Physik II Übung 5 - Lösungshinweise

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1 Physik II Übung 5 - Lösungshinweise Stefan Reutter SoSe 2012 Moritz Kütt Stand: Franz Fujara Aufgabe 1 Diskussion: Beim Bremsen heißgelaufen Beim Herunterfahren von einer Passstraße langweilt ein LKW-Fahrer sich leicht. Zum Zeitvertreib könnte er abschätzen, wie heiß seine Bremsen wohl werden. Er legt eine Höhendifferenz von 200 m zurück und die Anfangs- ist gleich der Endgeschwindigkeit. Nimm vernünftige Werte für Wärmekapazität und Masse der Bremsen, etc. an und tu so, als ob die Bremsen ihre Wärme nicht loswerden könnten um die Erwärmung der Bremsen abzuschätzen. Mache das gleiche für ein ständig beschleunigendes und bremsendes Formel-1-Auto mit Carbon- Bremsen. Machen alle Annahmen Sinn? Die Wärmekapazität von Stahl beträgt etwa c S = 500 J kg 1 K 1, die von Carbon etwa c C = 700 J kg 1 K 1. Die potentielle bzw. kinetische Energie muss komplett in Wärme umgewandelt werden, also E = M gh = mc S T Für den LKW nehmen wir eine Masse von M = 30 t an wobei vielleicht größenordnungsmäßig m = 500 kg auf die Bremsscheiben entfallen. Damit ist T = M gh = K = 240 K mc S Ein Formel-1-Auto wiegt (mindestens) M = 640 kg, die Bremsen haben eine Masse von nur einigen hundert Gramm ()m = 500 g). Wir nehmen für die Geschwindigkeit mal 100 m/s an. T = Mv = 2mc S K = K Dass das deutlich zu hoch ist liegt hauptsächlich daran, dass die Bremsen in Wirklichkeit ihre Wärme abgeben, und zwar in erster Linie durch Wärmestrahlung. Formel-1-Bremsen können aber tatsächlich bis zu 1000 C heiß werden 1

2 Aufgabe 2 Diskussion: Bestimmung von molaren Massen Du willst die Molmasse eines unbekannten Gases bestimmen. Das kann man z.b. machen, indem man mit einem Kolben einen konstanten Druck p (der größer als der Außendruck ist) in einem Gasvolumen erzeugt, das durch eine kleine Öffnung mit der Außenwelt verbunden ist. Misst man die Zeit, die benötigt wird, um das gesamte Gas herauszudrücken, kann man die Molmasse bestimmen. Überlege dir, wie das funktioniert, bzw. wie man aus einer Messung der Zeit die Masse erhält. Hier braucht man die Bernoulli-Gleichung (mit der Austrittsgeschwindigkeit des Gases w) p = p ρw2 Das herausgeströmte Volumen ist gegeben durch das Integral über den Volumenstrom V = t V d t = wat 0 Wobei A die Fläche des Lochs ist. Die Dichte ρ hängt mit der Molmasse und dem Volumen zusammen Fasst man zusammen ρ = nm M V p = p na2 V m M t 2 Den Faktor na 2 V kann man durch Kalibrierung mit Hilfe eines anderen Gases bekannter Molmasse (z.b. He oder H 2 ) bestimmen oder auch berechnen. Eine Kalibrierung ist vom experimentellen Standpunkt her aber sinnvoller. Aufgabe 3 Diskussion: Die Eisheiligen, das Obst und Väterchen Frost Auch noch im späten Frühjahr / frühen Sommer kann es in Obstanbauregionen vereinzelt zu frostigen Nächten kommen. Dies kann die Blüten der Pflanzen schädigen. Findige Menschen haben sich jedoch Abhilfe ausgedacht: Bei frostigen Nächten werden die Felder mit Wasser besprüht, welches dann an den Pflanzen gefriert. Wieso kann das helfen? 2

