogenen ist) (c) P(zwei blaue Kugeln zu ziehen) (d) P(zwei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen) (e) P(zwei gleichfarbige Kugeln zu ziehen) (f) P(keine blaue Kugel zu ziehen) 14. In einer Schachtel befinden sich 5 rote, blaue und weisse Kugeln. Aus dieser Schachtel werden nacheinander blind und ohne Zurücklegen drei Kugeln gezogen, wobei nach jeder Ziehung die Farbe der Kugel notiert wird. Berechne die Wahrscheinlichkeit (a) P(nur blaue Kugeln zu ziehen) (b) P(nur rote Kugeln zu ziehen) 6
(c) P(mindestens blaue Kugeln zu ziehen) (d) P(drei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen) (e) P(drei gleichfarbige Kugeln zu ziehen) (f) P(keine weisse Kugel zu ziehen) 15. Zwei Spieler A und B werfen abwechslungsweise eine Münze. Diejenige Person, welche zuerst Kopf wirft, gewinnt das Spiel. A beginnt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt A das Spiel? 16. In einer Schachtel liegen insgesamt 100 Kugeln. Von diesen Kugeln sind n rot, die übrigen schwarz. Die Wahrscheinlichkeit, ohne Zurücklegen zwei rote Kugeln zu ziehen, beträgt p = 8. Berechne die Anzahl der schwarzen Kugeln. 75 17. In einer Schachtel liegen blaue und rote Kugeln. Zwei Spieler ziehen abwechslungsweise eine Kugel, ohne sie wieder zurückzulegen. Sieger ist, wer als erster eine rote Kugel zieht. Wie gross ist die Wahrscheinklichkeit, dass der mit dem Ziehen beginnende Spieler gewinnt? 18. Ein Kleinbus mit 9 Insassen fährt über eine Grenze. Vier der Insassen sind Schmuggler. Ein Zollbeamter wählt zufällig drei Personen zur Kontrolle aus. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass (a) alle Kontrollierten Schmuggler sind? (b) keiner der Kontrollierten ein Schmuggler ist? (c) genau einer der Kontrollierten ein Schmuggler ist? 7
19. In einer Urne befinden sich 7 rote, 8 grüne und 5 blaue Kugeln. In einer anderen Urne befinden sich 10 rote, 8 grüne und blaue Kugeln. Aus jeder der Urnen wird gleichzeitig eine Kugel gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass (a) beide Kugeln rot sind? (b) beide Kugeln gleichfarbig sind? (c) mindestens eine Kugel grün, aber keine rot ist? 0. In einer Urne sind 5 schwarze, 4 weisse und rote Kugeln Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, (a) zwei schwarze Kugeln (b) mindestens eine rote Kugel zu ziehen? 1. Im einem Korb liegen 6 schwarze, 4 blaue und graue Socken. Jemand nimmt blind zwei Socken heraus. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide die gleiche Farbe haben?. Ein Student darf bei einer Prüfung von 0 Prüfungsfragen ziehen. Er hat 5 Fragen gelernt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er (a) beide Fragen richtig beantworten kann? (b) mindestens eine Frage richtig beantworten kann? 8
