Physik II Übung 7, Teil I - Lösungshinweise Stefan Reutter SoSe 2012 Moritz Kütt Stand: 15.06.2012 Franz Fujara Aufgabe 1 Das Kühlen eines Klotzes Klaus spielt gern mit Bauklötzen, doch irgendwann fängt er an, sich beim Spielen mit den normalen Dingern zu langweilen. Deshalb hantiert er häufig mit erwärmten oder gekühlten Klötzen. Gestern ist ihm dabei ein Klotz (m k = 1 kg, c k = 470 ), den er auf eine Temperatur von T k = 300 C erwärmt hatte, in einen gut thermisch isolierten Wassereimer gefallen. Im Eimer waren m w = 10 kg Wasser, welches die Temperatur T w = 20 C hatte. a) Berechne die Endtemperatur, auf die das Wasser erwärmt bzw. der Klotz gekühlt wird. b) Wie groß ist die Änderung der Entropie? Hinweis: Wärmekapazität von Wasser c w = 4.17 kj kgk. a) Die gesuchte Temperatur ist T e. Der Klotz wird bei der Abkühlung Energie an das Wasser abgeben - abgegebene und aufgenommene Energie sind gleich. J kgk m k c k (T k T e ) = m w c w (T e T w ) Das muss man jetzt nur nach T e umstellen: T e = m kc k T k + m w c w T w m k c k + m w c w T e =23 C b) S k =m k c k ln T e T k = 310 J/K S w =m w c w ln T e T w = 445 J/K S = S k + S w = 135 J/K 1
Aufgabe 2 Wärmekraftmaschine Eine Wärmekraftmaschine arbeitet mit Wärmereservoiren der Temperaturen T 1 = 400 K und T 2 = 200 K. Sie nimmt Q z = 1000 J aus dem wärmeren Reservoir auf und verrichtet pro Zyklus W z = 200 J Arbeit. a) Wie groß ist der Wirkungsgrad der Maschine? b) Berechne die Entropieänderung der Maschine, der beiden Reservoire und des Universums (pro Zyklus). c) Wie groß ist der maximale (Carnot-) Wirkungsgrad bei den genannten Temperaturen? d) Wie groß wäre die pro Zyklus abgegebene Arbeit einer völlig reversibel arbeitenden Maschine, die dem wärmeren Reservoir Q z = 1000 J Wärme entnimmt? e) Zeige, dass die Differenz der nach Carnot möglichen und der nach Aufgabe a) tatsächlich abgegebenen Arbeit T 2 S U beträgt. S U ist dabei die Entropieänderung des Universums. a) η = W z Q z = 0.2 = 20 % b) Entropieänderung des heißen Reservoirs: S h = Q z T 1 = 2.5 J/K Entropieänderung des kalten Reservoirs: S k = Q z W z T 2 = 4 J/K Die Maschine selbst verändert sich innerhalb eines Zyklus nicht, daher ändert sich auch ihre Entropie nicht, ihre Entropieänderung ist S m = 0 J/K. (In diesem Fall ist für uns die Maschine quasi nur der Kreisprozess, ohne die Reservoirs). Entropieänderung des Universums S U = S h + S k = 1.5 J/K c) η carnot = 1 T 2 T 1 = 0.5 = 50 % 2
d) W o = 500 J e) T 2 S U! =W o W z 200 K 1.5 J/K =500 J 200 J 300 J =300 J Aufgabe 3 Diskussion (mit einem Schuss Mathematik, aber dafür ohne Rechnen): Komische Definition Meine liebe Freundin Carola zweifelt immer alles an. Wenn sie es nicht mit eigenen Augen sehen würde, würde sie einem noch nicht einmal glauben, dass der Himmel blau ist (und immer, wenn es mal bewölkt ist, heißt es gleich: aber woher soll ich jetzt wissen, dass der Himmel blau ist, wenn ich ihn nicht sehen kann? ) Aus mir schleierhaften Gründen hat sich Carola trotz dieser Einstellung nicht für Mathematik sondern für Physik als Studienfach entschieden. Nun muss sie, wie zu erwarten war, jegliche Definition in der Physik anzweifeln. Eines Tages gefällt ihr mal wieder die Temperaturdefinition nicht und sie denkt sich eine Alternativversion aus: Nimm einmal an, man wüsste über die Temperatur nichts weiter, als dass der Wirkungsgrad einer reversibel arbeitenden Wärmekraftmaschine eine Funktion der Temperaturen ihrer beiden Wärmebäder ist η(t, T ). Welche Eigenschaften muss diese Temperatur haben? Wie kann beweisen, dass es eine tiefste Temperatur gibt? Wie hängt diese Definition mit der üblichen Kelvin-Skala zusammen? Hinweis: Schalte zwei Wärmekraftmaschinen hintereinander um eine, ebenfalls reversibel arbeitende, bessere Wärmekraftmaschine zu erhalten. Wir verwenden drei Temperaturbäder und zwei WKM: T 1 ist das wärmste, T 2 das mittlere und T 3 das kälteste. WKM A arbeitet zwischen T 1 und T 2 und WKM B zwischen T 2 und T 3. Der Wirkungsgrad ist definiert als η = W, die erste WKM liefert also eine Arbeit und Abwärme Q von W A = η A Q 1 Q 2 = 1 η A Das mittlere Wärmebad sei gegenüber der Umgebung isoliert, dann kann die zweite Wärmekraftmaschine die Abwärme der ersten zum Arbeiten verwenden, also W B = η B Q 2 = η B 1 ηa Q 3 = 1 η B 1 ηa 3