3 Bei der Kristallisation von Flüssigkeiten zu Festkörpern wird die sog. Kristallisationswärme frei. Die Kristallisationswärme ist die gleiche Energie, die auch für das Auftauen des Festkörpers aufgewendet werden muss. Bei beiden Vorgängen verändert sich die Temperatur nicht (latente Wärme)! Durch das Besprühen der Pflanzen mit Wasser kann daher die Temperatur der Blüten bei rund 0 C gehalten werden, selbst wenn die Außentemperatur tiefer sinkt. Das reicht aus, um ein Einfrieren der in den Blüten befindlichen Flüssigkeiten zu verhindern (Wasser mit Zusatzstoffen). Das Ganze funktioniert aber nur für kurze Zeit (z.b. Nachtfrost). Am nächsten Tag sollte das über Nacht entstandene Eis wieder abtauen. Es gibt noch zwei weitere Effekte, die aber eine geringere Rolle spielen dürften: Erstens kondensiert aus der kalten Luft Wasser heraus, dadurch wird ählich wie bei der Kristallisationswärme Energie frei, die an die Blüte abgegeben werden kann. Zweitens erhöht das zusätzliche Wasser die Wärmekapazität, was die Auskühlung der Blüten verzögert. Aufgabe 4 Kühlung in Fukushima In Kernreaktoren wird auch nach einer Abschaltung der nuklearen Kettenreaktion weiter Wärme freigesetzt (Nachzerfallswärme). Diese Wärme entsteht durch den radioaktiven Zerfall von während des Betriebs erzeugten Spaltprodukten. Die enstehende Energie muss auch noch lange nach der Abschaltung weiter abgeführt werden. Der Reaktorblock 2 des Kernkraftwerks Fukushima, Japan, war am mit einer thermischen Leistung von rund 2300 MW in Betrieb. Nach dem Erdbeben wurde er abgeschaltet. Ein Jahr später wird durch die Nachzerfallswärme noch eine Leistung von rund 5 MW frei. Welche Menge Wasser (T 0 = 20 C) kann mit einer solchen Leistung pro Stunde verdunstet werden? Die Materialeigenschaften: Spezifische Wärmekapazität c kj kgk Verdunstungswärme λ v 2256 kj kg Siedepunkt T b 373 K Eine Leistung von 5 MW entspricht einer Energiezufuhr von 5 MJ pro Sekunde. Damit wird in einer Stunde eine Energie von zugeführt. E h = MJ Für die Verdampfung von Wasser der Masse m ist folgende Energie nötig: E = cm T + λ v m 3

4 Umgestellt nach m ergibt sich E m = c T + λ v m =6950 kg Pro Stunde müssen ein Jahr nach Reaktorabschaltung rund 7 Tonnen Wasser verdunstet werden um die Nachzerfallswärme abzuführen. Aufgabe 5 Bleigießen mal anders! Statt das Blei zum Bleigießen mit einer Kerze zu erwärmen, kann man auch Folgendes machen: Man schießt eine Kugel Blei gegen eine sehr stabile Wand. Wie schnell muss eine Bleikugel (Temperatur bei Abschuss T a = 30 C sein, damit sie nach dem Auftreffen vollständig schmilzt? Nimm dabei an, dass die gesamte kinetische Energie der Kugel in innere Energie des Bleis umgewandelt wird. Recherchiere benötigte Materialeigenschaften von Blei selbst! Die Materialeigenschaften: Spezifische Wärmekapazität c 0.13 kj kgk Schmelzwärme λ s 23.4 kj kg Schmelzpunkt T s 600 K Energieerhaltung für die Geschwindigkeit: 1 2 mv 2 =(T s T a )cm + λ s m v = 2 (T s T a )c + λ s Aufgabe 6 Isochore Erwärmung v =278 m/s 2 mol eines einatomigen idealen Gases werden bei konstantem Volumen um 10 K erwärmt. a) Wie groß ist die vom Gas verrichtete Arbeit? b) Wie groß ist die übertragene Wärmemenge Q? c) Wie groß ist die Änderung der inneren Energie? d) Wie groß ist die Änderung der mittleren kinetischen Energie pro Atom? a) Da sich das Volumen nicht ändert ist W = 0 b), c) Q = U = nc V T = n 3 R T = 250 J 2 d) E kin = 3 2 k B T = J 4