Laplace-Formel Lösungen+ Übungsaufgaben 1. (a) 1/6 (b) 1/ (c) 1/ (d) 1/ (e) 1/ (f) 0 (g) 1/6 (h) 5/6 (i) 1/ (j) 1 (k) 5/6. (a) 1/6 (b) 1/18 (c) 11/6 (d) 1/6 (e) 5/18 (f) 1/6 (g) 1/6 (h) 5/6 (i) 1/4 (j) 1/6 (k) 1/18 (l) 1/6 (m) 1/6 (n) 1/1 (o) 0 (p) 1/1 (q) 1/18 (r) 1/6 (s) 1/6. (a) 1/6 (b) 1/1 (c) 5/18 (d) 1/9 (e) 11/6 (f) 5/18 4. (a) 6 = 16 (b) 6 4 = 196 (c) 6 7 = 7996 5. (a) 1/16 (b) 5/7 (c) 5/7 (d) P(g,g,g)= 1 1 1 = 1 8 ) + ( ) 1 = 1 6 (e) P(1,,5)+P(,4,6) = ( 1 6 (f) P(,1,1)+P(1,,1)+P(1,1,) = (1 (g) P( 4,, 5) = 6 1 6 6 = 1 6 108 6 ) = 1 7 6. (a) P(Z,K) = 1 1 = 1 4 (b) P(Z,Z) = 1 1 = 1 4 (c) P(K,Z)+P(Z,K) = 1 1 + 1 1 = = 1 4 (d) P(K,K)+P(Z,Z) = 1 1 + 1 1 = = 1 4 (e) P(K,Z)+P(Z,K)+P(K,K) = 1 1 + 1 1 + 1 1 = 4 oder indirekt: 1 P(nie Kopf werfen) = 1 P(Z,Z) = 1 1 1 = 4 (f) P(K,K) = 1 1 = 1 4 (g) P(K,Z)+P(Z,K)+P(Z,Z) = 1 1 + 1 1 + 1 1 = 4 oder indirekt: 1 P(genau zweimal Kopf) = 1 P(K,K) = 1 1 1 = 4 7. (a) P(Z,Z,Z) = 1 1 1 = 1 8 (b) P(Z,Z,K) = 1 1 1 = 1 8 (c) P(Z,Z,K)+P(Z,K,Z)+P(K,Z,Z) = ( 1 ) + ( ) 1 + ( 1 ) = 8 (d) P(K,K,K) = ( 1 ) = 1 8 (e) P(0 Mal Kopf)+P(1 Mal Kopf)++P( Mal Kopf) = P(Z,Z,Z)+P(K,Z,Z)+ ) P(Z,K,Z)+P(Z,Z,K)+P(Z,K,K)+P(K,Z,K)+P(K,K,Z)= 7 (1 = 7 8 oder indirekt: 1 P(genau Mal Kopf) = 1 P(K,K,K) = 1 ( 1 ) = 1 1 = 8 7 8 (f) P(0 Mal Kopf) + P(1 Mal Kopf) = P(Z,Z,Z) + P(K,Z,Z) + P(Z,K,Z) + P(Z,Z,K) = 4 (1 ) = 1 1
(g) P(Z,Z,Z) = 1 1 1 = 1 8 ) (h) P(Z,K,K)+P(K,Z,K)+P(K,K,Z) = (1 = 8 8. (a) P(K,K,K,K) = 1 16 (b) P(Z,K,K,K)+P(K,Z,K,K)+P(K,K,Z,K)+P(K,K,K,Z) = 4 16 = 1 4 (c) P(Z,Z,K,K)+P(Z,K,Z,K)+P(Z,K,K,Z)+P(K,Z,Z,K)+P(K,Z,K,Z)+ P(K,K,Z,Z) = 6 16 = 8 (d) P(Z,Z,Z,K)+P(Z,Z,K,Z)+P(Z,K,Z,Z)+P(K,Z,Z,Z) = 4 16 = 1 4 (e) P(Z,Z,Z,Z)= 1 16 9. (a) p = ( 5 1 ) 5 0) ( = 1 (b) p = ( 5 1 ) 5 1) ( = 5 (c) p = ( 5 1 ) 5 ) ( = 10 (d) p = ( 5 1 ) 5 ) ( = 10 (e) p = [( 5 4) + ( 5 5)] ( 1 = 5 16 = 5 16 ) 5 = 6 = 16 (f) p = [( 5 ) + ( 5 ) + ( 5 4) + ( 5 5)] ( 1 10. (a) P( B) = 1 6 ) 5 = 6 = 1 16 (b) P( ) = 9 6 = 1 4 (c) P(A)+P(K) = 4 6 + 4 6 = 8 6 = 9 (d) P(A)+P( ) P( A) = 4 6 + 9 6 1 6 = 1 (e) P(10)+P(9)+P(8)+P(7)+P(6) = 1 9 + 1 9 + 1 9 + 1 9 + 1 9 = 5 9 (f) P(Wert 7) = P(B)+P(D)+P(K)+P(6)+P(7) = 1 9 + 1 9 + 1 9 + 1 9 + 1 9 = 5 9 (g) P(Wert 5) = P(6)+P(7)+P(8)+P(9)+P(10)+P(11) = 1 9 +1 9 +1 9 +1 9 +1 9 +1 9 = 11. (a) P(K,D) = 4 6 4 6 = 1 81 (b) P(K,D)+P(D,K) = 1 81 + 1 81 = 81 (c) P(B,B)+P(B,B)+P(B,B) = 4 + 4 + 4 4 = 17 6 6 6 6 6 6 81 oder indirekt: 1 P(B,B) = 1 = 17 6 6 81 (d) P(,10)+P(10, ) = 9 4 + 4 9 = 1 6 6 6 6 18 (e) P(x, x) = 6 5 = 5 6 6 6 1. (a) P(A,A) = 4 = 1 6 5 105 (b) P(K,D) = 4 4 = 4 6 5 15 (c) P(K,D)+P(D,K) = 4 4 + 4 4 = 8 6 5 6 5 15 (d) P(B,B)+P(B,B)+P(B,B) = 4 + 4 + 4 = 67 6 5 6 5 6 5 15 oder indirekt: 1 P(B,B) = 1 1 = 67 6 5 15 (e) P(x, x) = 6 5 = 1 6 5 (f) P(D, B)+P(B, D) = 4 4 + 4 4 = 8 6 5 6 5 15