Andererseits gilt, weil die zwei hintereinandergeschalteten reversiblen Wärmekraftmaschinen auch als eine bessere WKM betrachtet werden können η AB = W 1 + W 2 Q 1 1 ηab = 1 ηb 1 ηa Wir definieren nun den Wärmewirkungsgrad, der auch eine Funktion der Temperatur sein muss (und für alle reversiblen Wärmekraftmaschinen gleich ist) Wie oben ausgeführt gilt damit f (T 1, T 2 ) = 1 η A f (T 2, T 3 ) = 1 η B f (T 1, T 3 ) = 1 η AB f (T 1, T 3 ) = f (T 1, T 2 )f (T 2, T 3 ) Das heißt, die Abhängigkeit von T 2 muss sich bei Multiplikation herauskürzen. Da das allgemein für alle Temperaturen T 2 gilt, muss f ein Quotient einer eindeutigen Funktion der Temperatur mit sich selbst sein f (T, T ) = g(t ) g(t) Da außerdem der Wirkungsgrad besser wird (also der Wärmewirkungsgrad schlechter), wenn die Temperatur des wärmeren Bades T bei gleichbleibender Temperatur des kälteren Bades T vergrößert wird, muss g(t) außerdem eine monotone Funktion sein. Zusammengenommen muss g sogar eineindeutig, also invertierbar sein. Wir können nun den Temperaturnullpunkt so definieren, dass unsere WKM einen Wirkungsgrad von 1 hat wenn das untere Bad Temperatur T = 0 hat. Es muss diese tiefste Temperatur aus Gründen der Energieerhaltung geben, denn sonst müsste die Funktion g negativ werden, also mehr Arbeit abgegeben als oben Wärme hineingesteckt werden. Der Temperaturnullpunkt fällt mit dem Nullpunkt von g zusammen. Als unser Maß für die Temperatur könnte nun die Funktion g herangezogen werden. Bleibt noch die Frage zu klären, wie sie mit der üblichen Temperaturskala zusammenhängt. Betrachten wir ein ideales Gas als Arbeitssubstanz unserer Wärmekraftmaschine und vergleichen mit dem Ergebnis für den Carnot-Wirkungsgrad (der für jede reversibel arbeitende Wärmekraftmaschine identisch sein muss) η C = 1 T finden wir heraus, dass g T sein muss. Das heißt, dass unsere Temperaturdefinition bis auf einen Proportionalitätsfaktor mit der Kelvin-Skala übereinstimmen muss. Wir haben also nur noch die Wahlfreiheit wie groß die Zahlen werden, z.b. könnten wir den Tripelpunkt von Wasser auf g = 100 legen anstatt auf g = 273.16. T 4
Aufgabe 4 Diskussion: Eine lebenswichtige Entscheidung Man bestellt in seinem Stamm-Café eine Tasse Kaffee, doch dann wird man plötzlich vom Kellner ans Telefon gerufen. Das lebenswichtige Vitamin K affein wird nur im warmen Zustand ausreichend gut aus dem Kaffee aufgenommen. Soll man seine Milch (die Zimmertemperatur hat) lieber gleich in den Kaffee schütten oder warten, bis man zurückkommt, wenn man den Kaffee möglichst warm genießen möchte? Ändert sich die Situation, wenn man außer Milch noch Zucker in den Kaffee nimmt? Es gibt zwei wichtige Effekte: Erstens wird die abgegebene Wärmemenge überproportional zur Temperaturdifferenz zur Umgebung größer, damit ist es besser, die Milch zuerst hineinzukippen. Zweitens wird das Verhältnis zwischen Oberfläche und Volumen günstiger wenn man die Milch zuerst hineinschüttet, was ebenfalls dafür sorgt, dass man besser gleich die Milch reinschüttet. Wenn die Milch sehr kalt ist (also etwa mit Stickstofftemperatur gefrorenes Milcheis) kann es allerdings Sinn machen, die Milch zunächst auftauen zu lassen. Zucker benötigt zum Lösen eine gewisse Wärmemenge, was den Kaffee zusätzlich kühlt. Diese Wärmemenge hängt aber nicht davon ab, in welcher Reihenfolge man mischt, es ist also egal, ob man erst Kaffee und Milch mischt und dann den Zucker hineintut oder ob man erst den Zucker und dann die Milch hineingibt. Allerdings ist es immernoch günstiger, alles zusammen zu mischen, bevor man zum Telefon geht weil der Zucker den Kaffee weiterhin kühlt und er dann analog zur obigen Begründung langsamer abkühlt. 5