5 Aufgabe 7 Isobare Erwärmung und Ausdehnung Einem idealen Gas mit Raumtemperatur werden bei konstantem Druck von 1 atm eine Wärmemenge von 21 J zugeführt. Dabei ändert sich das Volumen von 45 cm 3 auf 75 cm 3. a) Wie groß ist die Änderung der inneren Energie? b) Wie groß ist C p? c) Wie groß ist C v? a) U = Q p V = 21 J 10 5 Pa m 3 = 18 J b) Q C p = T p = Q T Die Temperaturdifferenz erhält man mit der idealen Gasgleichung T = p V nr 10 3 mol die man aus dem Gasvolumen von 24.5 L/mol bestimmen kann) (mit n = 2.1 C p = nr Q p V = 0.12 J K c) C v = C p nr = 0.1 J K Aufgabe 8 Kalorimeter kühlt Kupferklotz Eine heiße Kupferkugel der Masse m Ku = 50 g und Temperatur T wird in ein mit m W = 250 g Wasser gefülltes Kupferkalorimeter der Masse m Ka = 150 g geworfen. Man stellt fest, dass dabei m V = 1 g Wasser verdampft sind und der Rest des Kalorimeters sich von T 1 = 20 C auf T 2 = 30 C erwärmt hat. Bestimme T. Man rechnet am besten in Wärmemengen. Man muss m V zunächst von Zimmertemperatur auf T V = 100 C erwärmen, dann verdampfen. Außerdem muss man den Rest des Wassers sowie den Kupferblock auf T 2 erwärmen. Dem entgegen kühlt man die Kupferkugel von T auf T 2 ab. Insgesamt kommt keine Wärme raus. Spezifische Wärmekapazität von Wasser c W 4.19 kj kg K Spezifische Wärmekapazität von Kupfer c K kj kg K Verdunstungswärme λ v 2260 kj kg Siedepunkt T V 373 K 5

6 m V λ v + m V c W TV T 1 + mw m V cw + mka c K + mku c K T2 T = 0 Stellt man nach T um ergibt sich T = T m Ku c K mv λ v + m V c W TV T 1 + mw m V cw + mka c K = 30 C ( ) K = 740 C Aufgabe 9 Kritisch - Van-der-Waals Für ein Van-der-Waals Gas beträgt das Volumen am kritischen Punkt V k = 3b, die Temperatur T k = 8a und der Druck p 27Rb k = a 27b 2. Leite diese Zusammenhänge aus der Van-der-Waals-Gleichung her! Hinweis: Am kritischen Punkt besitzt die Funktion p(v ) für konstantes T einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente! Zunächst die Van-der-Waals-Gleichung nach p umstellen: nrt = p + n2 a V 2 (V nb) p = nrt V nb n2 a V 2 Für einen Wendepunkt muss die zweite Ableitung einer Gleichung 0 sein, für waagerechte Tangente die erste. 0 =! dp dv = nrt (V nb) 2 + a 2n2 V 3 0 =! d2 p dv 2 = 2 nrt (V nb) 3 a 6n2 V 4 Auch wenn p k und T k gesucht sind, ist es am einfachsten zunächst das ganze nach V aufzulösen und einzusetzen. Dafür ist es praktisch, durch Multiplikationen bei beiden Gleichungen die Brüche zu eliminieren. 0 = nrt V 3 + 2n 2 a(v nb) 2 0 =nr T V 4 3n 2 a(v nb) 3 6

7 Nun kann man die erste Gleichung noch mit V multiplizieren und beide addieren: 0 = 2n 2 av (V nb) 2 3n 2 a(v nb) 3 0 = 2V 3V + 3nb V = 3nb Durch Einsetzen in eine der Gleichungen erhält man nun T k. 0 = nrt(3nb) 3 + 2n 2 a(3nb nb) 2 0 = 27RT n 4 b 3 + 8n 4 ab 2 T = 8a 27Rb = T k Nun kann man V und T k in p(v ) einsetzen, um p k zu bestimmen: nr 8a 27Rb n2 a p k = 3nb nb (3nb) 2 = 4a 27b 2 a 9b 2 = a 27b 2 7