1. In dieser Aufgabe gilt: P(r) = 5 10, P(b) = 10, P(w) = 10 (a) P(w,r) = 5 = 1 10 10 10 (b) P(w,r)+P(r,w) = 5 + 5 = 1 10 10 10 10 5 (c) P(b,b) = = 9 10 10 100 (d) P(w,w)+P(r,r)+P(b,b) = 8 + 5 5 + 7 = 1 10 10 10 10 10 10 50 (e) P(r,r)+P(b,b)+P(w,w) = 5 5 + + = 19 10 10 10 10 10 10 50 (f) P(b,b) = 7 7 = 49 10 10 100 14. (a) P(b,b,b) = 1 = 1 10 9 8 10 (b) P(r,r,r) = 5 4 = 1 10 9 8 1 (c) P(b,b,b)+P(b,b,b)+P(b,b,b)+P(b,b,b) = 10 9 1+ 8 10 9 7+ 8 10 7 9 + 7 8 10 9 = 11 8 60 (d) P(r,b,w)+P(r,w,b)+P(b,w,r)+P(b,r,w)+P(w,b,r)+P(w,r,b) = 5 10 9 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 1 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 9 8 4 (e) P(r,r,r)+P(b,b,b)+P(w,w,w) = 5 4 + 1 + 1 0 = 11 10 9 8 10 9 8 10 9 8 10 (f) P(w,w,w) = 8 7 6 = 7 10 9 8 15 15. P(A) = 1 P(ABA) = ( 1 ) = 1 8 P(ABABA) = ( ) 1 5 = 1 usw. Die Wahrscheinlichkeiten, dass A beim k-ten Versuch das Spiel gewinnt, bilden einen geometrische Folge mit p 1 = 1 und q = 1 4 P(A gewinnt das Spiel) = 1 + 1 8 + 1 + 1 18 + = 1 1 1 1 4 16. P(r,r) = n 100 n 1 99 = 8 75 = n n = 1056 n n 1056 = 0 n 1 =, n = n = rote und 100 n = 67 schwarze Kugeln 17. Spätestens nach dem. Zug ist das Spiel entschieden. Der erste Spieler gewinnt in foldenden Situationen P(r) = 5 P(b,b,r) = 5 4 Zusammen ergibt dies eine Wahrscheinlichkeit von p = 5 18. (a) P(S,S,S) = 4 = 1 9 8 7 1 (b) P(S,S,S) = 5 4 = 5 9 8 7 4 (c) P(S,S,S)+P(S,S,S)+P(S,S,S) = 4 5 4 + 5 4 4 + 5 4 4 9 8 7 9 8 7 9 8 7 10 = = 10 6 1 19. (a) P(r,r) = 7 10 = 1 0 1 6 (b) P(r,r)+P(g,g)+P(b,b) = 7 10 + 8 8 + 5 = 70 + 64 + 15 = 149 0 1 0 1 0 1 410 410 410 40 (c) P(g,b)+P(b,g)+P(g,g) = 8 + 5 8 + 8 8 = 4 + 40 + 64 = 0 1 0 1 0 1 40 40 40 105
0. (a) P(s,s) = 5 4 = 5 1 11 (b) P(r,r)+P(r,r)+P(r,r) = 9 + 9 + = 5 1 11 1 11 1 11 11 oder die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses (keine rote Kugel) berechnen: P(r,r) = 9 8 = 6 1 11 11... und von der Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses (1) subtrahieren: 1 6 = 5 11 11 1. Ziehen ohne Zurücklegen: P(s,s)+P(b,b)+P(g,g) = 6 1 5 11 + 4 1 11 + 1 1 1 = 1. b: Kandidat kann die Frage beantworten b: Kandidat kann die Frage nicht beantworten (a) P(b,b) = 5 0 4 9 = 0 9 (b) P(b,b)+P(b,b)+P(b,b) == 5 4 + 5 5 + 5 5 = 85 0 9 0 9 0 9 87 oder kürzer: 1 P(b,b) = 1 5 4 = 1 = 85 0 9 87 87 4